высшая математика (шпора)

1Определение функции Если даны числовые множества Х х и Y у и по некоторому закону f каждому элементу хХ поставлен в соответствие единственный элемент уf, то говорят, что на множестве X задана функция у fx. х называется аргументом функции, а у - ее значением. Множество X называется областью определения функции, а множество У - областью значений функции. Графиком функции называется геометрическое место точек x,y плоскости,

координаты которых х и у связаны соотношением у fx. и х принадлежит области определения функции. Способы задания 1. словесное описание. 2. с помощью таблицы. 3. с помощью графа. 4.аналитическийс помощью формулы. Функция считается заданной графически если в некоторой сис-ме координат построен ее график множество точек с координатами х,fx в некоторой сис-ме координат.

Св-ва ф-ий 1.ф-я с областью опр Df назыв. Четной если для любого х из Dx вып равенство f-xfx, не четной f-x-fx и общего вида. График ф-ии симметричен относительно . 2. ф-я yfx c Df назыв убывающей на промежутке х если x1,x2X выполняется x1 x2 fx1 fx2, если x1,x2X x1 x2 fx1 fx2- ф-я возрастает, если fx1fx2 и fx1fx2 то ф-я не убывающей ни возрастает.3.ф-я yfx назыв периодической

с периодом Т нне равному 0, если хDx выполняетсяfxTfx. 4.ф-я назыв ограниченной если существует такое положительое число М что х из этого промежутка вып-ся нерав-во -МахМ. 5.пусть ф-я yfx с Dx и Еу, ставящая в соответствие различным элементам х разные элементы у. ф-я ставящая в соответствие любому элементу у единственный элемент х изDx такой что fxy назыв обратной данной f -1. 6. пусть дана

ф-я yfu где переменная я-ся ф-ией от х uцx тогда ф-я yfuх назыв сложной составленной из f и ц. 1. степенная yxa 2. показательная yax 3. логарифмическая ylogax 4. тригонометрические 2. понятие переменной. Предел переменной. Б.м. величины, их св-ва. II. Предел 1.Числовая последовательность Частным случаем функции является функция натурального аргумента у fn,n е N, которая обычно обозначается хп и называется числовой последовательностью.

Областью определения такой функции является множество N натуральных чисел, а каждое значение хn называется членом последовательности. Последовательность считается заданной, если указано правило, по которому каждому значению п ставится в соответствие число xn . Выражение хп называют также общим членом последовательности, имея в виду, что хn fn и для любого п по правилу f можно определить соответствующее значение xn.1.число а назыв пределом

переменной х если для любого наперд заданного положительного числа о можно указать такое значение переменной х что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству Рх-аР о. Предел постоянной равен 0. 2 переменная х если М можно указать такое значение х начиная с которого все последующие значения х будут удовлетворять РхР М б.м. 1 ф-я yfx наз б.м. при хa если lim fx 0. св-ва 1.бм есть бм2. произв бм на ограниченную ф-

ю есть бм 3.произ пост на бм есть бм.П6. Доказать, что функция х-1 есть бесконечно малая при х 1. Зафиксируем число о О и покажем существование такого числа Sо 0, что неравенство х-1-0 о или х-1 о выполняется для всех х. удовлетворяющих неравенству х-1 д. Очевидно до Если выбрать до, то неравенство х-1 д эквивалентно неравенству х-1-0 о, т.е. limх-1 0 и функция х-1 бм при х0. 4. предел ф-ии в точке и в бесконечности.

Теорема о пределе суммы, произведения и частного. Односторонние пределы Число а называется левосторонним пределом функции fх , или пределом слева, в точке х х0, если функция fх определена в некоторой левосторонней окрестности точки х а, исключая, быть может, саму эту точку, и если для любого числа е 0 существует такое число b be 0. что из неравенства x0-d х х0 следует неравенство fx-a e. Для предела слева применяется обозначение

Правосторонний предел, или предел справа, определяется аналогично и обозначается Пределы слева и справа могут либо совпадать, либо не совпадать. Условие fx fx является необходимым и достаточным условием существования обычного предела limfx. 6. Предел функции в бесконечноудаденнойточке Число а называется пределом функции fх при х если для любого e 0 существует число b be 0. такое, что при х

Ь выполняется неравенство fх-а е. При этом записывают limfx a. Аналогично определяется предел при х 5 Основные теоремы о пределах Т1. Если x- x0 limfx существует, то он единственный. Т2. limC С С -const. limfxvxlimfx limvx x- x0 ТЗ. Если функция fх при х- х0 имеет конечный предел с не 0 и существует предел функции vх , то limfxvxclimvx

