Математичнi моделi iнфляцii (Укр.)

Математичнi моделi iнфляцii План Вступ Модел циклчного росту Основна модель Економчне регулювання Грошова полтика Бюджетна полтика Висновки Вступ На сучасному етап Украна знаходиться на шляху ринкових перетворень. Це зумовлю виникнення багатьох економчних процесв, рзним чином впливаючих на розвиток крани. Одним з таких процесв нфляця складне економчне явище, змст якого коротко можна висловити так переповнення

каналв обгу грошовою масою зверх потреб товарообороту. Але, це визначення не можна рахувати повним, оскльк воно не розкрива н причин не наслдкв нфляц. Бльш точно механзм нфляц можна зрозумти лише об днуючи з ншими економчними процесами. Метою дано роботи формалзаця економчних процесв за допомогою математичного апарату, для бльш точного дослдження механзму нфляц. В процес роботи використано багато лтературних джерел, як економчних, так

математичних, як так чи накше торкаються проблеми побудови математичних моделей економчних процесв. Розглянута лтература, в бльшост, перекладами закордонних видань, так як проблема керування ринковою економкою вже давно постала перед капталстичним свтом. Основним висновком, який будо винесено з роботи над лтературними джерелами, те, що нфляцю н в якому раз не можна розглядати окремо вд нших економчних явищ.

Вс процеси в економц настльк сильно пов язан мж собою, що розглядати один процес вдрвано вд нших неможливо. Одне явище пов язне з другим, друге з третм, цей умовний ланцюг можна замкнути, тльк описавши економчну систему в цлому. Саме тому, основна частина роботи присвячуться побудов математично модел економки в цлому, вже потм дослджуться вплив на функцонування грошово та бюджетно полтики. В модель входять бльше двох десяткв параметрв, як визначають економчну коньюктуру.

Змнюючи деяк з них можна дослдити вдповдну реакцю економчно системи, яка може проявлятися у вдхиленнях вд рвноважних траекторй росту економчних показникв, змни перодв економчних циклв, виникнення рзних явищ, наприклад нфляц та безробття. Розглянуто деклька варантв державно економчно полтики та ефектв вд х використання. Модел циклчного росту Нашою метою побудова модел, яка подну основн характеристики моделей економчного циклу моделей економчного росту при повнй зайнятост.

Якщо в моделях економiчного циклу малося на уваз, що траекторя випуску продукц не залежить вд виробничо потужност економки, то модел економчного росту при повнй зайнятост заснован на припущенн, що виробнич потужност народного господарства використовуються в повному об м. Дослдн дан свдчать, що стина знаходиться десь мж цими крайнощами. сну деякий механзм зворотного зв язку, що включа змни заробтно платн, цн норм вдсотку, який може на протяз значного пероду часу забезпечити

наближену вдповднсть мж фактичною траекторю випуску продукц теоретичною кривою, яка вдповда умов повно зайнятост, хоча не зберга безперервний стан повно зайнятост. В данй робот вказаний механзм формально вводиться в модель гра суттву роль при синтез траекторй росту економчних циклв. Отриман в результат модел бльш ефективним засобом довгострокового корорткострокового прогнозування, нж модел економчного циклу модел економчного росту при повнй зайнятост.

Перша формальна модель, в якй механзм зворотного зв язку, яка включа грошов потоки, гра принципову роль при синтез траекторй росту економчних циклв, була розроблена Фллпсом. Однак дея самого цього механзму була видвинута ще Кейнсом. Модел, як розглядаються нижче вдрзняються вд модел Фллпса тим, що в них входить виробнича функця, яка допуска взамозамннсть прац капталу.

