Геометрия Лобачевского

Министерство образования Саратовской области Муниципальное общеобразовательное Учреждение Лицей 37 Фрунзенского района г. Саратова Геометрия Лобачевского Творческая работа Учащегося 8 Макарова Марина Филиповна. г. Саратов 2006 г. Содержание

Введение3 стр. o Основания геометрии 3 стр. o Биография Н.И.Лобачевского.3 стр. o Другие авторы.9 стр. Основная часть10 стр. o Аксиоматика11 стр. АксиомаI.3.13 стр. АксиомаII.1 14 стр. АксиомаII.2 15 стр. АксиомаIII 16 стр. АксиомаIV.2 17 стр. АксиомаIV.3 18 стр. АксиомаIV.4 19 стр. o Основные понятия.19 стр. o 5 постулат20 стр. o

Mодель Пуанкаре 20 стр. Расходящиеся прямые 22 стр. Заключение22 стр. o Геометрия Лобачевского в реальном мире23 стр. Введение Как знание одного только родного языка не дат возможности усмотреть его особенности, выяснить и отчтливо понять его структуру без сравнения с языками другими, так знание одной только геометрии Евклида не позволяет полностью уяснить особенности строения геометрической науки.

До современных воззрений на геометрию можно возвыситься лишь после изучения геометрии неевклидовой, созданной Н. И. Лобачевским. Знакомство с этой геометрией есть первая ступень при изучении оснований геометрии. Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома развития науки.Этот факт многократно подтверждался. Физика Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та в квантовую.

Теория флогистона стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова судьба всех наук, и нельзя сказать, что сегодняшнее открытие через двадцать лет не окажется грандиозной ошибкой. Но это тоже нормально ещ Ломоносов говорил Алхимия мать химии дочь не виновата, что е мать глуповата.Участь эта не обошла и геометрию. Традиционная Евклидова геометрия переросла в неевклидову, геометрию

Лобачевского. Именно этому разделу математики, его истории и особенностям и посвящен этот проект. Основания геометрии Основания геометрии - это та часть математики, в которой устанавливаются и исследуются основные понятия и аксиомы в построении геометрии, роль и место каждой аксиомы в построении геометрической науки, а также возможность замены одних аксиом в построении геометрической науки, а также возможность замены одних аксиом другими и следствия такой замены.

Биография Н.И. Лобачевского 1792 - 1856 НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ родился 1 декабря 20 ноября 1792 года в Нижнем Новгороде в бедной семье мелкого чиновника. Девятилетним мальчиком он был привезен матерью в Казань и ее стараниями устроен вместе с двумя братьями в гимназию на казенное содержание, С этого времени его жизнь и работа протекают в

Казани. В гимназии, как мы знаем по Воспоминаниям С.Т.Аксакова, увлекательно преподавал математику талантливый учитель Г.И.Карташевский, воспитанник Московского университета. Он поставил изучение математики на значительную высоту. И когда юный 14-летний Лобачевский становится в феврале 1807 года студентом университета тоже казеннокоштным,

он уже вскоре проявляет особенную склонность к изучению физико-математических наук, обнаруживая выдающиеся способности. В этом, несомненно, сказались результаты педагогической деятельности Г.И.Карташевского. Однако в университете Лобачевскому уже не удалось слушать лекции Карташевского, так как последний в декабре 1806 г. был отстранен от должности директором И.Ф.Яковкиным, как проявивший дух неповиновения и несогласия.

Математические курсы в университете стал вести М.Ф.Бартельс, прибывший в Казань в 1808 году. Успехи студента Н.И.Лобачевского, соревнующегося в своих занятиях с И.П.Симоновым, впоследствии известным астрономом и участником кругосветного плавания, неизменно вызывали одобрение М.Ф.Бартельса и других профессоров. 3 августа 1811 г.

Лобачевский утверждается магистром. Его руководитель профессор М.Ф.Бартельс был квалифицированным математиком и опытным преподавателем, но не вел творческой работы. Лобачевский изучил под его руководством классические труды по математики и механике Теорию чисел Disquisitiones Arithmeticae Гаусса и первые томы Небесной механики Лапласа. Представив два научных исследования по механике и по алгебре

Теория эллиптического движения небесных тел 1812 г. и О разрешимости алгебраического уравнения xn - 1 0 1813 г он был ранее срока в 1814 г. произведен в адъюнкт-профессоры доценты. Со следующего года он ведет самостоятельное преподавание, постепенно расширяя круг читаемых им курсов и уже задумываясь над перестройкой начал математики. Еще через год он получает звание экстраординардого профессора.

