Билеты по математике

Вопрос 1 первообразная и неопределенный интеграл.Первообразной от функции f x в данном интерваленазывается функция F x , производная которой равна даннойфункции F x f x . Всякая непрерывная функция имеетбесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются другот друга только постоянным слагаемым.Неопределенным интегрированием называется отысканиепервообразных,

а выражение, охватывающее множество всех первообразных от даннойфункции f x , называется неопределенным интегралом от f x и обозначают F x f x Свойства неопределенного интеграла 1. f x dx F x C F x f x dx2. F x F x C или f x dx f x C3. af x bg x dx a f x dx b g x dx 4. Аf x dx A f x dx, где А - постояннаяРассмотримфункцию f x ,определенную на промежутке a,b возможно a - yen , b yen . Дифференцируемаяна промежутке a,b функция

F x ,производная которой в каждой точке равна f x ,является первообразной функции f x F x f x . Поскольку F x const F x f x , томожно говорить о семействе первообразных множестве функций вида F x const , F x f x . Семействопервообразных F x const функции f x является неопределенным интегралом функции f x иобозначается f x dx, где f x dx F x C для всех x a,b . Здесь - знак интеграла, f x dx - подынтегральноевыражение, f x - подынтегральная функция, x - переменная

интегрирования, F x C - значение неопределенного интеграла. Вопрос 2 интегрирование заменой переменной.Еслифункция x j t определена и непрерывно дифференцируема намножестве t , и x является множеством значений этой функции, получим формулу интегрированиязаменой переменной f x dx f j t j t dt. Суть метода состоит в присвоении дифференцируемойфункции j t значенияx, а j t dt значения dx, и таким образом сведении его к табличному.

Еслизамена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легковычисляться. Для некоторых классов функций существуют стандартные замены,сводящие интеграл к табличному. Вопрос 3 интегрирование по частям.Интегрированием по частям называется интегрирование спомощью нижеописанной формулы из правил дифференциального исчисления известно,что если u и v - дифференцируемые функции от x,то d uv udv vdu. Отсюда udv d uv vdu. Интегрируяобе части этого равенства, имеем

Основныеслучаи, когда применяется данный способ интегрирования 1. подинтегральная функция содержит произведениемногочлена от x на показательную функцию от x илипроизведение многочлена от x на sin x или cos x ,или произведение многочлена от x на ln x xn ex dx, xn sin x dx, xn cos x dx, lnn xdx2. подинтегральная функция представляет собой одну изобратных тригонометрических функций arcsin x , arccоs x и т.д. 3. подинтегральная функция есть произведение показательной функции на sin x или cos x .

Вопрос 4 интегрирование рациональных функций.Функцияf x называется рациональной, если она вычисляется спомощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов Pn x Если n lt m, рациональная дробь называется Qm x правильной.Неопределенный интеграл от рациональнойфункции всегда можно вычислить.Еслиn gt m,выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена намногочлен.

Правильную рациональную дробь или правильный остаток от деления раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнямимногочлена Qm x , аименно Каждому действительному корню x0 кратности 1 в разложении соответствует член. A Каждому действительному x - x0 корню x0 кратности k в разложении соответствует набор из k членов A B C D x - x0 x - x0 2 x - x0 3 x - x0 k Каждой паре комплексно сопряженных корней a ib кратности 1

в разложении соответствует член Mx N x2 px q Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности k в разложении соответствует набор из k членов M1x N1 M2x N2 Mkx Nk x2 px q x2 px q 2 x2 px q k В приведенных выражениях A, B M, N - неопределенныекоэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общемузнаменателю Qm x ,приравнивая полученные коэффициенты при степенях x к соответствующим коэффициентам

Pn x ирешая систему относительно A,B M, N. Полученноеразложение интегрируются почленно. Вопрос 5 методы интегрирования тригонометрических функций.Интегралывида R sin x, cos x dx, где R u,v рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью универсальной замены переменной t tg x 2 . При этом sin x 2t cos x 1 - t2 dx 2dt 1 t2 1 t2 1 t2 Однако универсальная замена обычно связана с объемнымивычислениями, поэтому в некоторых случаях можно

ее избежать. Интегралывида R sin x cos x dx вычисляются с помощью замены t sin x. Интегралывида R cos x sin x dx вычисляются с помощью замены t cos x. Интегралывида вычисляются с помощью замены R sin x, cos x dx, если R -u, -v R u, v , то естьчетная рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью замены t tg x. Интегралы вида sin2nx cos2m x dx вычисляются с помощью формул понижениястепени. cos2 x dx 1

cos2x tg2 x dx 1 - 1 tg x dx ln sin x dx Функция в степени gt 2 рассматривается как произведение ее в квадрате на нее же в соответствующей степени. 2 cos2 x sin2 x dx 1 cos2x ctg2 x dx 1 - 1 ctg x dx ln cos x dx 2 sin2 x Вопрос 6 методы интегрирования иррациональностей.Общий принцип интегрирования иррациональных выраженийзаключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней вподынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается спомощью sin

x, cos x dx стандартных замен. Интегралы вида R х, n ax b dx, где R u, v - рациональная функция своих аргументов, cx d вычисляются заменой t n ax b cx d Интегралы вида R х, a2 x2 dx вычисляются заменой x a cos t или x a sin t Интегралы вида R х, x2 a2 dx вычисляются заменой x a или x a cos t sin t Интегралы вида R х, x2 a2 dx вычисляются заменой x a tg t

Вопрос 7 площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл.Задача о криволинейной трапеции Дана плоская фигура криволинейная трапеция, где у f x непрерывно возрастающая на интервале a, b и принимающая положительные значения функция , ограниченная сверху непрерывной кривой у f x , снизу осью Ох, с боков прямыми x a, x b. Ее площадь приближенно можно вычислить следующим образом Разобьем интервал a, b на n не обязательно равных частей и обозначим абсциссы точек деления х1 , х2

