Высшая математика, интегралы

Равномерная непрерывностьОпределение 28.7 Функция называется равномерно непрерывной на множестве ,если . вотличие от критерия Коши . Пояснение Пусть .Тогда Т.е. функция неявляется равномерно непрерывной на множестве . Теорема 28.3 Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывнана н м. Классы интегрируемыхфункцийТеорема 28.4 Непрерывная на отрезке функция интегрируема на н м.

Теорема 28.5 Монотонная на отрезке функция интегрируема на н м. Теорема 28.5 Если функция определенаи ограничена на отрезке , иесли можноуказать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функциина .Прич м общая длина этих интервалов меньше . То -интегрируема на .Замечание Очевидно, что если -интегрируема на , а отличаетсяот тольков конечном числе точек, то -интегрируема на и .Существование первообразнойОпределение 28.9

Пусть -интегрируема на , ,тогда функцияинтегрируемана ифункция называетсяинтегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция -интеграл с переменным нижним пределом. Теорема 28.6 Если функция -непрерывна на , то уне существует на первообразная,одна из которых равна , где . Замечание 1 Из дифференцируемости функции следуете непрерывность, т.е. Замечание 2 Поскольку - однаиз первообразных , топо определению неопредел нного интеграла и теореме

о разности первообразных . Этосвязь между определ нным и неопредел нным интеграламиИнтегрирование подстановкойПустьдля вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .Теорема.Если 1. Функция и ее производная непрерывны при 2.множеством значений функции при является отрезок a b 3 то .Док-во Пусть F x есть первообразная для f x на отрезке a b . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница . Т.к то является первообразной для функции

Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем .Формулазамены переменной в определенном интеграле.1. при вычисленииопред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной нетребуется 2. часто вместоподстановки применяют подстановку t g x 3. не следуетзабывать менять пределы интегрирования при замене переменных.Интегрирование заменойпеременной. а . Метод подведения под знакдифференциалаПусть требуется вычислитьинтеграл .

Предположим, что существуют дифференцируемая функция ифункция такие,что подынтегральное выражение можетбыть записано в виде .Тогда . Т.е.вычисление интеграла сводитсяк вычислению интеграла которыйможет оказаться проще и последующей подстановке .Пример Вычислить Подстановка . б . Метод подстановкиПусть требуется вычислитьинтеграл , где .Введ м новую переменную формулой , гдефункция дифференцируемана иимеет обратную , т.е.отображение на

-взаимно-однозначное. Получим .Тогда . Т.е.вычисление интеграла сводитсяк вычислению интеграла которыйможет оказаться проще и последующей подстановке .Пример Вычислить откуда .Интегрирование по частям. Пусть -дифференцируемые функции, тогда справедлива формула , иликороче . Этаформула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можнотак представить в виде , чтоинтеграл вычисляетсяпроще исходного.Пример Вычислить .

Положим .Тогда . Вкачестве выберемпервообразную при .Получим .Снова .Тогда .Окончательно получим .Замечание 26.5 Откуда можно получить выражение для первообразной . Интегрирование рациональных функцийПостановка задачи 1 .

2 . 3 . т.е. все задачи сводятся кзадаче B.2 . Теорема 1 Пусть ,тогда, если , где , то Изэтой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функциинеобходимо уметь интегрировать следующие функции 10 Интегрированиядробно-линейных и квадратичных иррациональностейСделав подстановку ,получим .тогда a . Подстановки Эйлера.1 . Корни многочлена -комплексные, сделав подстановку ,получим .2 .

Корни многочлена -действительные .Подстановка ,получаем .b . Подстановка ,далее, если 1 . подстановка - 2 . подстановка - 3 . подстановка - c . Если подстановка- Интегрирование функций, рационально зависящихот тригонометрическихУниверсальная подстановка ,тогда подстановка или -неч тные вносим функцию при неч тной степени под знак дифференциала Интегрируется по частямНеопределенный интегралОпределение 26.1

Функция называетсяпервообразной для функции на ,если . Пусть и -первообразные функции на .Тогда . Определение 26.2 Неопредел нным интегралом от функции на называетсяобъединение всех первообразных наэтом интервале. Обозначается .Замечание 26.1 Замечание 26.2 Подынтегральное выражение в определении представляет изсебя полный дифференциал первообразной

на , т.е Замечание 26.3 Два неопредел нных интеграла равны с точностью допостоянной . Св-ва неопределенногоинтеграла 1.Дифференциал отнеопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производнаянеопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильностьинтегрирования проверяется дифференцированием 2. Неопред. интегр. отдифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производнойпостоянной 3.

