ФОРМИРОВАНИЕ ПОИСКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА» В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ

КУРСОВАЯ РАБОТА На тему ФОРМИРОВАНИЕ ПОИСКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ Содержание Введение 1 Проблемы формирования ведущих приемов поисково-исследовательской деятельности 2.1 Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами 2.2 Решение квадратных уравнений 2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел 15 2.4

Тригонометрическая форма комплексного числа 2.5 Комплексные числа и векторы 2.6 Возведение в степень и извлечение корня 2.7 Алгебраические уравнения 3 Формирование поисковой деятельности у учащихся при решении задач 3.1 Математические упражнения, решаемые с использованием теории комплексных чисел 3.2 Задачи для самостоятельного решения 3.3 Программа элективного курса по теме

Комплексные числа 3.4 Описание эксперимента 52 Заключение 57 Список использованных источников 59 Введение Математика занимает особое место в общем образовании человека. Главное педагогическое значение математики состоит в том, что в математике преимущественно перед другими предметами ученику предоставляется самостоятельная умственная работа. Помимо активной умственной работы, посредством уроков математики можно развивать некоторые психические

функции, мало используемые на других предметах обучения. Среди таких функций, например, систематичность и последовательность мышления, способность к обобщению, сообразительность, способность к установлению связи между приобретёнными математическими знаниями и явлениями жизни, память на числа, сосредоточённое внимание, выдержку и настойчивость в работе, причём последние три являются важными волевыми качествами необходимыми для человека, занимающегося любой деятельностью.

Это свидетельствует о важности использования возможностей математики в образовании и развитии человека. В свете модернизации образования ключевым становится вопрос об изменении позиции современного учителя отказ от функций организатора репродуктивной работы обучающихся, от роли носителя готовых знаний и переход к выполнению функций руководителя самостоятельной работой учащихся. Перед педагогами встает задача качественного обучения, соответствующая запросам личности, общества

и государства, в этом заключается актуальность исследования. Приемы учебной деятельности играют для обучающихся роль ориентиров при выполнении учебных заданий, позволяют организованно выстроить последовательность предпринимаемых действий. Однако в школах до сих пор не уделяется должного внимания процессу формирования приемов, в частности приемов поисковой деятельности. Последнее же, в свою очередь, не только направляют действия обучающихся

на каждом этапе творческого процесса, но и являются ступенькой на пути к развитию умений использовать полученные знания в разнообразных жизненных ситуациях и умений проводить исследования. Поэтому они требуют особого целенаправленного формирования. Необходимость решения задач, поставленных обществом перед современной системой образования, новые требования, предъявляемые к учителям и к ведущему виду их профессиональной деятельности, отсутствие специальных

средств, позволяющих активизировать мыслительную деятельность обучающихся на всех ступенях обучения, значимость математического анализа для фундаментальной подготовки учителя математики определяют актуальность выбранной темы исследования. Обозначенный круг вопросов, обусловливающих актуальность темы исследования, предполагает разрешение целого ряда противоречий. Это противоречия между - преобладанием знаниевого обучения с ведущим информационно-объяснительным методом

в процессе обучения обучающихся и индивидуально-творческим, исследовательским характером деятельности учителя - потребностью преподавателей в теоретико-методологическом обосновании процесса организации поисковой деятельности школьников в процессе изучения курса математики и недостаточной разработанностью теории, методики и соответствующего комплекса задач - необходимостью участия учащихся в поисковой деятельности не только в процессе обучения в педагогическом вузе, но и в дальнейшей педагогической деятельности,

требующей от них использования продуктивных методов обучения, подготовки своих учеников к участию в конференциях, привлечения их к самостоятельным открытиям , и несформированностью соответствующих приемов деятельности. Проблема исследования состоит в поиске путей организации процесса обучения школьного курса по теме Комплексные числа , которые позволят сформировать приемы поисково-исследовательской деятельности будущих учителей математики, способствующие повышению уровня их предметной и профессиональной подготовки.

Предмет исследования приемы поисково-исследовательской деятельности и процесс их формирования при обучении учащихся школьного курса Комплексные числа . Цель исследования разработка методов организации поисковой деятельности учащихся при изучении темы Комплексные числа . Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие частные задачи 1 изложить основы поисковой деятельности учащихся 2 изложить теоретические вопросы темы

Комплексные числа 3 привести математические упражнения, решаемые с использованием теории комплексных чисел 4 показать на примере изучения темы Комплексные числа методы организации поисковой деятельности учащихся 5 разработать программу элективного курса по теме Комплексные числа . Научная новизна исследования заключается в том, что впервые поставлена и решена проблема формирования приемов поисковой деятельности у учащихся при изучении темы

Комплексные числа . Практическая значимость исследования состоит в том, что материалы данной работы могут быть использованы учителями математики при подготовке к урокам, а так же методистами на занятиях по методике преподавания математики. Объект исследования процесс обучения математике в старших классах профильной школы. Предмет исследования методика изучения Комплексных чисел . Положения, выносимые на защиту 1

Эффективное формирование приемов поисково-исследовательской деятельности будущих учителей математики будет обеспечено в том случае, когда в процесс обучения ведущим дисциплинам, в том числе и математическому анализу, будут систематически включаться задания, требующие осуществления действий, входящих в состав формируемых приемов, будут учитываться специфика предметного содержания и особенности профессиональной деятельности. 2 Комплекс задач и заданий по курсу Комплексные числа способствует формированию приемов

поисковой деятельности у учащихся при решении задач, когда его основу составляют задачи следующих типов задачи, решаемые в общем виде нестандартные задачи и др. 3 Элективный курс обеспечивает результативность формирования приемов поисковой деятельности у учащихся при решении задач по курсу Комплексные числа так как в процессе его проведения учащийся проходит все этапы этой деятельности. Так же мною была проведена апробация дипломной работы в рамках факультативных

занятий в 11 классе средней школы 5. Структура работы в первой главе всесторонне изложены научные проблемы формирования исследовательской деятельности у учащихся 1 Постановка проблемы 2 Выдвижение гипотезы 3 Доказательство гипотезы В этой главе автор приводит анализ проблемы, возможные предположения на пути решения проблемы. Во второй главе изложены основные понятия темы Комплексные числа и предложены вопросы для формирования

приемов поисковой деятельности у учащихся. В третьей главе предложен конкретный алгоритм нахождения решения упражнений на тему Комплексные числа . Список использованных источников содержит 30 наименований, объем работы составляет 60 страниц 1 Проблемы формирования ведущих приемов поисково-исследовательской деятельности В настоящее время в качестве одной из важнейших задач общего образования рассматривается достижение такого уровня образованности учащихся, который был бы достаточен для самостоятельного творческого

решения мировоззренческих и исследовательских проблем теоретического или прикладного характера. При этом овладение учащимися методами исследовательской деятельности ученые относят к сущностным характеристикам высокого уровня образованности современных школьников. Исследование в широком смысле - как способ освоения нового является неотъемлемой частью жизни любого человека и, конечно же, с древних времен этот вид познавательной деятельности выделялся как элемент

процесса обучения. В настоящее время в педагогической теории и практике исследовательская деятельность школьников рассматривается как одно из средств реализации личностно ориентированной парадигмы образования, предполагающей развитие креативности на основе организации обучения, способствующего творческому усвоению знаний. Отмечается необходимость перехода к непрерывному образованию исследовательского типа, которое рассматривается как одно из основных решений проблемы самообразования, является условием формирования

не только познавательной активности, потребности в творческой деятельности, но и развития всех ключевых потенциалов учащегося. Вместе с тем по-прежнему актуальна более узкая трактовка, согласно которой обучение в целом есть вид или часть научного познания и исследовательская деятельность школьников является результатом выявления особенности обучения по сравнению с научным исследованием. Под поисковой деятельностью будем понимать систему действий, выполняемую в определённом порядке, направленную

на решение проблемных заданий и представляемую в виде рекомендаций, предписаний по использованию той или другой мыслительной операции 13 . К проблемно-поисковым методам относятся проблемное изложение учебного материала эвристическая беседа , учебная дискуссия, лабораторная поисковая работа предшествующая изучению материала , организация коллективной мыслительной деятельности КМД в работе малыми группами, организационно-деятельностная игра, исследовательская работа 21 .