хn-1 , интервалы a, х1 , a, х2 a, хn-1 через D1 , D2 Dn-1 , а их длины через D х1 , D х 2 D х n-1 . Построим n прямоугольников с основаниями, равными D х1 , D х 2 D х n-1 и высотами, равными ординатам f х1 , f х2 f хn-1 точек с абсциссами а х1 , х2 хn-1. Эти прямоугольники имеют площади, равные f х0 Dх1 , f х0 Dх2 f хn-1 Dхn, а сумма площадей этих прямоу- n гольников

S1 S f хi-1 Dхi равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из n прямоугольников, что дает приближенное значе- i 1 n ние искомой площади. За точное значение фигуры естественно принять предел суммы S1 S f хi-1 Dхi предполагая, что длина i 1 каждого из интервалов неограниченно уменьшается, а число интервалов неограниченно возрастает. n lim S1 S f хi-1 Dхi Dx i 0 i 1 Определенный интегралПриращениепервообразных функций

F x C при переходе аргумента xот значения x a к значению x b, равное разностиF b - F a , называется определенным интегралом и обозначается b b f x dx. То есть если f x dx F x C, то f x dx F b F a , предполагается при этом, что подинтегральная a a функцияf x непрерывна при всех значениях x,удовлетворяющих условиям a x b, a отрезокинтегрирования конечен Данное равенство называется формулой Ньютона -Лейбница.

Вопрос 8 свойства определенного интеграла. Теорема о среднемзначении.Свойства интеграла 1. 5. Если функции f x и g x интегрируемы по отрезку a,b , то и их алгебраическая сумма также интегрируема по a,b , причем интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов. 6. Пусть функция y f x определена на отрезке a,b . Так как в каждой точке непрерывности функции f x функция

F х имеет производную, которая равна f x , то F х 2. 3. Если функция y f x интегрируема по большему из промежутков a,b , a,с , с,b , то она интегрируема по двум другим промежуткам, причем, независимо от расположения точек а, b, c, выполняется равенство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла Теорема о среднем значении определенного интеграла b

Если функция f x непрерывна на интервале a,b , то внутри него найдется такая точка с, что f x dx b a f c a Так как функция f x непрерывна на интервале a,b ,то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений M и m на интервале a,b .Произведем обычное разбиение интервала a,b на n частичных интервалов Di длиной Dхi хi - хi-1 I 1, , n . n n nТаккак f ai sup3 m при любом ai, то f ai Dхi sup3 m Dхi, откуда S f ai Dхi sup3 m S Dхi S f ai

Dхi sup3 m b a . Так как f ai lt M i 1 i 1 i 1 n n n nпри любом ai, то f ai Dхi lt M Dхi,откуда S f ai Dхi lt M S Dхi S f ai Dхi lt M b a . Т.о. m b a lt S f ai Dхi lt M b a . i 1 i 1 i 1 i 1 b Переходя к пределу при max Dхi 0, получим неравенства m b a lt f x dх lt M b a m lt a b f x dх a lt M b - a Из этих неравенств следует, что указанное отношение можнопринять

за значение f c функции f x в некоторой промежуточной bточке интервала a, b . То есть f x dx b a f c . a Вопрос 9 производная интеграла по верхнему пределу. xДляфункции f x ,интегрируемой для всех х sup3 а,значение интеграла f t dt зависит от значения верхнегопредела х aможнорассмотреть функцию переменной х каждому значению хставится в соответствие число, равное значению указанного интеграла. Такимобразом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнегопредела xФ х f t dt функция

Ф х определена в областиинтегрируемости подынтегральной функции f х . Если F x aФ х - первообразная для f х , то значение Ф х можно вычислить по формулеНьютона-Лейбница x xФ х f t dt F x - F а .Функцию Ф х f t dt можно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой a aпри х sup3 а функции f х справедливы следующие утверждения

Ф х непрерывнана промежутке a, yen , причем Ф а 0 если f х gt 0 при х sup3 а, то Ф х монотонновозрастает на промежутке a, yen если f х непрерывна при х sup3 а, то Ф х дифференцируема на промежутке a, yen , причем x Ф х f t dt f x a Вопрос 10 заменапеременной в определенном интеграле. Пусть y f x непрерывна на отрезке a, b и на этом отрезке она имеет первообразную

F x . Пустьфункция y j t является дифференцируемой функцией на a, b и ее производная непрерывна на a, b . Она переводит отрезок a, b в a,b . Поскольку справедлива формула замены переменной в определенном интеграле Вопрос 11 интегрирование по частям в определенном интеграле.Пустьфункции u x и v x имеютнепрерывные производные на отрезке a, b . Проинтегрируемравенство для дифференциалов d u v v du u dv по отрезку a, b - формула интегрирования

по частям вопределенном интеграле. Эта формула применяется к тем же типам интегралов,которые были рассмотрены в неопределенном интеграле. Вопрос 12 геометрические приложения определенного интеграла.Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми,заданными в декартовых и полярных координатах и параметрически. Если плоская кривая К задана явно непрерывно дифференцируемой функцией y f x x0 lt x lt x1 , то она имеет длину Если f х является неотрицательной непрерывной на интервале а lt х lt b

функцией, то площадь S криволинейной трапеции ABCD вычисляется по формуле Декартовы координаты Если плоская кривая К задана в полярных координатах r g j j0 lt j lt j1 , то она имеет длину Площадь S сектора ОАВ, ограниченного кривой АВ, заданной в полярных координатах r g j j0 lt j lt j1 , и радиусом ОА и ОВ, определяется интервалом Полярные координаты

Если плоская кривая К задана параметрически х j t , y y t t0 lt t lt t1 , причем j t и y t непрерывно дифференцируемые функции, то она имеет длину l, вычисляемую по формуле Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть х j1 t , y 1 t , при этом х1 a а, х1 b b, а сверху кривой х j2 t , y y2 t . Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле, совпадающей с формулой вычисления площади