Но вскоре в университете создается очень тяжелая обстановка для работы. В целях борьбы с революционными настроениями и вольнодумством правительство Александра I, проводя все более реакционную политику, ищет идеологической опоры в религии, в мистико-христианских учениях. Университеты в первую очередь подвергаются проверке. Для обследования Казанского университета был назначен и прибыл в марте 1819 г. член

Главного правления училищ М.Л.Магницкий, который использовал свое назначение в карьеристских целях. В своем отчете он приходит к выводу, что университет причиняет общественный вред полученностью образуемых им воспитанников а поэтому подлежит уничтожению в виде публичного его разрушения ради назидательного примера для других правительств. Однако университет не был уничтожен. Александр I решил его исправить. Попечителем Казанского учебного округа был назначен

Магницкий, который и приступил к энергичному обновлению университета. Он начал свою деятельность увольнением девяти профессоров. Была установлена тщательная слежка за содержанием лекций и студенческих записок и введен суровый казарменный режим для студентов. Семь лет этой церковно-полицейской системы принесли Лобачевскому тяжелые испытания, но не сломили его непокорный дух.

Выдержать этот гнет ему помогла только его обширная и многообразная педагогическая, административная и исследовательская деятельность. Он преподает математику на всех курсах вместо уехавшего в Дерпт Тарту Бартельса замещает профессора К.Броннера, не вернувшегося после отпуска в Казань читает физические курсы и заведует физическим кабинетом замещает отправившегося в кругосветное плавание астронома И.П.Симонова читает астрономию и геодезию, приняв в свое ведение обсерваторию.

Ряд лет он работает деканом физико-математического отделения. Коллосальный труд вкладывает он в упорядочивание библиотеки и в расширение ее физико-математической части. Он является вместе с тем одним из активнейших членов, а затем и председателем строительного комитета, занятого постройкой главного университетского корпуса. Наконец, несмотря на тысячи текущих дел и обязанностей,

Лобачевский не прекращает напряженной творческой деятельности. Он пишет два учебника для гимназий Геометрию 1823 г. и Алгебру 1825 г Геометрия получает отрицательный отзыв у академика Н.И.Фусса, не оценившего тех изменений, который Лобачевский внес в традиционное изложение, и осудившего введение метрической системы мер, поскольку она создана в революционной

Франции. Алгебра из-за внутренних проволочек в университете тоже не была напечатана. Вскоре начинаются столкновения с попечителем. Лобачевский, по словам Магницкого, проявляет дерзость, нарушение инструкций. Магницкий решает установить особенный надзор за его поступками. Однако и в этих унижающих достоинство человека условиях мысль

Лобачевского работает неустанно над строгим построением начал геометрии. Первые следы этой работы мы находим в студенческих записках его лекций по геометрии за 1817 г. Об ней же свидетельствует рукопись учебника Геометрия и его Обозрения преподавания чистой математики за 1822 - 1823 и 1824 - 1825 гг. Наконец, его искания завершаются гениальным открытием.

Разрывая оковы тысячелетних традиций, Лобачевский приходит к созданию новой геометрии. 23 11 февраля 1826 г. он делает на факультете доклад о новой Воображаемой геометрии. Этот доклад Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных был передан на отзыв профессорам И.П.Симонову, А.Я.Купферу и адъюнкту Н.Д.Брашману. Лобачевский хотел знать мнение своих сотрудников об открытиии,

величие которого он сознавал, и просил принять сво сочинение в предполагаемое издание Ученых Записок отделения. Но отзыва не последовало. Рукопись доклада до нас не дошла. Материал этого доклада был включен Лобачевским в его первое сочинение О началах геометрии, вышедшее в 1829 - 1830 годах в Казанском вестнике. Открытие Лобачевского было сделано им на путях принципиального критического

пересмотра самых первых, начальных, геометрических понятий, принятых в геометрии еще со времен Евклида 3 век до н.э Это требование безусловной строгости и ясности в началах, это пристальное внимание к вопросам основ науки и углубленный анализ первоначальных понятий характерны вообще для творчества Лобачевского. Избранное им направление исследований способствовало тому, что он не только в геометрии, но и в ряде других областей математики превосходит достигнутый в то время уровень науки так, им дано

уточнение понятия функции, приписанное впоследствии Дирихле он четко разграничивает непрерывность функции и ее дифференцируемость им проведены глубокие исследования по тригонометрическим рядам, опередившие его эпоху на много десятилетий им разработан метод численного решения уравнений, несправедливо получивший впоследствии название метода Греффе, тогда как Лобачевский и независимо от него бельгийский математик

Данделен разработали этот метод значительно раньше. Доклад Н.И.Лобачевского совпал по времени с падением Магницкого. Специальная ревизия выявила ряд злоупотреблений, и мракобес попечитель был смещен и выслан. Новый попечитель Казанского учебного округа М.Н.Мусин-Пушкин сумел оценить кипучую деятельную натуру Н.И.