Т4. Если в некоторой окрестности точки х0 fх vx wх и limfxlimwx А , то и limvxA Т5. Если при некотором b 0 функция fх возрастает на х0-b,х0 убывает на х0,b х0 и ограничена сверху снизу, то существует limfxx- a-0, lim fxx- a0. Т6. Если для любого е 0 существует b 0 такое, что для произвольных х и х из интервала х0-b,х0b, отличных от х0, fx-fx e, то существует limfx. Т7. Для существования предела limfxA необходимо и достаточно, чтобы

для всякой последовательности хп , сходящейся к х0, последовательность fхл сходилась к A . Т8. Если в некоторой окрестности точки хх0, кроме, может быть, самой этой точки, fх vх,то и limfх limvх , если эти пределы существуют и конечны. 3. ББ величины. Связь бм и бб. ф-я yfx наз б.б. при хa если положительного М можно найти такое положительное число д что ха и удовлетворяющих

Рfx Р M. lim fx . Связь 1. если бх-бм и нен обращается в 0, то при любом допустимом значении х 1бх-бб. 2. если ах-бб то 1ах-бм. неопределенности при вычислении предела Иногда непосредственное применение теорем о пределах бывает невозможно. Например, если х- х0 limfx limцx0,то нельзя ничего сказать о пределе не зная конкретного вида функций fх и цх. В этом случае говорят о неопределенности вида 00.С неопределенностью вида имеем дело, если

х- х0 limfx limцx, а необходимо вычислить limfх цх. Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопреде ленность устранить. Это часто удается сделать путем алгебраических и тригонометрических преобразований. 2.И. Неопределенность вида 00 1 Вычислить х- 1 lim x3-1x-1 Разложим числитель х3 -1 х-1х2 х 1. Тогда, имея в виду, что х стремится к 1, не принимая значения 1,т.

е. х, получим limx3 х 13. Мы произвели деление на выражение x-1, отличное от нуля, но являющееся причиной неопределенности. Теперь неопределенность отсутствует. 2. Вычислить Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль при х5. Нахождение предела сводится к выделению в числителе и знаменателе множителя х-5, незримое присутствие которого и создает неопределенность 00. 16. Возрастание и убывание функции

Если функция fх дифференцируема на интервале а,Ь и fх 0 на а,Ь, то функция fх не убывает на этом интервале. Если fх 0 на а,Ь, то на этом интервале функция fх не возрастает. Если знак производной на а,Ь строгий fx 0 или fх 0, то функция строго возрастает или строго убывает на а.Ь. Практическое правило для нахождения интервалов монотонности функции находят производную f x и всю

область определения функции разбивают на интервалы точками, где fх0 или не существует. Внутри таких интервалов знак производной сохраняется и определяет свойство возрастания или убывания функции. 5.9. Общая схема исследования функции и построение ее графика Исследование функции и построение ее графика удобно проводить по следующей схеме 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции

и вертикальные асимптоты. 3. Исследовать поведение функции на бесконечности, найти наклонные горизонтальные асимптоты правую и левую. 4. Найти интервалы монотонности и точки экстремума. 5. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. 6. Найти точки пересечения графика функции с осями Ох и Оу. 7. Построить график функции17 Экстремумы функции

Точка х0 называется точкой максимума функции y fx, если функция непрерывна в этой точке и можно указать такую окрестность точки х0, что для всех хх0 из этой окрестности выполняется неравенство fx0 fx.Точка х0 называется точкой минимума функции уfx , если функция непрерывна в этой точке и можно указать такую окрестность точки х0, что для всех х х0 из этой окрестности выполняется неравенство fx0 fx.Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

5.3. Необходимые и достаточные условия экстремума. Необходимое условие существования точек экстремума функции - равенство нулю или несуществование первой производной функции в этих точках. Такие точки называются критическими или подозрительными на экстремум. Это условие не является достаточным. На рис. 25 в точке х0 производная равна нулю касательная к графику функции горизонтальна. Однако при х х0 f x 0 и при х х0 f х 0,т.е. функция возрастает как слева от точки

х0, так и справа от нее. Функция экстремума не имеет. Достаточные условия экстремума I. Если при переходе через критическую точку х0 первая производная функции меняет знак т.е. слева и справа от этой точки ух имеет разные знаки и функция непрерывна в этой точке, то в этой точке имеется экстремум функции. При этом, если смена знака происходит с плюса на минус, то это точка максимума, а если с минуса на плюс, то точка минимума.