Постоянный множитель м.выносить за знак интеграла , где a0-постоянная.4. Неопред. интегр. оталгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. суммеинтегралов от слагаемых функций 5. Инвариантность формулыинтегрирования . Если, то и , где u - произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.Табличные интегралы Определ нный интеграл.ИнтегрируемостьОпределение 28.1

Множество точек отрезка таких,что называютразбиением отрезка .Длины частичных отрезков разбиения обозначим .Мелкостью разбиения читается дельта большое назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. .Определение 28.2 Пусть в определении 28.1 для всех точки .Интегральной суммой функции наотрезке сразбиением будемназывать сумму зависящую от разбиения ивыбора точек вида .Определение 28.3

Пределом интегральных сумм функции наотрезке назов мтакое число , что .Обозначается . Определение 28.4 Функция называетсяинтегрируемой на отрезке , еслисуществует конечный предел е интегнральных сумм на .Обозначается . Теорема 28.1 Если интегрируемана отрезке , тоона ограничена на н м. Замечание 1 Эта теорема является необходимым, но недостаточнымусловием интегрируемости функции.

Пример функция Дирихле ограничена, нонеинтегрируема .Критерий интегрируемостифункцийТеорема 28.2 Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезкефункция, была интегрируема на н м, необходимо и достаточно, чтобы выполнялосьусловие .Следствие 1 Условие Т.2 эквивалентно условию .Следствие 2 Если функция интегрируема на , то .Определение 28.8

Определ нным интегралом функции на называетсячисло ,равное пределу интегральных сумм на .Условие интегрируемости эквивалентно существованию определ нного интеграла.Свойства определ нногоинтеграла1. Если с постоянноечисло и функция f x интегрируема на a b , то , т.е. пост. множитель с можно выносить за знакопределенного интег-ла.2. Если функции f x , g x интегрируемына a b , тогдаинтегрируема на a b их сумма и разность,

3. Если , то 4. Если функция f x интегрируемана a b и a lt c lt b, то , т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов почастям этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью определенногоинтеграла.Сравнение определ нныхинтеграловЕсли -интегрируема на и , то .Если -интегрируема на и , то Неравенство м у непрерывнымифункциями на отрезке a b , можно интегрировать. Если -интегрируемы на ипочти для всех , то Модуль определенного интег-лане превосходит интег-ла от

модуля подынтегральной функции. Если -интегрируема на , то -также интегрируема на обратноеневерно , прич м Оценка интеграла. Если m и M-соответственнонаименьшее и наибольшее значения функции y f x на отрезке a b . Если -интегрируемы на и , то Теорема о среднем значенииЕсли функция f x непрерывна наотрезке a b , то существует точка такая, что .Док-во По формулеНьютона-Лейбница имеем , где F x f x . Применяя к разности

F b -F a теоремуЛагранжа теорему о конечном приращении функции , получим F b -F a F c b-a f c b-a .Эта теорема при f x 0 имеет простой геометрич. смысл значение определенногоинтег-ла равно, при нек-ром , площади прямоугольника с высотой f с и основанием b-a.Число наз-ся среднимзначением функции f x на отрезке a b .Формула Ньютона-ЛейбницаЕсли -первообразная непрерывной функции на , то .

Док-во Рассмотрим тождествоПреобразуем каждую разность вскобках по формуле Лагранжа. Получим т.е где есть нек-рая точка интервала. Т.к. функция y f x непрерывна на a b . Поэтомусуществует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f x на a b .Переходя к пределу при , получаем F b -F a , т.е интегралс переменным верхним пределомЕсли изменять, например,верхний предел так, чтобы

не выйти за пределы отрезка a b , то величина интеграла будет изменяться. Другимисловами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функциюсвоего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменномуверхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменнаяинтегрирования заменена этим пределом, т.е. .Док-во По формулеНьютона-Лейбница имеем .Следовательно, .

Это значит, что определенныйинтег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразныхподынтегральной функции.