В цьому вдношенн вони розвитком неокласичнох модел, поднуючи кейнсанську неокласичну теор. Основна модель В цьому роздл буде побудована основна модель. До основно модел входять наступн рвняння 1.10В цих рвняннях прийнят слдуюч позначення С реальне споживання, Y реальний чистий доход або випуск продукц, К об м основного капталу, L чисельнсть використовумо робочо сили,

Ls пропозиця робочо сили, p рвень цн, ставка заробтно плати, r норма процента, Md попит на грош, Ms пропозиця грошей, a, b, c, l, m, s, u A, B, L0, M0 додатн константи b 1, s 1 . Рвняння 1.1 базуться на припущенн, що заощадження складають постйну частку доходу. Член в рвняння 1.2 рвний прибутку в грошових одиницях, а можна розглядувати як вартсть основного капталу в грошових одиницях. Член , таким чином, можна рахувати нормою прибутку на

основний каптал. Це рвняння виводиться з припущення, що пропорцйний темп росту нвестицй в основний каптал зростаюча функця вдношення норми прибутку на основний каптал до норми вдсотка. Параметр можна рахувати винагородою за ризик. Розглянемо рвняння 1.3. дорвню загальному сбуту споживчих та каптальних товарв кнцевим споживачам народного господарства а рвне валовому кнцевому продукту. таким чином рвняння 1.3 базуться на припущенн, що темп росту чистого випуску продукц пропорцйний перевищенню

сбуту над валовим випуском кнцево продукц. виробнича функця Кобба-Дугласа. Рвняння 1.5 базуться на припущенн, що рвень цн рвний короткотермновим граничним витратам виробництва плюс деяка пропорцйна надбавка, яка залежить вд степен вдхилення вд чисто конкуренц.З рвняння виплива, що рвень цн дорвню витратам на оплату прац, розрахованим на одиницю випуску, плюс пропорцйна надбавка . Рвняння 1.6 визнача змну цн на ринку прац.

Воно базуться на припушенн, що геометричний темп росту ставки заробтно плати зростаюча функця частки використовумо у виробництв робочо сили. В основ цього припушення гпотеза про те, що, якщо частка використовумо у виробництв робочо сили перевищу деякй рвень, конкуренця на ринку прац виклика пдвищення ставки заробтно плати, а якщо частка використовумо у виробництв робочо сили менше цього рвня, конкуренця виклика зниження ставки заробтно плати. Проведене Фллпсом дослдження даних для

Англ за перод 1862 1957 рр. показу, що на протяз цього перода заробтна плата мала тенденцю до пдвищення або зниження в залежност вд того, перевищувала частка використовумо у виробництв робочо сили величину 0,95 чи була менше не. Змнна Md в рвнянн 1.7 зображу активи, як фрми та окрем особи бажають зберегти в грошовй форм тобто у вигляд готвки чи банквськх вкладв. Це рвняня виходить з передумови, що реальний попит на грош тим бльший, чим бльший реальний доход чи нижча норма процента.

Кейнс, який першим вивчив наслдки залежност попиту на грош вд норми вдсотка вказав на дв причини, обумовлююч цю залежнсть. Перша з них поляга в тому, що норма вдсотка явля собою витрати на збергання грошей, а не нерухомост. Друга причина зводиться до того, що моврнсть росту норми вдсотка тим бльша, чим нижча його сьогодншня норма , а якщо очкуваний рст норми вдсотка достатньо великий, ста бльш вигдним вдкласти придбання нерухомост тобто збергти грош, доки очкувана змна норми вдсотка не станеться.

Причини, по яким можно передбачати, що попит на грош залежить вд доходу, набагато очевиднйш. Зауважимо, зокрема, що попит на грош пов язаний з об мом очкумих в найближчий час платежв, що сам цей об м залежить вд доходу. В рвнянн 1.8 в неявному вигляд мстится наступне припущення норма вдсотка змнються таким чином, що попит на грош завжди рвний х пропозиц. Це припущення обгрунтовуться тим, що якщо попит на грош перевищу пропозицю, то необхднсть продажу нерухомого

майна викличе падння цн на нерухомсть. Це кввалентно зростанню норми вдсотка, а в силу 1.7 рст норми вдсотка призведе в кнцевому рахунку до зникнення надлишку попиту на грош. Аналогсно, надлишкова пропозиця грошей виклика зниження норми вдсотка, що в свою чергу усува надлишок пропозиц грошей. В рвнянн 1.8 передбачаться, що ц явища вдбуваються миттево. Бльш тверезе припушення, яке легко ввести в модель виражаться рвнянням 1.11де h додатня константа.

