Расчет и анализ статистических показателей

--PAGE_BREAK--1.2 Рассчитать относительные величины


а) структуры;

б) координации, выбрав за базу одну из групп в соответствии с экономическим содержанием.

Относительные величины — результат сопоставления двух статистических показателей, дает цифровую меру их соотношения. Относительные величины широко используются в статистическом исследовании, позволяет провести сравнение различных показателей, и делает такое сравнение наглядным.

а) оносительная величина структуры характеризует долю отдельных частей в общем объеме совокупности и выражается в долях единицы, процентах, промилях. Ее получают путем деления численности каждой группы, входящей в совокупность, на численность всей совокупности. Относительная величина структуры представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого.

Рассчитаем относительную величину структуры для объема продаж (первый признак).











Относительная величина структуры в процентах рассчитывается путем умножения относительной величины структуры в долях на 100, в промилле — на 1000.

б) Относительная величина координации характеризует соотношение отдельных частей совокупности, и определяется как отношение частоты в каждой из групп к частоте, выбранной за базу.












Рассчитаем относительную величину координации для объема продаж. Выберем за базу максимальную частоту встречаемости признак — 8. Результаты расчетов поместим в Таблице 2.1:
Таблица 2.1 Относительные величины структуры для объема продаж



Относительная величина структуры для численности работников рассчитывается аналогично. Результаты поместим в Таблице 2.2
Таблица 2.2. Относительные величины структуры для численности работников
    продолжение
--PAGE_BREAK--1.3 По данным группировки построить


а) полигон распределения,

б) кумуляту;

в) секторную диаграмму.

а) Построим полигон распределения объема продаж, используя для этого данные Таблицы 1.2.
Рисунок 1. Полигон распределения (объем продаж)


Условные обозначения:

х — номер интервала;

f — частота встречаемости признака

Построим полигон распределения для численности рабочих, используя для этого данные Таблицы 1.4




Рисунок 2. Полигон распределения (численность рабочих)


Условные обозначения:

х — номер интервала;

f — частота встречаемости признака

б) Преобразованной формой вариационного ряда является ряд накопленных частот. Это ряд значений числа единиц совокупности с меньшими и равными нижней границе соответствующего интервала значениям признака. Такой ряд называется кумулятивным. Можно построить кумулятивное распределение «не меньше, чем», в этом случае график называется кумулятой.

Построим кумуляту для объема продаж. Для этого необходимо найти кумулятивные ряды накопленных частот (Таблица 3.1).
Таблица 3.1. Кумулятивные ряды накопленных частот для объема продаж


Рисунок 3. Кумулята по объему продаж


Условные обозначения:

х — средняя зарплата;

f — накопленная частота.

Построим кумуляту для численности работников. Для этого необходимо найти кумулятивные ряды накопленных частот (Таблица 3.2).
Таблица 3.2 Кумулятивные ряды накопленных частот для численности работников




Рисунок 4. Кумулята по численности работников


Условные обозначения:

х — стаж по специальности;

f — накопленная частота.

Графики являются важным средством выражения и анализа статистических данных, поскольку наглядное представление облегчает восприятие информации. Графики позволяют мгновенно охватить и осмыслить совокупность показателей — выявить наиболее типичные соотношения и связи этих показателей, определить тенденции развития охарактеризовать структуру и т.д.

Секторная диаграмма представляет собой графическое изображение статистических данных при помощи секторов круга. При построении секторной диаграммы круг принимается за целое (100%) и разбивается на секторы, дуги которых пропорциональны значениям отдельных частей изображающих величин.

в) Используя данные Таблицы 2.1, построим секторную диаграмму для первого признака.




Рисунок 5. Структура распределения предприятий по уровню объема продаж


Условные обозначения:

  — предприятия с объемом продаж 5100-5210

  — предприятия с объемом продаж 5210-5320

  — предприятия с объемом продаж 5320-5430

  — предприятия с объемом продаж 5430-5540

  — предприятия с объемом продаж 5540-5650

Данная диаграмма наглядно изображает структуру распределения предприятий по уровню объема продаж.

Используя данные таблицы 2.2, построим секторную диаграмму для численности рабочих.




Рисунок 6. Структура распределения предприятий по численности рабочих


Условные обозначения:

 

 

 



 

  — предприятия с численностью рабочих 465 — 474 чел.

Данная диаграмма наглядно изображает структуру распределения предприятий по численности работников.


    продолжение
--PAGE_BREAK--1.4 Рассчитать средние величины


а) простую арифметическую;

б) взвешенную арифметическую двумя методами;

в) моду;

г) медиану;

д) построить графики моды и медианы.

