Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией

Министерствообразования Российской ФедерацииБашкирскийгосударственный педагогический университет Кафедраматематического анализа Дипломная квалификационная работаАвтор Гарипов Ильгиз.Тема Свойства усредненнойфункции с сильной осцилляцией. К защите допущен Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.Руководитель д.физ-мат. наук. профессор

Султанаев Я.Т.Уфа2001Содержание Стр. Введение 1 Свойства функции . 2 Свойства функции и ее производных. 52.1 52.2 62.3 где a gt 3 Поведение 4 Поведение 16Заключение 17Литература 18 Введение Пусть произвольная функция, определенная на , и при Введем в рассмотрениефункцию с помощью следующегоравенства 1

Назовем эту функциюусреднением функции Это название оправданотак как из 1 и теоремы о среднем для интегралов можем заключить 2 Свойства функции .1. Если , при , то при Доказательство , , N gt 0, 3 Дифференцируя формулу 1 по dx получаем 2 I Рассмотрим вид функции для случаев когда 2.1 2.2 2.3 где a gt 0 Разделим интеграл на дваинтеграла и вычислим их отдельно.

Второй интеграл неоказывает влияния на первый, так как прифункция стремится к 0.Доказательство Рассматривая второй интеграл, мыполучаем Рассматривая первыйинтеграл, получаем Последние дваслагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x эти слагаемыебудут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малымпо сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при Следовательно 2.4.

Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведениефункции.Рассматривая полученное выражение можно заметить что становится пренебрежительно малым поотношению к остальной части как только . Ограничение 1В тоже время Становится бесконечно малым кактолько . Ограничение 2Раскрывая в оставшейся частискобки, по Биному Ньютона получаем, что должен быть очень малым при то есть так как ограниченная функция,к 0 должен

стремится . Ограничение 3Учитываяограничения 1, 2, 3 получаем Следовательно, ограничение на удовлетворяющеепоставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции . 3 Рассмотрим поведение функции дляслучаев 3.3 Вычислимотдельно интегральное выражение, стоящее в числителе рассматривая пределы при видим что на поведениефункции оказывает влияние только главный член Поведение данной функции при эквивалентно поведениюфункции

Вычислим интеграл в знаменателе Учитывая и получаемСледовательно, по формуле 2 получаем 3.4 Отдельно вычислим числитель и знаменатель По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл неоказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, чточислитель эквивалентен выражению Вычислим знаменатель Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем

По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияетна поведение функции при Следовательно,знаменатель 4. Рассмотримповедение второй производной Для облегчения вычислений введем обозначения При этом формула для примет вид 4.1 Виду того, что d x очень мал то будет несравним с d x т.е.4.2 используя равенства,полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим квыражению

Все выкладки приводить небуду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что всевыкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения иэквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2 .Отсюда следует что 4.3 Используя данные, полученные вп.3.3 получаем что Возвращаясь к п. 3.3 находим Вычисляя по формуле 6, получаем и 4.4 и

ЗаключениеВ результате проведенного исследования поведенияусредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данныеприведенные в следующей таблице