в декартовых координатах, если учесть, что x t dt dx Функция задана параметрически Вопрос 13 геометрические приложения определенного интеграла.Вычисление длиндуг кривых, объемов тел вращения, площадей поверхностей тел вращения.Длины дуг кривых Если плоская кривая К задана явно непрерывно дифференцируемой функцией y f x x0 lt x lt x1 , то она имеет длину Если плоская кривая К задана в полярных координатах r g j j0 lt j lt j1

, то она имеет длину Если плоская кривая К задана параметрически х j t , y y t t0 lt t lt t1 , причем j t и y t непрерывно дифференцируемые функции, то она имеет длину l, вычисляемую по формуле Объем тела вращения Пусть функция f x неотрицательна и непрерывна на интервале а lt х lt b объем V тела, получившегося в результате вращения криволинейной трапеции аАВb вокруг оси х, определяется формулой Площадь поверхности тела вращения Площадь S поверхности тела вращения, возникающего в результате вращения

вокруг оси х кривой, заданной на интервале а lt х lt b неотрицательной непрерывно дифференцируемой функцией f x , вычисляется по формуле Если вращающаяся кривая задана параметрически х j t , y y t t0 lt t lt t1 , то Объем тела между двумя плоскостями Объем V тела, заключенного между двумя плоскостями х а и х b, если площадь сечения, проведенного перпендикулярно оси х, есть известная функция х S f x a lt x lt b , вычисляется по формуле Вопрос 14 физические приложения определенного интеграла.

Вычислениеработы, координат центра тяжести плоской фигуры. Координаты центра тяжести. Координаты x, h центра тяжести материальной кривой с линейной плоскостью d х , заданной в явном виде y f x a lt x lt b , выражаются следующим образом где М полная масса. При постоянной плотности d х равенство может быть приведено к виду Момент инерции. Момент инерции Iу некоторой кривой у f x a lt x lt b с линейной плотностью d x относительно

оси х вычисляется по формуле Вычисление работы. Вычисление работы производится по перемещению материальной точки из точки а оси Ох в точку b под действием параллельной n оси Ох силы F x . Отвечающая произвольному разбиению сегмента a, b интегральная сумма s S F xk Dxk дает прибли- k 1 женное значение искомой работы, а предел этой интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей длины d час- b тичных сегментов, т.е. интеграл

F x dx дает точное значение работы. a Вопрос 15 несобственные интегралы 1-го рода. Несобственными интегралами называются интегралыс бесконечными пределами интегралы от неограниченных функций. Если отрезок интегрирования неограничен, то интегралназывается несобственным интегралом первого рода.С геометрической точки зрения, несобственные интегралывыражают площади неограниченных фигур. Несобственныйинтеграл от функции f x в пределах от a до yen определяется равенством yen b b b yen b

f x dx lim f x dx Аналогично f x dx lim f x dx и f x dx lim f x dx a b yen a - yen a - yen a - yen a - yen b yen a Если функция f x имеет бесконечный разрыв в точке сотрезка a,b и непрерывна при a lt x lt с ис lt x lt b, то по определению, полагают b c- a b f x dx lim f x dx lim f x dx a a 0 a b 0 c b Еслипредел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интегралназывается сходящимся и он равен значению этого предела. В противном случаеинтеграл называется расходящимся.

Вычисление несобственных интегралов сводитсяк вычислению первообразной,использованию формулы Ньютона-Лейбницаи вычислению предела. Каждыйиз этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать к ним, если естьуверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечномсчете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование ихна сходимость если интеграл расходится, то его и вычислять не надо.

Одним изглавных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимостьявляются теоремы сравнения. Интеграл сходится и равен frac12 . Интеграл расходится. Вопрос 16 несобственные интегралы 2-го рода.Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечнымипределами интегралы от неограниченных функций. Если функция не ограничена на промежуткеинтегрирования и промежуток интегрирования конечен, то определенный интеграл является несобственныминтегралом второго рода.

Интегралы второго рода бывают с несколькими точкамиразрыва.С геометрической точки зрения, несобственные интегралывыражают площади неограниченных фигур. Несобственныйинтеграл от функции f x в пределах от a до yen определяется равенством yen b b b yen b f x dx lim f x dx Аналогично f x dx lim f x dx и f x dx lim f x dx a b yen a - yen a - yen a - yen a - yen b yen a Если функция f x имеет бесконечный разрыв в точке сотрезка a,b и непрерывна при a lt x

lt с ис lt x lt b, то по определению, полагают b c- a b f x dx lim f x dx lim f x dx a a 0 a b 0 c b Еслиоба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то несобственныйинтеграл называется сходящимся и он равен сумме этих пределов, в противномслучае расходящимся. Вычисление несобственных интегралов сводится квычислению первообразной,использованию формулы Ньютона-Лейбницаи вычислению предела. Каждыйиз этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать

к ним, если естьуверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечномсчете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование ихна сходимость если интеграл расходится, то его и вычислять не надо. Одним изглавных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимостьявляются теоремы сравнения. Несобственный интеграл сходится. Аналогично определяютсяинтегралы второго рода в другихситуациях.

Если функция на отрезке интегрирования терпит разрыв первого рода вточке с, то определенный интеграл от нее по этому отрезку не являетсянесобственным, т.е. его можно свести к сумме двух обычных определенныхинтегралов. Вопрос 17 понятие о функциях двух независимых переменных. Линии уровня.Функциядвух переменных. Переменнаяz с областью изменения Z называется функцией независимых переменных x, y в множестве

M, если каждой паре x, y ихзначений из M понекоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенноезначение z из множества Z. Множество M область определения функции, множество Z область ее значений. Функциональная зависимость z от x, y обозначается так z z x,y , z f x,y , z j x,y Выберемв пространстве систему координат x, y, z, изобразим на плоскости x0y множество M в каждой точке этого множества восстановимперпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение z f

x, y .Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственнымграфиком функции двух переменных. Линиии поверхности уровня. Линиейуровня функции двух переменных x, y называется геометрическое место точек наплоскости x0y, в которых функция z f x, y принимает одно и то же значение. Линии уровня функции z f x, y определяются уравнением f x,y C, где C const.Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, неприбегая к пространственному

графику. Поверхностью уровня функции трехпеременных x, y, z называется геометрическое место точек впространстве, в которых функция u x, y, z принимает одно и то же значение. Уравнениеповерхностей уровня имеет вид u x, y, z C. Поскольку график функции трех переменных намнедоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения такихфункций. Вопрос 18 частные производные функции двух переменных.