Среди обобщающих показателей, характеризующих статистические совокупности, большое значение имеют средние величины. Средняя величина — это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени. Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая; представляет собой частное от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество.

а) Для расчета простой арифметической воспользуемся формулой

где  -средняя арифметическая;

  — индивидуальное значение у каждой единицы совокупности;

  — число единиц совокупности.



Рассчитаем среднюю арифметическую простую для объема продаж.
Таким образом, средняя арифметическая простая для объема продаж равна 5399,7

Рассчитаем среднюю арифметическую простую для второго признака — численности работников.




Средняя арифметическая простая для численности работников равна 447,8

б) Для расчета взвешенной арифметической воспользуемся формулой:

где   — средняя арифметическая взвешенная,

  — число групп,

  — центральный вариант в i-й группе,

  — частота i-й группы,

  — сумма частот.

Рассчитаем взвешенную арифметическую для объема продаж по представленной формуле. Для этого вычислим середины интервалов в каждой группе. Результаты поместим в Таблице 1.
Таблица 1.

Середины интервалов в группах предприятий по объему продаж



Средняя арифметическая взвешенная для объема продаж равна 539,6.

Рассчитаем взвешенную арифметическую для численности работников по представленной формуле. Для этого вычислим середины интервалов в каждой группе. Результаты поместим в Таблице 2
Таблица 2. Середины интервалов в группах предприятий по коэффициенту сменности





Средняя арифметическая взвешенная для численности работников равна 447,8.

Рассчитаем взвешенную, используя метод моментов. Для расчета средней взвешенной арифметической с помощью этого метода используются следующие формулы:
 


где   — средняя арифметическая взвешенная;

  — момент;

  — середина интервала, в котором признак проявляется с наибольшей частотой;

  — величина интервала;

  — частота i-й группы;

  — расчетное значение вариантов;

  — центральный вариант i-го интервала.

Найдем среднюю арифметическую взвешенную для объема продаж с помощью метода моментов. Выберем за число А центр данной группировки — 5485.















Найдем среднюю арифметическую взвешенную для численности работников с помощью метода моментов. Выберем за число А центр данной группировки — 442,5


















Как видно из представленных расчетов, пути нахождения средней арифметической взвешенной не влияют на ее конечное значение.

в) Мода — это то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения, т.е. это наиболее часто повторяющееся значение признака. В сгруппированном ряду мода определяется по формуле:

где хМо — нижняя граница модального интервала;

iМо — величина модального интервала;

fМо — частота, соответствующая модальному интервалу;

fМо-1 — частота интервала, предшествующего модальному;

fМо+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Рассчитаем моду для объема продаж.









Рассчитаем моду для численности работников.

Таким образом, мода для объема продаж равна 5474, для численности работников — 442,5

г) Медиана — значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на 2 равные по численности части. Для несгруппированного ряда медиана находится непосредственно по определению. Медиана в интервальном ряду распределения:
,
где хМе — нижняя граница медианного интервала;

iМе — величина медианного интервала;

  — полусумма частот ряда;

  — сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fМе — частота медианного интервала.

Рассчитаем медиану для объема продаж по сгруппированному ряду.

,

Рассчитаем медиану для численности рабочих.





Итак, медиана для объема продаж равна 5420,8 и для численности работников — 446,2

д) Чтобы изобразить моду на графике, необходимо построить гистограмму. Гистограмма строится следующим образом. На оси х откладываются отрезки, равные длине интервала. На этих отрезках, как на основаниях, строятся прямоугольники, высота которых пропорциональна частоте. Из точки пересечения вспомогательных прямых опускается перпендикуляр, который и показывает моду на оси абсцисс.
Рисунок 1. Мода для объема продаж


Условные обозначения:

х — уровень средней зарплаты;

f — частота;

Мо — мода.

На графике наглядно показано значение моды — 5421 (для первого признака).
Рисунок 4.2 Мода для численности работников


Условные обозначения:

х — стаж по специальности;

f — частота;

Мо — мода.

Итак, мода равна 446 (по второму признаку).

Построим медиану для объема продаж и численности рабочих.

Условные обозначения:

х — средняя зарплата;

f — накопленная частота;

  — медиана

Медиана для средней зарплаты равна — 5421.
Рисунок 4.4 Медиана для числености работников




Условные обозначения

х — средняя зарплата;

f — накопленная частота;

  — медиана

Медиана для численности рабочих равна 446.


