Конус

Определениеи свойства конуса. Форму конуса приближено имеют терриконы и вулканы, воронки и колбы, кульки и кучи песка и т.д. В геометрииже конус, как и цилиндр, определяют как фигуру, образованную отрезками.Пусть дана плоская фигура F инекоторая точка P, не лежащая с фигурой F в одной плоскости. Отрезки,проведенные из точки P во все точки фигуры F, образуют фигуру, которую называютконусом рис.1 .

Рис.1Точка P называется вершинойконуса, а фигура F основанием конуса. Отрезки, соединяющие вершинуконуса с точками его основания, называются, образующими конуса. Высотойконуса называется перпендикуляр из вершины конуса на плоскость его основания, атакже длина этого перпендикуляра. Конусом называют такжефигуры, образованные лучами, идущими из точки Р через точки фигуры F и точку Р.Около конуса шар можноописать всегда.

Центром шара является центр окружности, описанной около осевогосечения конуса. Радиус шара R . В конус шар можно вписатьвсегда. Центром шара является центр вписанной в осевое сечение конусаокружности. Радиус вписанного шара Rвпис вычисляется по формуле Rвпис . Сечение конуса плоскостью,параллельной плоскости основания.Теорема Если плоскость пересекает конус и параллельнаплоскости его основания, то сечение конуса такой

плоскостью подобно основаниюконуса. Коэффициент их подобия равен отношению расстояния от вершины конуса доплоскости сечения к высоте конуса. Напомним, что фигура F подобна фигуре F скоэффициентом k gt 0, если можно так сопоставить их точки, что X Y kXY длялюбых точек X, Y фигуры F и соответствующих им точек X , Y фигуры F и Fподобны. Для этого каждой точке XF сопоставим точку

X F , в которой отрезок PX пересекает плоскость 945 . Проведем высоту PA конуса K ипусть A точка, в которой высота PA пересекает плоскость 945 . Отрезок PA является высотой конуса K , отсеченного плоскостью 945 .Возьмем любые две точки X, Yоснования F и пусть X , Y соответствующие им точки

F . Рассмотримтреугольники PXY и PX Y . Они подобны, так как отрезки X Y и XY параллельны поскольку плоскость PXY пересекает параллельные плоскости 945 и 945 попараллельным прямым . Поэтому X Y XY PX P1 Теперь рассмотримтреугольники PAX и PA X . Они также подобны и потому PX PX PA PA 2 Из неравенства 1 и 2 следует, что X Y XY PA PA, а это и означает подобие фигур

F и F скоэффициентом k PA PA. Конус вращения.Рассмотрим конус, у которогооснования круг, а вершина P проектируется в центре O его основания. Как следует из теоремы осечении конуса, в пересечении такого конуса с плоскостями, параллельнымиплоскости его основания и, тем самым, перпендикулярными его высоте PO ,получаются круги с центрами на высоте PO. Следовательно, рассматриваемый конусявляется фигурой вращения его высота и есть его ось вращения. Поэтому такойконус называют конусом вращения.

Итак, конусом вращенияназывается конус, основание которого круг и вершина которого проектируется вцентре основания. Осевые сечения конусавращения это его сеченияплоскостями, проходящими через его ось. Все такие сечения представляют собойравнобедренные треугольники, поскольку вершина конуса вращения равноудалена отвсех точек окружности его основания. Половина осевого сеченияконуса вращения прямоугольный треугольник с катетом на оси конуса.

Прямойкруговой конус и получается вращением вокруг катета этого треугольника иливращением равнобедренного треугольника вокруг оси симметрии. Любая плоскость, проходящаячерез ось конуса вращения, является его плоскостью симметрии. Фигура, состоящая из техобразующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с окружностьюоснования, называется боковой поверхностью конуса вращения. Онасама является конусом вращения с той же вершиной, основанием которого служитокружностью основания

исходного конуса вращения. Все образующие, лежащие набоковой поверхности конуса вращения, равнонаклонены к плоскости его основания. Поверхность конуса вращениясостоит из его основания и его боковой поверхности. Поверхность конусавращения называют также его полной поверхностью . Усеченный конус. Усеченный конус получается, если от конуса отсечь меньший конусплоскостью, параллельной основанию. В усеченном конусе два основания нижнее - основание исходного конуса и верхнее - основание

отсекаемого конуса. По теореме о сечении конуса основание усеченного конуса подобны.Высотой усеченного конусаназывается перпендикуляр, опущенный из точки одного основания на плоскостьдругого. Все такие перпендикуляры равны. Высотой называют также их длину, т.е.расстояние между плоскостями оснований. Усеченный конус вращенияполучается из конуса вращения. Поэтому его основания и все параллельные им егосечения круги с центрами на одной прямой на оси.

