Численное моделирование

Евдокимов Алексей Витальевич ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ НЕЧЕТКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Специальность: 13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2003 Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном университете)

на кафедре вычислительной математики Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Холодов Александр Сергеевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Фаворский Антон Павлович кандидат физико-математических наук, Толстых Михаил Андреевич Ведущая организация: Институт математического моделирования

РАН Защита диссертации состоится « » 2003 г. в часов на заседании диссертационного совета К 212.156.02 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: г. Долгопрудный Московской обл Институтский пер д. 9 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического ин-ститута. Автореферат разослан « » 2003 г. Ученый секретарь диссертационного совета:

Федько О.С. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Диссертация относится к области численных методов решения уравнений с недетер-минированными параметрами (конкретнее, нечетких уравнений), и к области моделирова-ния физиологических систем, – прежде всего, с помощью указанных методов. Акту-альность темы во многом обусловлена принципиальной неопределенностью параметров физиологических моделей и отсутствием нечетких методов, способных при разумных затратах вычислительных

ресурсов решать нелинейные алгебраические и дифференциальные системы высокой размерности. Физиология человека является одной из наиболее слабо формализуемых предметных областей, где математические модели зачастую базируются на принципиально приближенных закономерностях (не только на физических законах, но и на экспертных оценках), а значения их параметров всегда имеют существенную неопределенность (обусловленную низкой точностью измерений, субъективностью оценок, вариабельностью значений у различных людей).

В то же время, сложность (в частности, нелинейность) уравнений в физиологии достаточно высока, не позволяя использовать аналитические ме-тоды получения их решения и оценок его погрешности. Поэтому в физиологии и аналогичных областях используются численные методы, ра-ботающие с недетерминированными значениями параметров и переменных. Условно их можно разделить на три класса: стохастические, интервальные и нечеткие методы. Ка-ждый из них имеет свои достоинства и недостатки; в частности, наиболее мощные

и универсальные нечеткие методы (на базе многократного решения четких задач c комбинированием значений параметров) требуют неприемлемых (для физиологических моделей) вычислительных затрат, растущих экспоненциально с числом нечетких параметров. С другой стороны, высокопроизводительные алгебраические методы обладают более узкой областью применения, требуют аналитических выкладок для каждого типа задачи. Наиболее развитые из них интервальные методы дают слишком большую по величине и слишком малоинформативную

по форме неопределенность результатов (что имеет смысл, как правило, только при поиске гарантированных оценок допустимых режимов безотказной работы каких-либо систем). В связи с этим, проблема сочетания в одном методе достоинств существующих подходов к численной обработке неопределенности до сих пор является актуальной. Наряду с указанной методической проблемой, при разработке комплексных моделей функциональных систем организма возникает также много проблем содержательного ха-

рактера. Одна из них — проблема моделирования работы сердца и ее регуляции, встречающаяся в большинстве таких исследований — подробно изучается в данной работе. Несмотря на огромное число публикаций по этой тематике, до сих пор актуальной задачей является создание замкнутой модели кровообращения, которая была бы максимально близка к принятому в физиологии способу описания закономерностей сердечной деятельности, и поэтому имела бы минимальное число подлежащих идентификации

параметров и минимальный уровень формализации (что позволило бы использовать ее не только математикам, но и специалистам предметной области). Цель работы В соответствии с двумя упомянутыми выше проблемами, цель диссертации имеет две тесно взаимосвязанные составляющие: • создание высокопроизводительного, универсального и простого в реализации мето-да численного расчета нечетких уравнений разного типа; • моделирование с его помощью конкретных физиологических систем,

включающее анализ погрешности (нечеткости) результатов и их чувствительности к параметрам. Научная новизна Научная новизна работы заключается, прежде всего, в разработанном методе линеа-ризации; а именно: • впервые преодолена проблема быстрого (экспоненциального) роста вычислитель-ных затрат с числом нечетких параметров задачи, которая характерна для современных неалгебраических нечетких методов; • разработанный метод впервые среди высокопроизводительных алгебраических ме-тодов решает произвольные

нелинейные дифференциальные уравнения и при этом не требует аналитических выкладок для каждого типа задачи; • впервые вместе с расчетом погрешности (нечеткости) результатов моделирования метод решает задачу анализа чувствительности (приближенно рассчитывает коэф-фициенты вклада параметров в результаты); • впервые метод позволяет единообразно рассчитывать нечеткие числа разного типа и с разной алгеброй без разложения их функций принадлежности на интервалы, а также в одном расчете получать семейство результатов,

для которых нечеткости параметров отличаются по величине и форме представления. Научная новизна содержательной части работы относится к модели сердца и заклю-чается в уходе от физических аналогий, которые обычно приводят к большому количеству неидентифицируемых параметров. Вместо них в модели впервые явно используются име-ющиеся эмпирические зависимости и данные о насосных свойствах сердца. Кроме того, проведенные расчеты с нечеткими параметрами обладают новизной для всех