    продолжение
--PAGE_BREAK--1.5 Рассчитать показатели вариации по сгруппированным данным


а) размах вариации;

б) среднее линейное отклонение;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициенты вариации, сделать выводы;

Вариацией значений какого-либо признака в совокупности называется различие его значений у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

а). Размах вариации рассчитывается по формуле:

где   — размах вариации;

  — максимальное значение признака;

— минимальное значение признака.

Рассчитаем размах вариации для объема продаж:



Рассчитаем размах вариации для численности работников:



Размах вариации для объема продаж равен 530, для численности работников — 48

б) Среднее линейное отклонение показывает, насколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего значения, и рассчитывается по формуле (для несгруппированного ряда):

где   — среднее линейное отклонение;

  — индивидуальное значение признака;

  — простая средняя арифметическая;

  — численность совокупности.

Рассчитаем среднее линейное отклонение по несгруппированному признаку для объема продаж.



Среднее линейное отклонение по сгруппированному признаку:

где   — среднее линейное отклонение;

  — центральный вариант i-го интервала;

 - средняя арифметическая взвешенная;

  — частота i-й группы.

Рассчитаем среднее линейное отклонение по сгруппированному признаку для объема продаж.



Итак, среднее линейное отклонение для объема продаж по несгруппированному признаку равно 9, а по сгруппированному признаку -8,6. Рассчитаем среднее линейное отклонение по несгруппированному признаку для численности рабочих.



Рассчитаем среднее линейное отклонение по сгруппированному признаку для численности рабочих.


Таким образом, среднее линейное отклонение для численности рабочих по несгруппированному признаку равно 13,78 а по сгруппированному признаку — 13,33

в) Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения.

Среднее квадратическое отклонение по несгруппированному признаку:



где   — среднее квадратическое отклонение;

  — варианты совокупности;

  — средняя арифметическая простая;

  — численность совокупности.

Среднее квадратическое отклонение по сгруппированному признаку:




где   — среднее квадратическое отклонение;

 - центральный вариант i-го интервала;

  — средняя арифметическая взвешенная;

  — частота i-й группы.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по несгруппированным данным для объема продаж:



Среднее квадратическое отклонение по сгруппированному признаку для объема продаж равно:




Таким образом, среднее квадратическое отклонение по несгруппированным данным для объема продаж равно 133; по сгруппированному признаку — 130.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по несгруппированным данным для численности работников:



Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по сгруппированным данным для численности работников



Итак, среднее квадратическое отклонение по несгруппированным данным для численности рабочих равно 20; по сгруппированному признаку — 19.

г) Для оценки вариации и ее значимости пользуются также коэффициентами вариации, которые дают относительную оценку вариации и позволяет сравнивать степень вариации разных признаков. Различают:

коэффициент осцилляции;

относительное линейное отклонение;

коэффициент вариации.

Коэффициент осцилляции показывает соотношение размаха вариации и средней арифметической и рассчитывается по формуле:

где   — коэффициент осцилляции;

  — размах вариации;

  — простая средняя арифметическая.

Рассчитаем коэффициенты осцилляции:

для объема продаж





для численности работников





Относительное линейное отклонение показывает отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической:

где   — относительное линейное отклонение;

  — среднее линейное отклонение;

  — простая средняя арифметическая.

Рассчитаем относительное линейное отклонение:

для объема продаж






для численности работников





Коэффициент вариации, показывает соотношение среднего квадратического отклонения и средней арифметической:

где V — коэффициент вариации;   — среднее квадратическое отклонение;   — средняя арифметическая.

Рассчитаем коэффициент вариации по сгруппированным данным:

для объема продаж:

,

для численности работников:





Рассчитаем коэффициент вариации по несгруппированным данным:

для объема продаж





для численности работников:





Рассматриваемый коэффициент вариации по объему продаж составляет 2,5%, следовательно рассматриваемая совокупность является однородной


    продолжение
--PAGE_BREAK--1.6 Рассчитать дисперсии и произвести дисперсионный анализ


а) дисперсии: общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых;

б) проверить правило сложения дисперсий.

Квадрат среднего квадратического отклонения дает величину дисперсии. Общую дисперсию, характеризующую вариацию признака под влиянием всех факторов, можно получить на основе ее составляющих — межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Общая дисперсия рассчитывается по формуле

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного а основу группировки и рассчитывается по формуле:

где   — межгрупповая дисперсия;

  — средняя арифметическая в i-й группе;

  — простая средняя арифметическая;

 - частота i-й группы.

