Число как основное понятие математики

Приазовский государственный технический университет Мариупольский городской технический лицей тема Число как основное понятие математики ВЫПОЛНИЛ ученик 112 группы Анищенко Евгений Александрович Мариуполь, 2002 г. СОДЕРЖАНИЕ Введение 3 Натуральные числа 1. Функции натуральных чисел. 6 Рациональные числа 6 Дробные числа.

1. О происхождении дробей. 2. Дроби в Древнем Риме 3. Дроби в Древнем Египте 4. Вавилонские шестидесятеричные дроби 5. Нумерация и дроби в Древней Греции. 6. Нумерация и дроби на Руси 7. Дроби в других государствах древности 8. Десятичные дроби 12 2.1.8.1.

Проценты. 2. Отрицательные числа 1. Отрицательные числа в Древней Азии 2. Развитие идеи отрицательного количества в Европе 15 Действительные числа 16 Иррациональные числа 16 Алгебраические и трансцендентные числа 18 Комплексные числа 18 Мнимые числа 18 Геометрическое истолкование комплексных чисел 20

Векторные числа 21 Матричные числа 21 Трансфинитные числа 22 Функции функциональные числа 1. Функциональная зависимость 2. Развитие функциональных чисел. 24 Заключение 26 Литература. 27 Послушайте, что смертным сделал я Число им подарил И буквы научил соединять Эсхил, Закованный Прометей

Эсхил, Закованный Прометей Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь им само по себе, ни в его отношениях к другим вещам. Мощь чисел проявляется во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремес- лах и в музыке Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э. Введение Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин эта связь сохраняется и теперь.

Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами Существует большое количество определений понятию число. Первое научное определение числа дал Эвклид в своих Началах, которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского около 408 около 355 гг. до н. э.

Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц. Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей Арифметике 1703 г Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц. Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский родоначальник греческой стихийно-материалистической

философии учил, что число есть система единиц. Это определение было известно и Пифагору. В своей Общей арифметике 1707 г великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет Под числом мы подра- зумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов целое, дробное и иррациональное.

Целое число есть то, что измеряется единицей дробное кратной частью единицы, иррациональное число, не соизмеримое с единицей. Наш мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа Числа это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания. Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые функциональные числа, имея в виду то,

что во всем мире обычно именуют функциями. Более подробно об этом изложено в главе 1. Натуральные числа Считается, что термин натуральное число впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций 480 524 гг но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием натуральное число в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер 1717-1783 гг Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление.

Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа один и два. Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии много. Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа три, четыре Долгое время пределом познания было число семь. О непонятном говорили, что эта книжка за семью печатями, знахарки в сказках давали больному семь узелков

с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек. Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом сорок сороков, равным 1600. Позднее, когда число сорок уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер пуд имел 40 фунтов, бочка-

сороковка сорок ведер и т.д. Большой интерес вызывает история числа шестьдесят, которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением неисчислимое множество возникли числа, кратные 60 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились

до наших дней при измерении времени и углов. Следующим пределом у славянского народа было число тьма, у древних греков мириада, равное 10 000, а запределом тьма тьмущая, равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления так называемое большое число или большой счет. В этой системе тьма равнялась 106, легион 1012, леодр 1024, ворон 1048, колода 1096, после чего добавляли, что большего числа не существует. В Античном мире дальше всех продвинулись

Архимед III в. до н.э. в исчислении песчинок - до числа 10, возведенного в степень 8х1016 , и Зенон Элейский IV в. до н. э. в своих парадоксах до бесконечности 8. 1.1. Функции натуральных чисел Натуральные числа имеют две основные функции характеристика количества предметов характеристика порядка предметов, размещенных в ряд. В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа первый, второй и т.д. и количественного

числа один, два и т.д Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности1, 2, 8. Натуральных потому, что ими обозначались моделировались реальные неделимые объекты люди, животные, вещи Рациональные числа 2.1. Дробные числа 2.1.1. О происхождении дробей С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о

частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида 1n, которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной. Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения. В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина длина, объем, вес и т.д

Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей. Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других

величин, а потом и абстрактные дроби. 2.1.2. Дроби в Древнем Риме Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере асс, который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 112, 212, 312

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 112 римляне говорили одна унция, 512 пять унций и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции третью, шесть унций половиной. Сейчас асс - аптекарский фунт. 2.1.3. Дроби в Древнем Египте Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина.

За ней последовали 14, 18 , затем 13 , 16 и т.д то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными

числами. В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную но не позиционную систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число 34 , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей . 2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек.

Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития. Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков вертикального клина , обозначавшего единицу, и условного знака