„K„…„‚„ѓ„Ђ„r„p„‘ „‚„p„q„Ђ„„„p „Ѓ„Ђ „S„B „y „M„R

Федеральное агентство Российской Федерации по образованию МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Курсовая работа по ТВ и МС Критерий согласия Пирсона Выполнил Проверил Москва, 20 гОглавление Теоретическая частьстрИсходные данные 1.Основные непрерывные распределения2. Распределений хи-квадрат3.Выборка4.Понятие о точечном и интервальном оценивании.

Свойства точечных оценок несмещенность и состоятельность 5.Метод моментов. Метод максимального правдоподобия96. Выборочные моменты7.Проверка гипотезы о законе распределения выборки по критерию согласия К. Пирсона ч2 - хи-квадрат10Практическая часть12Список использованной литературы16 Вариант 13 Проверка статистической гипотезы о законе распределения Исходные данные набор наблюдений -11,963-19,197-8,6531,416-16,5340,409-2, 982-12,845-19,371-16,969-9,076-2,5900,52 7-20,332-5,936-12,820-7,841-6,679-20,562

-16,5340,525-21,010-7,953-10,732-1,374-1 2,326-19,110-16,415-16,538-1,626-9,033-6 ,5830,031-9,910-4,721-2,234-2,665-10,179 -9,175-0,370-3,6270,568-1,1395-21,990-5, 8541,330-8,380-16,095-12,347-4,892-9,130 -3,684-2,105-15,098-6,647-5,758Теоретиче ская часть 1.Основные непрерывные распределения 1. Равномерное распределение СВ Х распределена равномерно на отрезке a b XRa b , если плотность вероятности имеет вид mx ab2

Dx b-a212 уx2 уxb-a2 v2 Экспоненциальное распределение лe-лe, x 0 fxx 0, x 0 1-e-лx , x 0 Fx x 0, x 0 MX x fxx dx x лe-лxdx 1xte-tdt 1x mx 1л DX MX2 mx2 x2 лe-лxdx- 1x2 Dx 1л2 у x vDx 1x Этим распределением описываются многие важные величины время безотказной работы изделия, длина промежутка времени между звонками на телефонной станции, время обслуживания клиента в системе массового обслуживания.

При этом параметр л имеет следующий смысл если х- время обслуживания клиента x 0, то mxMX среднее время обслуживания клиента mx1л л1mx ожидаемое количество обслуживания клиентов в единицу времени. TEл PT1 T T2 FTT2 FTT1 1-exp-л T2 1-exp-л T1 exp-л T1 exp-л T2 0 T1 T3.Нормальное гауссовское распределение. CВ Х имеет нормальное распределение с параметрами а и

D 0, если ее плотность вероятности имеет следующий вид fxx12рD exp-x-a2 D XNa D MX mx a DX Dx уx2 D XNmx уx2 у1 у2 у2 у1 m2 m1 Функция распределения нормальной СВ имеет следующий вид Fxx Фx- mx уx, где Фz 12рexp-x22dx интеграл вероятности или функция Лапласа Замечание часто вместо функции Фz используется функция

Ф0z 12рexp-x22dx Связь между функциями следующая 0,5 Ф0z, если z 0 Фz 0,5 Ф0z, если z 0 Функция Лапласа обладает следующими свойствами 1 0 Фz 1 2 Фz возрастает 3 Фz1, если z 5 4 Фz0, если z -5 Вычисление вероятности попадания гауссовской величины в отрезок XNmx уx2 Fxx Фx- mx уx Fxx Фx- mx vDx Pб X в Fxв Fxб

Фв - mx уx Фб - mx уx Замечание пусть mx0, уx21, тогда Х имеет распределение XN0 1 стандартное нормальное распределение Fxx Фx Следовательно функция Лапласа есть распределение стандартной нормальной СВ Pб X в Фв Фб для XN2. Распределений хи-квадрат. Пусть Uk, k 1,n набор из n независимых нормально распределенных

СВ, UkN1. Тогда СВ ХnUk2 имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, что обозначается как Хnч2n. Число ч2n находится по таблице распределения ч2. Это число зависит от степеней свободы n и от уровней значимости б. Стандартный б0,3.Выборка Х1, Х2 Хn независимые одинаково распределенные СВ. Такая последовательность называется выборкой объема n.