Однак, якщо значення h велике порвняно з , та , то помилка, обумовлена використанням 5.8 замсть 1.11, порвняно невелика. Приймемо для спрошення, що це так . В рвнянн 1.9 передбачаться, що пропозиця прац зроста в геометричнй прогресс, а рвняння 1.10 базуться на аналогчному припущенн щодо пропозиц грошей. Змст останнього припущення поляга у тому, що грошова полтика нейтральна. Характер реакц системи при змн пропозиц грошей внаслдок варац нших змнних модел,

аналзуться в наступному роздл. Виключаючи з 1.2 та 1.5, мамо 1.12Дал, з 1.7, 1.8 та 1.10 отримумо 1.13З 1.12 та 1.13 виплива 1.14що разом з 1.4 та 1.5 да 1.15З 1.4, 1.6 та 1.9 отримумо 1.16а з 1.1 та 1.3 мамо 1.17Трактор , K та Y визначаються х початковими значеннями та системой рвнянь 1.15 1.17. Ця система ма частинний розв язок 1.18 1.19 1.20де константи. Вирази та визначають вдповдн рвноважн траектор росту випуска продукц та капталу, а вираз отримав назву

темпу рвноважного росту. Насправд, пдставивши значення 1.18 1.20 в рвняння 1.15 1.17, отримамо 1.21 1.22 1.23Цим рвнянням задовльняють наступн розв язки 1.24 1.25 1.26 Таким чином рвноважний темпи росту та рвний а рвн рвноважних траекторй росту цих змнних тим вищ, чим бльша схильнсть до заощадження. Цкавою властивстю розглядумо модел пдвищеннярвней рвноважних траекторй росту та при збльшенн m пропорцонального темпа росту пропозиц грошей.

Це пояснються тим, що, коли та знаходятся на свох рвноважних траекторях росту, частка використовувано робочо сили зростаючою функцю m. Дйсно, виконуючи пдстановку з 1.18 у 1.6, отримамо 1.27Тод з 1.9 виплива, що рвноважна траекторя росту зайнятост описуться рвнянням 1.28де Тут неявно припускаться, що В протилежному випадку модель не ма змсту, так як кльксть використовумо робочо сили не може перевищувати пропозиц. З 1.18 виплива, рвноважний темп росту ставки заробтно плати

рвний а з 1.5, 1.18, 1.20, та 1.28 виплива що рвноважний темп росту рвня цн рвний темпу росту пропозиц грошей за винятком суми темпа росту ефективност прац, росту пропозиц прац, обумовлених науково-технчним прогресом. Параметр ма назву еластичност попиту на грош вд доходу. З умови виплива, що при постйнй норма вдсотка задане збльшення доходу виклика рвне пропорцональне збльшення попиту на грош. З рвнянь 1.12, 1.25 та 1.26 виплива, що у випадку, коли та знаходятся на свох рвноважних

траекторях росту, норма вдсотка рвна констант , яка визначаться виразом 1.29Вдмтимо, що та . Змст одержаних результатв зводиться до того, що чим вище рвноважна норма вдсотка, тим бльше значення гра каптал в процесс виробництва тим нижце схильнсть до заощадження. Другою цкавою властивстю виразу 1.29 незалежнсть вд пропозиц грошей та параметрв переваги лквдност та . Цей результат пояснються тим, що при умов коли вс змнн розташован на свох рвноважних траекторях

росту ставка заробтно плати коректуться по пропозиц грошей та параметрам переваги лквдност таким чином, що нейтралзувати х вплив на норму вдсотка та реальн змнн системи. Рвняння 1.13 та 1.29 дозволяють вияснити взамовдношення мж класичною та кейнсанською теорю вдсотка. У вдповдност з класичною теорю норма вдсотка визначаться реальними факторами, впливаючими на заощадження та попит на каптал, а по теор Кейнса виршальний вплив на норму вдсотка справляють явища грошового обороту.

