Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение Двойное векторное произведениеТр м векторам a, b иc можно поставить в соответствие вектор, равный a b c .Этот вектор называют двойным векторнымпроизведением векторов a, b иc. Двойное векторное произведение встречается вмеханике и физике.Двойное векторное произведение выражается через линейную комбинацию двух или тр х своихсомножителей по формуле a b c b ac - c ab . Докажем это. Обозначим через x разность левой и правойчастей этого равенства

x a b c - b ac c ab . Нам достаточно показать, что x 0.Предположим, что векторы b и c коллинеарны. Если они оба нулевые, то в выражении длявектора x все слагаемые равны нулевому вектору и поэтому равеноство x 0 выполнено. Еслиже один из коллинеарных векторов b, c ненулевой, например c, то для другого вектора при некотором 945 R выполнено равенство b 945 c. Но тогда x a 945 c c - 945 c ac c 945 ac 0. Предположим теперь, что векторы b и c неколлинеарны.

Тогда их векторное произведение не равно нулевому вектору и ортогональноненулевому вектору b. Векторы образуют правыйортонормированный базис в V3 это и отражается в обозначениях . В этом базисесправедливы следующие разложения векторов b b i, c c1i c2k , a a1i a2j a3k , ипоэтому b c - b c2j, a b c - b c2 a1k a3i . Крометого, ac a1c1 a3c2 , ab a1 b . В результате находим, что и в случаенеколлинеарных векторов b и c выполненоравенствоx - b c2 a1k a3i

a1c1 a3c2 b i a1 b c1i c2k 0. Произведение a b c ортогональновектору a b, то есть в случае, когда векторы a и b не коллинеарны, лежит вплоскости векторов a и b. Следовательно, оно разлагается по векторам aи b,то есть существуют такие два числа x и y, что a b c xa yb. Чтобы найти эти числа, мы воспользуемсялеммой, согласно которой существуют положительно ориентированныйортонормированный базис е1, е2, е3 ,связанныйс векторами a, b и с формуламиa a1e1b b1e1 b2e2,c c1e1 c2e2 c3e3.

В этом базисе вектор a b имееткоординаты 0,0, a1b2 , и потому вектор a b c координаты Так как вектор xa yb имеет координаты xa1 yb1,yb2, 0 , то, следовательно, формула a b c xa ybбудет иметь место приx -b1c1 b2c2 , y a1c1.Поскольку, с другой стороны, а1с1 ас и b1c1 b2c2 bc, этимдоказано следующее предложение ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Длялюбых векторов a, b, c имеет место равенство a b c ac b- bc a.Из этой формулы непосредственно вытекаетследующее тождествоЯкоби a b c c a b b c a 0.

Действительно, в силу коммутативностискалярного умножения ac b- bc a cb a- ab c ba c- ca b 0. С помощью формулы a b c ac b- bc a легко вычисляется также скалярное произведение a b x y двух векторных произведений. Действительно пользуясьантикоммутативностью смешанного произведения, мы немедленно получим, что a b x y xa y- ya x b xa yb - ya xb ,то есть Определитель в правой части этой формулы называетсявзаимным определителем Грамма пар векторов a,b и x,y. При a x и b y формула да тформулу которую можно переписатьтакже

в следующем изящном виде a b 2 ab 2 a2 b2. Поскольку a b равно площади S параллелограмма, построенного навекторах a, b, формуларавносильнаформуле вкоторой векторные произведения явно не участвуют. Таким образом, мы видим, чтоопределитель Грама пары векторов равен квадрату площади параллелограмма,построенного на этих векторах.

Вычисливскалярные произведения через координаты мы немедленно получим следующее тождество Лагранжа При а3 0 , b3 0 случайплоскости тождество Лагранжа равносильно тождеству a21 a22 b21 b22 a1b1 a2b2 2 a1b2 a2b1 2,Известному из теории комплексных чисел тождествовыражает тот факт, что произведение модулей комплексных чисел a1 ia2 и b1 ib2 равно модулю их произведения .Аналогом вышепривед нных формулы и тождествасуществует и для тр х векторов a, b, c.

В н мучаствует определитель называемыйопределителем Грамма тройки векторов a, b, c. В координатах относительно ортонормированного базисаe1, e2, e3 , в котором векторы a, b, c выражаются по формуламa a1e1b b1e1 b2e2, c c1e1 c2e2 c3e3 , этот определитель имеет вид Автоматическое вычисление показывает, что он равен a21b22c23. С другой стороны, как мы уже знаем, a1b2c3 abc. Такимобразом , то есть где

V объ мпараллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.Аналогформулы имеетвид где определитель справа называется взаимнымопределителем Грама троек a, b, c и x, y, z. Министерство образования и науки УкраиныЗапорожский национальный университетКафедра алгебры и геометрии РефератПо теме Двойное векторное произведение Выполнила

Ильенко Ульяна Игоревна,студентка 1 курса,математического факультетаПроверил ЗиновеевИгорь Валерьевич Запорожье2006 год