Существует ряд дидактических концепций применения исследовательского метода в процессе обучения. Первоначально исследование выступало в нерасчлененном единстве методов, рассчитанных на активность и самостоятельность обучаемых. В современной теории обучения это направление представлено как поисково-исследовательская задачная технология обучения, сущность которой состоит в том, чтобы построить учебное познание как систему задач и разработать средства предписания, приемы для того, чтобы, во-первых, помочь

учащимся в осознании проблемности предъявляемых задач сделать проблемность наглядной , во-вторых, найти способы сделать разрешение проблемных ситуаций заключенных в задачах личностно значимым для учеников и, в-третьих, научить их видеть и анализировать проблемные ситуации, вычленять проблемы и задачи В.И. Загвязинский 22 . Среди приемов поисковой деятельности нами были выделены ведущие. Это такие, как доказательства постановки проблемы, выдвижения гипотезы, доказательства гипотезы.

Выбор обусловлен тем, что главными и обязательными среди всех этапов, присущих творческой деятельности выделяются три основных 1 постановка проблемы, 2 выдвижение гипотезы, 3 проверка доказательство, опровержение гипотезы. В процессе исследования, конструирования, решения проблемных задач, при создании нового изобретения и т. д. субъект деятельности проходит каждый из этих этапов.

Выделенные приёмы названы ведущими приёмами поисковой деятельности. Вообще аналитическая деятельность выступает как ориентировочная основа в осуществлении отдельных этапов деятельности, поэтому в процессе поисково-исследовательской деятельности, осуществляемой поэтапно, наблюдается не один какой-либо деятельности, а несколько, сочетание даёт обобщённый деятельности. И если в педагогике владение совокупностью общеучебных приёмов учебной деятельности называется умением

учится, то, следовательно, владение совокупностью поисково-исследовательской деятельности можно трактовать, как умение проводить исследование . Укажем состав поисковой деятельности, то есть те действия, выполнение которых позволит поставить проблему, выдвинуть гипотезу или доказать её. Состав постановки проблемы проблемной задачи, вопроса к задачной ситуации 1 провести анализ задачи 2 провести анализ возникшей проблемной ситуации выделить неизвестное и известное, обозначить границы знания

и незнания, определить, чем вызваны затруднения и причины их возникновения, выделить противоречие и др. 3 сформулировать проблемную задачу в виде вопроса или задания. Состав выдвижения гипотезы 1 провести анализ проблемы 2 записать возможные интуитивные предположения догадки, основанные на прошлом опыте 3 решить частные задачи, рассмотреть отдельные процессы, явления, условия опытная работа 4 обобщить результаты, полученные эмпирическим путём 5 сформулировать на основе

ряда полученных фактов гипотезу. Состав доказательств гипотезы 1 выяснить какое утверждение более простое или знакомое достаточно доказать для опровержения гипотезы, провести его анализ 2 исходя из п.1 уставить, какие действия и в каком порядке для этого нужно выполнить 3 выполнить отмеченные в п.2 действия, то есть непосредственное решение задачи на доказательство представить модель рассматриваемой ситуации входные и выходные данные, операторы установить всевозможные причинно-следственные связи и построить цепочку

равносильных утверждений 4 проверить истинность всех следствий 5 принять или опровергнуть гипотезу. Математика, являясь специфической дисциплиной, имеет весьма широкие возможности для развития творческого мышления обучающихся, так как почти математическая задача и, в первую очередь, учебная математическая задача, является той проблемой, решение которой требует проявления сообразительности, находчивости и настойчивости в достижении поставленной цели. Такая работа предусматривает нахождение разнообразных

и оригинальных приёмов решения и доказательства. Для формирование постановки проблем, в первую очередь, были отмечены те задачи, при решении которых, в отличие от традиционных задач, обучающимся необходимо владеть дополнительными знаниями или требуется дополнительное действие, то есть те, при решении которых противоречие между тем, что известно и тем, что необходимо узнать, является для обучающихся очевидным. При формировании выдвижения гипотез наше внимание, в первую очередь, было обращено на путь рождения

гипотез, соответственно на задачи, в процессе решения которых требуется индуктивные и дедуктивные рассуждения, применение аналогии, проведение эксперимента опыта , возможно интуитивное предположение о результате решения. Формирование доказательства гипотезы предусматривает использование задач, на основе которых выдвигается гипотетическое предположение или в которых описывается некоторая ситуация и вызываемое ею предположение. Эти предположения как раз и предлагаются обучающимся для проверки доказать или опровергнуть

. Заметим, что некоторые из задач могут относится сразу к нескольким выделенным типам. Например, прикладную задачу требуется решить в общем виде и затем несколько способов её решения 24 . Процесс формирования той или иной деятельности на основе различных типов задач, не просто вооружаем обучающихся определённой системой действий, а способствуем их самостоятельному, более творческому подходу к постановке проблем, выдвижению гипотез, доказательству гипотез.

2 Понятие комплексного числа и операции над ним Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение где было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b делится нацело на a. Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида x2 2.

На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, так как среди рациональных нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение разрешимо, оно имеет два решения и . И все же нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных

чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен. Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.

Итак, расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы а комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел, в частности, коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам б в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения 19 . Множество действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому, расширяя множество действительных чисел до множества комплексных чисел,

мы потребуем, чтобы в нем можно было бы построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Другими словами, мы расширим множество действительных чисел до такого множества, в котором можно будет решить любое квадратное уравнение. Так, уравнение x2 - 1 не имеет решений во множестве действительных чисел потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В новом числовом множестве оно должно иметь решение.

Для этого вводится такой специальный символ , называемый мнимой единицей, квадрат которого равен - 1. Ниже будет показано, что введение этого символа позволит осуществить расширение множества действительных чисел, пополнив его мнимыми числами вида bi где b - действительное число таким образом, чтобы в новом числовом множестве множестве комплексных чисел при сохранении основных законов действительных чисел были разрешимы любые квадратные уравнения. 2.1 Определение комплексных чисел.

Операции над комплексными числами Рассмотрим множество, элементами которого являются все упорядоченные пары действительных чисел. Пара чисел является упорядоченной, если указано, какое число из пары является первым и какое - вторым. Элемент рассматриваемого множества будем обозначать так , на первом месте будем записывать первое число, на втором - второе число пары. Элементы и считаются различными, если . Элементами нашего множества будут, например, пары .

Элементы и считаются равными тогда и только тогда, когда и . Введем теперь в множестве всех упорядоченных пар действительных чисел алгебраические операции сложение и умножение двух пар. Суммой элементов и назовем элемент . Произведением пар и назовем пару . Введенные операции определяются равенствами 1 2 Например, сумма и произведение пар и вычисляются так

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, для которых формулами 1 и 2 определены операции сложения и умножения. Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами 1 переместительный закон для сложения 2 сочетательный закон для сложения 3 для любых комплексных чисел и существует комплексное число такое, что . Это число называется разностью чисел и и обозначается . 4 переместительный закон для умножения . 5 сочетательный закон для умножения .