Внутригрупповая дисперсия:



где   — внутригрупповая дисперсия;

  — индивидуальное значение единицы совокупности из i-й группы;

  — простая средняя арифметическая i-й группы;

  — частота i-й группы.

Рассчитаем общую дисперсию для объема продаж



Рассчитаем межгрупповую дисперсию для объема продаж, для этого найдем среднюю арифметическую (простую) в каждой группе известным методом, результаты поместим в Таблице 6.1.
Таблица 6.1

Средняя арифметическая в каждой группе для объема продаж




Межгрупповая дисперсия равна 16619.



Для того чтобы рассчитать дисперсию среднюю из внутригрупповых, необходимо найти дисперсию в каждой группе.









Теперь, исходя из приведенных расчетов, вычислим дисперсию среднюю из внутригрупповых.



Средняя из внутригрупповых дисперсия равна 989. Рассчитаем дисперсии для второго признака — численности работников. Общая дисперсия:



Общая дисперсия равна 406.

Рассчитаем межгрупповую дисперсию для численности работников, для этого найдем среднюю арифметическую (простую) в каждой группе, результаты поместим в Таблице 6.2.
Таблица 6.2

Средняя арифметическая в каждой группе для численности работников



По данным представленной таблицы рассчитаем межгрупповую дисперсию.



Межгрупповая дисперсия равна 403.

Используя рассчитанные данные, найдем дисперсию среднюю из внутригрупповых.















Средняя из внутригрупповых дисперсия для численности работников равна 3,34.

б) Проверим правило сложения дисперсий.

Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой, т.е.

где   — общая дисперсия;

  — межгрупповая дисперсия;

  — средняя из внутригрупповых дисперсия.

Проверим правило сложения дисперсий для объема продаж

=16619

=989

17608= 16619+989

Видно, что средняя из внутригрупповых теоретическая совпадает с расчетной, а именно:



Проверим правило сложения дисперсий для численности рабочих.

=403

=3,34

406=3,34+403

Как видно, средняя из внутригрупповых расчетная оказалась равна теоретической, т.е.

Это значит, что в нашем случае правило сложения дисперсий верно.


    продолжение
--PAGE_BREAK--1.7 Построить кривые распределения


а) эмпирическую;

б) теоретическую (функция нормального распределения — Приложение Б).

а) Эмпирическая кривая строится по результатам группировки. Теоретическая линия строится по теоретическим частотам. Теоретические частоты определяются по формуле:



где   — теоретические частоты для определенной группы;

  — величина интервала;

 - сумма эмпирических частот ряда;

  — среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных;

  — математическая функция, определяемая по специальным таблицам в соответствии с рассчитанным значением ;

  — центральный вариант i-го интервала;

  — средняя арифметическая взвешенная;

  — нормированное отклонение.

а) Рассчитаем теоретические частоты для объема продаж и результаты поместим в Таблице 7.1.





Остальные показатели рассчитываются аналогично.
Таблица 7.1

Теоретические частоты для объема продаж



По данным таблицы построим теоретическую и эмпирическую кривые распределения.




Рисунок 7.1 Кривые распределения объема продаж


Условные обозначения:

х — объем распределения;

f — частота;

1 — эмпирическая линия;

2 — теоретическая линия.

Рассчитаем теоретические частоты для численности работников и результаты поместим в Таблице 7.2.
Таблица 7.2

Теоретические частоты для численности работников



По данным таблицы построим теоретическую и эмпирическую кривые распределения.

Рисунок 7.2 Кривые распределения численности рабочих


Условные обозначения:

х — объем распределения;

f — частота;

1 — эмпирическая линия;

2 — теоретическая линия.
    продолжение
--PAGE_BREAK--1.8 Произвести анализ ряда распределения


а) рассчитать асимметрию;

б) рассчитать эксцесс;

в) определить существенность асимметрии и эксцесса;

г) оценить соответствие эмпирического ряда распределения теоретическому по критериям Пирсона, Колмогорова (Приложения В, Г).

а) Коэффициент асимметрии определяется как отношение разницы между средней и модой к среднему квадратическому отклонению (показатель Пирсона):



где   — коэффициент асимметрии;

  — средняя арифметическая взвешенная;

  — мода;

  — среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных.

Рассчитаем асимметрию для объема продаж.

=0,25

Рассчитаем асимметрию для численности работников.

 =0,63

Существенность асимметрии:

Рассчитаем этот показатель для объема продаж и сравним его с коэффициентом асимметрии.











Асимметрия равна 1,7, >0, это говорит о том, что асимметрия правосторонняя (первый признак).

