Группы преобразований

Группы преобразований 1.ПеремещенияПусть X - множество всех точек прямой , плоскости или трехмерногопространства . Обозначим через d P, Q расстояниемежду точками P и Q множества X. Отображение f X X f P P называется перемещением,если для всех P и Q d P, Q d P, Q . Примеры. 1. Пусть в выбрана праваядекартова прямоугольная система координат x,y с началом О. Поворот плоскости на угол j вокруг точки

О задается формулами R R. Здесь R , R . Очевидно, поворот является перемещением плоскости.Отметим, что О О, то есть точка О остается неподвижной при повороте.Аналогично, в можно рассмотретьповорот на угол j вокруг оси, заданной единичным вектором v и точкой О.Легко проверить, что это перемещение задается формулой R Rcosj R v sinj v 1-cosj R v .Все точки оси поворота являются неподвижными.2.

Перемещениембудет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно, R R v . Неподвижных точек перенос не имеет.3. Пусть l некоторая прямая в . Зеркальное отражение относительно этойпрямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координатуравнение прямой имеет вид y tg j 2 x , то отражение задается формулой R R . Аналогично, если p некоторая плоскость в , то отражение относительно этойплоскости

будет перемещением. Если n единичный вектор нормали к плоскости p , проходящей через начало координат, то R R - 2 R n n . Переносы и отражения примеры 2 и 3 можнорассматривать и в .4. Композиция U V последовательное выполнение двухперемещений U и V снова будет перемещением U V P U V P . Например, I- тождественноеперемещение.2. Связь с линейными операторами.

Теорема 1Пусть f X X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f A A и т.д. Если AB CD каксвободные векторы , то AB CD .Доказательство.Достаточно проверить, что в условиях теоремычетырехугольник ABDC является параллелограммом. Пусть О точка пересечениядиагоналей AD и BC. Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству d

A, O d O, D d A, D .Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d A, O d O,D d A, D , мы видим, что O лежит на отрезке ADи делит его пополам, поскольку d A, O d A,O 1 2 d A ,D 1 2 d A , D . Аналогично, O лежит на CD и делит его пополам. Следовательно, ABDC - параллелограмм. Из теоремы 1 следует, что если - пространствосвободных векторов,

то для всякого перемещения f X Oпереносом на вектор f OP . Отсюда вытекает,что перемещение f однозначно определяется отображением f и точкой O .Теорема 2.Отображение f является линейным оператором в

V и сохраняет скалярноепроизведение.Доказательство.Сво йство f u v f u f v следует изопределения сложения векторов если u AB , v BC , то u v AC. Так как приперемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник, то сохраняются нетолько длины, но и углы между векторами, а значит и скалярное произведение.Наконец, использую сохранение скалярного произведения, имеем -2 -

0. СледствиеОтображение евклидова пространстваV, обладающеесвойством является линейным оператором и сохраняет скалярноепроизведение. Как известно, оператор в конечномерном пространствеопределяется своей матрицей. Матрица A оператора, сохраняющего скалярное произведение,называется ортогональной и имеет следующие свойства 1. Матрица А невырождена, более того det A 1.Операторы с определителем 1 сохраняют ориентацию

пространства, а сопределителем -1 меняют ее напротивоположную.2. Все собственные значения A- комплексные числа по модулю равные 1.Кроме того, известны простейшие формы ортогональныхматриц в ортонормированном правом базисе. Эти простейшие формы указаны вследующей таблице dimV det A 1 Название det A -1 Название 1 Тождест-венный оператор s -1

Отраже-ние 2 Поворот на угол j Отраже-ние 3 Поворот на угол j вокруг OZ Зеркаль-ный пово-рот Замечание 1. Учитывая связь между перемещением f и оператором f , можно утверждать, что вподходящей декартовой системе координат имеет место формула R АR v , где А - одна из матриц из таблицы, а v - некоторый вектор.Следовательно, всякое перемещение f имеет обратное , которое задается формулой

R R - v R - v. Поскольку матрица - ортогональна,обратное отображение также является перемещением. Отметим еще, что для всякой ортогональной матрицы P и любого вектора w преобразование R PR w является перемещением.Замечание 2.Имеется существенное различие между математическимпонятием перемещения и физическим понятием движения. Во втором случае имеется ввиду непрерывное во времени изменение положения точки, в то время