В розглядумй модел точка зору Кейнса, яка виражаться рвнянням 1.13, застосовна до фактично норми вдсотка в довльний момент часу, а класична теоря, представлена рвнянням 1.29, застосовна тльк до рвноважно норми вдсотка. З рвнянь 1.15 1.17 та 1.24 1.26 отримамо 1.30 5.31 1.32де З 1.31 та 1.32 мамо 1.33де вдношення пряму до нуля, при прямуючих до нуля. Точн траектор визначаються початковими значенням цих величн та рвняннями 1.30 1.32, а наближен початковими

значеннями та системою лнйних рвнянь 1.34яка отримуться якщо не враховувати . Достатньою умовою того, щоб пропорцйн вдхлення та вд х рвноважних траекторй росту прямували до нуля при , достатньо мала велична вдповдних початкових вдхлень наявнсть у характеристичних корней функц вд мних дйсних частин. Характеристичними корнями функц корен рвняння 1.35де Необхдн та достатн умови того, щоб ц корен мали вд мн дйсн частини, виражаються нервностями

Ц умови виконуються, якщо , але можуть порушуватись, якщо остання умова не ма мсця. Таким чином, при значному вплив доходу на рвень попиту на грош, тобто при великому значенн , вдбуваться стаблзаця, а при сильному вплив норми вдсотка на рвень попиту на грош, тобто при великому значенн , виника вибухоподбний рух системи. Для того, щоб краще зрозумти властивост модел, розглянемо неформалзований опис впливу збуджень на встановившийся стан системи.

Припустимо, що вс змнн знаходяться на свох рвноважних траекторях росту що деяке збудження виклика збльшення геометричного темпу росту реального споживання. Це призведе до збльшення геометричного темпу росту випуску продукц, занятост та рвня цн. Збльшення геометричних темпв реального доходу та рвня цн створить тенденцю до збльшення геометричного темпу росту попиту на грош. Вдповдно, при умов, коли геометричний темп росту пропозиц грошей не змнються, буде вдбуватися рст норми

вдсотка. Цей рст виклика тенденцю до зменшення геометричного темпу росту попиту на каптальн блага, в результат чого зупиниться вдхилення вверх випуска продукц вд його рвноважно траектор росту. Таким чином, при сильному вплив доходу на попит на грош можна очкувати, що цей вплив буде здйснювати стаблзуючий вплив на систему. Однак, збльшення норми вдсотка, обумовлене збльшенням геометричного темпу росту реального доходу цн, тим менше, чим бльш вдчутний вплив норма вдсотка на попит на грош, бо в силу 1.8

зменшення попиту на грош, викликане зростанням норми вдсотка, ма бути достатнм для компенсац збльшення попиту на грош, викликаного вдхленням вверх фактичного доходу та рвня цн вд х рвноважних траекторй росту. Вдповдно, при суттевому вплив норми вдсотка на попит на грош слд очкувати, що цей вплив дестаблзуюче д на стан системи. Д. Кейнс висунув думку, що еластичнсть попиту на грош вд норми вдсотка може бути зростаючою функцю пряму до по мр того, як вд сво верхньо межи наближаться до деякого додатнього числа.

