Прямая Эйлера

Прямая Эйлера Содержание.Введение.Делениеотрезка в данном отношении.Теоремао пересечении медиан треугольника в одной точке.Теоремао высотах произвольного треугольника.ПрямаяЭйлера.Медианытетраэд ра.Высотытетраэдра.ПрямаяЭйлера тетраэдра.Использованныеисточники информации.Вступление.Свойстватреугольни ка были хорошо изучены еще древними

греками. В знаменитых Началах Евклида доказывается,что центром окружности, описанной около треугольника, является точкапересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Архимед, определяя положение центра тяжестиоднородной треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трехмедиан. Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести илицентроидом треугольника. Позднее было доказано, что три высотытреугольника также пересекаются в одной точке, которая

называется его ортоцентром. Закономерность в расположении этих трех замечательныхточек треугольника центра O описаннойокружности, центроида G, ортоцентраH впервые обнаружил знаменитыйматематик Леонард Эйлер 1707-1783 . Рассмотримсначала один частный случай прямоугольный треугольник ABC рис.1 . СерединаO гипотенузы AB является центром описанной около него окружности.Центроид G делит медиану CO вотношении 1 2, считая от вершины

C. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угласовпадает с ортоцентром H треугольника.Таким образом, точки O,G,H лежатна одной прямой, причем OH 3OG. Пользуясьметодом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существуетмежду тремя указанными точками любого треугольника. Мы докажем этот факт спомощью векторов.

Делениеотрезка в данном отношении. Пусть A,B,O данные точки плоскости, и известно, что точкаGделит отрезок AB в отношении k k рис.2 . Выразимвектор OG через векторыOA и OB. Для этого подставим в равенство AG k GBвыражения всех векторов через OG, OA и OB OG-OA k OB-OG . Решая это уравнение относительно OG, получим OG 1 Например, если G середина отрезка

AB, то k 1 и OG OA OB . Теоремао пересечении медиан треугольника в одной точке. Здесь мы попутно получим одно векторноеравенство, которое понадобится нам в дальнейшем. Теорема 1. Медианы треугольникаАВС пересекаются в одной точке G иделятся ею в отношении 2 1, считая от вершины, причем 3PG PA PB PC, 2 гдеP любая точка плоскости или пространства.

Доказательство.Возьмем на медиане CD треугольника ABCточку G, определяемуюсоотношением CG GD 2 1 рис. 3 . Согласно формуле 1 , PD PA PB ,откуда PG PA PB PC . Вычисляявектор PG с концом в точкеG , делящей любую из двухдругих медиан треугольника в отношении 2 1 считая от вершины , мыполучим то же самое выражение

PG PA PB PC , ПоэтомуPG PG,и точка G совпадает с точкой G. Следовательно, все три медианы треугольникапересекаются в одной точке G, определяемойсоотношением 2 . Теоремао высотах произвольного треугольника. Теорема2. Высоты треугольника АВСпересекаются в одной точке Н, причем OH OA OB OC, 3 гдеО центр окружности описанной около треугольника.

Доказательство. Пусть АВС треугольник, отличный от прямоугольного рис.4 3- Найдем сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричнуюО относительно стороны AB, тогда OM OA OB. Затем построим точку Н, для которой OH OM OC OA OB OC,идокажем, что точка H и естьортоцентр треугольника

АВС. Действительно, по построению прямые CHи OM параллельны, OM серединный перпендикуляр к отрезку АВ, следовательно, прямая СН такжеперпендикулярна к прямой AB, и точка H лежит на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C. Еслиповторить построение, начиная с векторов OA и OC, то получится таже точка H, но те же рассужденияпоказывают, что теперь точка

H лежитна высоте треугольника, проведенной из вершины B. Аналогичнополучим, что точка H лежитна высоте, проведенной из вершины A. Следовательно, высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, определяемой соотношением 3 . Легко проверить, что теорема 2 справедливаи для прямоугольного треугольника. ПрямаяЭйлера. Из доказанных теорем 1 и 2 вытекаетинтересующее нас свойство замечательных точек треугольника.

Теорема 3. Центр О описаннойокружности, центроид G иортоцентр H любого треугольника лежатна одной прямой, причем точка G лежитмежду точками О и Н и OG GH 2. Доказательство.По теореме 13OG OA OB OC.Сравниваяэто равенство с равенством 3 , получимOH 3OG.Следовательно,векторы OH и OG, имеющие общее начало

O, расположены на одной прямой и OG GH 2. Встереометрии простейший многогранник тетраэдр играет ту же роль, что итреугольник в планиметрии. Свойства треугольника и тетраэдра во многом схожи.Попробуем распространить свойство замечательных точек треугольника на тетраэдр.Сфера,описанная около тетраэдра. Известно, что около всякого тетраэдра можноописать сферу, е центр