II. Если в критической точке х0 ух00 и существует вторая производная ух0 , то если ух0 0 , то х0 - точка максимума, а если у х0 0 , то х0 - точка минимума. Практическое правило нахождения точек максимума и минимума 1 Сначала определяются критические точки, т.е. находится первая производная функции и точки, в которых она равна нулю или не существует 2 Затем или исследуется знак первой производной слева и справа от каждой

из этих точек, либо в них вычисляется вторая производная если она существует. Если функция непрерывна в критической точке и при переходе через нее знак первой производной меняется с плюса на минус, то в этой точке максимум , если с минуса на плюс, то в этой точке минимум если же смены знака не происходит, то критическая точка не является точкой экстремума. -Если в критической точке вторая производная отрицательна, то в этой точке имеется максимум, если вторая

производная положительна, то минимум. Если в критической точке вторая производная равна нулю, то требуется дополнительное исследование например, по знакам первой производной слева и справа от этой точки. 18 вогнутость, выпуклость, точки перегиба функции Функция у fx называется выпуклой вогнутой на интервале а. Ь , если на этом интервале она дифференцируема и ее график расположен ниже выше касательной, проведенной

в любой точке интервала а,Ъ . На рис. 31 на интервале а, Ь функция выпукла, а на интервале Ь, с - вогнута. Достаточным условием выпуклости вогнутости графика функции на интервале а,Ъ является отрицательность положительность ее второй производной в каждой точке интервала, т.е. если ух 0 при х а,Ь , то функция выпукла на интервале а,

Ь , если же ух 0 при х а,Ь , то она на нем вогнута. Замечание. Если у 0 на интервале а, Ъ , то у fx линейная функция, и направление выпуклости можно считать произвольным. Точка х0 является точкой перегиба функции, если справа и слева от нее кривая имеет разные направления выпуклости. На рис.31 точка х Ь- точка перегиба. Необходимое условие перегиба вторая производная равна нулю, либо не существует это так называемые критические

точки второго рода. Достаточные условия перегиба если при переходе через критическую точку второго рода или точку разрыва функции вторая производная изменяет свой знак, то эта точка является точкой перегиба функции. 19 Асимптоты Асимптотой кривой у fx называется прямая, расстояние от которой до переменной точки М, лежащей на кривой, стремится к нулю при движении точки М по ветви кривой в бесконечность. Различают вертикальные и наклонные и горизонтальные.

Прямая х равная х0 будет я-ся вертикальной асимптотой графика yfx если хотя бы один из односторонних пределов ф-ии в этой точке равен т.к точка разрыва 2-го рода. Прямая уа будет я-ся горизонтальной асимптотой если . Наклонные прямая уkxb будет я-ся накл-ой асимптотой если существуют наклонные пределы , 6. Первый замечательный предел и его использование для раскрытия неопределенности вида 00

Первый замечательный предел имеет вид lim sinxx1 x- 0 Второй замечательный предел и его использование при вычислении пределов Второй замечательный предел имеет вид где е 2,71828 иррациональное число, являющееся основанием так называемых натуральных логарифмов. Из этого предела выводятся следующие пределы, широко используемые при раскрытии неопределенностей При использовании предела

II характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой бесконечно малой. Поэтому любой предел вида если только 7. Непрерывность функции. Св-ва непрерывности Существует несколько эквивалентных определений непрерывной функции. 01. Функция у fx называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и в некоторой ее окрестности и имеет в этой точке односторонние преде лы слева и справа, равные значению функции в

этой точке, т.е. если 02. Функция у fx называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и в некоторой ее окрестности и . Функция y fх называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и в некоторой ее окрестности и для любого е 0 можно указать такое b bе 0, что для всех х , удовлетворяющих неравенству х-х0 b следует, что fx-fx0 е. О4. Функция у fх называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и в некоторой ее

окрестности и бесконечно малому приращению аргу мента Дх в этой точке соответствует бесконечно малое приращение Ду функции, т.е. 0, где Ду fх0 Дх - fх Точка х0 называется точкой разрыва функции fх. если в ней не выполняются условия непрерывности. Точка х0 разрыва функции у fх называется точкой разрыва I рода, если односторонние пределы в этой точке существуют и конечны.

Точка х0 разрыва функции называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке не существует или бесконечен. Св-ва 1.пусть fx непрерывна на a,b и на концах отрезка принимает значение разных знаков, тогда внутри отрезка a,b найдется по крайней мере одна точка значение ф-ии в которой о. 2.пусть fx непрерывна на отрезке a,b и на концах принимает разные значения, тогда она принимает и все

промежуточные междуграничные значения. 3.ф-я непрерывная на торезке ограничена на нем. 4.ф-я непрерывная на отрезке достигает на нем своих наибольших и наименьших значений. 8. Производная.Определение производной е смысл Производной yх0 функции уfх в точке х0 называется предел если он существует отношения приращения функции Ду к приращению аргумента Дх при стремлении последнего к нулю, т.е. или Геометрический смысл производной fx0 представляет собой

угловой коэффициент касательной к графику функции yfx в точке Mоxо ,fxо, т.е. fxa tga, где а угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох см. рис. 11 Рис. 11 9. правила нахождения производной. 1 производная постоянной равна 0 С 0 д-во ДyfxДx-fxC-C0 2 UV U V Д-ВО пусть уUV ДуfxДx-fxUxДx VxДx- -UxVx

ДUx ДVx y UV U VUV UV U V-UV V2 10 Сложная и обратная ф-ии пусть ф-я yfx с Dx и Еу, ставящая в соответствие различным элементам х разные элементы у. ф-я ставящая в соответствие любому элементу у единственный элемент х изDx такой что fxy назыв обратной данной f -1.график взаимно обратной ф-ии симметричен относительно прямой ух. 6. пусть дана ф-я yfu где переменная я-ся ф-ией от х uцx тогда ф-я yfuх назыв сложной составленной из f и ц.

