Кривизна кривой

КРИВИЗНА КРИВОЙ 1. Длина дуги и ее производная Пусть дуга кривой М0М рис. 1 есть график функции y f x , определенной на интервале а, b . Определим длину дуги кривой. Возьмем на кривой АВ точки М0, M1 М2, Mi-1, Мi, Мn-1, М. Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию М0М1М2 Mi-1Mi Мп-1М, вписанную в дугу М0М. Обозначим длину этой ломаной через

Рп. Длиной дуги М0М называется предел обозначим его через s , к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей из длин отрезков ломаной Mi-1Mi, если этот предел существует и не Рисунок 1. зависит от выбора точек ломаной М0М1М2 Mi-1Mi Мп-1М. Отметим, что это определение длины дуги произвольной кривой аналогично определению длины окружности. В главе XII будет доказано, что если на отрезке а, b функция f x и ее производная

f x непрерывны, то дуга кривой y f x , заключенная между точками а f a и b f b , имеет вполне определенную длину, причем будет указан способ вычисления этой длины. Там же будет установлено как следствие , что в указанных условиях отношение длины любой дуги этой кривой к длине стягивающей ее хорды стремится к 1, когда длина хорды стремится к 0 Эта теорема легко может быть доказана для окружности , однако в общем случае мы пока примем ее без доказательства.

Рассмотрим дугу АВ, центральный угол которой равен 2 рис. 2 . Длина этой дуги равна 2Ra, R - радиус окружности , а длина стягивающей ее хорды равна 2Rsin. Поэтому 1 Рассмотрим следующий вопрос. Пусть мы имеем на плоскости кривую, заданную уравнением y f x . Пусть М0 х0,y0 - некоторая фиксированная точка кривой, а М х, у - переменная точка этой кривой. Обозначим через s длину дуги

М0М рис. 3 . При изменении абсциссы х точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция х. Найдем производную s по х. Рисунок 2. Рисунок 3. Дадим х приращение ?х. Тогда дуга s получит приращение ?s . Пусть MM1 хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти , поступим следующим образом из ?МMQ1 находим ?х 2 ?y 2. Умножим и разделим левую часть на ?s2 ?s2 ?х 2 ?y 2

Разделим все члены равенства на ?x1 Найдем предел левой и правой частей при ?х 0. Учитывая, что 1 и что , получим 1 или 1 Для дифференциала дуги получим следующее выражение ds 2 или ds 2 Строго говоря, формула 2 верна лишь для того случая, когда dx gt 0. Если же dx lt 0, то ds Поэтому в общем случае эту формулу правильнее записать так ds Мы получили выражение дифференциала длины дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y f x

. Однако формула 2 сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями. Если кривая задана параметрически x ц t , y ц t то dx ц t dt, dy ц t dt и выражение 2 принимает вид ds 2. Кривизна Одним из элементов, характеризующих форму кривой, является степень ее искривленности. Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает саму себя и имеет определенную касательную в каждой точке. Проведем касательные к кривой в каких-нибудь двух е точках

А и В и обозначим через б угол, образованный этими касательными, или точнее - угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В рис.4 . Этот угол называется углом смежности дуги АВ. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол смежности больше рис. 4 . Рисунок 4. С другой стороны, рассматривая дуги различной длины, мы не можем оценить степень их искривленности только соответствующим углом смежности.

Отсюда следует, что полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги. Определение 1. Средней кривизной Кср дуги АВ называется отношение соответствующего угла смежности б к длине дуги Кср Для одной и той же кривой средняя кривизна ее различных частей дуг может быть различной так, например, для кривой, показанной на рис. 5, средняя кривизна дуги

АВ не равна средней кривизне дуги А1В1, хотя длины этих дуг равны между собой. Более того, вблизи различных точек кривая искривлена, по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривленности данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введем понятие кривизны кривой в данной точке. Рисунок5. Рисунок 6. Определение 2. Кривизной КA линии в данной точке