Теперь рассчитаем данный показатель для численности работников и сравним его с коэффициентом асимметрии.

,

Имеет место асимметрия, равная 0, т. е ряд абсолютно симметричен.

б) Для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения. Эксцесс рассчитывается по формуле:

где   — эксцесс;

  — центральный момент четвертого порядка;

  — среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных.

Центральный момент четвертого порядка:

где   — центральный момент четвертого порядка;

  — центральный вариант i-го интервала;

  — средняя арифметическая взвешенная;

  — частота i-й группы.

Рассчитаем центральный момент четвертого порядка и эксцесс для объема продаж.







= — 0,82

Эксцесс отрицателен, следовательно, эмпирическая кривая распределения низковершинна по сравнению с нормальным распределением.

Рассчитаем центральный момент четвертого порядка и эксцесс для численности работников.





= — 1,07

Эксцесс отрицателен, значит крутизна распределения меньше нормального.

в) Определим существенность эксцесса. Распределение можно считать нормальным, если показатель эксцесса не превышает своего двукратного среднего квадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:

Определим существенность эксцесса для объема продаж.





Определим существенность эксцесса для стажа по специальности.



г) Критерий Пирсона рассчитывается по формуле:



где   — критерий согласия Пирсона;

  — эмпирические частоты;

  — теоретические частоты.

Критерий Романовского:

где   — критерий Романовского;

  — критерий Пирсона;

  — количество групп.

Критерий Колмогорова:

где   — критерий Колмогорова;

  — максимальная разность между накопленными теоретическими и эмпирическими частотами;

  — численность совокупности.

Рассчитаем данные критерии для объема продаж.

Критерий Пирсона.

При вероятности Р = 0,95 и числе степеней свободы К = 2 расчетное значение меньше теоретического, следовательно гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не опровергается.

Критерий Романовского



Значение критерия Романовского меньше 3, значит, распределение является нормальным. Расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными.

Критерий Колмогорова.



Р (λ) =1

Таким образом, с вероятностью, равной 1, можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны.

Рассчитаем данные критерии для численности работников

Критерий Пирсона.

Расчетное значение критерия Пирсона меньше теоретического значит, распределение соответствует нормальному.

Критерий Романовского.


Значение критерия Романовского меньше 3, значит, распределение является нормальным. Расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными. Критерий Колмогорова.

Р (λ) =1

Таким образом, с вероятностью, равной 1, можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны, следовательно, можно считать, что в основе эмпирического распределения совокупности по уровню предприятий по коэффициенту сменности лежит закон нормального распределения.


    продолжение
--PAGE_BREAK--1.9 Произвести аналитическую группировку по двум признакам, построив аналитическую таблицу


При построении аналитической таблицы независимый (факторный) признак расположить в строках таблицы, а зависимый перегруппировать во взаимосвязи с факторным. Провести корреляционно-регрессионный анализ:

а) построить поле корреляции;

б) рассчитать коэффициенты регрессии, эластичности. Сделать оценку уравнения регрессии, рассчитав среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии. Оценить значимость линии регрессии, выражающей связь между двумя признаками, сравнив среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии со средним квадратическим отклонением, рассчитанным по зависимому признаку;

в) рассчитать линейный коэффициент корреляции;

г) эмпирическое корреляционное отношение;

д) теоретическое корреляционное отношение;

е) коэффициент корреляции рангов Спирмэна;

ж) коэффициент ранговой корреляции Кендалла;

з) коэффициент Фехнера;

и) произвести оценку достоверности коэффициента корреляции по критерию Фишера (Приложение Д).

Для исследования зависимости между явлениями используют аналитическую группировку. При их построении можно установить взаимосвязь между двумя признаками и более. При этом факторными будут называться признаки, под воздействием которых изменяются результативные признаки. Представим аналитическую группировку в таблице 9.1.




Таблица 9.1 Аналитическая группировка



а) Корреляционную зависимость для наглядности можно изобразить графически. Для этого, имея n взаимосвязанных пар значений x и y, пользуясь прямоугольной системой координат, каждую такую пару изображают в виде точки на плоскости с координатами x и y. А затем на фоне «корреляционного поля» строится средняя линия. Представим поле корреляции на рисунке 9.1.
Рисунок 9.1 Поле корреляции


Условные обозначения:

х — стаж по специальности;

у — средняя зарплата;

1 — линия тренда.