рассматриваемых моделей. Особенно это касается модели нефрона с хаотическим решением: влияние неопределенности параметров на системы со странным аттрактором до сих пор исследовано слабо. Практическая ценность Практическая ценность части результатов работы, связанных с методом линеариза-ции, обусловлена, прежде всего, его ориентацией на применение в прикладных программ-ных пакетах для моделирования. Свойства метода позволяют существенно ускорить и упростить для пользователей таких пакетов

оценку неопределенности результатов моделирования, а также оценку степени влияния на них различных параметров. Применяемый вне пакета, метод также позволяет сократить затраты на программную реализацию вычислительных моделей — за счет того, что одну и ту же реализацию метода без изменений в программном коде можно использовать совместно с реализациями относительно произвольных «четких» численных методов и произвольных нечетких чисел. С точки зрения использования в прикладных моделях функциональных систем орга-низма человека,

основным преимуществом разработанной модели сердца является ее за-мкнутость, т. е. способность замыкать квазистационарные (с характерными временами не менее секунды) модели сосудистых систем, — без привлечения каких бы то ни было эмпи-рически необоснованных параметров (например, давлений). Защищаемые положения 1. Разработанный численный метод позволяет решать нечеткие нелинейные алгебраиче-ские и дифференциальные уравнения (с произвольной формализацией нечеткости) це-ной существенно меньших

вычислительных затрат, чем существующие аналоги. 2. Устойчивость расчета «нечеткости» предложенным методом наблюдается при услови-ях, более слабых, чем условия устойчивости расчета соответствующего «четкого» решения. Погрешность метода является приемлемой для рассмотренных в диссертации тестовых и прикладных задач. 3. Выполненная программная реализация метода удовлетворяет требованиям приклад-ных пакетов моделирования

в слабо формализуемых предметных областях, в частности, сочетается с произвольными «четкими» вычислительными алгоритмами и с разнообразными формами нечетких чисел с произвольной алгеброй. 4. Созданная модель сердца адекватно известным фактам рассчитывает все основные ге-модинамические переменные при малом (по сравнению с аналогами) числе входных параметров. 5. Полученные результаты расчета нескольких нечетких физиологических моделей пока-зывают эффективность

предложенного метода и дают полезную информацию о по-грешности результатов моделирования (обусловленной неопределенностью парамет-ров), а также об их чувствительности к параметрам. Апробация Результаты работы докладывались: • на научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, 1999, 2003); • на международной конференции молодых ученых по математическому моделирова-нию и информационным технологиям (Красноярск, 2003). • на научно-практической конференции «Теоретические

и практические аспекты ме-дицинской кибернетики» (Москва, 2001). Публикации Научные результаты диссертации опубликованы в 8 работах общим объемом 56 стр. Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Каждая глава завершается разделом «Резюме» с перечнем полученных в ней результатов и проме-жуточными выводами. Общий объем диссертации составляет 125 страниц, в том

числе 116 страниц основного текста, включающего 43 рисунка и 5 таблиц. Список литературы включает 53 наименования. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава 1 (Введение) включает описание актуальности темы, цели и задач работы, обоснования новизны ее результатов, а также формулировку защищаемых положений и ограничений работы (т. е. задач, которые в ней не решались, и областей применимости результатов решенных задач).

Большая часть Введения отводится обзору математических методов обработки неопределенности и существующих моделей кровообращения; на основании этого обзора указывается место предложенного в работе метода и модели. Глава 2 посвящена изложению идеи, математической и алгоритмической формули-ровки метода линеаризации, а также теоретическим оценкам эффективности метода, анализу его области применимости и перспективам его совершенствования. Идея преодоления проблемы операций над зависимыми нечеткими числами состоит в

том, что число должно хранить не только свое текущее значение (включающее некото-рым образом формализованную погрешность), но и информацию о том, из каких исходных данных и как это число было получено. Это дополнительно дает очень полезную в приложениях возможность анализа результатов численных экспериментов на предмет того, каким образом сказались на них заданные исходные данные. Однако буквальная реализация указанной идеи приводит к неадекватным затратам памяти и времени расчетов:

фактически, нечеткое число превращается из значения в формулу зависимости значения от исходных данных; причем с каждым параметром этой формулы при арифметических операциях должны производиться сложные вычисления. Поэтому в целях экономии ресурсов нечеткое число предлагается представлять в виде линейной комбинации по нечетким числам — исходным данным. Это выражается формулой , (1) где x0i — часть числа xi, не зависящая от исходных нечетких чисел ξj. В числе xi должны храниться лишь ссылки на эти числа (или их

идентификаторы j, в зависимости от языка реализации), и скалярные коэффициенты cij при них. Ниже такая конструкция называется «линеаризованной историей» числа. В отличие от отмеченного выше полного варианта хранения информации об истории, текущее значение нечеткого числа при использовании линеаризованной истории не теряет смысла и также должно храниться в числе. В базовом варианте метода алгоритм арифметической операции над числами x1 и x2 выглядит следующим образом:

1. Определяется набор исходных данных {j}, которые должны входить в линеаризован-ную историю результата операции. В простейшем случае это делается объединением множеств {j}1 и {j}2, хотя число элементов множества {j} может быть уменьшено пу-тем исключения тех исходных чисел ξj, которые дают несущественный вклад в x. 2. Для каждого j{j}1∩{j}2 рассчитываются коэффициенты линейной комбинации (для остальных j из {j}1 или {j}2 расчет тривиален).

