Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯР.Ф.КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной и высшей математикиЛабораторная работа 43на тему Решение смешанной задачи дляуравнениягиперболического типа методом сетокГруппа М-2136Выполнилстудент Проверилпреподаватель Воронова ЛилияИвановна Курган 1998Рассмотрим смешаннуюзадачу для волнового уравнения 2u t2 c 2 2u x2 1 .

Задача состоитв отыскании функции u x,t удовлетворяющей данному уравнению при 0 lt x lt a, 0 lt t T, начальным условиям u x,0 f x , u x,0 t g x , 0 x a и нулевымикраевыми условиями u 0,t u 1,t 0.Так как замена переменныхt ct приводит уравнение 1 к виду 2 u t2 2u x2 ,то в дальнейшембудем считать с 1.Для построения разностнойсхемы решения задачи строим в области D x,t 0 x a, 0 t T сетку xi ih, i 0,1 n , a h n, tj j ttt , j 0,1 , m, t m

T и аппроксимируем уравнение 1 в каждом внутреннем узлесетки на шаблоне типа крест . t T j 1 j j-1 0 i-1 i i 1 Используя дляаппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаемследующую разностную аппроксимацию уравнения 1 . ui,j 1 - 2uij ui,j-1 ui 1 j - 2uij ui-1, j t 2 h4 Здесь uij -приближенное значение функции u x,t в узле xi,tj . Полагая, что l t h , получаем трехслойную разностную схемуui,j 1 2 1- l 2 ui,j l 2 ui 1,j- ui-1,j

- ui,j-1, i 1,2 n. 5 Для простоты в даннойлабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е. m 1 t 0, m 2 t 0. Значит, в схеме 5 u0,j 0, unj 0 для всех j.Схема 5 называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j ,j 1. Схема 5 явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,jчерез значения u с предыдущих двух слоев.Численное решение задачисостоит в вычислении приближенных значений ui,j решения u x,t вузлах xi,tj при

i 1, n, j 1,2, ,m . Алгоритмрешения основан на том, что решение на каждом следующем слое j 2,3,4, n можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев j 0,1,2, ,n-1 по формуле 5 . На нулевом временном слое j 0 решение известно изначального условия ui0 f xi .Для вычисления решения напервом слое j 1 в данной лабораторной работе принят простейший способ,состоящий в том, что если положить u x,0 t u x, t - u x,0 t 6 , то ui1 ui0 t xi ,i 1,2, n.

Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применятьформулу 5 . Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений сдвух предыдущих слоев по формуле 5 . Описанная выше схемааппроксимирует задачу с точностью до О t h2 . Невысокий порядок аппроксимации по t объясняется использованием слишкомгрубой аппроксимации для производной по е в формуле 6 .Схема устойчива, есливыполнено условие

Куранта t lt h. Это означает, что малые погрешности,возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будутнеограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. Привыполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. приh 0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходнойсмешанной задачи.Недостаток схемы в том,что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x , появляетсяограничение

на величину шага t по переменной t . Если необходимо произвестивычисление для большого значения величины T , то может потребоваться большоеколичество шагов по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всехявных разностных схем. Для оценки погрешностирешения обычно прибегают к методам сгущения сетки.Для решения смешаннойзадачи для волнового уравнения по явной разностной схеме 5 предназначеначасть программы,

обозначенная Subroutine GIP3 Begn End . Даннаяподпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с двухпредыдущих слоев.Входные параметры hx - шаг сетки h попеременной х ht - шаг сетки t по переменной t k - количество узловсетки по x, a hn u1 - массив из kдействительных чисел, содержащий значение решений на j - 1 временном слое,j 1, 2, u2 - массив из nдействительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j 1, 2, u3 - рабочий массив из kдействительных чисел.

Выходные параметры u1 - массив из nдействительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j 1, 2, u2 - массив из nдействительных чисел, содержащий значение решения из j 1 - м временномслое, j 1, 2, .К части программы,обозначенной как Subroutine GIP3 Begin End происходит циклическоеобращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива u2присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на решенияна первом слое, вычислинные

по формулам 6 . При выходе из подпрограммы GIP3 вмассиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 -значение решения на предыдущем слое.Порядок работы программы 1 описание массивов u1,u2, u3 2 присвоение фактическихзначений параметрам n, hx, ht, облюдая условие Куранта 3 присвоение начальногозначения решения элементам массива и вычисленное по формулам 6 значениерешения на первом слое 4 обращение к

GIP3 вцикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое k sup3 2 .Пример 0.5 Решить задачу о колебанииструны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение которойизображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить сшагом h по x, равным 0.1, с шагом t по t, равным 0.05,провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждомслое.

Таким образом, задача имеет вид 2 u t2 2 u x 2 ,x 0 , 1 , t 0 , T ,u x , 0 f x ,x 0 , a , u x,0 t g x , x 0 , a ,u 0 , t 0, u 1 , t 0, t 0 , 0.8 , 2x , x 0 , 0.5 ,f x g x 0 2 - 2x ,x 0.5 , 1 ,Строим сетку из 11 узловпо x и выполняем вычисления для 16 слоев по t. Программа, и результатывычисления приведены далее.