б) Уравнение линии, выбранной для выравнивания y, называется уравнением регрессии. Параметры уравнения регрессии а и а рассчитываются из системы уравнений, составленной по методу наименьших квадратов: Суть метода в том, что линия пройдет в максимальной близости от эмпирических точек.



где   — зависимый признак;   — коэффициенты уравнения прямой;   — независимый признак; — число выборки.




Составим уравнение регрессии:
y=5207+13,7х
Средняя линия представлена на рисунке 9.1.

Рассчитаем коэффициент эластичности. Он показывает, на сколько процентов изменится в среднем результативный признак y при изменении факторного признака x на 1%. Этот коэффициент рассчитываться по формуле:


где   — коэффициент эластичности;

  — коэффициент при  в уравнении прямой;

  — среднее значение факторного признака;

  — среднее значение зависимого признака.



Таким образом, при изменении численности рабочих на 1%, объем продаж изменится на 1,1%

в) Линейный коэффициент корреляции. Он строится на основе отклонения индивидуальных значений х и у от соответствующей средней величины и рассчитывается по формуле:



где   — линейный коэффициент корреляции;

  — среднее произведение факторного признака на зависимый;

  — произведение факторного признака на зависимый;

  — простая средняя арифметическая факторного признака;

  — простая средняя арифметическая зависимого признака;

  — среднее квадратическое отклонение по зависимому признаку;

  — среднее квадратическое отклонение по факторному признаку.




Найдем среднюю из произведений ху:



Теперь можно найти непосредственно линейный коэффициент корреляции:

Этот коэффициент свидетельствует о том, что между известными признаками существует прямая связь, т.е. при увеличении числености аботников объем продаж увеличивается.

г) Эмпирическое корреляционное отношение.

С его помощью можно измерить тесноту связи. Этот коэффициент рассчитывается по формуле:

Таким образом, в нашем случае эмпирическое корреляционное отношение равно:



Полученное значение характеризует тесноту связи близкую к максимальной, значит можно сделать вывод о наличии существенной связи между уровнем объема продаж и численности работников.

д) Рассчитаем теоретическое корреляционное отношение:





где   — теоретическое корреляционное отношение;   — общая дисперсия зависимого признака по несгруппированным данным;

— остаточная дисперсия;

  — теоретическое значение;

  — простая средняя арифметическая эмпирического ряда;

  — численность совокупности.

Для этого сделаем расчет следующих параметров (Таблица 9.2):
Таблица 9.2

Расчет среднеквадратичного отклонения теоретических значений от средней эмпирического ряда



Найдем остаточную дисперсию:



Рассчитаем теоретическое корреляционное отношение:



Итак, теоретическое корреляционное отношение равно 1, следовательно, между коррелируемыми величинами существует большая зависимость.

е) Коэффициент корреляции Спирмэна. Для расчета этого коэффициента необходимо привести таблицу корреляции рангов (таблица 9.3).
Таблица 9.3 Корреляция рангов



Ранг — это порядковый номер, присеваемый каждому индивидуальному значению х и у (отдельно) в ранжированном ряду. Оба признака необходимо ранжировать в одном и том же порядке: от меньших значений к большим и наоборот. Если встречается несколько одинаковых значений признака, то каждому из них присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов (мест в ряду), приходящихся на эти значения, на число равных значений.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена:

где   — коэффициент корреляции рангов Спирмена;

  — разность между расчетными рангами в двух рядах;

  — численность совокупности.


Таблица 9.4 Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции Спирмэна



Теперь рассчитаем непосредственно коэффициент корреляции Спирмэна.



Полученное значение коэффициента свидетельствует о сильной прямой связи между признаками.

ж) Коэффициент корреляции рангов Кендалла:

где   — коэффициент Кенделла;

  — сумма значений рангов, расположенных ниже соответствующего порядкового номера ранга и больше его;

  — сумма значений рангов, расположенных ниже соответствующего порядкового номера ранга и меньше его;

  — численность совокупности.

Рассчитаем коэффициент корреляции Кендела, используя данные таблицы 9.4



з) Теперь рассчитаем коэффициент Фехнера:

где   — коэффициент Фехнера;

  — число совпадений знаков;

  — число несовпадений знаков.

Рассчитаем коэффициент Фехнера, используя данные таблицы 9.4.



Полученное значение рангового коэффициента корреляции Фехнера характеризует довольно большую тесноту связи между изменением объема продаж и численности работников.

и) Критерий Фишера. Он рассчитывается по результативному признаку и осуществляет оценку достоверности коэффициента корреляции:

где   — коэффициент Фишера;

  — межгрупповая дисперсия;

  — количество групп;

  — средняя из внутригрупповых дисперсий;

  — численность совокупности.