З рвняння 1.7 виплива, що еластичнсть попиту на грош вд норми вдсотка константа, рвна . Якщо б гпотеза Кейнса була врна, розглядума модель страждалаб одним принциповим недолком. Однак, отриман до сих пр емпричн дан не пдтверджують вказано гпотези. Так, виконаний Бронфербергом та Майером аналз даних по США за перод 1919 1956 рр. не да приводу вдкидувати припущення, що еластичнсть попиту на грош вд норми

вдсотка константа. Приймемо, наприклад, слдуюч значення параметрв . Параметр приблизно рвний вдсотковому збльшення темпу росту ставки заробтно плати, вдповдаючому, пдвищенню рвня зайнятост на 1. Прийняте значення цього параметру базуться на даних по Англ. Параметр s рвний частц приросту реального доходу, напрамлямого на заощадження, ма назву гранично схильност до заощадження. Величини та називаються швидкодю, а обернен м величини середнм значенням часового

запзнення. Параметр додатня константа фгуруюча у виробничй функц Кобба-Дугласа яка пов язу чисельнсть використовумо робочо сили з реальним випуском продукц та об мом використовумого капталу. При вказаних значеннях всх параметрв, окрм та , умова стйкост системи записуться нервнстю 1.36Якщо, як це часто прийматься то ця умова виконуться при , а якщо , то умова стйкост виконуться при . Рзн емпричн оцнки еластичност попиту на грош вд норми вдсотка по даним, як вдносяться до

Англ та США, лежать в межах вд 0 до 2,0. При близьких до дйсних значеннях та , задовльняючих нервност 1.36, два з трьох коренв рвняння 1.35 комплексн, так що модель породжу затухаючий цикл бля тенденц до рвноважно траектор росту. Економчне регулювання Мета цього роздлу поляга у тому, щоб дослдити як змнються поведнка модел циклчного росту при введенн рзномантних зворотнх зв язкв, вдображаючих той нший курс грошово та фскально полтики. Таке дослдження можна розглядати як задачу прогнозування в широкому аспект.

Разом с тим воно наочно демонстру одну з найбльш важливих можливостей використання макроекономчних моделей. Крм того, навть з точки зору чистого прогнозування важливо, щоб спввдношення як опису вплив зворотнх зв язкв були включен в модедь, особливо т з них, як вдображають курси полтики, що проводиться державними органами. Грошова полтика У попередньому роздл грошова полтика була нейтральною в тому розумнн, що пропозиця грошей була зростаючою в геометричнй прогресс.

Припустимо тепер, що пропозиця гроней неперервно змнються вдповдно до змн нших змнних модел. Розглянемо спочатку полтику, що описуться рвнянням 2.1.1де додатн константи. Припустимо, що зада траекторю зайнятост, яка вважаться оптимальною. Оскльк пропозиця робочо сили вдповда траектор оптимальний пропорцйний рвень зайнятост визначаться вдношенням . Це вдношення, яке не перевищу одиницю вдобража оптимальний баланс мж безробттям та нфляцю.

Рвняння 2.1.1 базуться на припущенн, що при оптимальному рвн зайнятост пропозиця грошей постйна рвна , в противному випадку пропорцйне перевищення над зростаючою функцю пропорцйного перевищення над . Тепер замсть рвняння 1.10 використовуться рвняння 2.1.1, так, що модель включа рвняння 1.1 1.9 2.1.1. З 1.7, 1.8 2.1.1 отримамо 2.1.2Тод з 1.12 та 2.1.2 отримамо 2.1.3що разом з 1.4 та 1.5 да 2.1.4Одночасно також мамо 2.1.5 2.1.6що аналогчно вдповдно 1.16 та 1.17.

Траекторя змни змнних та визначаться початковими значеннями змнних системою рвнянь 2.1.4 2.1.6. Частинний розв язок ц системи ма вигляд 2.1.7 2.1.8 2.1.9де 2.1.10 2.1.11 2.1.12 з 1.4, 2.1.8, 2.1.9 та 2.1.12 виплива,що рвноважна траекторя росту зайнятост визначаться рвнянням 2.1.13де Таким чином, ця траекторя не пов язана з оптимальною. Дйсно, порвняння 1.28 з 2.1.13 показу, що рвноважна траекторя росту зайнятост спвпада з траекторю,