6 для любых комплексных чисел и существует число такое, что . Это число называется частным комплексных чисел и и обозначается . Деление на комплексное число 0 0 невозможно. 7 распределительный закон 9 . Каждое комплексное число можно представить следующим образом . Учитывая, что получаем . Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного

числа. Сформулируем некоторые правила и свойства комплексных чисел 1. Существует элемент мнимая единица такой, что . 2. Символ называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b - действительные числа, b - коэффициент мнимой части. Комплексное число отождествляется с действительным числом a, т.е в частности Числа вида называют чисто мнимыми. Например, комплексное число имеет действительную часть - действительное

число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 - коэффициент мнимой части. Комплексное число имеет действительную часть число 2, мнимую часть , число - коэффициент при мнимой части. 3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей. Т.е если , то и, обратно, если, то . 4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел

Например . Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле . Например . 5. Правило умножения комплексных чисел Из правил 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i2 - 1. Действительно . Например, Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения

двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел и, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно . Произведение двух чисто мнимых чисел - действительное число. Например , и вообще . 6. Деление комплексного числа на комплексное число определяется как операция

обратная умножению и выполняется по формуле . Формула теряет смысл, если , так как тогда c2 d2 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Например, Опираясь на введенные определения нетрудно проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы.

Кроме того, применение операций сложения, умножения, вычитания и деления к двум комплексным числам снова приводит к комплексным числам. Тем самым можно утверждать, что множество комплексных чисел образует поле. При этом, так как комплексное число при отождествляется с действительным числом , то поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве подмножества. Приведем классификацию комплексных чисел рисунок 1

Рисунок 1. Классификация комплексных чисел 2.2 Решение квадратных уравнений Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения или . Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение имеет два решения Это нетрудно установить проверкой ,

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида , где x - неизвестная, a, b, c - действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем . Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований. Разделим все члены уравнения на и перенесем свободный член в правую часть уравнения .

К обеим частям уравнения прибавим выражение с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых . Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения Найдем значения неизвестной Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения. Если, то есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни.

Если же , то - мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни. Результаты исследования представлены ниже в таблице 1 Таблица 1 Нахождение корней уравнения в зависимости от дискриминанта Значение дискриминанта Корни уравнения Уравнение имеет два различных действительных корня Уравнение имеет два равных действительных корня Уравнение имеет два различных мнимых корня корни - сопряженные

комплексные числа Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение 11 . Примеры. 1. Решите уравнение Решение уравнение имеет мнимые корни 2.3 Геометрическая интерпретация комплексных чисел Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался

как значение направленной величины положительные и отрицательные температуры, передвижения в противоположных направлениях, прибыль и долг и т.п Однако еще в ХVI веке многие математики не признавали отрицательных чисел. Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо проявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же равноправными и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело с комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической

интерпретации. Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу ставится в соответствие точка координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части - ординату точки. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости. Подобным образом было установлено соответствие между множеством

действительных чисел и множеством точек числовой прямой 10 . На рисунке 1 изображена координатная плоскость. Числу соответствует точка плоскости числу - точка числу - точка числу - точка . Числу соответствует точка а числу - точка . Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным

комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости. Ясно, что действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам , где - точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox - действительной. Сопряженным комплексным числам и соответствуют точки, симметричные относительно оси абсцисс рисунок 3 . Каждой точке плоскости с координатами a b соответствует один и только один вектор

с началом O 0 0 и концом Z a b . Поэтому комплексное число z a bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O 0 0 и концом в точке Z a b . 2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа Точка координатной плоскости, соответствующая комплексному числу , может быть указана по-другому ее координатами могут быть расстояние r от начала координат и величина угла между положительной полуосью Ox и лучом

Oz рисунок 4 . Расстояние r от начала системы координат до точки, соответствующей комплексному числу z, называют модулем этого числа. Тогда по теореме Пифагора рисунок 4 имеем Отсюда найдем модуль комплексного числа как арифметическое неотрицательное значение корня Если комплексное число z изображается точкой оси абсцисс т.е. является действительным числом , то его модуль совпадает с абсолютным значением. Все комплексные числа, имеющие модуль 1, изображаются точками

единичной окружности - окружности с центром в начале системы координат, радиуса 1 рисунок 5 . Угол между положительной полуосью Ox и лучом Oz называют аргументом комплексного числа рисунок 4 . Сопряженные комплексные числа и имеют один и тот же модуль и аргументы, отличающиеся знаком . В отличие от модуля аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Аргумент одного и того же комплексного числа может иметь бесконечно много значений, отличающихся друг

от друга на число, кратное 360 . Например, число z рис. 3 имеет модуль r, аргумент же этого числа может принимать значения или значения Данное значение модуля r и любое из приведенных выше значений аргумента определяют одну и ту же точку плоскости, соответствующую числу z. Аргументы комплексного числа можно найти иначе каждый из аргументов удовлетворяет неравенству . Важное геометрическое истолкование модуль разности двух комплексных чисел

есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам. Пример. Какие множества точек комплексной плоскости задаются условиями а б в ? а условию удовлетворяют те точки комплексной плоскости, которые удалены от точки на расстояние, равное единице. Такие точки лежат на окружности единичного радиуса с центром в точке рисунок 6 . б используя геометрическую интерпретацию модуля разности двух комплексных чисел, задачу можно переформулировать так какого множество

точек комплексной плоскости, которые расположены ближе к точке . Чем к точке ? Ясно, что таким свойством обладают все точки плоскости, лежащие левее мнимой оси и только они на рисунке 7 это множество заштриховано . в комплексные числа , удовлетворяющие неравенствам удалены от точки на расстояние большее или равное двум, но не меньше трех. Такие точки расположены внутри и на внутренней границе кольца, образованного двумя концентрическими

окружностями с центром в точке и с радиусами и рисунок 8 . Пусть точке с координатами соответствует комплексное число . Запишем это комплексное число через его модуль и аргумент. Воспользуемся определением тригонометрических функций синуса и косинуса рисунок 3 . Тогда число z выражается через модуль и аргумент следующим образом .

Выражение называют тригонометрической формой комплексного числа, в отличии от выражения , называемого алгебраической формой комплексного числа. Приведем примеры обращения комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую 4 . Учащимся нужно представить числа и через радиус и аргумент, для этого нужно вспомнить формулы перехода от одной формы записи комплексного числа к другой. Для числа имеем , поэтому Для числа - 1 имеем , поэтому -

1 Для числа имеем поэтому Для числа рисунок 5 имеем поэтому Для числа имеем поэтому Для числа в тригонометрической форме нет необходимости предварительно находить модуль и аргумент. Воспользуемся тем, что , а и сразу получим тригонометрическую форму Справедливость приведенных равенств нетрудно проверить путем подстановки в их правой части числовых значений тригонометрических функций. Итак, для того, чтобы комплексное число, заданное в алгебраической

форме, обратить в тригонометрическую форму, необходимо найти его модуль и аргумент , пользуясь формулами Тригонометрическая форма записи комплексных чисел оказывается очень удобной при умножении и делении чисел. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда Пусть и два числа. Записанных в тригонометрической форме. Представим в тригонометрической форме их произведение или .

Следовательно Таким образом, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения. Пример. Найти произведение чисел и . Так как то . Аргументом произведения данных чисел сумма . Следовательно или . Введем действие деления комплексных чисел. Запишем частное двух комплексных чисел и в тригонометрической

форме. Умножая числитель и знаменатель частного на , получим Или, используя формулы тригонометрии, получим . Следовательно Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного 20 . Пример. Записать число в тригонометрической форме

Введем обозначения Число записано в тригонометрической форме. Очевидно, что и . Найдем модуль и аргумент числа По формуле получим , т.е 2.5 Комплексные числа и векторы Существует и другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел. Каждой точке координатной плоскости, изображающей комплексное число , соответствует единственный вектор, отложенный от начала системы координат и обратно рисунок 9 .