Критерий Фишера сравнивается с его теоретическим значением; в нашем случае Fтеор=5,79

Таким образом, расчетное значение критерия Фишера больше теоретического, значит коэффициент корреляции достоверен.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Раздел 2. Ряды динамики

2.1 Рассчитать показатели ряда динамики


а) абсолютные приросты: цепные, базисные;

б) коэффициенты роста (снижения) — цепные и базисные;

в) темпы роста и прироста: цепные и базисные;

г) абсолютное значение одного процента прироста;

д) средние уровни динамического ряда;

е) средние абсолютные приросты;

ж) средние темпы роста и прироста.

Результаты расчетов оформить в виде таблицы.

Построить графики уровней ряда динамики, темпов роста и прироста (цепные показатели — столбиковыми или полосовыми диаграммами), произвести аналитическое выравнивание показателей ряда динамики.

Построить по результатам выравнивания прогноз. Рассчитать доверительные интервалы.

Построить прогноз на графике.

Поиск недостающих данных ряда динамики осуществляется по одной из формул, в зависимости от вида ряда:
 
где   — уровень динамического ряда в i-м году;

  — уровень динамического ряда в (i-1) — м году;

  — средний коэффициент роста;

  — число уровней ряда в данном периоде;

  — уровень динамического ряда 2003 года;

  — уровень динамического ряда 2000 года

Представим в таблице 2.1 данные о возрастном составе населения в% к общей численности
Таблица 2.1 Возрастной состав населения в% к общей численности



Найдем недостающие ряды динамики (период с 1991 года по 1994 включительно), для этого определим средний коэффициент роста:



2.2 Рассчитаем недостающие ряды динамики


,

,
Аналогично найдем недостающие ряды динамики с 1996 по 2000 год.











а) Абсолютный прирост уровней рассчитывается как разность между двумя уровнями ряда. Он показывает, на сколько в абсолютном выражении уровень текущего периода больше или меньше уровня какого-либо предшествующего периода, и, следовательно, может иметь знак "+" (при увеличении уровней) или "-" (при уменьшении уровней). Вычитая из каждого уровня предыдущий, получаем абсолютные изменения уровней ряда за отдельные периоды как цепные; вычитая из каждого уровня начальный, получаем накопленные итоги прироста (изменения) показателя с начала изучаемого периода, т.е. абсолютные изменения рассчитываются как базисные.

Абсолютные приросты (цепной и базисный):



где   — цепной абсолютный прирост;

  — базисный абсолютный прирост;

  — уровень показателя в i-м периоде;

  — уровень показателя в предыдущем, (i-1) — м периоде;

  — уровень показателя в базисном периоде.

б) Выраженные в коэффициентах темпы роста показывают, во сколько раз уровень данного периода больше уровня базы сравнения или какую часть его составляет.

Коэффициенты роста (снижения) и прироста (цепной и базисный):





где   — цепной коэффициент роста;

  — базисный коэффициент роста.



где   — цепной коэффициент прироста;

  — базисный коэффициент прироста.

в) Темп роста (изменения) — относительный показатель, рассчитываемый как отношение двух уровней ряда. В зависимости от базы сравнения, темпы роста могут быть как цепные, когда каждый уровень сопоставляется с уровнем одного какого-либо периода, так и базисные, когда все уровни сопоставляются с уровнем периода, принятым за базу, он рассчитывается по формуле:

Темпы роста (цепной и базисный):



где   — цепной темп роста;

  — базисный темп роста.

Темп прироста — относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу. Его можно рассчитать по формуле:





где   — цепной темп прироста;

  — базисный темп прироста.

г) Абсолютное значение 1% прироста — отношение абсолютного прироста уровня к темпу прироста (за соответствующий период) — рассчитывается следующим образом:

где   — абсолютное значение одного процента прироста.

Рассчитаем представленные показатели для уровня 1991 года.

Абсолютные приросты:





Коэффициенты роста:





Коэффициент прироста:
,
Темп роста:





Темп прироста:





Абсолютное значение — 7% прироста:



Расчет показателей по остальным уровням производится аналогично. Результаты расчетов представим в таблице 2.1
Таблица 2.1

Показатели ряда динамики



Из данных таблицы следует, что абсолютный прирост в 2001 году достиг по сравнению со следующими годами значение равное 1,7 затем начался спад. Коэффициент роста в 1993 году был минимальным, а максимальный составил 1,1 в 2001г.