Пусть в результате конкретного опыта СВ Х приняла какое-то значение Х1х1, Х2х2 Хnхn Хk реализация СВ Хk в k-м опыте k1n x1, x2 xn реализация выборки объема n По условию СВ Х1, Х2 Хn, которые называются элементами выборки одинаково распределены, т.е. функция распределения Fx x Fx x для всех k, i 1 n Fx x F1 x Fx функция распределения любого элемента выборки Выборка соответствует закону распределения

Fx fx dFxdx плотность вероятности, которой соответствует выборка. MXk MX1 x fxdx a const DXk DX1 x2 fxdx - a2 у2 const a у2 параметры выборки Оценивание математического ожидания и дисперсии по выборке x1, x2 xn реализация выборки. Оценкой мат. ожидания а по этой выборке называется величина Xn 1n xk выборочное среднее Реализацией выборки называется неслучайный вектор zn colx1 xn, компоненты

которого являются реализации соответствующих элементов выборки Xi, i1,n. Реализацию выборки можно так же рассматривать как последовательность x1 xn из n реализаций одной и той же СВ Х, полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений. Т.о. Хn аn оценка для а Замечание можно показать, что оценка

Хn обладает следующим свойством 1 Хna при n состоятельность оценки Хn 2 MXna несмещенность оценки Выборочной дисперсией называется величина Sn2 1n-1 xk Xn2 Выборочная дисперсия является оценкой для дисперсии Sn2у2 уn v Sn2 Sn оценка среднего квадратичного отклонения. Выборочная эмпирическая функция распределения. Упорядочить элементы выборки по возрастанию

МnA случайное число появлений события A в серии из n испытаний WnA МnAn частота события А в серии из n испытаний Рассмотрим выборку Zn, порожденную СВ Х с функцией распределения Fxx. Определим для каждого х R1 событие Aх X x, для каждого PAх Fxx. Тогда МnAх случайное число элементов выборки

Zn, не превосходящих х Определение. Частота МnAх события Aх как функция х R1 , называется выборочной эмпирической функцией распределения СВ Х и обозначается Fnx МnAх. Для каждого фиксированного х R1 СВ Fnx является статистикой, реализациями которой являются числа 0, 1n, 2n nn, и при этом PFnx kn PМnAхk, k 1,n. Любая реализация

Fnx выборочной функции Fnx является ступенчатой функцией. В точках х1 хn, где хk реализация порядковой статистики Xk, функция Fnx имеет скачки величиной 1n и является непрерывной справа. Свойства. 1 M Fnx Fx, для любого х R1 и любого n 1 2 Sup Fnx- Fx 0 при n 3 dnx MFnx- Fx2 Fx1-Fxn 14n 4 Fnx-

Fxvdnx U при n , где СВ U имеет распределение N0 1 Гистограмма 1 Построить вариационный ряд выборки, т.е. элементы выборки упорядочить по возрастанию x1 xn x1 xn х1 хn Промежуток Д x1, xn называется размахом выборки. Все наблюдения принадлежат этому промежутку. 2Группировки выборки. Для этого размах выборки делится на k промежутков одинаковой длины.