що вдповда постйнй пропозиц грошей. Це неприйнятний наслдок полтики, що описуться рвнянням 2.1.1. Розглянемо тепер вплив ц полтики на стйксть системи. З рвнянь 2.1.4 2.1.6 та 2.1.10 2.1.13 мамо 2.1.14 2.1.15 2.1.16де Точн траектор змни змнних визначаються початковими значеннями цих змнних системою рвнянь 2.1.4 2.1.6 та 2.1.10 2.1.13, а наближен траектор тими ж початковими значеннями системою лнйних рвнянь, як включають 2.1.14, 2.1.15

та 2.1.17Характеристичними коренями матриц коефцнтв останньо системи корен рвняння ,2.1.18де Зауважимо, що при умов, що частинна похдна . Отже, хоч полтика задана рвнянням 2.1.1 не вплива на рвноважну траекторю зайнятост на вдмну вд полтики, що передбача постйну пропозицю грошей, вона може справляти стаблзуючу дю. Припустимо, наприклад, що .При цих умовах при корен рвняння 2.1.18 рвн , а при ц корен рвн . Тобто у даному випадку вплив грошово полтики приводить до поступово лквдац цклу бльш швидко збжност

до довгострокового тренду. Розглянемо тепер полтику, яка визначаться рвнянням 2.1.19З цього рвняння виплива, що при оптимальному рвн зайнятост пропозиця грошей постйна. В протилежному випадку пропорцйний темп росту пропозиц грошей, зростаючою функцю пропорцонального перевищення над . Тепер модель описуться рвняннями 1.1, 1.9 та 2.1.19. З 1.7, 1.8 та 1.12 мамо 2.1.20що у сукупност з 1.4 та 1.5 да 2.1.21Дал, з 1.4 та 1.19 мамо 2.1.22що

разом з 2.1.5 да 2.1.23Траектор змни та визначаються початковими значеннями змнних та системою рвнянь, що включа 2.1.6, 2.1.21 та 2.1.23. Власн траектор та можна отримати, використовуючи 2.1.5 та 2.1.22. Частинний розв язок системи ма вигляд 2.1.24 2.1.25 2.1.26де 2.1.27 2.1.28 2.1.29P 1.4, 2.1.25, 2.1.26, 2.1.28 та 2.1.29 виплива, що рвноважна траектор росту зайнятост визначаться рвнянням ,2.1.30де Крм того мамо 2.1.31Змст 2.1.31 поляга в тому, що рвноважний пропорцйний рвень зайнятост , при полтиц,

заданй рвнянням 2.1.19 зваженим середнм геометричним оптимального пропорцйного рвня зайнятост та рвноважного пропорцйного рвня зайнятост при умов постйно пропозиц грошей. див. 1.28 та 2.1.13. Рзниця мж та тим менша, чим бльше пряму до нуля коли пряму до нескнченост. таким Чином полтика 2.1.19 веде до зменшення, але не усува повнстю вдмнност мж рвноважним оптимальним пропорцйними рвнями зайнатост. В цьому вдношенн вона бльш ефективна, нж полтика 2.1.1, хоча не можна вважати цлко

задовльною. Слд зауважити, що при полтиц 2.1.12 пропозиця грошей продовжу змнюватись, поки рвень зайнятост не досяга оптимуму. Тому, досить несподвано, що ця полтика, не забазпечу рвност . Це пояснються тим, що у встановленому стан системи ставка заробтно плати змнються з швидкстю, яка цлком компенсу вплив на пропорцйний рвень зайнятост змни пропозиц грошей. Пропорцйн темпи росту ставки заробтно плати та пропозиц грошей в усталеному стан системи легко отримати

з рвняння 2.1.5, 2.1.19, 2.1.25 та 2.1.30. Вони визначаються виразами 2.1.32 2.1.33З 2.1.6, 2.1.21, 2.1.23 та 2.1.27 2.1.29 мамо 2.1.34 2.1.35 2.1.36де Точн траектор визначаються початковими значенням цих величн та рвняннями 2.1.32 2.1.33, а наближен тими ж початковими значеннями та системою лнйних рвнянь 2.1.34, 2.1.35 та 2.1.37Характеристичними коренями матриц коефцнтв останньо системи корен рвняння ,2.1.18де Зауважимо, що не залежить вд що навть при умов, коли , похдна може бути вд мною.

