Задача о бесконечной ортотропной пластинке

Задача о бесконечной ортотропнойпластинке с эллиптическим отверстием Оглавление 1. Общетеоретическаячасть2. Прикладная часть2.1 Физическаяпостановка задачи2.2 Упругие свойстваматериала2.3 Математическаяпостановка задачи2.4 Аналитическоерешение2.5 Иллюстрацияраспределения напряженийИспользуемаялитература.

Приложе ние1. Расчетная схема на MathCad 7.0 Приложение2. График распределения напряжений .1. Общетеоретическая часть Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторымотверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1,х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинкудействуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.

Общая система уравнение теории упругости выглядитследующим образом 1 Уравнения равновесия применительно к рассматриваемойзадаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так 2 В нашей задаче искомыми являются шесть функцийкомпонент тензора напряжений . Но в уравнения равновесия 2 не входит , тем самым этой функцииопределяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладокпримем следующие предположения.

Пусть для f1 x1,x2 и f2 x1,x2 существует потенциал, т.е. такая функция U x1,x2 для которой выполняются условия 3 Таккак силы f1 и f2 задаютсяпри постановки задачи, то потенциал U так жеизвестная функция. Подставляя 3 в 2 получим 4 Введем также еще две функции F x1,x2 и y x1,x2 ,которые называются функциями напряжений ивводятся следующим образом Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формулв систему 4 все три уравнения будут равны

нулю. Теперь если мы найдем функцииF x1,x2 и y x1,x2 ,то будут найдены и функции компоненттензора напряжений, кроме компоненты .Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующиепреобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводитсяматрица столбец Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом а через напряжения компоненты деформации определяютсяпо

закону Гука 5 где aij - компоненты матрицы независимыхпостоянных тензора упругих податливостей Dijmn.Обозначим как неизвестную функцию D x1,x2 , тогда из закона Гука следует, что авыражение для будет равно Теперь введем приведенные коэффициенты деформации, для которых имеет местовыражение , где i,j 6 Подставим выражение для в обобщенный закон Гука, тогда с учетомприведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид

Подставляя эти выражения в уравнения Коши получимследующую систему 7 Уравнения системы 7 включают в себя и уравнения Кошии закон Гука. В этой системе величины - константы, величины и D зависятот двух координат x1 и x2, а перемещенияui- функции трех координат.Система 7 является системой в частных производныхотносительно ui и решаетсяпоследовательным интегрированием

уравнений. Интегрирование следует проводить вследующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения.После интегрирования 3-го уравнения получим 8 Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим 9 Аналогичнос 5-ым уравнением 10 Подставляя полученные перемещения в неиспользованныесоотношения уравнений Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим 11 12 13

Исходя из того, что функция D будет иметьвид 14 Тогда с учетом системы 7 получим 15 Исключая V1, U1, W1 путем дифференцирования, сложения и вычитания получим 17 Подставляя в уравнения 16 и 17 выведенные намивыражения для напряжений через функции F x1,x2 и y x1,x2 и группируя получим 18 где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го,3-го и 2-го порядков

Уравнения 18 представляют собой систему 2-хдифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения - линейные,неоднородные, с постоянными коэффициентами.Общее решение системы 18 для функций напряженияможно представить в виде F0 и y0 - общее решение соответствующей однородной системы 19 F и y - частные решения неоднородной системы уравнений 18 .

Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые частинесложны, то и частные решения обычно описать нетрудно.Чтобы получить общее решение однородной системы 19 исключим из нее y20 В силу симметрии L их можно менять местами 21 Таким образом, мы получили линейное дифференциальноеуравнение 6-го порядка для функции F. Аналогичнонаходим уравнение для y 22 Оказалось, что F0 и y0 должны удовлетворять одинаковым условиям.

