Теорема Штольца Содержание работы 1. Формулировка идоказательство теоремы Штольца.2. Применениетеоремы Штольца a b нахождениепредела среднего арифметического первых n значений варианты c d .3. Применениетеоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.4. Нахождениенекоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца. Дляопределения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема,
принадлежащая Штольцу.Пусть варианта , причем хотя бы начиная снекоторого листа с возрастанием n и возрастает . Тогда ,Если только существуетпредел справа конечный или даже бесконечный .Допустим, что этот предел равен конечномучислу .Тогда по любомузаданному найдется такой номер N,что для n gt N будетили.Значит, какое бы n gt Nни взять, все дроби лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввидувозрастания yn вместе с номеромn,положительны, то между теми же границами
содержится и дробь, числитель которой есть сумма всех числителей, написанныхвыше дробей, а знаменатель сумма всех знаменателей. Итак, при n gt N.Напишем теперьтождество ,откуда.Второе слагаемое справа при n gt N становится lt первое же слагаемое,ввиду того, что , также будет lt , скажем, для n gt N . Если при этом взять N gt N, то для n gt N , очевидно что и доказывает нашеутверждение. Примеры 1.
Пусть, например Отсюда, прежде всеговытекает, что для достаточно больших n , следовательно, вместе с yn и xn, причем вариантаxnвозрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить кобратному отношению ибо здесь предел уже конечен ,откуда и следует, что , что и требовалось доказать. 2. При а gt 1Этот результат спомощью теоремы Штольца получается сразу 3.
Применим теоремуШтольца к доказательству следующего интересного предложения Если варианта anимеет предел конечный илибесконечный , то этот же предел имеет иварианта среднее арифметическое первых n значений варианты аn .Действительно, полагая в теореме Штольца Xn a1 a2 an, yn n,Имеем Например, если мы знаем, что , то и 4. Рассмотрим теперьварианту считая k-натуральным ,которая представляет неопредел нностьвида .
Полагая в теореме Штольцаxn 1k 2k nk,yn nk 1,будем иметь.Но n-1 k 1 nk 1- k 1 nk ,так что nk 1- n-1 k 1 k 1 nk и . 5. Определим пределварианты ,представляющей в первой форменеопределенность вида , а во второй вида . Произведя вычитание дробей,получим на этот раз неопределенное выражение вида .Полагаяxn равным числителю этойдроби, а yn знаменателю,применим еще раз ту же теорему.
Получим.Но ,а ,так что, окончательно Пример 1. .Пример 2 Пример 3 Теорема Штольца справедлива для последовательностей,но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можнообобщить для функций.Теорема.Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk, g xk 1 gt g xk , т.е. функция возрастающая.Тогда ,если только существует предел справа конечный илибесконечный.
Доказательство Допустим, что этотпредел равен конечному числу k.Тогда, по определениюпредела или.Значит, какой бы ни взять, все дроби , лежат между этими границами. Так как знаменатели их,ввиду возрастания g xn вместе с x n , положительны, то между теми же границами содержится идробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанныхвыше дробей, а знаменатель сумма всех знаменателей. Итак, при .Напишем тождество котороелегко проверить ,
Откуда.Второе слагаемое справа при становится первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.Примеры Найти следующиепределы 1. очевиднанеопределенность 2 2. неопределенность 03. неопределенность Литература 1. Задачи и упражнения по математическому анализу подредакцией Б.П.Демидовича. Издательство Наука , Москва 1996г.2.
Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального иинтегрального исчисления Физматгиз 1962г. Москва.