Пусть f x, y -функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки x0, y0 . Если существует конечный предел limDx 0 f x0 Dx, y0 - f x0, y0 , то говорят, что функция f x, y имеет в точке x0, y0 Dx частнуюпроизводную по переменной x.Аналогично определяется частная производная по y. Обозначают limDx 0 f x0 Dx, y0 - f x0, y0 f x x0, y0 D x f x0, y0 x f x0, y0 f

Dx x Пустьf x , x x1, x2 xn G Rn - функция n переменных, определенная в области G-мерного пространства. Частной производной функции f x1, x2 xn попеременной xi называетсяпредел limDxi 0 f x1, x2 xi D xi xn - f x1, x2 xi xn f x1, x2 xn D xi xi Изопределения частной производной следует правило при вычислении производной поодной из переменных все остальные переменные считаем константами, учитывая, чтопроизводная константы равна нулю и константу

можно выносить за знакпроизводной. Вопрос 19 производнаясложной функции и полная производная.Дифференцирование сложной функцийПриведемправило по которому можно найти производную сложной функции y f f t . Теорема.Пусть функция x f t дифференцируема в точке t, а функция y f x дифференцируема в соответствующей точке x f t .Тогда сложная функция y f f t дифференцируема в точке t, причем справедлива формула f f t f x f t .Доказательство.Зададим x f t отличное от нуля приращение

Dt.Этому приращению отвечает приращение Dx f t D t -f t функцииx f t . Приращению Dx отвечает приращение Dy f x D x -f x . Так как функция y f x дифференцируема,то ее приращение Dy представимо в виде Dy f x Dx a Dx Dx,где limDx 0 a D x 0. Поделив данное выражение на Dt 0, будем иметь

Dy f x Dx a Dx Dx Из дифференцируемости функции x f t в точке t вытекает, что limD t 0 Dx f t Dt Dt Dt Dt Издифференцируемости функции x f t следует, что Dx 0 при Dt 0.Следовательно, limDt 0 a Dx 0. Такимобразом, получим необходимую формулу.Полная производная Если x f x t , y t -сложная функция одной переменной t, полная производная,производная по t от функции у F t, x1 xn , зависящей от t и x1 xn.

Выражается формулой dy F n F dxn Sn-1 dt t xn dt Вопрос 20 полный дифференциал.Полным дифференциалом функции многих переменныхназывается главная линейная относительно приращений аргументов часть малогополного приращения функции. Для приращения дифференцируемой функции f x1, x2 xn справедливо равенство Df f D x1 f D x2 f D xn o D x12 D x22 D xn2 Линейная по приращениям аргументов x1 x2 xn частьприращения функции называется полным дифференциалом

функции f x1, x2 xn и обозначается df f D x1 f D x2 f x1 x2 xn Вопрос 21 частные производные высшихпорядков.Пусть f x, y -функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки x0, y0 . Если существует конечный предел , то говорят, что функция f x, y имеет в точке x0, y0 . частнуюпроизводную по переменной x.Аналогично определяется частная производная по y. Обозначают Пусть -функция n переменных, определенная в области

G-мерного пространства. Частной производной функции f x1, x2 xn по переменной xi будет являться предел .Изопределения частной производной следует правило при вычислении производной поодной из переменных все остальные переменные считаем константами, учитывая, чтопроизводная константы равна нулю и константу можно выносить за знакпроизводной. Вопрос 22 скалярноеполе. Производная по направлениюСкалярноеполе. Есликаждой точке

M пространства ставится всоответствие скалярная величина u M , то возникает скалярное поле например, полетемпературы, поле электрического потенциала . Если введены декартовыкоординаты, то обозначают также u x,y, z или u r , r xi yj zk. Полеможет быть плоским, если u u x, y ,центральным сферическим , если u u x2 y2 z2 , цилиндрическим, если u u x2 y2 . Свойства скалярных полей можно наглядно изучать спомощью поверхностей уровня.

Это поверхности в пространстве, на которых u принимает постоянное значение. Их уравнение u x, y, z const. В плоском скалярном поле линиями уровня называюткривые, на которых поле принимает постоянное значение u x, y const. В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться вточки, а поверхности уровня в точки и кривые. Производнаяпо направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении

этого вектора характеризуется производной по направлению . В частности, для функции трех переменных направляющие косинусы вектора l. Вопрос 23 градиентскалярного поля. Градиентом функции z f x, y в точке A0 x y является вектор плоскости xOy, имеющий координаты z , z x y Градиент обозначается grad f x, y g. То есть, g f i f j x y

Его длина равна f 2 f 2 Производная функции z f x, y в точке A0 x y по направлению j равна скалярному x y произведению градиента g функции на единичный вектор а0 этого направления. Вопрос 24 касательная плоскость и нормаль к поверхности.КасательнаяплоскостьПлоскост ь,содержащая все прямые, касательные к данной поверхности в данной точке,называется касательной плоскостью к S в данной точке.