В случае сложения/вычитания это можно сделать точно: x = x1 ± x2  , (2а) в случае умножения/деления — лишь приближенно (заменяя по очереди каждый из нечетких операндов xi на его среднее скалярное значение ai): x = x1x2  , (2б) где вес q является одинаковым для всех j, в простейшем случае равен 1/2 и может зависеть от всех произведений cija3–i. Выбор весовой функции q влияет на погрешность и устойчивость метода. В случае деления рекомендуется рассматривать 1/x как элементарную функцию (см. формулу (6)),

вследствие чего x = x1/x2  . (2в) 3. Вычисляется величина поправки к погрешности, обусловленной наличием в линеари-зованных историях x1 и x2 одних и тех же чисел ξj. Данный шаг алгоритма является единственным, который требует проведения различных аналитических выкладок для разных форм нечетких чисел. В случае гауссовских чисел эти выкладки дают для сло-жения/вычитания , (3а) для умножения — , (3б) а для деления — , (3в) где σ2j — дисперсии исходных нечетких

чисел, Δσ2 — (аддитивная) поправка к дисперсии σ2, вычисляемой на шаге 4. 4. По правилам соответствующей нечеткой алгебры проводится обычная арифметическая операция (с числами x1 и x2 как с независимыми). Например, для гауссовского числа на этом шаге вычисляется как среднее значение a, так и его дисперсия σ2; для сложе-ния/вычитания независимых чисел x1 и x2 имеем σ2 = σ12 + σ22, (4а) для умножения/деления — σ2 = a2(σ12/a12 + &

#963;22/a22). (4б) Итоговая погрешность рассчитывается с учетом найденной на шаге 3 поправки. Следует заметить, что в стандартной нечеткой алгебре (гауссовских и большинства других нечетких чисел) отсутствует свойство дистрибутивности погрешности (ширины интервала и т. п.). В частности, если x = a∙(b+c), а y = a∙b+a∙c, то алгебра независимых гауссовских чисел (см. формулы 4) дает (σx2–σy2) = 2∙b∙c∙&

;#963;a2. Поправка из формулы (3а), учитывающая, что оба числа a в формуле для y — это одно и то же число, возвращает свойство дистрибутивности погрешности. Однако это верно только в том случае, если нечеткие числа, содержащие в своей линеаризованной истории одно и то же исходное нечеткое число, входят в формулы аддитивно (не перемножаясь). В противном случае даже предлагаемая поправка к погрешности (см. формулу 3б) не обеспечивает свойство

дистрибутивности. Нарушение дистрибутивности допустимо в безытерационных алгоритмах решения алгебраических уравнений, однако в более сложных задачах оно приводит к неверному решению, — как правило, к экспоненциальному росту погрешности (со временем или с номером итерации). Поэтому вместо шагов 3–4 описанного алгоритма предлагается явно применять правила соответствующей алгебры по отношению к исходным нечетким числам. В случае гауссовских чисел этот («прямой») вариант метода дает:

, (5а) , где (5б) для j1j2, для j1=j2=j. Эти формулы получаются напрямую путем сложения (5а) и умножения (5б) чисел x1 и x2 в представлении (1). Хотя необходимость в таком прямом методе вызвана свойствами операции умножения, наряду с (5б) необходимо также использовать формулу для сложения (5а) вместо (3а,4а). Сложение (5а) требует даже меньше машинных операций, чем (3а), однако умножение в прямом методе является

гораздо менее экономичным: число машинных операций становится пропорциональным не длине линейной комбинации K, а K2. По этой причине для грубых оценок целесообразно производить умножение нечетких чисел не по старым, а по новым коэффициентам линейной комбинации, заменяя K2 умножений K сложениями: . (5б) Преимуществом формул (5) по сравнению с (3–4) является отсутствие необходимости в аналитических выкладках, которые для некоторых типов нечетких чисел являются

очень громоздкими, а для произвольных функций принадлежности без интервального представ-ления вообще невозможны. Кроме того, в прямом варианте метода достаточно решить задачу один раз при каких-то одних значениях параметров, заданных в какой-либо одной форме (можно даже при четких значениях), после чего можно много раз подставлять в найденные линейные комбинации не только другие значения нечеткости, но и нечеткие числа (с тем же средним), представленные в другой форме.

