Сходящиеся последовательности

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся. Определение Последовательность xn называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность xn-а является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности xn. В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и

имеет своим пределом число ноль. Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности Последовательность xn называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа можно указать номер N такой, что при nN все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству xn-a . При этом число а называется пределом последовательности. Некоторые свойства сходящихся последовательностей

ТЕОРЕМА Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство Пусть a и b пределы сходящейся последовательности xn. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности xn, получим xnаn, xnbn, где n и n элементы бесконечно малых последовательностей n и n. Вычитая данные соотношения, найдем n-nb-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности

n-n имеют одно и то же постоянное значение b-a, то по теореме Если все элементы бесконечно малой последовательности n равны одному и тому же числу с, то с0 b-a0, т.е. ba. Теорема доказана. ТЕОРЕМА Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство Пусть xn - сходящаяся последовательность и а ее предел. Представим ее в следующем виде xnаn, где n- элемент бесконечно малой последовательности.

Так как бесконечно малая последовательность n ограничена по теореме Бесконечно малая последовательность ограничена то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство nА. Поэтому xn a A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности xn. Теорема доказана. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.

Например, последовательность 1, -1, 1, -1 ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей xn-a и xn1-a являлась бы бесконечно малой. Но тогда по теореме Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. xn-a xn1-axn xn1 была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. xn xn1 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА Сумма сходящихся последовательностей хn и yn есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей хn и yn. Доказательство Пусть а и b соответственно пределы последовательностей хn и yn. Тогда xnаn, ynbn, где n и n бесконечно малые последовательности. Следовательно, хn yn - а b nn. Таким образом, последовательность хn yn - а b бесконечно малая, и поэтому

последователдьность хn yn сходится и имеет своим пределом число аb. Теорема доказана. ТЕОРЕМА Разность сходящихся последовательностей хn и yn есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей хn и yn. Доказательство Пусть а и b соответственно пределы последовательностей хn и yn.Тогда xnаn, ynbn, где n и n бесконечно малые последовательности.

Следовательно, хn - yn - а - b n-n. Таким образом, последовательность хn - yn - а - b бесконечно малая, и поэтому последователдьность хn - yn сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана. ТЕОРЕМА Произведение сходящихся последовательностей хn и yn есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей хn и yn. Доказательство Пусть а и b соответственно пределы последовательностей хn и yn, то xnаn, ynbn и xnynabanbnnn.

Следовательно, xnyn-аbanbnnn. в силу теоремы Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность. последовательность anbnnn бесконечно малая, и поэтому последовательность xnyn-аb тоже бесконечно малая, а значит последовательность xnyn сходится и имеет своим пределом число аb. Теорема доказана. ЛЕММА Если последовательность yn сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является

ограниченной. Доказательство Пусть . Так как b0, то 0. Пусть N номер, соответствующий этому , начиная с которого выполняется неравенство yn-b или yn-b из этого неравенства следует, что при nN выполняется неравенство yn . Поэтому при nN имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена.

Лемма доказана. ТЕОРЕМА Частное двух сходящихся последовательностей xn и yn при условии, что предел yn отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей xn и yn. Доказательство Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности yn отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность .

Пусть а и b пределы последовательностей xn и yn. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как xnаn, ynbn, то .Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана. Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА Если элементы сходящейся последовательности xn, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xnb xnb, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству аb ab. Доказательство Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb. Предположим, что а b. Поскольку а предел последовательности xn, то для положительного b-a можно указать номер N такой, что при nN выполняется неравенство xn-a b-a.

Это неравенство эквивалентно -b-a xn-a b-a Используя правое из этих неравенств мы получим xn b, а это противоречит условию теоремы. Случай xnb рассматривается аналогично. Теорема доказана. Элементы сходящейся последовательности xn могут удовлетворять строгому неравенству xn b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn1n, то xn 0, однако . Следствие 1

Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей xn и yn, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству . Элементы последовательности yn-xn неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что . Следствие 2 Если все элементы сходящейся последовательности xn находятся на сегменте a,b, то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как аxnb, то acb. ТЕОРЕМА Пусть xn и zn- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности ynудовлетворяют неравенствам xnynzn. Тогда последовательность yn сходится и имеет предел а. Доказательство достаточно доказать, что yn-a является бесконечно малой. Обозначим через N номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы.

Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства xn-а yn-а zn-а. Отсюда следует, что при nN элементы последовательности yn-a удовлетворяют неравенству yn-a max xn-a, zn-a. Так как и , то для любого 0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при nN1 xn-a , а при nN2 zn-a . Итак последовательность yn-a бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей. ПРИМЕРЫ 1. Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было 0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n, что n . Поэтому для всех nn, а это означает, что .