как в первомфиксируются только ее начальное и конечное положения. Перемещения с det A 1 можно представлять себе и какдвижения, в то время как при det A -1 такое представление невозможно, если оставаться впределах исходного пространства 3. Классификацияперемещений. Напомним,что нам уже известны некоторые перемещения. Перемещениями прямой являются тождественное преобразование

I, перенос на вектор v и отражение относительно точки О .Для случая плоскости перемещениями будутуже упомянутые I и , а также поворот вокруг точки О на уголj иотражение относительно прямой l . Определим дополнительно скользящееотражение как комбинацию отражения относительно прямой l с переносом на вектор v frac12 frac12 l.Наконец, для пространства мы имеем перемещения

I и, а, кроме того поворот вокруг оси, заданной точкой О и единичным направляющимвектором w на угол j и отражение относительно плоскостиp.Определим дополнительно зеркальный поворот как комбинациюотражения относительно плоскости, заданной точкой О и вектором нормали n с поворотом и скользящееотражение - композицию отражения. относительно плоскостиp ипереноса на вектор v frac12 frac12 p. Наконец, определим винтовое перемещение как комбинациюповорота

и параллельногопереноса на вектор hw.Отметим, что некоторые из указанных выше перемещенийявляются частными случаями других. Например, тождественное перемещение можнорассматривать как перенос на нулевой вектор или как поворот на нулевой угол ,отражение является частнымслучаем скользящего отражения при v 0 и т. д. Теорема 3 .Каждое перемещение fв n 1, 2, 3 суть одно из следующих 1. n 1 , 2. n 2 , , 3. n 3 , , .Доказательство.Как уже отмечалось, можно выбрать такойортонормированный базис,

что перемещение fимеет вид R АR v ,где v -некоторый вектор. Если изменить начало координат R r u , R r u , получаем r Ar v , где v Au -u v A - E u v .Мы видим, что если число 1 не является собственнымзначением матрицы А или, если угодно, оператора f , то можно выбрать u так, что в новой системе координатv 0 . Поскольку матрица A - E невырождена . Тем самым утверждение теоремы доказано при n 1 и при n 2в случае

det A 1 так как собственные значения суть exp ij sup1 1 при j sup1 2pn .В случае матрицы можно добиться, чтобы v , что приводит к скользящему отражению . Для матрицы при j sup1 2pn получаем v , и мы приходим к винтовому перемещению . При j 2pn мы приходим к переносу .Наконец, для при j sup1 2pn можно считать v 0, что приводит к зеркальному повороту , а при j 2pn - v и получаетсяскользящее отражение .

Замечание. о параметрах перемещений Параметр для поворотаплоскости будем считатьизменяющимся mod 2p т. е. . Такое же соглашение будем использовать и для винтовогоперемещения при h gt 0. Если же h 0 , и речь идет о повороте в пространстве, надоучитывать, что . В частности, отражениеотносительно прямой параллельной v и проходящей через О . Аналогично, . Если при этом j p это преобразование не зависит от вектора n и является отражением

относительно точки О.4 Композиции1.Теорема 4Если f и g два перемещения X, а f , g - соответствующие операторы в V,то f g f g Символом обозначена композиция перемещений .Доказательство.Используем координатную форму записи f R AR v, g R BR w. Тогда f g R f g R f BR w A BR w v AB R Aw v .

Следовательно, f g AB f g .Следствие.Композиция двух перемещений с определителями одногознака имеет определитель 1 если знаки определителей противоположны, композицияимеет определитель -1 .Вычисление композиции перемещений пространства не вызываетзатруднений. Отметим только, что ,где v 2AB. Для случая пространства удобно использовать комплексные числа. Отождествляя их сточками плоскости, получаем удобный способ записи перемещений.

Например,поворот можно записать в виде z z c. Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число находится из уравнения с, откуда с 1 Таким образом, Отметим, что при j y sup1 0 mod 2p . В то же время при j y 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD, где D .Преобразование z cявляется скользящим отражениемотносительно прямой

Im 0 на вектор 0,5 с . Если прямая l проходит через точку иее направляющий вектор рассматриваемыйкак комплексное число имеет аргумент , то перемещение можно записать в виде Композиция двух скользящих отражений относительнопересекающихся прямых будет поворотом. В то же время, если прямые параллельны,композиция - перенос.