Другими словами, каждый следующий расчет одной нечеткой задачи может проводиться без пересчета коэффициентов cj и, соответственно, без использования базовых вычислительных алгоритмов. Это существенно экономит машинное время в нечетких вычислительных экспериментах. Предлагаемое правило изменения коэффициентов при вычислении произвольной элементарной функции над нечетким числом сводится к их умножению на скалярное значение производной этой функции . (6)

Обосновать это приближенное правило можно исходя из линейной экстраполяционной формулы для f(x) (разложения в ряд Тейлора до первого члена). Для того чтобы сумма ли-нейной комбинации вычисленного таким образом результата функции была равна скаляр-ному значению результата, необходимо также положить . (6) Если производная определяется численно, то формулы (6,6) можно рассматривать как экстраполяцию значения функции нечеткого аргумента по близким (четким) соседним точкам на кривой f(a).

Данный способ вычисления коэффициентов комбинации, не зависящий от функции f(x), позволяет определить и само нечеткое значение функции, используя только ее аналог для вещественных чисел f(a). Для этого достаточно восстановить нечеткость значения функции по найденной линейной комбинации, пользуясь стандартной формулой сложения независимых нечетких чисел (см. формулу 5а для гауссовских чисел). Таким образом, прямой вариант метода нечеткой линеаризации является простой надстройкой над произвольной

алгеброй независимых нечетких чисел (его реализация не требует изменения кода операций), а также предъявляет малые требования к этой алгебре (в частности, не требует специальных алгоритмов вычисления нечетких функций). Количество машинных операций, необходимых для одной операции над нечеткими числами, пропорционально числу элементов K во множестве {j}1∩{j}2, т. е. длине линеаризованной истории результата операции: K≤K1+K2. Коэффициент пропорциональности для случая гауссовских чисел меняется в пределах

от 4 до 13 (в зависимости от операции). В случае прямого метода расчета погрешности умножения (5б), количество операций пропорционально K1K2 (имеет вид 5K+(6÷8)K1K2). При этом сложение (и умножение по формуле (5б)) занимает всего 3K операций, а вычисление нечеткой функции методом линеаризации, — 3K операций плюс затраты на однократное вычисление соответствующей скалярной функции и ее производной. Основной проблемой, ограничивающей область применения предложенного

метода, является эффект диссипации коэффициентов линейной комбинации, который при ре-шении нелинейных задач (с использованием значения 1/2 параметра q формулы умноже-ния (2б)) может приводить к существенному (иногда в разы) уменьшению погрешности по сравнению с методами многократного решения четких задач. Перспективными пред-ставляются следующие направления борьбы с диссипацией коэффициентов: 1. Построение алгоритмов выбора оптимального весового коэффициента q в формуле умножения (2б), который

по свойствам был бы между константным коэффициентом q = 1/2 (диссипативный вариант) и проанализированной в работе функцией отноше-ния средних операндов с граничными условиями 0 и 1 (осциллирующий вариант). 2. Использование вместо линеаризованной истории «истории второго порядка» — пред-ставление нечеткого числа в виде квадратного многочлена многих переменных. 3. Хранение в «истории» не только разложения каждого числа по начальному состоянию системы, но и динамики

этого состояния на протяжении нескольких операций (кото-рые могут соответствовать одной или нескольким итерациям системы). Глава 3 посвящена тестированию изложенного в главе 2 метода линеаризации с це-лью: • иллюстрации свойств получаемых с его помощью решений; • исследования влияния на эти свойства используемого численного метода; • оценки реальной производительности метода; • сравнения решений с результатами других авторов. В этой главе рассматриваются нечеткие дифференциальные уравнения; и хотя в процессе их численного

решения рассчитывались также нечеткие алгебраические уравнения, само по себе это не является предметом данной главы (см. также Главу 5). В частности, реша-ются колебательные уравнения 2-го порядка: нелинейное уравнение Релея и его линейный аналог – простой осциллятор . Соответствующие задачи Коши имеют три общих параметра: множитель a = 0.20.1 и начальные условия x0 = 20.5, y0 = 10.5; параметр уравнения

Релея b = aср. На рис. 1А,Б показаны погрешности решений обоих уравнений, полученные при рас-чете на отрезке [0;80] с постоянным шагом 0.1 явным методом Рунге-Кутты 4-го порядка. На рис. 1В погрешность решения линейного уравнения сравнивается с модулем разности четких решений, полученных при значениях параметров, которые отличаются от указанных значений на σj (в обе стороны). Тот факт, что кривая погрешности нечеткого решения ограничена кривыми

разностей четких решений, показывает, что предлагаемый подход дает результат, близкий к стандартной методике учета нечеткости за счет много-кратного расчета четких задач. А. Уравнение Релея Б. Линейный осциллятор В. Разности четких реше-ний Рис. 1. А, Б — погрешность (σ) x-компонент решений. Тип линии соответствует учитывае-мым нечетким параметрам: пунктир – x0, штриховая – (x0, y0), сплошная

– (a, x0, y0). В – сравнение погрешности x-компоненты решения линейного уравнения (сплошная ли-ния) с модулем разности решений, полученных при вариациях параметров (пунктир). В работе исследовалась также зависимость погрешности нечеткого решения от свойств численного метода (порядка, явности) и шага интегрирования. При этом во всех случаях не обнаружено относительных различий погрешности решений, превышающих относительное различие самих (средних) решений.