При этом двум различным точкам координатной плоскости будут соответствовать два таких различных вектора. Таким образом, может быть установлено взаимно однозначное соответствие между множеством точек координатной плоскости комплексными числами и множеством векторов, отложенных от начала системы координат. Если рисунок 9 , то вектор , отложенный от начала системы координат до точки, изображающей число z, будет иметь координаты . Известно, что равные векторы имеют равные координаты.

Итак, мы рассмотрели два способа интерпретации комплексных чисел их можно изображать либо точками координатной плоскости, либо векторами, отложенными от начала системы координат. При этом любые два равных вектора имеющих одно и то же направление и равные длины изображают одно и то же комплексное число, а векторы, отличные либо длиной, либо направлением, изображают разные числа. На рисунке 10 с помощью векторов изображены различные комплексные числа изображает число - число -

число - число - число - число - число . Ясно, что любой ненулевой вектор, лежащий на оси Oy или параллельный ей , изображает чисто мнимое число yi, причем y 0, если направление вектора совпадает с направлением оси, y 0, если направление вектора противоположно направлению оси. Вследствие этого ось Oy называют мнимой. Все векторы, лежащие на оси Ox или параллельные ей изображают действительные числа, поэтому ее называют действительной осью.

Векторная интерпретация комплексных чисел позволяет уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Например, сумма двух комплексных чисел и равна. Каждое из слагаемых изображает соответствующий вектор, отложенный от начала O координат рисунок 11 , Сумма этих векторов - вектор , изображается диагональю параллелограмма. Для того, чтобы лучше уяснить себе геометрический смысл умножения двух комплексных чисел, воспользуемся

их тригонометрической формой. Пусть векторы и изображают соответственно комплексные числа , где и соответственно модули этих чисел, а и - их аргументы. Найдем произведение этих чисел Воспользуемся известными из школы теоремами сложения синуса и косинуса . Тогда произведение данных комплексных чисел равно комплексному числу Последнее соотношение позволяет сформулировать правило умножения комплексных чисел при умножении двух

комплексных чисел их модули перемножаются, а их аргументы складываются. Ясно, что произведение комплексных чисел связано с поворотом вращением . Связь произведения комплексных чисел с вращением становится более наглядной, если рассматривать произведение различных комплексных чисел векторов на комплексное число , у которого модуль равен 1, а аргумент 90 . Например, найдем произведение комплексных чисел и

Числа и соответственно изображают векторы и рисунок 12 . Мы видим, что модуль комплексного числа z равен модулю числа . Аргумент же комплексного числа z равен 45 90 135 , в то время, как аргумент комплексного числа равен 45 . Т.е. вектор, изображающий число , есть образ вектора, изображающего число при повороте на 90 . 2.6 Возведение в степень и извлечение корня Формула для произведения двух комплексных чисел может быть

обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции получим модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей всех сомножителей, сумма аргументов всех сомножителей является аргументом их произведения. Отсюда, как частный случай, получается формула 1 Дающая правило возведения комплексного числа в целую положительную степень. При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень

с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени. Пример 1. записать число в алгебраической форме. Сначала запишем данное число в тригонометрической форме, а затем перейдем от тригонометрической к алгебраической. Найдем модуль и один из аргументов числа Представим число в тригонометрической форме . Теперь применяя формулу 1 получаем, получаем . Запишем это число в алгебраической форме .

Перейдем к извлечению корня данной степени из комплексного числа. Число называется корнем степени n из числа w обозначается , если . Например, числа и являются квадратными корнями из числа , так как и . Из определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того чтобы извлечь корень степени n из числа w, достаточно решить уравнение .

Если , то при любом n уравнение имеет одно и только одно решение . Если , то и , а следовательно, и z и w можно представить в тригонометрической форме Уравнение примет вид . Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на , где k - некоторое целое число. Следовательно, и или и Итак, все решения уравнения могут быть записаны следующим образом

Легко видеть, что все числа , получаемые при , различны. Если брать значения , то других комплексных чисел, отличных от , не получится. Таким образом, если , то существует ровно корней степени из числа все они получаются из формулы , 2 Пример 2. Найти все значения . Запишем число в тригонометрической форме , применяя формулу 2 , получаем Следовательно, Точки, соответствующие числам , расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного

в окружность радиуса 2 с центром в точке . 2.7 Алгебраические уравнения Ранее было установлено, что уравнение вида xn - 1 0 имеет решения, более того, таких решений ровно столько, какова степень этого уравнения. В связи с этим можно поставить вопросы всякое ли алгебраическое уравнение имеет решение в поле комплексных чисел? В 1799 г. тогда еще молодому немецкому математику Гауссу удалось доказать важную теорему о том, что решения алгебраических уравнений 5-й и более высоких

степеней существуют. В теореме Гаусса утверждается, что всякое алгебраическое уравнение с действительными и даже комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Рассмотрим алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами, т.е. уравнение вида 1 Число называется решением или корнем уравнения, если при подстановке вместо z в уравнение получается верное числовое равенство. Следовательно, если - корень уравнения 1 , то .

Например, следующие уравнения - являются алгебраическими уравнениями соответственно первой, второй, пятой и седьмой степеней. Корнем первого уравнения является число , второе уравнение имеет два корня и . Число - корень третьего уравнения, так как . Очевидно, что - корень четвертого уравнения. Помимо корня четвертое уравнение имеет еще шесть корней. Решить уравнение в множестве комплексных чисел - значит найти все корни уравнения.

Общий вид алгебраического уравнения первой степени Очевидно, что такое уравнение имеет одно и только одно решение . Уравнение второй степени в общем виде записывается так , и имеет корни и . 2 Формула для корней квадратного уравнения имеет тот же вид, как и в случае, когда коэффициенты уравнения действительные числа и решения отыскиваются в множестве действительных чисел.

Но поскольку в множестве комплексных чисел операция извлечения квадратного корня имеет смысл для любого комплексного числа, ограничение становится излишним. Более того, оно вообще теряет смысл, так как дискриминант может оказаться числом не действительным, а для таких чисел понятия больше , меньше не определены. Таким образом, в множестве комплексных чисел уравнение - комплексные числа, всегда разрешимо.

Перейдем к рассмотрению алгебраических уравнений более высокой степени. Решение уравнения 1 при является задачей неизмеримо более сложной. Теорема каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень. Эту теорему принято называть основной теоремой алгебры. Она носит имя Гаусса. Доказательство ее достаточно сложно и в курсе элементарной математики не приводится.

Опираясь на теорему Гаусса можно доказать, что левая часть уравнения 1 всегда допускает представление в виде произведения , где - некоторые различные комплексные числа, а - натуральные числа, причем . Отсюда следует, что числа и не только они являются корнями уравнения 1 . При этом говорят, что является корнем краткости корнем краткости и тд. Если условиться корень уравнения считать столько раз, какова его краткость, то можно сформулировать

теорему Каждое алгебраическое уравнение степени имеет в множестве комплексных чисел ровно корней. И теорема Гаусса, и только что сформулированная теорема являются типичными теоремами существования. Они дают исчерпывающее решение вопроса о существовании корней у произвольного алгебраического уравнения, но к сожалению, ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корень уравнения первой степени определяется формулой , если корни уравнения второй степени всегда

могут быть легко найдены по формуле 2 , то уже для уравнений третьей и четвертой степени аналогичные формулы настолько громоздки, что ими предпочитают не пользоваться, а для уравнений степени выше четвертой подобных формул в общем случае вообще не существует. Отсутствие общего метода решения алгебраических уравнений не мешает, конечно, в частных случаях, в зависимости от специфики уравнения, отыскать все его корни.

Например, формула 2 позволяет найти все корни уравнения , т.е. двучленного уравнения степени n. Для решения уравнений с целыми коэффициентами часто оказывается полезна следующая теорема Целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Доказательство этой теоремы провести легко. Пусть - целый корень уравнения с целыми коэффициентами.