А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю т. е. когда точка В приближается к точке А. КA Kcp Пример. Для окружности радиуса r 1 определить среднюю кривизну дуги АВ, соответствующей центральному углу б рис. 6 2 определить кривизну в точке А. Решение. 1 Очевидно, что угол смежности дуги АВ равен б, длина дуги равна бr. Следовательно, Кcp , или Кcp Кривизна в точке А равна

К Таким образом, средняя кривизна дуги окружности радиуса r не зависит от длины и положения дуги, для всех дуг она равна 1 r. Кривизна окружности в любой ее точке также не зависит от выбора этой точки и равна 1 r. Замечание. Отметим, что для произвольной кривой кривизна в различных ее точках, вообще говоря, будет различная. Это мы увидим ниже. 3. Вычисление кривизны Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой ее точке

М х, у . При этом мы будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y f x и что функция f x имеет непрерывную вторую производную. Проведем касательные к кривой в точках М и М1 с абсциссами х и х Дх и обозначим через ц и ц Дц углы наклона этих касательных рис. 7 . Длину дуги М0М, отсчитываемую от некоторой постоянной точки

М0, обозначим через s тогда Дs М0М1 - М0М, a Дs MM1. Как непосредственно видно из рис. 7, угол смежности, соответствующий дуге MM1, равен абсолютной величине для кривой, изображенной на рис. 7, очевидно, что Дц Дц, так как Дц gt 0 разности углов ц и ц Дц, и равен Дц . Согласно определению средней кривизны кривой на участке

ММ1 имеем Кcp Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги ММ1 стремится к нулю К Так как величины ц и s обе зависят от х являются функциями от х , то, следовательно, ц можно рассматривать как функцию от s. Мы можем считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра х. Тогда К и, следовательно, K Для вычисления используем формулу дифференцирования функции, заданной параметрически

Чтобы выразить производную через функцию y f x , замечаем, что tgц и, следовательно, ц arctg Дифференцируя по х последнее равенство, будем иметь Что же касается производной , то еще в 1 мы нашли Поэтому или, так как K , окончательно получаем K 3 Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная , можно вычислить кривизну. Для ее вычисления служит формула 3 .

Заметим, что при вычислении кривизны кривой следует брать только арифметическое т. е. положительное значение корня в знаменателе, так как кривизна линии по определению не может быть отрицательной. Пример 1. Определить кривизну параболы y2 2px а в ее произвольной точке М х, у б в точке M1 0, 0 в в точке М2 , р . Решение. Находим первую и вторую производные функции у , -

Подставляя полученные выражения в формулу 3 , получим 1. K 2. K 3. K Пример 2. Определить кривизну прямой у ах b в ее произвольной точке х, у . Решение, у а, у 0. Обращаясь к формуле 3 , получаем К 0. Таким образом, прямая представляет собой линию нулевой кривизны . Этот же результат легко можно получить непосредственно из определения кривизны.

4, Вычисление кривизны линии, заданной параметрически Пусть кривая задана параметрически x ц t , y ш t . Тогда , Подставляя полученные выражения в формулу 3 предыдущего параграфа, получаем K 1 5 Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах Пусть кривая задана уравнением вида с f ? 1 Напишем формулы перехода от полярных координат к декартовым

x сcos y сsin? 2 Если в эти формулы подставить вместо с его выражение через т. е. f то получим x f ? cos y f ? sin? 3 Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой 1 , причем параметром является Тогда os сsin sin? сcos? cos sin сcos? sin? cos сsin? Подставляя последние выражения в формулу 1 предыдущего параграфа, получаем формулу для вычисления кривизны кривой в полярных координатах K Пример. Определить кривизну спирали

Архимеда с a? а gt 0 в произвольной точке рис. 8 . Рисунок 8. Решение. a 0. Следовательно, K Заметим, что при больших значениях ? имеют место приближенные равенства поэтому, заменяя в предыдущей формуле ?2 2 на ?2 и ?2 1 на ?2 ,получаем приближенную формулу для больших значений ? K Таким образом, при больших значениях ? спираль Архимеда имеет приблизительно ту же кривизну, что и окружность радиуса a