Это иллюстрирует тот факт, что коэффициенты линейной комбинации обрабатываются численными методами в соответствии с известными закономерностями «четкой» вычислительной математики. Также следует обратить внимание на то, что при использованном (относительно гру-бом) шаге по времени, равном 0.1, скалярное решение уравнения Релея (при b > 10) явным методом начинает расходиться с некоторого момента времени.

Однако это не мешает кор-ректно рассчитывать нечеткость решения, так как расходимость проявляется только в сво-бодном члене линейной комбинации, но не в ее коэффициентах. Затраты машинного времени при использовании метода линеаризации оказались значительно меньше затрат на многократное решение четкой задачи (условия сравнения затрат см. ниже). В частности, расчет уравнения Релея с одним нечетким a требует 0.71 с, с 2-мя нечеткими (x0,y0) — 0.81

с, с 3-мя нечеткими (a,x0,y0) — 1.01 с; в то время как один четкий расчет занимает 0.25 с, а его 5, 25 и 125-кратные повторения занимают, соответственно, 0.86 с, 3.8 с и 19 с, что в 1.21, 4.7, и 19 раз больше. Далее метод линеаризации сравнивается с методом многократного решения четких задач на примере нечеткой задачи из области теории массового обслуживания. Эта задача и соответствующий метод изложены в [ ].

После загрузки экскаватором за время 1/μ N грузовиков отвозят грунт, а спустя время 1/ν встают снова в очередь к экскаватору. Нечеткие вероятности возникновения очереди из k грузовиков (обозначаемые через pk(t), k = 0,1 N) определяются из следующей системы дифференциальных уравнений: , , . В расчетах 1/μ принимается равным нечеткому числу с «треугольной» функцией принад-лежности

с основанием [2;6], а 1/ν — [9;11]. В начальный момент времени состояние си-стемы полностью определено: pN(0) = 1, а для k = 0,1 N–1 pk(0) = 0. На рис. 2 для случая N = 3 сопоставляются результаты решения данной задачи в ин-тервальных числах (на базе алгебры, позволяющей интерпретировать среднее значение интервалов как четкое решение). Как видно, характерная неопределенность решения ме-тодом линеаризации меньше неопределенности, вычисленной

по минимаксному критерию (но имеет качественно близкую динамику, включая эффект минимума погрешности в окрестности t = 5 с). Характерная погрешность, полученная методом многократного расчета четких задач, в диссертации также сравнивается с результатами применения метода линеаризации к различным алгебрам (гауссовская, несколько вариантов интервальной). При решении задачи обслуживания N = 3 грузовиков методом нечеткой линеариза-ции с гауссовскими числами затраты машинного времени (за 400

шагов явного метода Рунге-Кутты 4-го порядка) составляют 1.0 с. При использовании интервальной алгебры с представлением нечетких чисел в виде 1 и 4 интервалов эти затраты увеличиваются. В случае стандартной интервальной алгебры они составляют 1.5 и 2.5 с, соответственно. А. p2(t) методом линеаризации Б. p2(t) из [*] Рис. 2. Сравнение методов при N = 3: вероятность очереди из двух грузовиков p2(t)

Для оценки аналогичных временных затрат при многократных расчетах четкой за-дачи предполагается, что каждый нечеткий параметр может быть принят равным одному из M = 5 четких значений (это минимум, необходимый даже для приближенного анализа). Соответственно, K нечетких параметров в силу их независимости дают MK комбинаций четких значений, два параметра данной задачи —

M2 = 25. Для каждой такой комбинации нужно проводить свой расчет, не говоря уже о дополнительном n-кратном увеличении числа расчетов при аппроксимации функции принадлежности n интервалами. В [*] число n варьировалось от 4 до 8; здесь при оценках затрат n равнялось 1 (при этом нечеткая задача заменяется на интервальную). Даже в этом случае 25-кратный расчет задачи занимает 3.7 с машинного времени, что в 2.5 раз больше, чем расчет методом линеаризации в интервальных числах (с n = 1), и в 3.7 раз

больше, чем в гауссовских. Глава 4 описывает разработанную модель кровообращения (поскольку новизна модели сосредоточена в способе формализации ею сердечной деятельности, ниже она называется моделью сердца). Модель является квазистационарной, то есть в ней рассчитываются средние равновесные значения давлений и скоростей. Под равновесными значениями здесь понимаются те, которые устанавливаются в кровеносной системе спустя некоторое время после какого-либо изменения её входных данных (это время имеет порядок 1