Оператор6-го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение 21 представить в виде 23 Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x1 и x2 для Dk имеем 24 где - это корни алгебраического характеристического уравнения шестой степени, соответствующегодифференциальному уравнению 21 . Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можносвести к последовательному интегрированию шести

уравнений первого порядка. Врезультате получим следующие общие выражения Если среди корней характеристического уравнения естькратные, задача упрощается, однако решение системы 19 может быть найдено влюбом случае исходя из следующих рассуждений.Любые 6 вещественных чисел можно принять в качествезначений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропноготела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная

прилюбых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений вданной точке. Исходя из этих предположений можно доказать теорему, согласнокоторой алгебраическое характеристическое уравнение системы 21 , не имеетвещественных корней. Поэтому можно утверждать, что числа в общем решении системы 19 ,а также в условиях связи всегда комплексные или чисто мнимые.Наряду с комплексными параметрами вводят и системукомплексных переменных

Введение комплексных переменных позволяет использоватьпри аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесиианизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексныхпеременных. Эти методы, применительно к данной задаче являются оченьэффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задачтеории упругости анизотропного тела.2. Прикладная часть 2.1 Физическая постановка задачи.

Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропногоматериала с эллиптическим отверстием в центре. Направление главных осей эллипсасовпадает с главными осями упругости материала, усилия приложены набесконечности вдоль главных осей.Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с a b, р - усилие на единицу площади. В нашем случаеотношение полуосей эллипса с 1 2. Вдоль оси 1 на бесконечности приложенорастягивающее

усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее -р. Наша задача найтинапряжения на краю отверстия и построить их эпюру.2.2 Упругие свойства материала.Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками Е1 13,0 ГПа Е2 19,8 ГПа Е3 7,8 ГПа G12 4,05ГПа G13 6,4ГПа G23 3,2ГПа n13 0.25 n32 0.14 n12 0.176 n23 0.06.2.3 Математическая постановказадачи.Уравнения равновесия применительно к нашей задаче,когда напряжения зависят

только от двух координат и fi 0, запишутся так Граничные условия будут иметь следующий вид или в развернутом виде применительно к нашей задаче где n - нормаль кконтуру отверстия.2.4 Аналитическое решение.Решая данную задачу по методу изложенному в первойчасти с учетом того, что материал у нас ортотропный выясняем чтохарактеристическое уравнение для определения коэффициентов распадается на уравнения 4 и 2 степени Отсюда немедленно вытекают следующие соотношения

Как мы увидим в дальнейшем этих соотношений достаточнои искать непосредственно не требуется.Для решения нашей задачи воспользуемся формуламиполученными в работе 1 . Нам надобудет провести только некоторые обобщения и объединение этих формул. Определим для начала необходимые нам константы аij введем теперь следующие обозначения Беря уравнение контура в параметрическом виде, т.е.полагая введем еще обозначения для функций, зависящих

отпараметра Нас будет интересовать только напряжение у краяотверстия - где, как показывает ряд решенных задач, онополучается наибольшим. Опуская промежуточные выкладки приведем две формулы при растяжении вдольбольшой и малой оси эллипса для нашей задачи в силу принципа суперпозиции а егоможно применить, так как мы рассматриваем линейную связь между напряжениями идеформациями, а также считаем их малыми получим следующую общую формулу 2.5 Иллюстрация распределениянапряжений.

Для построения эпюры напряжений на краю отверстиявоспользуемся возможностями математического пакета MathCad 7.0. Используя найденную нами формулу рассчитаемнапряжения в зависимости от угла и отложим их на графикиот контура отверстия на продолжении лучей, проведенных из центра через данныеточки контура. Положительные напряжения изображены стрелками направленными отцентра к периферии, отрицательные - стрелками направленными к центру. Прирасчетах полагалось р 1.Результаты расчета и график распределения напряженийприведены

соответственно в приложениях 1 и 2.Проведем небольшой анализ полученных результатов. Какмы видим максимальное напряжение наблюдается в точках , оно равно -6р. То есть наблюдаем концентрацию в 6раз по сравнению с пластинкой без отверстия.Используемая литература 1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропноготела. Гостехиздат М. 1950 г.2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.

Изд. Наука М. 1977 г. 3. под ред. ЛюбинаД. Справочник по композиционнымматериалам Машиностроение М. 1988 г.Приложение 2. График распределения напряжений