2. Последовательность сходится и , что следует из того, что , и того, что . ЗАДАЧИ ЗАДАЧА 1 Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, удовлетворяет условию m, n 1, 2, 3 тогда последовательность , должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани. РЕШЕНИЕ Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань конечна.

Пусть 0 и . Всякое целое число n может быть представлено в форме nqmr, где r0 или 1, или 2 или m-1. Полагая единообразие а00, имеем anaqmramamamarqamar ЗАДАЧА 2 Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, удовлетворяет условию тогда существует конечный предел , причем n 1, 2, 3 РЕШЕНИЕ Из неравенств 2am-1 a2m 2am1 получаем Ряд сходится, ибо в силу неравенства он мажорируется сходящимся рядом a12-12-22-3 запишем целое число

n по двоичной системе n2m12m-122m-2m 1, 2 m 0 или 1 согласно предположению . Применяя теорему 1 для данных s00, s1 , sm-1 , sm pn00, pn1 pn, m-1 pn, m10 заключаем, что . Наконец, в силу имеем . ЗАДАЧА 3 Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup. РЕШЕНИЕ

Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2 sn, ограничены. Пусть l - целое положительное число, l 2 и . Разобьем числовую прямую на l интервалов точками m, m2 M-2, M . Выберем такое N, чтобы для n N выполнялось неравенство sn-sn1 . Пусть, далее, sn1 n1 N лежит в первом интервале и sn2 n2 n1 в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут перепрыгнуть ни один из l-2 промежуточных интервалов

длиной . Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не медленно восходящей, а медленно нисхожящей. ЗАДАЧА 4 Пусть для последовательности t1, t2 tn, существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел , что для каждого n .Тогда числа t1, t2 tn, лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами. РЕШЕНИЕ Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно

нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу. ЗАДАЧА 5 Пусть v1, v2 vn положительные числа, v1 v2 v3 Совокупность предельных точек последовательности , заполняет замкнутый интервал длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧА 6 Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших. ЗАДАЧА 7 Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой. РЕШЕНИЕ При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности.

Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности. ЗАДАЧА 8 Пусть l1, l2, l3 lm последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3 ln-1. РЕШЕНИЕ Пусть задано целое положительное число m и наименьшее из чисел l1, l2, l3 lm 0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем .

Пусть n наименьший номер, для которого ln . Тогда n m ln l1, ln l2 ln ln-1. ЗАДАЧА 9 Пусть l1, l2, l3 lm последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln превосходит все следующие за ним члены ln1, ln2, ln3, ЗАДАЧА 10 Пусть числовые последовательности l1, l2, l3 lm, lm 0, s1, s 2, s 3 s m, s1 0, sm1 sm, m1, 2, 3, обладают тем свойством, что Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются

неравенства ln ln1, ln ln2, ln ln3, lnsn ln-1sn-1, lnsn ln-2sn-2, lnsn l1s1, РЕШЕНИЕ Будем называть lm выступающим членом последовательности, если lm больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов пусть это будут , Каждый невыступающий член lv заключается для v n1 между двумя последовательными выступающими членами, скажем nr-1 v nr. Имеем последовательно , значит отсюда заключаем, что

Действительно, в противном случае , значит, в силу и вся последовательность l1s1, l2s2, были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и наименьшее из чисел , 0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем . Пусть k наименьший номер, для которого . Тогда k m . ЗАДАЧА 11 Если числовая последовательность , стремится к и

А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n возможно несколько таких, n1, что n отношений все не больше А, а бесконечное множество отношений ,все не меньше А. РЕШЕНИЕ Имеем . Пусть минимум последовательности L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, Будет Ln-nA тогда Ln-u-n-uA Ln-nA Lnv-nvA Ln-nA, u1, 2 n v1, 2, 3, n0 исключено в силу предложений относительно

А. ЗАДАЧА 12 Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3 lm, предполагается лишь, что .Пусть, далее, А l1. Тогда существует такой номер n, n 1, что одновременно выполняются все неравенства .Если А, то также n. РЕШЕНИЕ Пусть l1l2l3lmLm, m1, 2, 3, L00. Так как L1-A 0, то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln1A поэтому ln1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с

А. ЗАДАЧА 13 Пусть числовая последовательность l1, l2, l3 lm, удовлетворяет условиям , Пусть, далее, l1 A 0. Тогда существует такой номер n, n 1, что одновременно выполняются все неравенства .Если А0, то также n0. РЕШЕНИЕ Положим l1l2l3lmLm, m1, 2, 3, L00. Тогда . Последовательность L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A Lm-mA, стремится к Пусть ее наибольший член будет

Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n. В последовательности L0, L1 Lm, содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда числа все положительны коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки n, Ln должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.