сек), а под средними значениями – осреднённые по периоду сердечного цикла (также около 1 сек); пульсации параметров явно не учитываются. Модель является замкнутой в том смысле, что не содержит в качестве исходных данных гемодинамические переменные (давления или скорости кровотока) ни в одной точке кровеносной системы. Свойства сердца принято сводить к 3-м эмпирическим диаграммам «давление–объём»: 1. кривая пассивного растяжения — зависимость давления в расслабленном желудочке (в диастоле) от его

объёма ; 2. кривая изоволюметрических максимумов — соотношение между начальным объёмом желудочка и максимальным давлением , которое он может развить в систоле при данном (постоянном) объёме; 3. кривая изотонических максимумов — соотношение между начальным давлением в же-лудочке и минимальным объёмом , до которого он может сократиться при дан-ном (постоянном) давлении. На основе этого система уравнений для левого желудочка формируется таким образом:

1. — кривая изоволюметрических максимумов (β — коэффициент, инотропного (усиливающего) влияния вегетативной нервной системы; γ — индивидуаль-ный коэффициент отличия объёма сердца от среднестатистического значения). 2. — кривая изотонических максимумов. 3. — кривая пассивного растяжения. 4. Реальное сокращение сердца, с момента открытия аортального и легочного клапанов, происходит по ауксотоническому закону, то есть по некоторому промежуточному закону между изоволюметрическим и изотоническим.

На диаграмме работы сердца (см. рис. 3) в первом приближении этот факт можно описать наклонным отрезком прямой , где — (7) ударный объем сердца, K – жёсткость желудочка. 5. В момент перехода от систолы к диастоле этот отрезок достигает кривой сокращений с постнагрузкой, которая с достаточной точностью может быть приближена прямой , (8) где индексом S обозначены систолические значения давления и объёма.

6. Помимо ударного объёма ΔV, систолическое давление PS зависит от диастолического давления в аорте Pa, которое противодействует открытию аортального клапана, тем самым определяя начало периода изгнания. Эти две величины связываются соотношением, кото-рое получается интегрированием дифференциального уравнения, описывающего процесс релаксации давления в системе сосудов: , (9) где Pout — давление на выходе соответствующего круга кровообращения, а длительность диастолы

τd равна разности между периодом сердечного цикла τ (τ = 1/f, где f — частота пульса) и приблизительно постоянной продолжительностью систолы τS. 7. Наконец, поток через желудочек Q связан с ударным объёмом: . (10) 8. Произвольная модель сосудов каждого круга кровообращения (ниже параметры большого круга помечаются индексом 1, легочного – индексом 2) с точки зрения модели центрального кровообращения характеризуется всего одним

простым законом , (11) где R — интегральное гемодинамическое сопротивление круга. 9. Для правого желудочка (для которого неизвестны количественные характеристики кривых «давление–объем»), предлагается использовать уравнение типа (11) с отрицатель-ным сопротивлением (Rv). Полученная таким образом нелинейная алгебраическая система уравнений с 10-ю па-раметрами (в их числе частота пульса, свойства сосудов, нервные влияния) частично разрешается аналитически, так что с точки

зрения численного решения система имеет только три неизвестных. Однако на выходе модель дает 9 переменных, включая систем-ный кровоток Q, ударный объем ΔV, верхнее PS, нижнее Pa и среднее P1in артериальные давления. Предложенный итерационный алгоритм расчета системы подобен процессу приспособления сердца к изменениям параметров, что гарантирует сходимость итераций.

Рис. 3. Приспособление PV-диаграммы работы сердца к эмоциональному возбуждению На рис. 3 этот процесс иллюстрируется для случая повышения симпатического и по-нижения парасимпатического тонуса, что приводит к увеличению частоты пульса (хроно-тропный эффект) и подъему кривой изоволюметрических максимумов (инотропный эф-фект). Различным оттенкам серого на рисунке соответствуют номера итераций: нор-мальное состояние (с давлением 120/80 мм.рт.ст.) показано светло-серым, а равновесное возбужденное

состояние – черным. Аналогично исследовалось приспособление сердца к изменению жесткости и сопротивления сосудов. В диссертации также построены параметрические кривые, две из которых приведены на рис. 4 – зависимости основных результатов модели от частоты пульса и возраста (определяющего жесткость артерий). Рис. 4. Влияние параметров модели сердца на артериальные давления и кровоток Глава 5 посвящена использованию изложенного в главе 2 метода линеаризации для расчета (с нечеткими параметрами)

описанной в главе 4 алгебраической модели сердца. Кроме того, в качестве более интересной по математическим свойствам физиологической модели в данной главе используется модель нефрона, сводящаяся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Все параметры моделей задавались с погрешностью, кото-рая формализовывалась в виде гауссовских нечетких чисел. На рис. 5 показаны «вклады» различных нечетких параметров в важнейшие результаты модели сердца (они пропорциональны неопределенности результатов).