Дi - длина промежутка Дi Д1Д2ДnДk nm число наблюдений попавших в интервал Группировкой выборки называется набор следующего вида. Дm nm , m1 k статистический ряд 2 Построение гистограммы Для каждого промежутка Дm находится частота Pm nmn Над каждым промежутком Дm строится прямоугольник, основанием которого является этот промежуток, а высота

равна hm Pm Дm Гистограммой называется кусочно-постоянная функция, образованная верхними основаниями построенных прямоугольников. Гистограмма является оценкой плотности вероятности, построенной по выборке. 4.Понятие о точечном и интервальном оценивании. Свойства точечных оценок несмещенность и состоятельность. Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений и Точечной выборкой оценкой неизвестного параметра распределения и

И называется произвольная статистика ИZn, построенная по выборке Zn и принимающая значение в множестве И. Свойства 1 Оценка иZn параметра и называется состоятельной, если она сходится по вероятности к и, т.е. иZn и при n для любого и И. 2 Оценка иZn параметра и называется несмещенной, если ее МО равно и, т.е. MиZn и для любого и И. 5.Метод моментов.

Метод максимального правдоподобия. Оценкой максимального правдоподобия МП-оценкой параметра и И называется статистика иzn, максимизирующая для каждой реализации Zn функцию правдоподобия, т.е. иzn arg max Lzn, и Способ построения МП-оценки называется методом максимального правдоподобия. Пусть vi, i1,s выборочные начальные моменты. Рассмотрим систему уравнений vi и vi, i1,s и предположим,

что ее можно решить относительно параметров и1 иs, т.е. найти функции иiцiv1 vs, i1,s Решением полученной системы уравнений иiцiv1 vs, i1,s, называется оценкой параметра и, найденной по методу моментов, или ММ-оценкой. 6. Выборочные моменты Пусть имеется выборка Zncolx1 xn которая порождена СВ Х с функцией распределения Fxx. Для выборки Zn объема n выборочными начальными и центральными моментами

порядка r СВ Х называются следующие СВ vrn 1nxkr, r 1,2 м rn 1nxk- vrnr, r 2,3 Выборочным средним и выборочной дисперсией СВ Х называются соответственно mXn v1n 1nxk dXn м 2n 1nxk- mXn2 7.Проверка гипотезы о законе распределения выборки по критерию согласия К. Пирсона ч2 - хи-квадрат СВ Х имеет распределение ч2 с r степенями свободы. Если ее можно представить в следующем виде Х Хi2 , где

Хi N0 1 Х ч2r Плотность вероятности этой СВ имеет следующий график Критическая и доверительная область Х ч2r Критической областью значений СВ Х называется промежуток на вещественной оси, в которой СВ Х попадает с некоторой малой вероятностью б. Это число б называется уровнем значимости критической области. S критическая область PXS б 1 SR - S доверительная область

PXS 1-б близка к 1 Для задания критической области S распределения Пирсона поступают следующим образом PX чкр2r б S чкр2r PXS б по построению S 0, чкр2r доверительная область Замечание число ч2r находится по таблице распределения ч2. Это число зависит от степеней свободы r и от уровней значимости б.

Стандартный б0,05 Алгоритм критерия Пирсона 1 Формулировка гипотезы Н0 имеющаяся выборка соответствует закону распределения Fx 2 Производится группировка выборки и вычисление частот Pm, m1чk 3 Для каждого подынтервала Дm вычисляется вероятность попадания реализации выборки в этот промежуток на основе принятой гипотезы Дmzm zm1 Pm Fzm1 Fzm m1чk 4

Вычисляется статистика критерия Пирсона gnnPm Pm2 PmnP0 Pm1, где P0 Pm11- Pm, n-объем выборки Теорема. Если проверяемая гипотеза Н0- верна, то СВ gn называемая статистикой критерия Пирсона имеет распределение gn ч2r rkn1- n2-1 k число интервалов n1 число дополнительных интервалов n2 число неизвестных параметров распределения Fx, которые были заменены их оценкой.