Тогда и, следовательно . Число при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k - делитель числа . Пример решить уравнение Рассматривая делители свободного члена, убеждаемся в том, что только является целым корнем уравнения. Делим левую часть уравнения на , придем к уравнению . Решая это уравнение получим остальные корни 3 Формирование поисковой деятельности у учащихся при решении задач 3.1 Математические упражнения, решаемые с использованием теории комплексных чисел 1

Представьте комплексное число в алгебраической форме. Нужно найти числа и , чтобы прийти к виду . Откроем скобки, сгруппируем подобные и придем к нужному виду. 2 Найдите модули и аргументы комплексных чисел а Найдем модуль и аргумент числа , вписав ответы в таблицу 2. Для этого учащимся желательно числитель и знаменатель представить как комплексные числа и .

Учащиеся вспоминают формулы нахождения модуля и аргумента комплексных чисел заданных в алгебраической форме. Таблица 2 Значение модуля и аргумента задания 2 Число Его модуль Один из его аргументов Модуль равен 8, аргументы б Учащиеся вспоминают по какой формуле находится радиус комплексного числа, какому соотношению должны удовлетворять аргументы данного числа Аргументы данного комплексного числа обязаны удовлетворять уравнению

или , откуда . Данное комплексное число расположено во 2-м квадранте, так как , а . Поэтому аргументами будут только те решения, которые лежат во второй четверти, т.е Ответ 3 Представить в алгебраической и в тригонометрической формах а б . Учащимся нужно представить число в виде и . Для этого нужно знать как находятся радиус и аргумент комплексного числа, как переходить от одной формы в другую, как возводить комплексное число в степень. а

Найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа. Запишем в тригонометрической форме число . Так как , а один из аргументов , то . Следовательно или . Теперь легко записать данное число в алгебраической форме . Ответ . б данное число уже записано в алгебраической форме. Для того чтобы записать его в тригонометрической форме, найдем сначала модуль данного числа

Для определения аргумента решим уравнение . Преобразуя правую часть, получим , откуда . Так как , а , число расположено в четвертом квадранте комплексной плоскости и одним из его аргументов является . Ответ , 4 Представить число в тригонометрической форме. Нужно представить число в виде . Учащиеся пользуются формулами нахождения радиуса и аргумента комплексного числа, возведение его в степень, вспоминают формулы тригонометрии.

Находим модуль комплексного числа . Аргументы числа удовлетворяют уравнению . Решая это уравнение, получим Число расположено в четвертом квадранте комплексной плоскости, поэтому . Теперь можем записать число вы тригонометрической форме . Применяя формулу , имеем окончательно . Ответ . 5 Решить уравнение . Решить уравнение - значит найти его корни, т.е

Запишем в алгебраической форме . Тогда уравнение можно переписать так или . Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю и действительная и мнимая части его, поэтому и . Полученная система имеет бесчисленное множество решений , где - произвольное действительное число. Отсюда следует, что множество решений исходного уравнения - бесконечное множество. Оно состоит из всех комплексных чисел, соответствующих точкам комплексной плоскости, лежащим на мнимой

оси. Ответ - произвольное действительное число . 6 Какое множество точек задается условием а б в ? а условию удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые одинаково удалены от точек и . Множеством точек, равноудаленных от точек и , является прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. На рисунке 13 изображена прямая , дающая искомое множество. б положим , тогда заданное условие примет

следующий вид Это уравнение окружности с центром в точке , радиус которой равен 3 рисунок 14. в Данное неравенство равносильно неравенствам искомое множество точек представляет собой бесконечную систему концентрических колец с центром в точке . Сама точка не принадлежит множеству. 7 На комплексной плоскости даны точки . Найти комплексные числа, соответствующие точкам, принадлежащим биссектрисе угла, образованного векторами и . Чтобы получить какой-нибудь вектор, идущий по биссектрисе,

достаточно сложить два любых вектора одинаковой длины, имеющих направление векторов и рисунок 15 . Так как длина вектора вдвое больше длины вектора , то векторы и будут иметь одну и ту же длину, поэтому вектор, равный их сумме , лежит на биссектрисе угла, образованного векторами и . Вся совокупность векторов, удовлетворяющих поставленному условию, дается, очевидно, формулой , где - произвольное положительное число. Ответ , где - произвольное положительное число.

8 Среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию , найти число, имеющее наименьший положительный аргумент. Комплексные числа, удовлетворяющие условию , расположены на окружности радиуса с центром в точке рисунок 16. Чтобы найти точку окружности с наименьшим положительным аргументом, проведем касательную к окружности. Точка касания P, очевидно, будет обладать нужным свойством. Из прямоугольного треугольника угол найдем Ответ наименьший положительный аргумент имеет число 9

Решить уравнение . Задача сводится к нахождению всех значений . Запишем число в тригонометрической форме Применяя формулу для отыскания всех значений , получим Следовательно, Ответ . 10 Записать в алгебраической форме, при условии, что действительная часть комплексных чисел , отрицательна. Положим , тогда и, следовательно, и удовлетворяют системе . Решая систему, получим два решения и . По условию действительная часть отрицательна.

Таким образом Аналогично найдем . Теперь получаем . Ответ . 11 Доказать, что остаток от деления многочлена на равен теорема Безу . При делении многочлена степени на многочлен первой степени в частном получится многочлен степени и в остатке многочлен нулевой степени. Обозначив частное от деления на через и остаток , можем записать тождество . Подставив в это тождество , получим , т.е 3.2

Задачи для самостоятельного решения 1 Найти , если а , б . 2 Записать в алгебраической форме а б в г . 3 Найти комплексное число , удовлетворяющее уравнению , и записать его в алгебраической и тригонометрической формах. 4 Решить систему уравнений . 5 При каких действительных значениях и комплексные числа и являются сопряженными? 6 Доказать равенства. 7 Решить уравнения а , б , в , г , д .

8 Решить систему уравнений . 9 Доказать, что система уравнений решений не имеет. 10 На комплексной плоскости даны точки , являющиеся вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан. 11 Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющие условию а , б , в , г , д , е , ж 12 Среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию найти число, имеющее наименьший положительный аргумент. 13 Записать в тригонометрической форме а , б , в , г , д 14

Представить в алгебраической форме а , б , в , г . 15 Найти все значения , если а , б в , г . 16 Решить уравнения а , б , в , г , д , е 17 Убедиться в том, что число является корнем уравнения , и найти остальные корни. 3.3 Программа элективного курса по теме Комплексные числа Тема Комплексные числа развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о

многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе. Изучение этой темы преследует следующие основные цели 1. повышение математической культуры учащихся 2. углубление представлений о понятии числа 3. дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки. Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих

математический аппарат. После изучения темы Комплексные числа ребята должны иметь четкое представление о комплексных числах знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня из комплексного числа переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую.

Тему Комплексные числа благоприятнее всего вводить в 10 классе в I-ом полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии 27, 28 . Исходя из объема, трудности материала а также из основных принципов дидактики, психологических и возрастных особенностей учащихся предлагаем рассмотреть следующие вопросы таблица 3 Таблица 3 Тематическое планирование Тема занятия Количество часов 1 2 3 1

Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными алгебраически. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их суммы и разности. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение задач 2 ч 2 Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. 2ч 3 Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Решение упражнений. Комплексные корни многочлена 2 ч 4 Зачет или дифференцированная проверочная работа 2 ч Итого 8ч Программа элективного курса по теме Комплексные числа

Занятие 1 Тема Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными алгебраически. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их суммы и разности. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение задач. Цель повторить имевшиеся знания по теории комплексных чисел.