Параметр β определяет инотропное (усиливающее) влияние на сердце вегетативной нервной системы, γ – размер сердца, возраст (age) – жесткость системных артерий (E), K/E – жесткость желудочка; параметр f – это частота пульса, R1 — сопротивление большого круга, Rv. – правого желудочка. Приведенные результаты анализа чувствительности модели к исходным данным согласуются с физиологическими

фактами и представлениями. В частности, возраст (повышение жесткости артерий и желудочка) существенно увеличивает верхнее артериальное давление и уменьшает значения всех остальных переменных; наибольший (положительный) вклад в нижнее артериальное давление вносит R1, в верхнее артериальное давление — параметр K/E, а в системный кровоток — частота пульса f (стоит отметить, что вклад этого параметра в 3.5 раза превышает вклад ближайшего «конкурента» по влиянию на

кровоток — инотропного коэффициента β). Важ-ным результатом является относительно слабая зависимость основных переменных от не-точно известного параметра Rv: коэффициенты при нем на порядок меньше коэффициентов при других основных параметрах, а из-за малого среднего значения Rv его вклад меньше других на два порядка. Рис. 5. Нормированные на единицу коэффициенты влияния параметров на результаты

Рис. 6. Относительные погрешности результатов в расчетах с различными наборами нечетких параметров Представленные на рис. 4 относительные погрешности результатов в большинстве случаев оказались меньше погрешностей каждого из нечетких параметров. Особенно важно, что это касается основных переменных модели сердца — Q, PS, Pa: при погрешно-сти всех 10-и параметров в 15% эти показатели имеют неопределенность всего 5–10%. И напротив, максимальной неопределенностью обладают наименее значимые результаты: так,

относительная погрешность систолического и диастолического объемов достигает 40%. Вторая модель, исследованная в Главе 5 с помощью метода линеаризации, описывает транспортные и гемодинамические процессы в нефроне, является системой 7 дифференциальных уравнений с хаотическими режимами и содержит 22 параметра [ ]. Она определяет давления и потоки в системе «приносящая артериола — клубочек — проксимальный извитой каналец — петля Генле — дистальный извитой каналец» и учитывает при этом обратные связи миогенного

характера (авторегуляция артериолы) и рецепторного происхождения (влияние рецепторов дистального извитого канальца — tubuloglomerular feedback), а также осмотическое равновесие. В диссертации проанализирован вопрос о наиболее неопределенных и наиболее влиятельных параметрах модели нефрона. Из них подробно исследовались параметры, значения которых определяются лишь косвенно (из экспертных оценок): время запаздывания механизма обратной связи, коэффициент, определяющий ее величину, частота

колебательного уравнения для радиуса артериолы, а также сопротивление петли Генле (параметр, известный из эксперимента). На рис. 7 представлена динамика погрешности основных переменных модели не-фрона – давления в проксимальном извитом канальце Pt, кровяного давления в клубочке Pg, радиуса клубочковой артериолы r (в данном расчете все 22 параметра имели погреш-ность 10%).

Абсолютная погрешность Pt осциллирует значительно меньше, чем погрешность «клубочковых» переменных Pg и r; это соответствует тому факту, что параметры колебательного уравнения для радиуса артериолы сильнее влияют на «клубочковые», нежели на «канальцевые» переменные. Рис. 7. Динамика абсолютных (А) и относительных (Б) погрешностей в модели нефрона Глава 6 – «Программная реализация и внедрение метода» – посвящена особенностям программной реализации

разработанного метода, а также реализованным в нем требованиям программных пакетов для моделирования в слабо формализуемых предметных областях. В настоящее время метод внедрен в такой пакет (разрабатываемый автором диссертации) и позволил удовлетворить перечисленным ниже требованиям пользователя. 1. Исходные параметры одной модели могут иметь различное происхождение (резуль-таты эксперимента, статистические данные, экспертные оценки) и различную форму представления неопределенности своих значений: среднеквадратичные

отклонения, интервалы (гарантированные или для набора доверительных вероятностей) и т. д. 2. Погрешность результатов моделирования, независимо от формы неопределенности исходных данных, также должна представляться в различных формах. 3. Необходимость явного представления степени влияния конкретных входных парамет-ров на результаты моделирования с целью облегчения (особенно для не специалистов в области математики и моделирования) работы по идентификации параметров.

4. Произвольность (возможность ввода пользователем) численных методов и даже мате-матического класса решаемых уравнений; т. е. возможность обработки произвольных алгоритмов (вводимых в графической форме) в дополнение к предопределенным методам решения уравнений (которые требуют сильной формализации задачи в виде вектор-функций, что неприемлемо для многих специалистов–предметников). 5. Возможность работы с нечеткими моделями с помощью тех же вычислительных алго-ритмов, что и с детерминированными.