Уравнение касательной плоскости Пусть r радиус-вектор, р радиус-вектор произвольной касательнойплоскости, р rлежит в касательной плоскости.Положим n ru, rv , n p - r, тогда n, p - r 0.Получаем ru, rv , p r 0.Нормаль к поверхностиНормальюк поверхности в точке M0 называетсяпрямая, проходящая через точку M0и перпендикулярная к касательной плоскости, провед нной в этой точке. Уравнениенормали к этой поверхности в точке M0естьВслучае явного задания поверхности уравнением примет

вид Вопрос 25 экстремум функции 2 переменных.Необходимые и достаточные условия.Исследование на экстремум функции двух переменных. Обозначим через приращение функции f x, y в точке x0, y0 . Если x0, y0 - точка локального минимума функции f x, y , то существует окрестность d x0, y0 , в которой обратное неравенство в случае максимума . Из формулы

Тейлора первого порядка следует, что приращение D f x0, y0 дважды непрерывно дифференцируемой функции f x, y может сохранять знак, если главная линейная часть приращения функции в точке экстремума максимума или минимума равна нулю, т.е. выполнено необходимое условие экстремума если точка x0, y0 - точка экстремума, то Такая точка называется стационарной точкой функции. Приращение функции в стационарной точке имеет вид

Условным экстремумом функции двух переменных z f x, y , которая определена в некоторой области G R2 и в этой области задана кривая уравнением j x, y 0, называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить y y x , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной z f x, y x Необходимые и достаточные условия Теорема если функция u f x1, x2 xm один раз дифференцируема в достаточно

малой d-окрестности точки М0 x1, x2 xm и дважды дифференцируема в самой точке М0 и если точка М0 является точкой возможного экстремума этой функции, то функция u f x1, x2 xm имеет в точке М0 локальный минимум в случае, если второй дифференциал d2 f в этой точке является положительно определенной квадратичной формой, локальный максимум в случае, если второй дифференциал d2 f в этой точке является отрицательно определенной квадратичной формой, и не имеет в точке

М0 никакого локального экстремума в случае, если второй дифференциал d2 f в этой точке является знакопеременной квадратичной формой. Обозначим Справедливо следующее достаточное условие экстремума. Пусть функция f x, y дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки x0, y0 и Если AC B2 gt 0, то в точке x0, y0 функция достигает экстремума. Если при этом A gt 0, то этот экстремум минимум, при

A lt 0 - максимум. Если же AC B2 lt 0, то в точке x0, y0 экстремума нет. Геометрически достаточное условие означает, что в окрестности экстремума график функции близок к поверхности Если AC B2 0, то для определения знака приращения Df x0, y0 необходимо изучить члены формулы Тейлора более высокого порядка. Вопрос 26 задача обобъеме цилиндрического тела. Двойной интеграл.Задача об объеме цилиндрического тела

Вычислим объем V вертикального цилиндрического тела Т, ограниченного сверху поверхностью z f x, y , в основании которого лежит область D с границей, состоящих из кривых y j1 x и y j2 x , причем эти функции непрерывны на интервале a, b . Всякая плоскость х х1, параллельная zOy и заключенная между плоскостями х а и х b, пересечет тело Т по некоторой плоской фигуре, площадь которой S F x .

Следовательно, объем тела Т b V F x dx a Определим функцию F x пусть плоскость х х1, a lt х1 lt b, пересекает тело Т по плоской фигуре с площадью S1. Если это сечение параллельным смещением перенести в плоскость zOy, то оно будет криволинейной трапецией, ограниченной снизу осью Oy, с боковых сторон - прямыми y j1 x1 и y j2 x2 , и сверху кривой z f x1, y .

Отсюда следует, что j2 x2 S1 f x1 dx j1 x1 Аналогично для х х2. Таким образом, из формул следует, что b j2 x V f x, y dy dx a j1 x Двойнойинтеграл в декартовых координатах. Пусть S ограниченная замкнутая область плоскости x0y с кусочно-гладкой границей и пусть функция f x, y определена и ограничена на S. Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем

S на конечное число элементарных областей Si i 1, 2 n с площадями DSi разбиение Z . Пусть D Z - наибольший из диаметров областей Si, получающийся при разбиении Z. В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку Mi xi, yi . Число называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению Z и каждому выбору точек Mi. Если существует и он не зависит от выбора разбиения

Z и точек Mi, то функция называется интегрируемой по Риману в области S, а сам предел называется двойным интегралом от функции f x, y по области S и обозначается или . Двойной интеграл существует, если f x, y непрерывна на S. Допустимы точки разрыва первого рода, лежащиена конечном числе гладких кривых в S. Вопрос 27 повторныйинтеграл. Теорема о равенстве двойного интеграла повторному.

Повторный интеграл. Если функция f x, y непрерывна на множестве G x, y a lt x lt b, y1 x lt y lt y2 x , где y1 x и y2 x непрерывны на отрезке a, b и y1 x lt y2 x на a, b , то Где правая часть в называется повторным интег- ралом, то есть результатом последовательного вычисления сначала интеграла по y при фиксированном x, а затем интеграла по x от получившейся функции. Теорема о равенстве двойного интеграла повторному

Пусть D простая в направлении Оу область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции в области D равен повторному интегралу от той же функции по области D Доказательство Разобьем область D с помощью прямых, параллельных осям координат на подобласти D1, D2 Dn. По доказанному выше К каждому из интегралов J Di применим теорему о среднем в любой области Di найдется такая точка

Рi, что J Di f Рi s Di . Следовательно . В последнем равенстве справа стоит интегральная сумма для двойного интеграла . Произведем разбиение области на более мелкие части так, что Вследствие непрерывности функции f x, y по теореме существования интегральная сумма при этом стремится к двойному интегралу То есть в пределе получим , что и требовалось доказать. Если область D правильная в направлении оси Ох, то аналогично доказывается формула

Если область D правильная в направлении обеих осей, то для вычисления двойного интеграла можно применять любую формулу. Если область неправильна, ее разбивают на правильные подобласти. Вопрос 28 двойнойинтеграл в полярных координатах.Иногдапри вычислении двойного интеграла путем его сведения к повторному бываетнеобходимо перейти из декартовых координат к полярным. Пусть кривые,ограничивающие область D, имеютв полярных координатах уравнения r r1 j , r r2 j ,причем

j меняется от j1 до j2. Разобьем область Dпрямыми, проходящими через полюс О, j const, и концентрическими окружностями с общим центром вполюсе О, r const. Таким образом, площадь каждойобразованной пересечением таких прямых и окружностей площадки Si ri Dji Dri Dj i r Dri . Запишем функцию z f x, y вполярных координатах x r cos j , y r sin j . Тогда z f x, y f r cos j , r sin j или z F r, j .Теперь интеграл b d j2 r2 j