O лежитна перпендикулярах к граням тетраэдра, восстановленных в центрах окружностей,описанных около граней.Медианытетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра сцентроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра.Свойства медиан тетраэдра аналогичны свойствам медиан треугольника. Теорема 4. Четыре медианытетраэдра ABCD пересекаются водной точке G, котораяделит каждую из них в отношении 3 1, считая от вершины тетраэдра, причем 4PG

PA PB PC PD, 4 гдеP любая точка пространства.Доказательство. Возьмем на медиане DG тетраэдраABCDточку G, определяемую соотношением DG GG 3 1 рис 5 . Согласноформуле 1 , PG Учитывая, что центроид G треугольника ABC удовлетворяет соотношению 3PG PA PB PC,получимPG PA PB PC PD . Вычисляявектор PG с концом в точке

G , делящей любую из трех других медиан тетраэдра вотношении 3 1 считая от вершины , получим то же самоевыражение. А это означает, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются водной точке G, удовлетворяющей соотношению 4 . Точка G, называется -5-центромтяжести или центроидом тетраэдра.Высотытетраэдра. Высоты треугольника всегда пересекаются водной точке. По аналогии можно предположить, что высоты любого тетраэдра такжепересекаются в одной точке.

Однако это не так. Для примерарассмотрим тетраэдр ABCD спрямым двугранным углом при ребре AB, в котором AC BC, но AD BD рис. 6 . ВысотыCEи DF тетраэдра лежат соответственно в гранях ABC и ABD, но точка E середина AB, а F нет.Если бы длины ребер DA иDB были равны, тооснования E и F совпадалибы, но две другие высоты тетраэдра не могут проходить

через точку E. Такимобразом, даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки. Тем не менее существуют и тетраэдры, всечетыре высоты которых пересекаются в одной точке. Таким будет, например, тетраэдрABCDс прямыми плоскими углами привершине D. Ребра DA, DB и DC являются еговысотами, а вершина D ортоцентром точкой пересечения всехчетырех высот .

Попробуемнайти все тетраэдры, у которых высоты пересекаются в одной точке. Пусть высоты тетраэдра ABCD, проведенные из вершин C и D, пересекаются вточке H -6- рис. 7 . ТогдаCH ABи DH AB, т.е. прямая AB перпендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим вплоскости CDH, следовательно, AB BC. Аналогично доказывается, что если две другие высотытетраэдра

ABCD проходят через ту жеточку H, то AC BD и AD BC. Итак,если все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребратетраэдра взаимно перпендикулярны. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим. Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H, причем если O центр сферы, описанной около тетраэдра, то

OH OA OB OC OD . 5 Доказательство.Пусть ABCD ортоцентрический тетраэдр, DG его медиана, DH его высота рис.8 . Тогда G центроид, а H - ортоцентр треугольника ABC, причем точки O центр окружности, описанной около треугольника ABC , G и H лежат на одной прямой. Заметим, что центр O сферы, описанной около тетраэдра ABCD, лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника

ABC, восстановленном в точке O . Будемдоказывать теорему тем же способом, что и теорему 2 для треугольника строить разными способами точку H, удовлетворяющуюсоотношению 5 . Вначале сложим векторы OA, OB и OC OM OA OB OC.Потеореме 1 OG OA OB OC ,поэтомуOM 3OG -7-или G M 2OG . Точки O ,G ,H , лежат на прямой Эйлера треугольника ABC, причем

H G 2G O . Следовательно,H M H G G M 2 G O OG 2 OG G O 2OO . Отсюдавытекает, что прямые H M иOO параллельны, а так какпрямая OO перпендикулярна к плоскости ABC, то и прямая H M перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, точкаM лежит на прямой DH если точки O и O совпадают,то точки M и H тоже совпадают . ПустьтеперьOH

OM OD OA OB OC OD . Излевого равенства следует, что точка H является серединой отрезка DM, т.е. точка H лежит на DH тетраэдра. Аналогично строится точка N ON OA OB OD и та же точка H OH ON OC и доказывается, что точка H лежит на высотететраэдра, проведенной из вершины

C, и т.д. Следовательно, высоты ортоцентрическоготетраэдра пересекаются в одной точке H, определяемой соотношением 5 . ПрямаяЭйлера тетраэдра. Теорема 6. Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G. Доказательство.

По формулам 4 и 5 OH OA OB OC OD , OG OA OB OC OD , откуда OH 2OG. Полученноеравенство означает, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем точки О иН симметричны относительно точки G. Прямую,на которой лежат точки O, G, H, можноназвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.Вданном реферате собран материал необходимый для выявления прямой

Эйлераи прямой Эйлера тетраэдра. Использованныеисточники информации 1. ПрямаяЭйлера Э. Готман . 2. Международнаяинформационная сеть Internet URL http www.referat.ru http dlc.miem.edu.ru referat 9-