Лобачевского. Великого геометра избирают вскоре, в 1827 г ректором и 19 лет он самоотверженно трудится на этом посту, добиваясь расцвета Казанского университета. Лобачевский стремился претворить в жизнь свою широкую передовую программу университетского образования, представление о которой дает его речь О важнейших предметах воспитания, произнесенная им через год после назначения ректором. Лобачевский добивается существенного повышения уровня научно-учебной работы

на всех факультетах. Он проводит строительство целого комплекса университетских вспомогательных зданий библиотеки, астрономической и магнитной обсерватории, анатомического театра, физического кабинета и химической лаборатории. Он пытается создать при университете Общество наук, но не получает на это разрешения. Журнал смешанного содержания Казанский вестник он заменяет организованным им строгим научным журналом

Учеными записками Казанского университета, первая книжка которого выходит в 1834 г. и открывается предисловием Лобачевского, освещающим цели научного издания. В течение 8 лет он продолжает одновременно с ректорством управлять библиотекой. Он сам читает ряд специальных курсов для студентов. Он пишет наставление учителям математики и заботится о постановке преподавания также в училищах и гимназиях. Он принимает участие в поездке в Пензу в 1842 г. для наблюдения солнечного затмения.

Умело оберегает он сотрудников и студентов университета во время эпидемии холеры в 1830 г изолировав университетскую территорию и проводя тщательную дезинфекцию. Он организовал спасение астрономических инструментов и выноску книг из загоревшейся библиотеки во время громадного пожара Казани в 1842 г причем ему удается отстоять от огня почти все университетские здания. Наконец, он организует чтение научно-популярных лекций для населения и открывает свободный доступ в

библиотеку и музеи университета. Лобачевский оказал влияние и на развитие астрономии. Он первым пытается использовать данные астрономических наблюдений параллаксы звезд для определения свойств пространства и времени и решения вопроса о том, какая из двух геометрий - классическая евклидова или созданная им - соответствует реальным условиям в физическом пространстве. Однако имевшиеся в его распоряжении величины параллаксов, опубликованные французским астрономом-любителем

Дасса-Мондидье, были весьма завышенными и далекими от реальности. Лобачевский пришел к выводу, что в пределах пространства, ограниченного расстояниями до ближайших звезд, различие в обеих геометриях настолько мало, что выявить его методами того времени невозможно. Вопрос о геометрии физического пространства, впервые поставленный Лобачевским, был решен в теории относительности, созданной в

XX в. А. Эйнштейном геометрия Вселенной определяется распределением вещества в ней и не является евклидовой. В Казанском университете Лобачевский, наряду с математическими дисциплинами, читает лекции по астрономии, расширяя и углубляя их содержание. Его лекции, например, были посвящены определению элементов орбит, их вековым изменениям, теории приливов и отливов, теории возмущенного движения комет и спутников планет. Он проводит в 1811-42 астрономические наблюдения, в частности наблюдает комету

Энке в 1832. Дневники его наблюдений сгорели во время пожара обсерватории Казанского университета. Вместе со своим учеником М.В. Ляпуновым участвует в экспедиции в Пензу для наблюдения полного солнечного затмения 8 июля 1842. Подробно описывает свои наблюдения и размышления по поводу загадочных в то время явлений протуберанцев и солнечной короны. Занимается также усовершенствованием методов обработки астрономических наблюдений.

Будучи ректором Казанского университета, способствует развитию астрономии в Казани. По его инициативе при университете в 1833-37 была построена новая обсерватория, одна из лучших по тому времени. Она начала работать в 1838, на год раньше Пулковской. И вместе с тем он находит время для непрерывных и обширных научных исследований, посвященных, главным образом, развитию новой геометрии. Его идеи были настолько непривычны, губоки и новы, он настолько

обогнал свою эпоху, что современники не смогли понять его и правильно оценить. Его первая работа О началах геометрии 1829 - 1830 гг. была представлена Советом университета в 1832 г. в Академию наук. Но даже академик М.В.Остроградский не понял ее значения и дал на нее отрицательный отзыв Книга г-на ректора Лобачевского опорочена ошибкой она небрежно изложена и следовательно, она не заслуживает

внимания Академии. А в 1834 г. в реакционном журнале Ф.Булгарина Сын отечества появился издевательский анонимный отзыв об этой работе. Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии

нередко недостает и сего последнего писал неизвестный рецензент, укрывшийся за двумя буквами С.С. Встретив непонимание и даже издевательство, Лобачевский не прекратил своих исследований. После работы 1829 - 1830 гг. О начала геометрии Лобачевский печатает в Ученых записках - в 1835 г. Воображаемую геометрию - в 1836 г. Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам.