Вычислим средние показатели ряда динамики:

а) средние уровни;

б) средние абсолютные приросты;

в) средние темпы роста и прироста.

а) Обобщенной характеристикой динамического ряда может служить средний уровень. В интервальном ряду средний уровень рассчитывается как средняя арифметическая простая из уровней ряда:



где   — средний уровень ряда;

  — уровни ряда;

  — число уровней.

Средний абсолютный прирост:

где   — средний абсолютный прирост;

  — абсолютный прирост цепной;

— число уровней.

Средние коэффициенты роста и прироста:
 
где   — средний коэффициент роста;

  — цепные коэффициенты роста;

  — базисный коэффициент роста в последнем периоде;

  — средний коэффициент прироста.

Наиболее часто средний темп роста рассчитывается как средняя геометрическая из цепных темпов роста.

Средние темпы роста и прироста:





где   — средний темп роста;

  — средний темп прироста.

Рассчитаем данные показатели относительно нашей задачи.

Средний уровень ряда



Средний абсолютный прирост:



Средние коэффициенты роста и прироста:





Средние темпы роста и прироста:






    продолжение
--PAGE_BREAK--2.3 Построить графики уровней ряда, темпов роста, темпов прироста

Условные обозначения:

х — год;

у -уровни ряда.




Рисунок 2.1 Уровни ряда


На графике наглядно показано изменение уровней ряда, подъем и спад.
Рисунок 2.2 Темпы роста


Условные обозначения:

х — год;

у — коэффициенты темпов роста;

1 — темп роста цепной;

2 — темп роста базисный.




Рисунок 2.3 Темп прироста


Условные обозначения:

х — год;

у — значения прироста

1 — темп прироста цепной;

2 — темп прироста базисный.

На графике наглядно показаны приросты основных фондов, цепных и базисных. Причем видно, что после подъема темпы прироста начали быстро снижаться.

Произведем аналитическое выравнивание показателей ряда динамики.

Аналитическое выравнивание применяется для выявления тенденции. Выбор линии для аналитического выравнивания производится на основе построения графика или предварительных расчетов. Выберем показательную прямую:

где t — период времени.

Для выравнивания ряда динамики используется система уравнений, построенная по методу наименьших квадратов:


где   — уровни эмпирического ряда;   — коэффициенты;   — количество уровней ряда;   — порядковый номер периода или момента времени.

Для упрощения решения системы отсчет времени ведется от середины ряда, тогда  и система принимает вид:

Откуда:
 
Определим с помощью этого метода параметры показательной прямой. Расчеты поместим в таблицу 2.2
Таблица 2.2

Расчет параметров показательной прямой






Отсюда искомое уравнение тренда:
уt = 14,21+0,1t


    продолжение
--PAGE_BREAK--2.4 Построить по результатам выравнивания прогноз. Рассчитать доверительные интервалы


Прежде всего, вычислим «точечный прогноз», рассчитываемый на основе полученного уравнения тренда:
уt = 17,73+0,1*16

уt = 19,33
Рассчитаем прогноз на основе доверительных интервалов. Доверительный интервал определяется по формуле:



где   — отклонение от прогнозных значений;   — коэффициент доверия (t=2);   — среднее квадратическое отклонение;   — уровни эмпирического ряда;   — средняя эмпирического ряда;   — число периодов;   — число параметров уравнения (для прямой m=2).

Найдем среднее квадратическое отклонение, для этого проведем вспомогательные расчеты, результаты отразим в таблице 2.3
Вспомогательные расчеты для определения доверительного интервала:



Найдем среднее квадратическое отклонение по рассчитанным данным:



Таким образом, можно рассчитать доверительный интервал. Примем t=2.



Интервальный прогноз учитывает отклонение эмпирических точек от теоретических.

Теперь рассчитаем среднюю ошибку:

где   — среднее значение остатка;   — остаток i-ого периода;   — число периодов. Найдем теоретические значения уровней ряда (аналогично нахождению значения «точечного прогноза»). Рассчитаем разность теоретического значения уровня ряда и средней арифметической простой эмпирического ряда, для нахождения среднего квадратического отклонения (средняя арифметическая равна а0). Результаты поместим в таблице 2.4

Для определения среднего остатка построим вспомогательную таблицу:
Таблица 2.4 Расчет среднего остатка для средней ошибки



Рассчитаем нулевое среднее.


Нулевое среднее относительно приближено к нулю, значит, выбранная линия не содержит систематической ошибки, модель адекватна.
    продолжение
--PAGE_BREAK--