Несмотря на основное назначение метода линеаризации — применение в приклад-ных пакетах моделирования, — он существенно облегчает и ускоряет разработку нечетких моделей и без использования какого-либо пакета. Это стало возможным благодаря тому, что метод хорошо согласуется с концепциями объектно-ориентированного программиро-вания; в частности, соответствующий программный код легко расширяется и повторно ис-пользуется. В разделе 6.2 диссертации это утверждение иллюстрируется при описании объектно-ориентированной реализации

метода. Там в независимом от языка программирования формате (UML) представляются разработанные программные единицы (классы), которые связаны с понятиями нечетких чисел, функций и с особенностями метода линеаризации. Такая реализация описывается в рамках общей концепции автора по применению объектно-ориентированного подхода в вычислительной математике [5] и имитационном моделировании [4]. В Заключении приводятся основные результаты и выводы диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Основными результатами работы являются следующие: 1. Разработан метод линеаризации, применимый для расчета неопределенности реше-ний алгебраических и дифференциальных уравнений, которая обусловлена нечеткими исходными данными. Теоретически проанализировано несколько вариантов метода, среди которых выбран оптимальный с точки зрения производительности, универ-сальности и удобства реализации вариант.

2. Выполнена программная реализация метода линеаризации, удовлетворяющая таким требованиям как использование произвольных алгебр нечетких чисел и произвольных «четких» численных методов. 3. Проведено тестирование метода линеаризации на известных задачах с целью иллю-страции его эффективности и свойств решений, получаемых с его помощью; с целью анализа влияния на эти свойства «четкого» численного метода и с целью сравнения решений с результатами других авторов.

Сравнение показало хорошее согласие между нечеткими решениями при существенно меньших затратах машинного времени в слу-чае использования предложенного метода. 4. Создана замкнутая модель сердечной деятельности, в явном виде использующая эмпи-рически обоснованные физиологические зависимости вместо общепринятой физиче-ской аналогии между сердечно-сосудистой системой и электрической цепью с нелинейными элементами. В имитационных экспериментах с моделью исследовано комплексное

влияние на кровообращение нескольких факторов (вегетативное возбуждение, патологии сосудов) с расчетом основных клинически значимых показателей. 5. Осуществлены расчеты с нечеткими параметрами разработанной алгебраической модели сердца и модели гемодинамических и транспортных процессов в нефроне; проведена интерпретация и оценка результатов с физиологической точки зрения. При исследовании системы дифференциальных уравнений с бифуркацией (в модели нефрона) показано, что

хаотические свойства системы сохраняются при переходе от «четких» значений переменной к характеристикам ее нечеткости. Таким образом, предложенные в работе метод линеаризации и модель сердца обладают рядом преимуществ по сравнению с существующими аналогами. Расчеты с помощью данного метода неопределенности результатов моделирования и их чувствительности к параметрам показывают эффективность метода, а также пригодность модели для практического использования.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Евдокимов А.В. Метод нечеткой линеаризации для численного решения алгебраиче-ских и дифференциальных уравнений // Электронный журнал "Исследовано в Рос-сии", 168, 2003 – С. 2042-2058. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/20 03/168.pdf 2. Евдокимов А.В Холодов А.С. Квазистационарная пространственно распределенная модель замкнутого кровообращения

организма человека // В кн.: Компьютерные мо-дели и прогресс медицины. – М.: Наука, 2001. – С. 164 193. 3. Белоцерковский О.М Холодов А.С Петров И.Б Лобанов А.И Евдокимов А.В. Вычислительные модели в физиологии человека. // Теоретические и практические аспекты медицинской кибернетики: Материалы научно-практической конференции – М.: ГВКГ им.

Бурденко, 2001 – С. 26-28 4. Бурыкин А.А Евдокимов А.В. О применении объектно-ориентированного анализа при создании сложных компьютерных моделей в физиологии. // Тезисы докладов XLII научной конференции МФТИ, часть I – Долгопрудный, 1999 – C 50. 5. Евдокимов А.В. Объектно-ориентированный подход в математическом и имитаци-онном моделировании. // Тезисы докладов XLII научной конференции

МФТИ, часть II – Долгопрудный, 1999 – C. 85 6. Евдокимов А.В. Метод нечеткой линеаризации для численного решения дифферен-циальных уравнений с погрешностью параметров. // Сборник научных трудов XLVI научной конференции МФТИ – Долгопрудный, 2003 – 2 с. 7. Евдокимов А.В Аболина А.В. Применение метода линеаризации к расчету нечетких физиологических моделей. //

Сборник научных трудов XLVI научной конференции МФТИ – Долгопрудный, 2003 – 2 с. 8. Евдокимов А.В. Численное решение нечетких дифференциальных уравнений методом линеаризации. // Тезисы IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям – ИВМ СО РАН, Красноярск, 2003 – 1 с. (http://www.ict.nsc.ru/ws/show_abstract. dhtml?ru+83+6080)

Евдокимов Алексей Витальевич ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ НЕЧЕТКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Подписано в печать 22.10.2003. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,2. Уч изд. л. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ № Московский физико-технический институт (государственный университет)

Отдел автоматизированных издательских систем "ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ" 141700, Московская обл г. Долгопрудный, Институтский пер 9