С 1835 по 1838 гг. он публикует свою наиболее обширную работу Новые начала геометрии с полной теорией параллельных. Наконец, в 1840 г. выходят на немецком языке Геометрические исследования по теории параллельных, где содержится предельно ясное и лаконичное изложение его основных идей. Эта мужественная борьба за научную истину резко отличает

Лобачевского от других современников, приближавшихся тоже к открытию неевклидовой геометрии. Замечательный венгерский математик Янош Больяи опубликовал на 3 года позже Лобачевского свое исследование Аппендикс - добавление к книге его отца. В этой работе он несколько с иной стороны подошел к тем же результатам, что и Лобачевский. Но не встретив одобрения и поддержки, он прекратил борьбу.

Выдающийся немецкий математик Гаусс, как выяснилось из опубликованных посмертно его переписки, получил некоторые начальные соотношения новой геометрии, но, оберегая свой покой, а также, быть может, не будучи уверен в правильности и объективной значимости этих результатов, запретил своим корреспондентам какие-либо высказывания об его взглядах. Восхищаясь в частной переписке с друзьями геометрическими работами Лобачевского он ни одним словом не высказался о них публично.

Ни одного положительного отклика не получает Лобачевский, кроме единственного высказывания профессора механики Казанского университета П.И.Котельникова, который в актовой речи в 1842 г. отметил, что изумительный труд Лобачевского, построение новой геометрии на предположении, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, рано или поздно найдет своих ценителей. Многолетние плодотворные труды Лобачевского не могли получить положительной оценки у правительства

Николая I. В 1846 г. Лобачевский оказался фактически отстраненным от работы в университете. Внешне он получил повышение - был назначен помощником попечителя однако жалованья ему за эту работу не назначили, но при этом он лишился кафедры и ректорства. Следует отметить, что менее чем за год до этого он был утвержден в шестой раз ректором университета на очередное четырехлетие. Вместе с тем более года он управлял

Казанским учебным округом, заменив М.Н.Мусина-Пушкина, переведенного в Петербург. Указывая на эти свои служебные обязанности, Лобачевский незадолго до неожиданного предписания Министерства рекомендовал вместо себя на кафедру математики учителя Казанской гимназии А.Ф.Попова, защитившего докторскую диссертацию.

Он считал необходимым поощрить молодого способного ученого и находил несправедливым занимать при таких обстоятельствах кафедру. Но, лишившись кафедры и ректорства и оказавшись в должности помощника попечителя, Лобачевский потерял возможность не только руководить университетом, но и вообще действенно участвовать в жизни университета. Насильственное отстранение от деятельности, которой он посвятил свою жизнь, ухудшение материального положения, а затем и семейное несчастье в 1852 г. у него умер старший сын разрушающе отразилось

на его здоровье он сильно одряхлел и стал слепнуть. Но и лишенный зрения, Лобачевский не переставал приходить на экзамены, на торжественные собрания, присутствовал на ученых диспутах и не прекращал научных трудов. Непонимание значения его новой геометрии, жестокая неблагодарность современников, материальные невзгоды, семейное несчастье и, наконец, слепота не сломили его мужественного духа. За год до смерти он закончил свой последний труд

Пангеометрия, диктуя его своим ученикам. Он умер в 1856 году забытый царем, лишившись орденов и квартиры ордена украли, а квартиру конфисковали. В его формулярном листе за сорок лет работы в графе отпусков бисерным почерком Лобачевского было написано Не был. Ему поставлен памятник и поэт В. Фирсов написал о нем Высокий лоб, нахмуренные брови,В холодной бронзе отраженный лугНо даже неподвижный и суровый,

Он, как живой спокоен и могуч.Когда то здесь, на площади широкой,Задумчивый, неторопливый, строгий,Он шел на лекции великий и живой.Пусть новых линий не начертят руки,Он здесь стоит, взнесенный высоко,Как утверждение бессмертья своего,Как вечный символ торжества науки. Другие авторы Идея неевклидовой геометрии пришла в голову не только