Элемент площади в полярных координатах есть r dr dj. f x dx dy F r, j r dr dj a c j1 r1 j Вопрос 29 приложениядвойного интеграла вычисление объемов, масс, моментов инерции.Вычисление объемов Объем тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями z f1 x, y , z f2 x, y , x, y D, с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, составляет . Эта формула следует из геометрического смысла двойного интеграла, таким образом, при

вычислении объема основной задачей становится выбор координатной плоскости для проекции на нее тела. Вычислениемасс Для тела с однородной плотностью M m Если тело неоднородной плотности, то будем считать, что D неоднородная плоская пластина. Разобьем D на малые подобласти D1, D2 Dn, в каждой из подобластей Di выберем произвольную точку

Рi, и, считая что в пределах Di плотность постоянна и равна m Рi s Di , а масса всей пластины . При уменьшении точность приближения увеличивается, и в пределе Вычислениемоментов инерцииМоментом инерции материальной точки Р смассой m относительно какой-либо оси называется произведениемассы на квадрат расстояния точки Р от этой оси. Их можно найтианалогично массам, получив формулы

Вопрос 30 тройнойинтеграл. Вычисление тройного интеграла.Тройнойинтеграл и его свойства. ПустьV- ограниченная замкнутая пространственная область,границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция f x, y, z определена и ограничена в V.Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем V на конечное число элементарных областей Vi i 1, 2 n с объемами

DVi разбиениеZ . Пусть D Z .наибольший из диаметров областей Vi, получающийся при разбиении Z. В каждой из элементарных областей выберемпроизвольную точку Mi xi, yi, zi . Число ставится в соответствие каждому разбиению Z и каждому выбору точек Mi, и называется интегральной суммой. Если существует и он не зависит от выбора разбиения

Z и точек, Mi то функцияназывается интегрируемой по Риману в области V, а сам предел называется тройным интегралом от функции f x, y, z по области V и обозначается . Свойства тройных интегралов такиеже, как и у двойных интегралов. Вычислениетройного интеграла в декартовых координатах. Пусть V является цилиндрическим телом, проекция которого наплоскость x0y есть область

S икоторое ограничено снизу поверхностью z z1 x,y , а сверху поверхностью z z2 x,y , где z1 ,z2- непрерывные функции. Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралупо области S. Для областей болеесложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиениемобластей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами. Вопрос 31 тройнойинтеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Тройнойинтеграл в цилиндрических координатах.Введемв пространстве цилиндрические координаты. Для этого на плоскости x0y используем полярные координаты, а третья координатапроизвольной точки Mостается z. Учитывая связь полярныхкоординат с декартовыми, получим выражение декартовых координат черезцилиндрические x r cos j , y r sin j , z z Тогда frac12 J frac12 r и тройной интеграл в цилиндрических координатахвычисляется по формуле f x, y, z dx dy dz

f r cos j, r sin j, z r dr dj dz Элемент площади в цилиндрической системе координат есть r dr dj dz. V G Тройнойинтеграл в сферических координатах. Введемв пространстве сферическую систему координат. Для этого рассмотрим произвольнуюточку M в декартовой системекоординат. Спроектируем ее на плоскость x0y, получив точку M1.Положение точки M впространстве будем характеризовать ее расстоянием r от начала координат r gt 0 , углом jмежду отрезком 0M1

иположительной полуосью 0x 0 lt j lt 2p , углом q между отрезком 0M и положительной полуосью 0z 0 lt j lt p Декартовы координаты точки Mвыражаются через сферические по формулам x r sinq cosj, y r sinq sinj, z r cosq. В этом случае frac12 J frac12 r2 sinq. Тогда тройной интеграл в сферических координатахвычисляется по формуле Элемент объема в сферической системе координат r2 sinq dr dj dq

Вопрос 32 приложениятройных интегралов вычисление объемов тел и центра тяжести. Вывод следующих формул полностью аналогичен выводу для двумерного случая. Вычисление объемов тел. Рассмотрим область в трехмерном пространстве V R3. Разбиение T на части Vi осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю.

Также, по аналогии, можно определить для функции f x, y, z , разбиения T области V и выбранных точек Mi xi, yi, zi Vi интегральную сумму , где Vi обозначает объем области Vi . Таким образом, объемом тела в пространстве Оху будет являться , а выражением объема тела в пространстве Oxyz через криволинейные координаты u, v, w здесь t - прообраз тела

Т при отображении Вычисление координат центра тяжести. Вопрос 33 криволинейный интеграл 1-го рода. Его геометрический и механический смысл.Криволинейный интеграл 1-го рода Пусть L- отрезок кусочно-гладкой кривой с началом в точке A и концом в точке B и z f x, y - ограниченная функция, определенная в некоторой области, содержащей кривую L. Выберем на кривой произвольные точки A A0,

A1 An-1, An B, разбивая ее на элементарные отрезки разбиение Z , длина каждого DSi 1, 2 n. Обозначим . Пусть Mi xi, yi - произвольная точка на элементарном отрезке Ai-1, Ai. Составим интегральную сумму Если независимо от разбиения Z и выбора точек Mi существует , то он является криволинейным интегралом по длине кривой. Определение если существует предел I суммы s1 при стремлении к нулю длины наибольшей частичной дуги

Dsk, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f x, y по дуге L AB и обозначается или Криволинейный интеграл 1-го рода на плоскости, где L кривая, заданная Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода от функции трех переменных u f x, y, z по отрезку L пространственной кривой. Криволинейный интеграл 1-го рода в пространстве Смысл криволинейного интеграла 1-го рода Криволинейный интеграл первого рода дает массу нагруженной