Усеченный конус вращенияполучается вращением прямоугольной трапеции вокруг е боковой стороны,перпендикулярной основаниям, или вращением равнобедренной трапеции вокруг осисимметрии.Боковая поверхностьусеченного конуса вращения этопринадлежащая ему часть боковой поверхности конуса вращения, из которого онполучен. Поверхность усеченного конуса вращения или его полная поверхность состоит из его оснований и его боковой поверхности.Площадь поверхностиконуса.

Боковую поверхность конуса, каки боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав е поодной из образующих рис. 3, а, в . Разверткой боковой поверхности конусаявляется круговой сектор рис.3, б , радиус которого равен образующей конуса, адлина дуги сектора длине окружности основания конуса. За площадь боковойповерхности конуса принимается площадь е развертки. Выразив площадь Sбокбоковой поверхности конуса через егообразующую l и радиус основания r.

Площадькругового сектора развертки боковой поверхности конуса рис. 3, б равна , где - градусная мера дугиАВА , поэтому рис. 3, а рис. 3, б Sбок . 1 Выразим через l и r. Так как длина дуги АВА равна 2 960 r длинеокружности основания конуса , то 2 960 r , откуда . Подставив это выражение в формулу 1 , получим Sбок 960 rlТаким образом, площадьбоковой поверхности

конуса равна произведению половины длины окружностиоснования на образующую.Площадь полной поверхностиконуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Длявычисления площади Sкон 960 r l r где r радиус основанияконуса, h высота конуса, l образующая конуса. Изображения конусавращения и усеченных конусов вращения.Прямой круговой конус рисуюттак. Сначала рисуют эллипс, изображающий окружность основания рис.

3.1 . Затемнаходят центр основания точку О и вертикально проводят отрезок РО, которыйизображает высоту конуса. Из точки Р проводят к эллипсу касательные опорные прямые практически это делают на глаз, прикладывая линейку и выделяют отрезкиРА и РВ этих прямых от точки Р до точек касания А и В. Обратите внимание, чтоотрезок АВ это не диаметр основания конуса, а треугольник АРВ не осевоесечение конуса.

Осевое сечение конуса это треугольник АРС отрезок АС проходитчерез точку О. Невидимые линии, рисуют штрихами отрезок ОР часто не рисуют, алишь мысленно намечают, чтобы изобразить вершину конуса Р прямо над центромоснования точкой О. Изображая усеченный конусвращения, удобно нарисовать сначала тот конус, из которого получается усеченныйконус Задача 1Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник.

Найдите площадь этого сечения, если радиус основанияконуса равен 5 см. Дано АВС осевое сечение прямоугольный r 5смSАВС Решение SАВС По свойствам равнобедренного прямоугольного треугольника равнобедренный АО ОС ОВ 5см.АС 10см SАВС см2 Ответ SАВС 25 см2 Задача 2Образующая конуса равна l, арадиус основания равен r. Найдите площадь сечения, проходящего через вершинуконуса и хорду основания, стягивающую дугу

в 60 .Дано КонусАК 60 r радиус l образующая Sсечения - ?Решение Сечение конуса проходящегочерез вершину конуса и хорду основания является равнобедренным АВК.АВ ВК l АОК В , АО ОК r АОК 60 , тогда АОК равнобедренный. АК r. По формуле Герона S р Р .S .S 60 .р полупериметр.Ответ S .Задача 3Вычислите площадь основания ивысоту конуса, если разверткой его боковой поверхности

является сектор, радиускоторого равен 9см, а дуга равна 120 .Дано конусR l 9см.120 Sосн h - ?V- ?Решение 2 960 r r 3 см Из АОВ по теореме Пифагора h 6 см Sосн 960 r2 Sосн 9 960 см2 V Sосн h V 3 см3 .Ответ V см3 h 6 см S 9 960 см2 .Задача 4Площадь осевого сеченияконуса равна 0,6см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадьполной поверхности конуса.

Дано Конус Sсеч 0,6см2h 1,2 см Sпол Решение Осевым сечением конусаявляется равнобедренный треугольник АВС, АВ ВС l.АС 2r Sсеч Sсеч 1см.r 0,5 Sпол 960 r r l .По теореме Пифагора l2 h2 r2 l l 1,3 см Sполн 960 r r l Sполн 960 0,5 0,5 1,3 0,9 960 см2 .Ответ Sполн 0,9 960 см2 . Список литературы 1. Учебное пособие длястудентов.

Геометрия 2 часть. Просвещение 1987г. Атанасян Л.С Базылев В.Т.2. Стереометрия. Геометрия впространстве. Александров А.Д Вернев А.Л.3. Большая школьнаяэнциклопедия. Том 1, Москва 2004. Штейн Е.А.