Лобачевскому просто ему относительно повезло. Одним из конкурентов был Гаусс великий затворник, отказавшийся от услуг почты, чтобы никто не смог обвинить его в плагиате. В это время сын старого друга Гаусса, Янош Больяи, занялся теорией параллельных линий. В 1832 году он выпустил труд Аппендикс, содержащий начала неевклидовой геометрии. Но его работа почти совпадала с мемуаром Лобачевского

О началах геометрии 1829 года подобных результатов достиг и сам Гаусс. Тога Гаусс написал Фаркашу Больяи то, что тот сам говорил сыну время для этих выкладок ещ не пришло. Януш же посчитал, что Гаусс решил присвоить его труд. Но Гаусс не публиковал его ведь он был королем математики того периода, и боялся, что его сочтут свихнувшимся.Гаусс в то время хотел уехать куда-нибудь далеко, где никто не помешает.

Он думал о Петербурге или Казани. Но из-за бюрократии российских чиновников поездка расстроилась. Но если Януш Больяи считал себя гением-одиночкой, то Гаусс узнал о Лобачевском, прочитав Геометрические исследования по теории параллельных линий Николая Лобачевского. Гаусс говорил, что, читая этот труд, он видел в первую очередь себя. Гаусс закончил затворничество, начал изучать русский язык и стал бегло читать уже через два месяца.

Но ирония судьбы Гаусс стеснялся открыто попросить сочинения Лобачевского, а тот не отсылал их в Геттинген, так как не знал, что Гаусс понимает по-русски.Через шесть лет Гаусс все ещ думает о Лобачевском. Но он понимает, что слишком стар, чтобы защищать новые идеи. А Лобачевский погибал без поддержки. Больяи же, получив в 1848 году

Геометрические исследования, посчитал, что Гаусс выпустил мемуар под псевдонимом Лобачевский. Целью его жизни было превзойти этот труд. Это была агония разума а Лобачевский даже не подозревал о существовании талантливого венгра. За год до этого, зимой 1848 года, к Гауссу пришел студент. Его звали Бернард Риман. Но Гаусс оттолкнул его. Тогда

Риман, сжав зубы, уехал в Берлин. Но мир тесен, и, защитив докторскую диссертацию, он решает стать профессором. Удивительно, но тему пробной лекции утверждает и принимает именно Гаусс. Риман создал геометрию, где прямые замкнуты, где нет параллельных прямых, а сумма углов треугольника больше 180о. Она похожа на геометрию сферы Гаусса.Риман оказался хорошим учеником великого математика, и из нежеланного гостя стал единственным другом. Он умер в

Италии, не закончив последний мемуар. На русском языке он появился только в 1893 году. Его название было О гипотезах, лежащих в основе геометрии. Основная часть Лобачевский по существу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского. Таким образом, все предложения абсолютной геометрии сохраняют

свою силу и в геометрии Лобачевского Сравнить основные понятия евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского можно по этой таблице. Понятие Евклид Лобачевский порядок точек на прямой линейный, т. е. подобный порядку в множестве действительных чиселсумма внутренних углов любого треугольника равна 180 меньше 180каждая прямая, лежащая в данной плоскостиразделяет эту плоскость на две частиплощадь треугольника зависимости между площадью треугольника и суммой его

углов нетS R2p - a - b - g, где a, b, g - внутренние углы треугольника, р периметр треугольника, R - некоторая постоянная, которая определяется выбором единицы измерения площадей Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой аксиома параллельности заменяется на ее отрицание аксиому параллельности Лобачевского.Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка

A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a. Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.Для начала вспомним основные понятия и аксиоматику, на которой базировалось изложение, систематизировав их заново и дополнив необходимыми аксиомами. Аксиоматика Приведем систему аксиом, обозначив римской цифрой номер группы, а арабской номер аксиомы в группе.

I. Аксиомы связи прямой и точки. Существуют, по крайней мере, две точки. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую и только одну. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. II. Метрические аксиомы отрезка. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. На каждом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один. III. Аксиома непрерывности. Пусть A и B любые две точки прямой a и пусть L1 и L2 совокупности всех точек отрезка AB, таких, что AL1, BL2 и любая точка из L1 лежит по ту же сторону, что и точка

A от любой точки из L2. Тогда существует точка C такая, что любая точка из L1 лежит по ту же сторону от C, что и A, а любая точка из L2 по ту же сторону от C, что и B. IV. Аксиомы плоскости. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он

разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча. V. Аксиома паралельности Евклида. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой,

параллельной данной.Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Для этого фиксируем на евклидовской плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название абсолюта. Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели

Пуанкаре плоскость Лобачевского это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему. Фигура на плоскости Лобачевского это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой,

перпендикулярной абсолюту см. рис. 1. Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K лежит между C и D, где C, K и D проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели. рис.