Производная сложной функции Если функция и vх дифференцируема в точке х0, а функция у fu дифференцируема в точке u0vx0, то сложная функция композиция функций v и f y fvx дифференцируема в точке х0 и справедлива формула fxx0 fuu0vx0 или dudxdydududx х y1y x 11 производная лог,показ-ой и ст-ой ф-ий 12 sinx cosx cosx -sinx tgx 1cos2x ctgx -1sin2x arcsinx 11-x212 arccosx -11-x212 arctgx 11x2 arcctgx -11x2 13 Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

ОпРеделение. Функция уfx называется дифференцированной в точке x, если е приращение Ду в зтой точке можно представить в виде Дy f х ДхбДx Дх, где бДx бм при х0 Определение. Если функция yf x дифференцируема, то есть, если Дy f х ДхбДx Дх, то главную линейную часть f х Дх, е приращения будем обозначать dy называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х. Написав для симметрии dх втлесто

Дх. получим следующую формулу dy f xdх откуда Заметим ещ, что дифференциалы dy и dx являются функциями переменной х, причм функция dx принимает постоянное значение Дх Смысл Постр график уfx проведем касательную к графику, она образует угол б с Ох. По опред-ю дифферинциала dyy ДxtgбДxNQ св-ва 1.dUVdUdV, 2.dUVdUVUdV, док-во dUVUV ДxU V UV ДxU ДV UДxV dUV

UdV, 3.dUVdUV-UdVV2 14 теоремы о среднем 1.Т.Ферма пусть ф-я f опред-на на промежутке ab и в точке х0, х0ab принимает наибольшее значение. Тогда если в т х0 существует производная, то она равна 0. 2. теорема роля пусть ф-я f направлена на отрезке ab и дифферинцирована на ab причем fafb. тогда в промежутке ab найдется точка с чтоf c0 15. Правило Лопитадя Если функции fх и vх удовлетворяют условиям или 2 в некоторой окрестности точки х-х0, исключая саму эту точку, существуют производные f x и v x причем,v x0 3 существует

конечный или бесконечный предел , то Это правило справедливо и тогда, когда х0 не есть конечное число, т.е. x0 . Применяя алгебраические преобразования или логарифмирование, правило Лопиталя можно использовать и для раскрытия других неопределенностей, сводя их к неопределенностям вида 00 и . 20 понятие ф-ии нескольких переменных. Производные I и II порядка. 1 пусть имеютса две переменные величины и каждому набору их значений х,у из некоторого

множества D соответствует единственное значение переменной величины z. тогда говорят что переменная z я-ся фей двух переменных х и у zfxy. Если ф-я задана фор-ой то D-множество наборов значений при которых имеет смысл формула. Графиком ф-ии zfxy наз множество точек x,y,z-простраства для которых zfxy частные протзводные I,II порядка 1 частной производной ф-ии zfxy по переменной ху в точке

Мх,y наз предел отношении частного приращения ф-ии к приращению аргумента. если берем производную по одной переменной то остальные я-ся постоянными. Частные производные от частных производных I порядка есть частные производные II порядка. и тд 21 диф-сть ф-ий двух переменных. Теорема о связи д-ла и ч произв. 1полным приращением ф-ии zfx,y наз-ся величина Дfx,yfx Дx,y Дy-fx,y 2ф-я zfx,y наз-ся дифференцируемой в точке

Мх,у если е полное приращение в этой точке может быть представлено в виде Дfx,yA ДxB Дy б1Дx, Дy Дx б2Дx, Дy где A,B-некоторые постоянные б1Дx, Дy,б2Дx, Дy-бм величины при Дx,Дy0. 3.дифферинциалом ф-и zfx,y называется главная линейная часть е приращения. Dfx,yAДxBДy Т. Если ф-я zfx,y дифференцируемая в точке Мх.ут то А ,В . Д-вопо условию zfx,y дифференцируемая ее приращение может быть в виде где и -бм.

Тк приращения Дх и Ду при Дх,у0 я-ся произвольными то допустим что в последнем равенстве Ду0,тогда c другой стороны тогда по определению полного приращения ДffxДx,y-fx,y Дx. Дx перейдем к пределу . Аналогично допустив что Дx0 мона док-ть что . Из теоремы что диф-иал ф-ии zfx,y