Задачи Обучающая расширить понятие числа ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Научить выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Развивающая развивать у учащихся способность к конкретному и обобщенному мышлению, умение логично и последовательно излагать свою мысль. Воспитательная прививать интерес к математике. Основные знания и умения.

Знать определения комплексного числа, мнимой единицы, модуля комплексного числа формулировки основных соотношений алгебраическую форму комплексного числа определение сопряженных и противоположных чисел действия над комплексными числами сложение, умножение, вычитание, деление, геометрическую интерпретацию комплексных чисел, суммы и разности комплексных чисел. Уметь выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме строить комплексные

числа на плоскости, строить их сумму и разность, выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность с помощью векторов 30 . Методические рекомендации. Вид занятий. Урок-повторение. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Необходимо показать практическую и теоретическую значимость изучаемого материала.

Тема Комплексные числа - одна из ведущих прикладных тем курса математики для техникумов электрорадиоспециализации, её содержание углубляется в общетехнических предметах, например в теоретических основах электротехники, основах радиотехники и др. План занятий. Повторение опорных знаний учащихся. 1. Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах. 2. Как получаем множество комплексных чисел? 3. Какими свойствами обладает множество комплексных чисел?

4. Какие комплексные числа называются равными, сопряженными? 5. Какова алгебраическая форма записи комплексного числа? Назовите действительную и мнимую части Применение знаний при решении типовых примеров и задач. 1. Вспомним формулы сложения и вычитания 2-ч комплексных чисел Даны и . Найти Даны и . Найти 2. Умножение , причем нужно помнить, что .

Даны и . Найти 3. Деление на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю Даны и . Найти 4. Найти частное комплексных чисел а б . Решение. Формулу для нахождения частного комплексных чисел z1 и z2 запишем в виде . Пользуясь этой формулой, находим а б 5. Найдите действительную часть комплексного числа

Ответ Мнимую 6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. 1. Какая плоскость называется комплексной? 2. Какая ось называется действительной, а какая - мнимой? 3. Изобразите геометрически комплексные числа а б 7. Модуль комплексного числа.Вспомним определение модуля комплексного числа. Определение Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу.

Если , то . Найти модуль комплексных чисел а б в . 8. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием а б в ? а условию удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые одинаково удалены от точек и . Множеством точек, равноудаленных от точек и , является прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. На рисунке 12 изображена прямая , дающая искомое множество.

б положим , тогда заданное условие примет следующий вид Это уравнение окружности с центром в точке , радиус которой равен 3 рисунок 13. в Данное неравенство равносильно неравенствам искомое множество точек представляет собой бесконечную систему концентрических колец с центром в точке . Сама точка не принадлежит множеству. 9. Найдите два действительных числа и , удовлетворяющих неравенствам а б . а б

Ответ и . 10. Решите уравнение а Ответ . 11. Точка А соответствует комплексному числу . Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно а оси б оси в начала координат? Подведение итогов занятия. Домашнее задание. 1. Установте, при каких действительных значениях и являются противоположными следующие комплексные числа и . Решение. Приведем числа z1 и z2 к алгебраической форме записи

Согласно условию задачи, получаем систему 1 Умножим обе части первого уравнения на 5, а второго - на 2 и сложим получившиеся при этом результаты - однородное уравнение. Разделим обе его части на y2, получим - квадратное уравнение относительно . Решив его, получим и , т. е. или . Подставим эти значения, например, в первое уравнение из 1 , получим . Тогда . Аналогично, при получаем - это уравнение действительных решений не имеет.

Ответ . 2. Представьте комплексное число в алгебраической форме. Нужно найти числа и , чтобы прийти к виду . Откроем скобки, сгруппируем подобные и придем к нужному виду. Занятие 2 Тема Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Цель повторить имевшиеся знания о тригонометрической форме комплексного числа и закрепить новые. Обучающая дать понятие о тригонометрической форме комплексного числа, выработать у учащихся навыки перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. Научить учащихся выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Развивающая развивать у учащихся способность к конкретному и обобщенному мышлению, способность опираться

на разные связи по сходству, аналогии умение логично и последовательно излагать свою мысль. Воспитательная воспитать у учащихся упорство в достижении цели, желания добиваться больших результатов в обучении. Основные знания и умения. Знать определения аргумента комплексного числа тригонометрической формы комплексного числа. Уметь переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. Методические рекомендации. Вид занятия.

Формирование умений и навыков. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Опираясь на знания и первичные умения, полученные на предыдущих занятиях, обратить внимание учащихся на характер упражнений, на постепенное усложнение заданий, на связь с пройденными ранее темами 30 . План занятий. Проверка домашнего задания. Обобщение и систематизация знаний. Отметить равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме два комплексных числа равны тогда

и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2р. Рассмотреть сопряженные комплексные числа, записанные в тригонометрической форме. Предложить учащимся ответить на вопросы 1. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа и ? 2. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы и ? 3. Что понимается под полярными координатами? 4. Формула перехода от алгебраической формы записи к

тригонометрической, и обратно Следовательно где - модуль числа один из аргументов. Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Решить примеры. 1. Найти полярные координаты точки . 2. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме а г . Решение. Имеем Следовательно, 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

Решение. Имеем Главным значением аргумента будет Следовательно Модуль данного числа . 4. Записать число в тригонометрической форме . Решение. и . Получаем . 5. Найти действительные корни уравнения . Решение. Данное уравнение корней не имеет. Это уравнение равносильно следующим Последние уравнения несовместны, так как , что невозможно ни при каких значениях .

6. Решить систему во множестве комплексных чисел Решение Получаем 7. Докажите, что многочлен делится на Подведение итогов занятия. Домашнее задание. 1. Решить систему во множестве комплексных чисел Решение Получаем Занятие 3 Тема Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Решение упражнений. Комплексные корни многочлена.

Цель научить учащихся применять все формы комплексного числа при решении упражнений. Задачи Обучающая дать учащимся формулу Муавра, научить правильно извлекать корни из комплексного числа. Развивающая развивать у учащихся умение выделять главное, анализировать и делать логические выводы. Воспитательная цель прививать интерес к математике. При подготовке и проведении самостоятельной и, впоследствии, зачетной работы необходимо показать роль

личной ответственности каждого учащегося за качество выполненной работы, роль систематической работы в классе и дома по углублению и повышению прочности знаний, для формирования умений и навыков. Основные знания и умения. Знать правила действий над комплексными числами в тригонометрической форме. Уметь выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Методические рекомендации. Вид занятия. комбинированный.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Тригонометрическая форма комплексного числа оказывается более удобной при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня из комплексного числа. Кроме того, она позволяет рассмотреть некоторые частные случаи, важные для прикладных вопросов. Последовательность изложения нового материала. 1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме умножение, деление, возведение

в степень, извлечение из корня . 2. Решение упражнений. План занятий. Повторение опорных знаний учащихся. Повторить формулы тригонометрии. Обобщение и систематизация знаний. Следует обратить внимание учащихся, что сложение и вычитание комплексных чисел легко выполняются в алгебраической форме, а умножение, возведение в степень, деление и извлечение из корня рациональнее

выполнять в тригонометрической форме. Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить действия. 1. Делится ли многочлен на ? Решение. Если данный многочлен делится на , то комплексное число должно быть его корнем. Подставим это число в многочлен, получим . Следовательно, данный многочлен делится на . 2. Найти координаты точки M, изображающей комплексное число .

Решение. Выделим действительную и мнимую часть этого числа 3. Найти все значения корней . Решение. Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме затем по формуле, находим , Следовательно, при при при при . 4. Найти все значения корней . Решение. Записав комплексное число в тригонометрической форме , находим , Отсюда , при , при , при . 5. Решить уравнение .