1 Неевклидовое движение Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести

во второй. Аксиома I.3 Пусть даны точки A и B. рис. 2 Прямая евклидова AB не перпендикулярна к абсолюту рис. 2. Тогда серединный перпендикуляр p отрезка AB пересекает абсолют в некоторой точке O. Так как по построению OA OB, то полуокружность окружности S с центром в точке O и радиусом OA, лежащая выше абсолюта, является неевклидовой прямой, содержащей

точки A и B. Эта прямая неевклидова единственна, так как на абсолюте есть лишь одна точка, равноудаленная от точек A и B, это точка O. рис. 3 Прямая евклидова AB перпендикулярна абсолюту рис. 3. Тогда ее часть, лежащая выше абсолюта, будет неевклидовой прямой, проходящей через точки A и B, поскольку p x. Аксиома II.1 рис. 4 Так как каждый неевклидов отрезок AB представляет из себя либо евклидов отрезок если прямая

AB перпендикулярна абсолюту, либо дугу окружности, то в первом случае аксиома выполнена очевидно.Для анализа второго случая допустим, что AB есть искомый неевклидов отрезок. Рассмотрим инверсию i относительно окружности S с центром в точке O, пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта и радиусом R, равным OA OB рис. 4. При этом образом невклидовой прямой

AB будет луч AB1, где AiA, B1iB, а образом неевклидова отрезка отрезок AB1 евклидова луча AB1. Здесь O2 вторая точка пересечения неевклидовой прямой AB и абсолюта. Так как AB1 является образом отрезка AB при неевклидовом движении, то они равны по определению и, следовательно, имеют равные длины. Так как аксиома выполнена для евклидова отрезка AB1, то она выполнена и для неевклидова отрезка

AB. Аксиома II.2 Возможны несколько случаев. рис. 5 Пусть неевклидов луч представляет из себя луч евклидовой прямой, который не имеет точки пересечения с абсолютом рис. 5. Тогда выполнение аксиомы следует из ее справедливости для евклидова луча. рис. 6 Пусть неевклидов луч представляет из себя часть евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту и ограниченной началом A луча включая точку A и точкой O, лежащей на абсолюте рис.

6. Сделаем преобразование инверсии относительно окружности S с центром в точке O и радиусом OA. По свойствам инверсии отрезок OA преобразуется в луч евклидовой прямой OA с началом в точке A. В соответствии с аксиомой II.2 на полученном луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один. Пусть B конец этого отрезка. Тогда ее прообразом при инверсии i является некоторая точка

B1 искомого евклидова луча. Так как отрезок AB1 переводится в отрезок AB неевклидовым движением, то они равны и равны их длины. Это завершает доказательство. рис. 7 Неевклидов луч дуга AO полуокружности, содержащая точку A начало луча, и не содержащая точку O, точку пересечения полуокружности с абсолютом рис.

7. Как и в случае рассмотрения аксиомы II.1, сделаем преобразование инверсии i относительно окружности S с центром в точке O и радиусом AO. Образом неевклидова луча AO будет луч евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту. На этом луче можно отложить отрезок данной длины и только один. Пусть B конец этого отрезка. Далее обоснование дословно повторяет обоснование, приведенное в предыдущем

пункте. Аксиома III. рис. 8 Аксиома непрерывности III. для неевклидовых отрезков сводится к случаю евклидовых отрезков проектированием на абсолют рис. 8 или преобразованием неевклидова отрезка в отрезок евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту, с помощью инверсии, описанной при доказательстве справедливости аксиомы II.1 В модели Пуанкаре выполняется аксиома IV.1. Неевклидовы полуплоскости изображены на рис. 9. Неевклидов отрезок, соединяющий две точки неевклидовой полуплоскости, не пересекает ее границы.

Действительно, предположив противное, мы пришли бы к тому, что евклидовы окружности пересекались бы в четырех точках рис. 10, что невозможно. рис. 9 рис. 10 Аксиома IV.2 рис. 11 Возможные реализации углов в модели Пуанкаре для неевклидовых углов показаны на рис. 11.Из рисунка видно, что неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями, а также между окружностью и пересекающей ее прямой.