кривой L AB при условии, что линейная плотность распределения массы вдоль кривой равна f x, y Криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении от А к В или от В к А обходится кривая. Вопрос 34 криволинейный интеграл 2-го рода. Его механический смысл. Вычислениекриволинейного интеграла.Криволинейный интеграл 2-го рода Если существует предел суммы s2 при стремлении к нулю длины наибольшей

частичной дуги Dsk, то этот предел называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается соответственно . Сумму называют общим криволинейным интегралом 2-го рода и обозначают символом Смысл криволинейногоинтеграла 2-го рода Общий криволинейный интеграл 2-го рода дает работу по перемещению точки из А в В вдоль кривой L под действием силы F x, y ,имеющей компоненты P x, y , Q x, y . Все криволинейные интегралы 2-го рода при изменении направления обхода кривой меняют

знак на противоположный.Вычисление криволинейного интегралаПустькривая AB задана параметрически ,причем x и y - непрерывны и дифференцируемы по t tA, tB - значения параметра для начала и концакривой. Тогда в интегральной сумме можно сделать преобразования по теоремеЛагранжа , где ti - фиксированное значение ti-1, ti . При этом Dxi 0 при Dti 0.Выберем xi x ti , yi y ti , что всегда возможно, т.к. xi ,yi можно выбирать произвольно.

ТогдаАналогично .Складывая оба результата, получаем формулу сведения криволинейного интеграла копределенному , где tA,tB - значения параметра для начала и конца AB .Аналогичная формула составляется для трехмерного криволинейного интеграла, попространственной кривой AB x x t , y y t , z z t Вопрос 35 геометрические и механические приложения криволинейных интегралов. Механический смысл криволинейного интеграла Криволинейный интеграл первого рода дает массу нагруженной

кривой L AB при условии, что линейная плотность распределения массы вдоль кривой равна f x, y . Вычисление работы производится по перемещению материальной точки из n точки а оси Ох в точку b под действием параллельной оси Ох силы F x , т.е. интеграл a F x dx дает точное значение работы. Криволинейныйинтеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении от

Ак В или от В к А обходится кривая. Общийкриволинейный интеграл 2-го рода дает работу по перемещению точки из Ав В вдоль кривой Lпод действием силы F x, y ,имеющей компоненты P x, y , Q x, y . Всекриволинейные интегралы 2-го рода при изменении направления обхода кривойменяют знак на противоположный.Прочие свойства криволинейныхинтегралов идентичны свойствам определенных интегралов, то есть с их помощьюможно вычислять Координаты x, h центра тяжести материальной кривой с линейной плоскостью

d х , заданной в явном виде y f x a lt x lt b , выражаются следующим образом где М полная масса. При постоянной плотности d х равенство может быть приведено к виду Момент инерции Iу некоторой кривой у f x a lt x lt b с линейной плотностью d x относительно оси х вычисляется по формуле Геометрические приложения криволинейных интегралов.Спомощью криволинейного интеграла можнонайти функцию

U x,y по ее полному дифференциалу dU,вычислив его от dU как независящий от формы линии интегрированияот некоторой фиксированной точки x0,y0 допеременной точки x,y Применение в физике теоремы о независимостикриволинейного интеграла от пути интегрирования Предположим, что в области G определено силовое поле F, компонентами которого являются функции P x, y ,

Q x, y . Если в области G существует дифференцируемая функция U x, y такая, что P x, y U x, y , Q x, y U x, y , x y то эту функцию U x, y называют потенциалом силового поля F, а само силовое поле называют потенциальным. Примером потенциальных силовых полей служат электростатическое кулоново поле и поле силы тяжести. Вопрос 36 криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру.

Формула Грина интеграл называется интегралом по замкнутому контуру.Пустьположительным направлением обхода простого замкнутого контура будет то, прикотором ближайшая к наблюдателю часть области, ограниченной контуром,оказывается лежащей слева от наблюдателя. Пусть и , т.е.непрерывны на D и Г-замкнутый кусочногладкий контур, тогда имеет место формула ,которая называется формулой Грина.Выводформулы строится на положениях 1. 2.

Следствияформулы Грина 1.Пусть , тогда и 2.Пусть , - константы, тогда . Вопрос37 условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пусть функции P x, y , Q x, y определены и непрерывны в плоской области G и в области G фиксированы произвольные точки M1 x1, y1 и M2 x2, y2 . Считая M1 началом пути, а M2 концом пути, можно прийти из

M1 в M2 по различным кривым, соединяющим эти точки и целиком лежащие области G, например a, b, g. Если криволинейный интеграл имеет одно и то же значение независимо от того, по какой гладкой, соединяющей точки, идет интегрирование, то он не зависит от пути интегрирования. Если функции P x, y , Q x, y непрерывны в области G и если в этой области существует такая дифференцируемая функция

U x, y , что подынтегральное выражение P x, y dx Q x, y dy является полным дифференциалом этой функции dU P x, y dx Q x, y dy , то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Для того, чтобы криволинейный интегралне зависел от формы кривой AB , необходимо и достаточно, чтобывыполнялось одно из следующих условий Двумерный случай Трехмерный случай 1. для любого замкнутого контура

L , на котором лежат точки A и B. 1. для L , на которых лежат точки A и B 2. во всех точках некоторой области D, содержащей кривую AB . 2. при x,y,z 3. Существует функция U x,y такая, что подынтегральное выражение является ее полным дифференциалом 3 где U x,y,z - некоторая функция, дифференцируемая в области D. Вопрос 38 потенциальное поле. Вычислениепотенциала поля, интегрирование полных дифференциалов.

Потенциальноеполе. Если векторное поле , то оно называется потенциальным, а скалярное поле u x, y, z , соответственно, его потенциалом. Самым известным примером такого соответствия является электрическое поле, напряженность которого , где j- потенциал электрического поля. Минус в формуле связан с историческим выбором направления вектора напряженности от плюса кминусу, когда уже умели тереть шерсть об янтарь, но не знали, как это описыватьматематически.