5 Принятие решения. Строится критическая область S S чкр2r Если gn S, то гипотеза отвергается Если gn S, то гипотеза принимается, как не противоречащая данным Практическая часть Вариант 13 Исходные данные набор наблюдений -11,963-19,197-8,6531,416-16,5340,409-2, 982-12,845-19,371-16,969-9,076-2,5900,52 7-20,332-5,936-12,820-7,841-6,679-20,562 -16,5340,525-21,010-7,953-10,732-1,374-1 2,326-19,110-16,415-16,538-1,626-9,033-6 ,5830,031-9,910-4,721-2,234-2,665-10,179

-9,175-0,370-3,6270,568-1,1395-21,990-5, 8541,330-8,380-16,095-12,347-4,892-9,130 -3,684-2,105-15,098-6,647-5,758 1.Найдем оценку математического ожидания и выборочную дисперсию. MX X 1n УXk 156 -11,963-19,371 -5,758 -8,661 DX S2 1n УXk X 2 156 -11,963 -8,661 2 -19,371 -8,6612 -5,758 -8,661 2 46,075 MX -8,661 DX 46,075 2. Построение графика выборочной функции распределения и гистограммы.

1. Построим вариационный ряд выборки -21,990-16,969-12,845-9,910-7,953-5,758- 2,5900,031-21,010-16,538-12,820-9,175-7, 841-4,892-2,2340,409-20,562-16,534-12,34 7-9,130-6,679-4,721-2,1050,525-20,332-16 ,534-12,326-9,076-6,647-3,684-1,6260,527 -19,371-16,415-11,963-9,033-6,582-3,627- 1,3950,568-19,197-16,095-10,732-8,653-5, 936-2,982-1,3741,330-19,110-15,098-10,17 9-8,380-5,854-2,665-0,3701,416 2. Вычислим выборочные функции распределения Fx mxn, mx количество наблюдений меньших или равных числа x F-21,991560,02 F-21,012500,04 . F1,3349500,98 F1,41650501 3.Построение гистограммы. 1.m номер интервала , m1 k k число интервалов nm число наблюдений попавших в каждый интервал

Pm nm n частота m - длина каждого интервала hm Pmm - высота столбца 2. Группировка выборки K8 12k2,926 Статистический ряд m nm, m1 k -21,99 -19,065 7, m 1 -19,065 -16,139 5, m 2 -16,139 -13,213 2, m 3 -13,213 -10,287 6, m 4 -10,287 -7,361 10, m 5 -7,361 -4,436 8, m 6 -4,436 -1,51 8, m 7 -1,51 1,41610, m 8 3.Найдем частоты для каждого интервала P1 0,125 P2 0,09 P3 0,036 P4 0,107 P5 0,179 P6 0,143

P7 0,143 P8 0,179 4.Найдем высоты столбцов гистограммы h1 0,043 h2 0,03 h3 0,012 h4 0,037 h5 0,061 h6 0,049 h7 0,049 h8 0,061 5. H0 имеющаяся выборка соответствует закону распределения Ra b. 4. 1. Находим a -21,99 b 1,416 2. Найдем вероятности попадания СВ в интервалы PX1 PX2 PXk 0,125 PX0 X - -21,99 0 PXk1 X 1,416 0 3. Статистика критерия Пирсона gnnУPm- Pm2

Pm nP0 Pk1 g56 7,143 5. Принятие решения чб2r квантиль распределение хи-квадрат уровня б с числом степеней свободы r. r k n1 n2 1 k количество интервалов n1 число дополнительных интервалов n2 число неизвестных параметров закона распределения, для которых были сделаны оценки r 5 ч0,9525 11,07 по таблице Доверительная область 0 11,07 7,143 0 11,07 гипотеза H0 принимается с вероятностью 0,95 ч0,925 9,24 по таблице

Доверительная область 0 9,24 7,143 0 9,24 гипотеза H0 принимается с вероятностью 0,9 6. Найдем интервал, в который СВ X попадает с вероятностью 0,99 P1 X 2 0,99 1 и 2 -21,99 1,416 1- -21,991,416 21,99 2- -21,991,416 21,990,99 1- 223,172 если 1 -21,99, тогда 2 1,182 СВ Х попадает в -21,99 1,182 с вероятностью 0,99 Список использованной литературы 1. Конспект лекций по курсу

ТВиМС 2. Теория вероятностей и математическая статистика. А.И. Кибзун и др. М. Физматлит 2005