Решение. Имеем . Для вычисления всех значений применим формулу Отсюда . 6. Доказать, что . Решение. Левую часть разложим по формуле суммы кубов двух чисел 7. Найти число, сопряженное с числом . Решение. Заметим, что . Тогда Тогда сопряженное число . 8. Найти все значения Решение запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме .

Получаем При имеем При имеем При имеем 9. Пользуясь формулой Муавра, выразить через степени и следующие функции кратных углов и . Формула Муавра дает . Используя формулу бинома Ньютона, получаем Поэтому , 10. Составить уравнение четвертой степени, имеющее корни Решение Искомое уравнение имеет вид Раскрывая скобки, получаем уравнение

Подведение итогов занятия. Домашнее задание. Подготовиться к контрольной работе. 1. Представте в алгебраической и в тригонометрической формах . Учащимся нужно представить число в виде и . Для этого нужно знать как находятся радиус и аргумент комплексного числа, как переходить от одной формы в другую, как возводить комплексное число в степень. Решение Найдем сначала тригонометрическую форму данного комплексного числа.

Запишем в тригонометрической форме число . Так как , а один из аргументов , то . Следовательно или . Теперь легко записать данное число в алгебраической форме . Ответ . 2. Докажите, что остаток от деления многочлена на равен теорема Безу . Решение При делении многочлена степени на многочлен первой степени в частном получится многочлен степени и в остатке многочлен нулевой степени. Обозначив частное от деления на через и остаток , можем

записать тождество . Подставив в это тождество , получим , т.е Занятие 4 Контрольная работа 1. Ответьте на следующие вопросы Что называется комплексным числом? Его общий вид. Какое число называется сопряженным к комплексному Что называется аргументом, модулем комплексного числа? Что называется мнимой единицей? Выделите действительную и мнимую часть числа .

2. Вычислите следующее выражение . 3. Докажите, что многочлен делится на . 4. Найдите выражения и через и . 5. Решите систему во множестве комплексных чисел 6. Составить уравнение пятой степени, имеющей корни Решение контрольной работы 1. Вычислите следующее выражение . Решение , получаем , получаем , получаем 2. Докажите, что многочлен делится на . Решение Разложим многочлен на множители

По формуле Муавра Значит, делится на . 3. Найдите выражения и через и . Формула Муавра дает . Используя формулу бинома Ньютона, получаем Поэтому , 4. Решить систему во множестве комплексных чисел Решение Получаем 5. Составить уравнение пятой степени, имеющей корни Решение Искомое уравнение имеет вид Раскрывая скобки, получаем уравнение 3.4

Описание эксперимента Методические основы и организация экспериментального исследованияФормирование и развитие математического мышления способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с её многочисленными приложениями в частности. Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения. Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать

существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является введение понятия комплексного числа. Формирование у учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможно и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся

косвенным проявлением нужд и запросов самой практики. С целью объективной и доказательной проверки эффективности усвоения нового понятия на педагогической практике был проведен эксперимент. Цель исследования - развитие мышления учащихся через формирование нового понятия - понятия комплексного числа. Объект исследования - учебная деятельность учащихся, учебно-познавательный процесс. Предмет исследования - процесс формирования понятия комплексного числа у учащихся.

Гипотеза исследования - если учащиеся знают определение комплексного числа, различные формы комплексного числа умеют выполнять арифметические действия над комплексными числами, записанными в алгебраической и в тригонометрической форме умеют изображать комплексные числа и действия над ними на комплексной плоскости оперируют такими понятиями как комплексные числа, действия над комплексными числами, различные формы комплексного числа, корни многочленов, то формирование и усвоение понятия комплексного числа прошло

успешно. Цель, предмет и гипотеза исследования определили необходимость постановки и решения следующих задач 1. Исследовать особенности математического мышления старшеклассников. 2. Исследовать процесс формирования понятий на материале темы Комплексные числа . Описание методов.Контрольная работа. Для успешного усвоения понятия комплексного числа была разработана система поэтапной подачи материала.

С помощью методов стимулирования и мотивации интереса к учению заинтересовать учащихся тем, что они познакомятся с решением квадратных уравнений вне зависимости от дискриминанта, т.е. и в случае, когда D 0. После того, как учащиеся были заинтересованы, на первом занятии подготовить их к изучению нового материала. Это можно сделать, изложив исторический обзор методом рассказа - вступления. Кроме того, это позволяет учащимся узнать богатую историю возникновения и развития, необходимости введения

комплексных чисел. Также рассказ служит для них примером построения связной, логичной, убедительной речи, учит грамотно выражать свои мысли. При обобщении, систематизации и закреплении знаний используется комбинированный метод. Репродуктивный метод обеспечивает возможность получения умений и применения полученных знаний. Этот метод тесно переплетается с практическим методом, здесь наибольшей эффективностью отличаются упражнения. Используются все виды упражнений - устные, письменные, графические, комментированные и т.

д. На протяжении всей темы могут быть использованы ситуационный метод и обучающий контроль - устный и самоконтроль. На последнем занятии - контрольная работа, это есть письменный фронтальный контроль. Работа может быть проведена по карточкам, также в виде дифференцированного зачёта и т.д. Описание контингента испытуемых.Эксперимент проводился в СШ 5, в 11 классе. В этом классе 27 человек 16 мальчиков и 11 девочек .

Класс профильный, успеваемость средняя 2 отличника, 7 хорошистов, 4 неуспевающих. Математикой интересуются в различной степени 9-10 учащихся. В классе у 11 неполные семьи, у 15 - достаток в семье выше среднего, 1 девочка посещает уроки в школе редко по состоянию здоровья. В целом класс дружный, в основном ребята серьёзные, организованные.

Описание результатов исследованияЭксперимент проводился в 11 классе СШ 5. В группу испытуемых вошли 14 человек только те, кто изъявил желание. Учитывая загруженность расписания уроков, и то, что в исследовании участвовали не все учащиеся, занятия проходили во внеурочное время. Проводилось 8 занятий. Диагностическая часть После беседы с учителем математики выяснилась следующая информация круг интересов

ребят довольно ограничен. У данного класса достаточно высокий уровень самостоятельности и активности. Но для того, чтобы были высокие результаты на уроке, учитель должен их заинтересовать, организовать их деятельность. Высокий уровень этих качеств также проявляется во внеурочное время, например, при подготовке к проведению различных работ, мероприятий во время математической недели, и т.д. В простейших математических ситуациях учащиеся умеют применять приемы и операции мышления, но в сложных

ситуациях нужно натолкнуть, подсказать. В основном зависит от учителя, если нет проблемной ситуации, то и учащиеся не работают. Абстрактное мышление находится не на должном уровне, больше учащиеся мыслят конкретно, конечно это зависит от способа преподавания. Логическое мышление развито средне - успешно решают необходимый минимум задач такого типа, и 50 ребят без труда справляются с творческими заданиями. Учащиеся усваивают понятия вполне полно, чаще усваивается

необходимое количество признаков понятия, но 7 учащихся редко вообще что-либо усваивают, т.к. нет базы знаний и желания. Учитель часто указывает на связи и отношения различных понятий друг с другом, поэтому ученики легко ими пользуются. Также ребята в большинстве случаев умеют оперировать усвоенными понятиями при решении задач, бывают затруднения, поэтому немалую роль играет здесь наглядность, творческое мышление. В группу испытуемых вошли 14 человек, объяснить это можно любопытством учащихся, даже любознательностью.

Конечно, пришли дети, которые любят математику как предмет, наверняка, сыграла свою роль предварительная заинтересованность о решении квадратных уравнений с D 0. Многие из ребят хотят продолжить образование, где необходимо знание математики. Может быть, пришли некоторые, потому, что есть возможность проявить себя, попробовать свои силы в небольшой группе, поэтому пришли 4 слабых ученика. Возможно ребятами двигал и интерес к молодому педагогу.

