Системы дифференциальных уравнений

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При решении многих задач требуется найти функции y1 y1 x , y2 y2 x yn yn x , которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент x, искомые функции y1, y2 , yn и их производные. Рассмотрим систему уравнений первого порядка 1 где y1, y2 , yn искомые функции, x аргумент. Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат

производных, называется нормальной. Проинтегрировать систему значит определить функции y1, y2 ,yn, удовлетворяющие системе уравнений 1 и данным начальным условиям 2 Интегрирование системы вида 1 производится следующим образом. Дифференцируем по x первое из уравнений 1 Заменяя производные их выражениями f1, f2 , fn из уравнений 1 будем иметь уравнение Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем .

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение Итак, мы получаем следующую систему 3 Из первых n-1 уравнений определим y2, y3 ,yn, выразив их через x, y1 и производные 4 Подставляя эти выражения в последнее из уравнений 3 , получим уравнение n-го порядка для определения y5 Решая это уравнение, определим y6 Дифференцируя последнее выражение n-1 раз, найдем производные как функции от x,

C1, C2 ,Cn. Подставляя эти функции в уравнение 4 , определяем y2, y3 ,yn 7 Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям 2 , остается лишь найти из уравнений 6 и 7 соответствующие значения постоянных C1, C2 ,Cn подобно тому, как это делалось в случае одного дифференциального уравнения . Замечание 1. Если система 1 линейна относительно искомых функций, то и уравнение 5 будет линейным.

Замечание 2. В приведенных рассуждениях мы предполагали, что из первых n-1 уравнений системы 3 можно определить функции y2, y3 ,yn. Может случиться, что переменные y2,y3 ,yn исключаются не из n, а из меньшего числа уравнений. Тогда для определения y мы получим уравнение, порядок которого ниже n. В дифференциальные уравнения системы могут входить производные высших порядков. В этом случае получается система дифференциальных уравнений высших порядков.

Так, например, задача о движении материальной точки под действием силы F сводится к системе трех дифференциальных уравнений второго порядка. Пусть Fx, Fy, Fz проекции силы F на оси координат. Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z. Следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекция вектора скорости точки на оси координат будут

Предположим, что сила F, а следовательно, и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, положения x, y, z точки и от скорости движения точки, т.е. от Искомыми функциями в этой задаче являются три функции x x t , y y t , z z t . Эти функции определяются из уравнений динамики закон Ньютона 8 Получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка.

В случае плоского движения, т.е. движения, когда траекторией является плоская кривая лежащая, например, в плоскости Oxy , получаем систему двух уравнений для определения функций x t и y t 9 . 10 Решать систему дифференциальных уравнений высших порядков можно путем сведения ее к системе уравнений первого порядка. На примере уравнений 9 и 10 покажем, как это делается. Введем обозначения , . Тогда , . Система двух уравнений второго порядка 9 ,

10 с двумя искомыми функциями x t и y t заменяется системой четырех уравнений первого порядка с четырьмя искомыми функциями x, y, u, , , . Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений 1 где коэффициенты aij суть постоянные. Здесь t аргумент, x1 t , x2 t , xn t искомые функции. Система 1 называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решить путем сведения к одному уравнению n-го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему 1 и другим методом, не сводя к уравнению n-го порядка. Этот метод дает возможность более наглядно анализировать характер решений. Будем искать частное решение системы в следующем виде 2 Требуется определить постоянные 1,2 ,n и k так, чтобы функции 1ekt,

2ekt, ,nekt удовлетворяли системе уравнений 1 . Подставляя их в систему 1 , получим Сократим на ekt . Перенося все члены в одну сторону, собирая коэффициенты при 1,2 ,n , получим систему уравнений 3 Выберем 1,2, ,n и k такими, чтобы удовлетворялась система 3 . Эта система есть система линейных алгебраических уравнений относительно 1,2, ,n. Cоставим определитель системы 4 Если k таково, что определитель отличен от нуля, то система 3 имеет

только нулевые решения 1 2 n 0, а следовательно, формулы 2 дают только тривиальные решения . Таким образом, нетривиальные решения 2 мы получим только при таких k, при которых определитель 4 обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-го порядка для определения k 5 Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы 1 , его корни называются корнями характеристического уравнения. Рассмотрим несколько случаев.

1 Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через k1, k2 ,kn корни характеристического уравнения. Для каждого корня ki напишем систему 3 и определим коэффициенты Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем для корня k1 решение системы 1 для корня k2 решение системы 1 для корня kn

решение системы 1 Путем непосредственной подстановки в уравнения, можно убедиться, что система функций 6 где C1, C2 ,Cn произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений 1 . Это есть общее решение системы 1 . Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям. 2 Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.

Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня Этим корням будут соответствовать решения 7 8 Коэффициенты и определяются из системы уравнений 3 . Действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения 9 где - действительные числа, определяемые через и . Соответствующие комбинации функций 9 войдут в общее решение системы.

Аналогичным методом можно находить решения системы линейных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами. В механике и теории электрических цепей исследуется, например, решение системы дифференциальных уравнений второго порядка 10 Снова ищем решение в форме , . Подставляя эти выражения в систему 10 и сокращая на ekt , получаем систему уравнений для определения , и k 11 Отличные от нуля и определяются только в том случае, когда определитель

системы будет равен нулю 12 Это есть характеристическое уравнение для системы 10 оно является уравнением 4-го порядка относительно k. Пусть k1, k2 , k3 и k4 его корни предполагаем, что корни различны . Для каждого корня ki из системы 11 находим значения и . Общее решение, аналогично 6 , будет иметь вид Если среди корней будут комплексные, то каждой паре комплексных корней в общем решении будут соответствовать выражения вида 9 .