В соответствии с определением, угол между пересекающимися окружностями это угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения, а угол между окружностью и пересекающей ее прямой это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой.Таким образом величины неевклидовых углов определяются через величины соответствующих евклидовых углов. Отсюда достаточно очевидна справедливость аксиомы

IV.2. Аксиома IV.3 рис. 12 Пусть неевклидовым лучом является луч или часть луча евклидовой прямой, перпендикулярной абсолюту рис. 12. В соответствии с аксиомой IV.3. отложим от луча в данную полуплоскость евклидов угол с заданной градусной мерой. Это можно сделать и единственным образом. Пусть p другая сторона этого угла. Через вершину луча проведем прямую q, перпендикулярную к лучу p до пересечения с абсолютом в точке O. Такая точка существует и единственна.

Проведем полуокружность с центром в точке O и радиусом OA. Такая окружность существует и единственна. В силу определения и построения угол между искомым неевклидовым лучом и построенной окружностью имеет данную градусную меру. рис. 13 Пусть неевклидовым лучом с вершиной A является часть AB полуокружности рис. 13 с центром в точке O на абсолюте.

Проведем касательную p к полуокружности в точке A и отложим от луча AC угол, равный данному, в полуплоскость, не содержащую данную полуокружность. Пусть q вторая сторона угла. Восстановим перпендикуляр к лучу q в точке A. Если этот перпендикуляр пересекает абсолют в точке H то, построив полуокружность с центром в точке H и радиусом, равным

AH, получим две пересекающиеся в точке A полуокружности, угол между которыми равен a по построению. Если же перпендикуляр не пересекает абсолют, т. е. он параллелен абсолюту или, что то же самое, луч q перпендикулярен x, то второй стороной неевклидова луча является искомый евклидов луч q. Единственность такого угла следует из справедливости аксиомы для евклидовой плоскости. Аксиома IV.4 Проверку аксиомы IV.4 проведем только для случая, когда данный неевклидов луч есть часть

полуокружности.В соответствии с аксиомами II.2 и IV.3 отложим от вершины A данного луча отрезок AB2, равный данной стороне A1B1 треугольника A1B1C1. Кроме того, отложим от данного луча в данную полуплоскость угол, равный углу A1 треугольника A1B1C1 . На луче, задающем вторую сторону отложенного угла, отложим от точки A отрезок AC2 равный стороне A1C1 исходного треугольника.

Покажем, что полученный треугольник AB2C2 равен треугольнику A1B1C1. Так как по построению AB2 равен A1B1, существует неевклидово движение f, переводящее отрезок A1B1 в AB так, что fA1A, fB1B2. При неевклидовом преобразовании углы сохраняются, поэтому либо точка C3fC1 окажется на луче AC2, либо его можно совместить с точкой этого луча дополнительной осевой симметрией относительно луча AB2. При этом по свойству 3 отрезок

AB2 перейдет в себя и AA, B2B2. В силу свойства 1 преобразование f также будет неевклидовым движением. Покажем, что точка C3 совпадет с C2. Действительно, если бы это было не так, то оказалось бы, что на луче AC2 отложены два различных отрезка данной длины, что противоречит аксиоме II.2. Следовательно, существует неевклидово движение, которое переводит данный треугольник A1B1C1 в треугольник AB2C2, что завершает доказательство.

Основные понятия За основные объекты были приняты точка, прямая и фигура. За основные отношения между этими объектами принимаются 1. точка принадлежит фигуре, в частности прямой 2. точка лежит между двумя точками для точек прямой. Следующие определения базируются на основных определениях. 1. Фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие. 2. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих

между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. 3. Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки A, что и точка B. Точка A называется вершиной луча. 4. Углом называется фигура, которая состоит из точки вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, сторон угла. 5. Полуплоскостью, ограниченной прямой a, называется фигура, обладающая

следующими свойствами она не содержит прямую a если точки A и B принадлежат полуплоскости, то отрезок AB не имеет общих точек с a если же A принадлежит полуплоскости, а B нет, то отрезок AB имеет общую точку с прямой a. 5 постулат А теперь пару слов о 5-ом постулате, который уже упоминался выше. Сам Евклид формулировал его так Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние

углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых. Другие формулировки гораздо проще, например через точку вне прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.Конечно, ещ сам Евклид пытался вывести этот сложный постулат из более простых. После него этой проблемой занимались почти все известные математики, но чаще всего это заканчивалось

тем, что постулат выводился только при принятии каких-то дополнительных предположений. У менее удачливых математиков не получалось вообще ничего.Самую известную попытку доказать пятый постулат методом от противного предпринял итальянский монах Джироламо Саккерти в 1733 году. Но отрицание пятого постулата это и есть главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Он, как и другой математик