Анализируя результаты усвоения темы Тригонометрические функции мы сделали вывод, что большинство учащихся это понятие усвоило. По результатам самостоятельной работы по этой теме качество знаний 65 - допустимое уровень обученности - 92 - высокий. Т.к. эта тема ребятами усвоена довольно успешно, то при изучении темы Комплексные числа думаем особых затруднений не возникнет, т.к. учащиеся обладают необходимыми ЗУН для усвоения этой темы. Анализ контрольной работы.

Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня. Для того, чтобы увидеть насколько эффективно проходила усвоение понятия комплексного числа, учащимся была предложена на последнем занятии письменная проверочная. В результате проверки контрольной работы по данной теме уровень обученности составил 100 , т.е. все учащиеся, посещавшие занятия, справились с контрольной работой.

Причем качество знаний по этой теме - 79 , а это достаточно высокий показатель. Ребята допускают в работе логические ошибки, что говорит о недостаточном развитии гибкости, глубины мышления. Большой процент процессуальных ошибок свидетельствует о невнимательности учащихся при решении задач, о поверхностности мышления, т.е. о формальном отношении к процессу решения. В целом учитывая ошибки по содержанию и качество знаний по данной теме можно сделать вывод, что контрольная

работа выполнена успешно, и это говорит об удачном завершении формирования понятия комплексного числа. Таким образом, после работы с научной и методической литературой по изучаемой теме делаем следующие выводы мышление старшеклассников становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным учебная деятельность старших школьников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности развитию мышления способствует работа над научными понятиями.

Процесс формирования понятия - это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание. Разрабатывая логическую структуру темы Комплексные числа и после проведения эксперимента в школе можем сделать следующие выводы 1. Изучение этой темы преследует следующие основные цели o повышение математической культуры учащихся o углубление представлений о понятии числа o дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки. 2. Учащиеся способны в 11 классе усвоить понятие комплексного числа,

как показало экспериментальное исследование. 3. Учащиеся вполне успешно усваивают содержание и объем понятия комплексного числа, связи и отношения данного понятия с другими, а также умеют оперировать этим понятием при решении практических задач. Заключение В процессе работы над дипломной работой решены частные задачи, подтверждена выдвинутая гипотеза и получены следующие результаты и выводы 1. Проведенный теоретический анализ литературы позволил обобщить представления

о продуктивных видах деятельности и выделить среди них деятельность поискового характера. Под поисковой деятельностью учащихся мы понимаем такой вид их учебной деятельности, характеристическими признаками которой являются направленность на развитие творческих умений учащихся постепенное увеличение доли самостоятельности учащихся планомерность наличие системы проблемных задач поискового и исследовательского характера направленность на поиск неизвестного способа решения, информации, обозначений, сферы и условий

приложения, закономерностей, свойств и т. д. использование при постановке проблемы и поиске плана решения интуитивных и эмпирических приемов деятельности реализация основных этапов исследовательской деятельности получение нового субъективно нового продукта деятельности. 2. Результаты анализа основных этапов отдельных видов творческой деятельности обусловили выделение трех ведущих приемов поисково-исследовательской деятельности постановки проблемы, выдвижения гипотезы,

доказательства гипотезы. 3. Разработана структурно-функциональная модель процесса формирования приемов поисковой деятельности учащихся, раскрыты особенности реализации этой модели в процессе обучения учащихся школьного курса Комплексные числа , определяемые в первую очередь спецификой данной учебной дисциплины. 4. Определены типы задач, которые обеспечивают наибольшую эффективность процесса формирования того или иного приема поисковой деятельности. В соответствии с определенными мною типами задач составлен

комплекс задач, направленный на формирование ведущих приемов поисково-исследовательской деятельности. 5. Элективный курс определен как одна из основных форм организации обучения в процессе формирования приемов поисковой деятельности. В его рамках формированию приемов способствует комплекс задач и сочетание различных форм учебной работы коллективной, групповой, парной, индивидуальной. 6. Экспериментально подтверждена эффективность разработанной методики формирования приемов поисковой

деятельности учащихся при изучении темы Комплексные числа . Полученные научные результаты могут быть использованы в качестве теоретической, а также практической основы для проведения дальнейших исследований по методике формирования приемов поисковой деятельности обучающихся в процессе изучения темы Комплексные числа в школьном курсе математики. Дальнейшие перспективы работы по теме могут быть связаны с созданием соответствующих спецкурсов.

Список использованных источников 1. Алгебра и начала анализа Под ред. ЯковлеваГ.Н. Ч2 - М. 1987 198 с. 2. АндроновИ.К. Математика действительных и комплексных чисел М. Просвещение, 1975 275 с. 3. Алимов Ш.А Колягин Ю.М Сидоров Ю.В Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа.

Пробный учебник 9-10 классов средней школы М. Просвещение, 1975 290 с. 4. Болтянский В.Г. Анализ - поиск решения задачи Математика в школе. 1974 1 С. 34-40. 5. Болтянский В.Г Сидоров Ю.В Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике М. Наука, 1971 353 с. 6. БордовскаяН.В. Педагогика

СПб. Знание, 2000 200 с. 7. БрадисВ.М. Методика преподавания математики в средней школе М. 1951 197 с. 8. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемного обучения М. Знание, 1983 116с. 9. Вавилов В.В, Мельников И.И Олехник С.Н Пасиченко П.И. Задачник по математике. Алгебра. Справочное пособие М. Наука, 1987 212 с. 10.

ВиленкинН.Я. Алгебра и математический анализ 11 М. Просвещение, 1995 287 с. 11. Виленкин Н.Я Ивашев-Мусатов О.С Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики 6-е изд М. Просвещение, 1998 315 с. 12. Вопросы общей методики преподавания математики

М. Просвещение, 1979 210 с. 13. ВысоцкаяС.И. Дидактические аспекты проблемы педагогического проектирования Новые исследования в педагогических науках - М. Просвещение, 154. -197с. 14. Галицкий М.А Мошкович М.М Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа М. Просвещение, 1989 232 с. 15. Гельфман Э.Г Холодная

Н.А. Психологический аспект исследования задач на уроках математики Роль и место задач в формировании системы основных знаний. Сб. науч. работ М. Изд-во НИИ школ МП РСФСР, 1976 34с. 16. Гордиенко Н.А Беляева Э.С Фирстов В.Е Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения Учебное пособие

Воронеж ВГПУ, 2004 312 с. 17. Дадаян А.А Новик И.А. Алгебра и начала анализа М. Просвещение, 1987 215 с. 18. ДемидовВ.П. Методика преподавания математики Саранск, 1976 401 с. 19. Из опыта преподавания математики в средней школе пособие для учителя. Сост. Соколов А.В Пикан В.В Оганесян В.А М. Просвещение,

1979 192 с. 20. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики М. Просвещение, 1995 303 с. 21. Марон С.Е. Рациональное сочетание методов обучения математике Математика в школе М. Просвещение ,1988 4 - с 27-29. 22. МетельскийН.В. Дидактика математики Минск Издательство

БГУ им.В.И.Ленина, 1982 600 с. 23. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. ОганесянВ.А. и др М. Просвещение, 1980 320 с. 24. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика М. Просвещение, 1985 312 с. 25. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. Избранные вопросы математики М. Просвещение, 1983 115 с.

26. Пособие по математике для поступающих в вузы Под ред. ЯковлеваГ.Н. Москва Наука 1982 125 с. 27. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Сборник нормативных документов М. Дрофа, 1998 215 с. 28. Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Тематическое планирование

М. Дрофа, 1998 197 с. 29. Фадеев Д.К Никулин М.С Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников М. Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987 289 с. 30. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике Решение задач учебное пособие для 10 классов средней школы

М. Просвещение, 1989 303 с.