Условием потенциальности поля является то, что его . Вычисление потенциала векторного поля. Рассмотрим криволинейный интеграл в данном векторном поле , где точки А и В - начальная и конечная точки кривой. Поскольку , то скалярное произведение векторов и является полным дифферен циалом функции u x, y, z . Поэтому из свойств криволинейного интеграла следует, что .

Для вычисления потенциала поля в произвольной точке В выберем начальную точку А, от которой начнем отсчет. Тогда . Поскольку интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем его сначала параллельно оси 0х, потом параллельно 0у, наконец, параллельно 0z. Обозначая , получим Здесь P, Q, R - компоненты векторногополя .Поскольку выбор начальной точки произволен, потенциал поля

определяется сточностью до произвольной постоянной, которая определяется физическимисоображениями. Интегрированиеполных дифференциаловНайти функцию U x,y по ее полномудифференциалу dU, можно с помощью криволинейногоинтеграла, вычислив его от dU как независящий от формы линииинтегрирования от некоторой фиксированной точки x0,y0 до переменной точки x,y Вопрос 39 трехмерноевекторное поле и его характеристики дивергенция и ротор.Векторноеполе.Векторное поле - область, в каждой точке

Ркоторой задан вектор а Р . Математически векторное полеможет быть определено в данной области G посредствомвектор-функции функции, значения которой являются векторами a Р переменной точки Р этой области. К понятию векторного поляприводит целый ряд физических явлений и процессов например, векторы скоростейчастиц движущейся жидкости в каждый момент времени его образуют . Векторноеполе а характеризуется тремя функциями а1

Р ,а2 Р , а3 Р которые известным образомпреобразуются при поворотах осей координат. Векторными линиями поля а Р называютсялинии, касательные к которым в каждой точке имеют направление вектора а Р . Дивергенция векторного поля. Дивергенцией векторного поля называется . Точка M находится внутри замкнутой поверхности S, ограничивающейобъем V,который при вычислении предела стягивается в эту точку. являетсяскалярной величиной и служит мерой

источников поля. Если в некоторой областиполя ,то источников поля в этой области нет. Такое поле называют соленоидальным.Используя формулу Остроградского, нетрудно получить выражение для вычислениядивергенции в декартовых координатах .Из свойств частных производных следуют свойства дивергенции векторного поля Роторвекторного поля. Рассмотрим в пространстве замкнутый контур

L с выбранным направлением обхода,лежащий в ориентированной плоскости на ее положительной стороне из концаединичного вектора нормали обход контура представляется против часовой стрелки . Ротором или вихрем векторного поля в точке M называется вектор, проекциякоторого на направление вектора нормалиесть . Точка лежит M на плоскости внутри контура L, который стягивается в эту точку при вычислении предела.

Поскольку ротор поля определяется через циркуляцию, то он тоже являетсямерой завихренности поля. Найдем компоненты ротора в декартовой системекоординат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначалакоординатную плоскость y0z с нормальным вектором ,затем x0z, ,затем x0y, .Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим или . Используя свойства частных производных и определителей, получим следующие свойства роторавекторного

поля Вопрос 40 потоквекторного поля, формула Остроградского.Поток векторного поля. Рассмотрим кусок поверхности S, заданной уравнением F x, y, z 0. Пусть выполняется условие F x 2 F y 2 F z 2 sup1 0, что означает, что в каждойточке поверхности существует нормаль с направляющим вектором N F x , F y , F z Выберем одну из сторонповерхности следующим образом построим на поверхности

достаточно малыйзамкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормалив точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормалиобход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называтьсторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Такимобразом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, аодносторонние поверхности

лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потокомвекторного поля v через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности 1-го рода , где - единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону.Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи.Поскольку поток векторного поля определен с помощью поверхностного интеграла,вычисление потока сводится к вычислению такого интеграла от функции ,где

P, Q, R - компоненты векторногополя, cos a, cos b, cosg - направляющиекосинусы вектора нормали. Потоквекторного поля через замкнутую поверхность. Рассмотримкусочно-гладкую двухстороннюю замкнутую ориентированную поверхность S. Поток векторного поля v через замкнутую поверхностьявляется важной характеристикой поля и позволяет судить о наличии источников истоков поля. При непосредственном вычислении потока через замкнутую поверхностьприходится

разбивать ее на части, однозначно проектируемые на координатныеплоскости. ФормулаОстроградского. Пустьзамкнутая поверхность S ограничиваетнекоторый объем V. Тогдав декартовых координатах справедлива формула Остроградского ,где P, Q, R - компоненты векторного поля. Вопрос 41 формулаСтокса связь между циркуляцией векторного поля и его ротором.

ФормулаСтокса. Рассмотримв пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности S, край которой образуется кусочно-гладкой кривой L. Выберем положительную сторону поверхности из концаединичного вектора нормали - обход границы представляется против часовой стрелки . Для циркуляциивекторного поля вдоль контура границы имеет место формула Стокса ,где P,Q, R - компоненты векторного поля, cos a, cos b, cosg -направляющие косинусы вектора нормали.

Циркуляция и ротор векторного поля. Важнойхарактеристикой векторного поля является циркуляция векторного поля, котораяравна криволинейному интегралу по замкнутой кривой в области поля, или, какговорят, по замкнутому контуру .Циркуляция векторного поля является скалярной величиной и характеризуетвихревые свойства поля. Если в некоторой области поля циркуляция равна нулю, тополе называют безвихревым. Ротором иливихрем векторного поля в точке называетсявектор, проекция которого на направление вектора

нормали есть .Связь между циркуляцией и ротором.Наоснове определений ротора и циркуляции теорема Стокса может быть сформулированаследующим образом циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротораполя через поверхность, натянутую на этот контур. Выражение для ротора поляпроще запомнить, если записать его в виде определителя .