И. Г. Ламберт в 1766 году, вплотную подошел к неевклидовой геометрии, но не нашел е реальной.Гаусс, Больяи, Швейкарт, Тауринус они все рано или поздно убеждались, что доказать пятый постулат невозможно. Сам Лобачевский говорил об этой проблеме Напрасные страданья в продолжение двух тысяч лет. И именно он смог отверг этот постулат, создав новую геометрию.Гаусс, изучая поверхности, обнаружил, что на поверхностях отрицательной кривизны сумма углов треугольника

меньше 180о. Он был в шаге от опровержения пятого постулата.Попыток было много и именно недоказуемость этого предположения привела к открытию неевклидовой геометрии. Модель Пуанкаре Утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и некоторой точки A, не лежащей на a, но и для любой неевклидовой прямой a и любой не лежащей на ней точки

A рис.14. рис. 14 Приведенное выше рассмотрение позволяет сделать вывод о непротиворечивости геометрии Лобачевского и обосновать независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом групп I-IV. с той степенью строгости, конечно, с которой была построена и обоснована модель Пуанкаре в данном изложении.Используя модель Пуанкаре, можно изучить свойства плоскости Лобачевского. На плоскости Лобачевского L через каждую точку

A, не лежащую на прямой a, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую a рис.15. рис. 15 Все эти прямые заполняют два вертикальных угла, ограниченных прямыми p и q. Граничные прямые p и q, не пересекающие прямую a, называются на плоскости Лобачевского параллельными прямой a и проходящими через A. Каждому направлению на прямой a соответствует своя параллельная прямая, проходящая через

A. Характерным свойством параллельных прямых на плоскости Лобачевского является то, что они неограниченно сближаются в направлении параллельности и неограниченно расходятся в противоположном направлении рис.16. рис. 16 В модели Пуанкаре параллельные прямые изображаются полуокружностями и лучами, касающимися на абсолюте рис.17, а. рис. 17 Расходящиеся прямые Те прямые на плоскости

Лобачевского, которые и не пересекаются, и не параллельны, называются расходящимися. Характерное свойство расходящихся прямых наличие у них единственного перпендикуляра. Заключение Когда Евклид формулировал пятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет. Когда Лобачевский отказался от пятого постулата, он не знал, что его воображаемая геометрия на поверку окажется реальной.Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильна.

На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет или это произойдет быстрее Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте, и когда нибудь и этот проект окажется макулатурой.Но думаю, что этого времени он успеет исполнить свое предназначение рассказать и заинтересовать читателя настоящей геометрией нашего мира. Именно из-за популярного характера в нем нет ни строгих доказательств, ни полного описания неевклидовой

геометрии. Но для поверхностного ознакомления с ней он вполне годен Геометрия Лобачевского в реальном мире Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир не мир Евклида, как принято считать Почему же мы не замечаем разницыКак пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость.

Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами и ошибки достигали 16.Но вернемся на землю. Есть такое понятие гауссова кривизна пространства. Если мы возьмем кривую поверхность, проведем к какой-то точке касательную, проведем в точку касания отрезок, перпендикулярный касательной плоскости, то мы получим нормаль. Проведя через нормаль плоскость, мы можем найти окружность, наиболее плотно прилегающую к поверхности.

Так как мы можем провести сколько угодно плоскостей, то мы можем найти окружности с минимальным и максимальным радиусом. Подставив их в выражение K1R1R2 , мы получим Гауссову кривизну пространства. Если К 0, то поверхность в этой точке эллиптическая. Если К 0, то гиперболическая. Если К0, то параболическая. Как мы уже знаем, на поверхностях с отрицательной кривизной работает геометрия

Лобачевского. Но именно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского.Но наглядно геометрию Лобачевского можно устроить и на бумаге. Если нарисовать окружность, то мы можем, не выходя за е пределы, провести сколько угодно прямых, не пересекающих данную. Взяв сферу, можно построить стереометрическую модель.

Такая модель называется моделью Клейна. Все эти модели служат одной цели полнее представить наш мир, не прибегая к вселенским масштабам. Список использованной литературы. Б.В.Кутузов Геометрия Лобачевского и Элементы оснований геометрии М. УЧПЕДГИЗ, 1955 Колесников М. Лобачевский Серия Жизнь замечательных людей. М. Молодая гвардия, 1965. httpwww.college.ru httpmuhinaia.rcde.vstu.edu.ru