Цей результат демонстру, що полтика 2.1.19 менш ефективна з точки зору стаблзац системи, нж полтика 2.1.1. Припустимо, наприклад, що .При цих умовах при корен рвняння 2.1.18 рвн , а при ц корен рвн . Тобто у даному випадку грошова полтика не справля особливого демпфуючого впливу на циклчний характер розвитку економки. основний ефект поляга в зменшенн рзниц мж рвноважним та оптимальним пропорцйними рвнями зайнятост та в зменшенн тривалост перода циклу.

Розглянемо тепер полтику, яка визначаться рвнянням 2.1.19З цього рвняння виплива, що пропорцйний темп росту пропозиц грошей зменшуться, залишаться постйним або зроста, в залежност вд того, бльший, рвний або менший оптимального фактичний рвень зайнятост. Вцьому випадку модельописуться рвняннями 1.1 1.9 та 2.1.39. Введемо нову змнну , яка визначаться спввдношенням 2.1.40Тод з 2.1.5 та 2.1.40 мамо 2.1.41З 1.4, 2.1.29

та 2.1.40 отримамо 2.1.42Траектор змни змнних та визначаються початковими значеннями цих змнних та системою рвнянь, що включа 2.1.6, 2.1.21, 2.1.41 та 2.1.42. Ця система ма частинний розв язок 2.1.43 2.1.44 2.1.45 2.1.46де 2.1.47 2.1.48 2.1.49 2.1.50З 1.4, 2.1.44, 2.1.45, 2.1.48 та 2.1.49 виплива, що рвноважна траекторя росту зайнятост визначаться рвнянням .6.1.51Таким чином, рвноважна та оптимальна траекторя зайнятост спвпадають. В цьому вдношенн полтика 2.1.39 ефективнша, за полтики 2.1.1

та 2.1.19. З 2.1.6 , 2.1.21, 2.1.41, 2.1.42 та 2.1.47 2.1.50 мамо 2.1.52 2.1.53 2.1.54 2.1.55де Точн траектор змни змнних визначаються початковими значеннями цих змнних системою рвнянь 2.1.52 2.1.55, а наближен траектор тими ж початковими значеннями системою лнйних рвнянь, як включають 2.1.52, 2.1.53, 2.1.55 та 2.1.56Характеристичними коренями матриц коефцнтв останньо системи корен рвняння 2.1.57де Необхдн достатн умови вд мност дйсних частин цих коренв задаються нервностями

Вдмтимо, що . Вдповдно, полтика 2.1.39 може справляти дестаблзуючу дю. Припустимо, наприклад, що , корен рвняння 2.1.57 рвн . Порвняння цього результату, з результатом, отриманим при допушенн постйно пропозиц грошей показу, що в цьому випадку один з проявв грошово полтики зводиться до зменшення демпфування циклу. Полтика 2.1.1, 2.1.19 та 2.1.39 частинними випадками бльш загально полтики, що описуться рвнянням 2.1.58З

рвняння 2.1.1 виплива що , з 2.1.19 що , а з 2.1.39 що . У найбльш ефективно полтики такого типу, зрозумло, вс три параметри повинн мати додатн значення. Розглянемо тепер дещо менш загальний випадок, коли В цьому випадку рвняння 2.1.58 ма вигляд 2.1.59 повна модель описуться рвнянням 1.1 1.9 та 2.1.59. з 1.4, 2.1.40 та 2.1.59 мамо 2.1.60Траектор змни змнних та визначаються початковими значеннями цих змнних та системою

рвнянь, що включа 2.1.6, 2.1.21, 2.1.41 та 2.1.60. Рвноважн траектор росту цих змнних задаються рвняннями 2.1.43 2.1.50, а рвноважна траекторя росту зайнятост рвнянням 2.1.51. Таким чином рвноважна та оптимальна траектор зайнятост спвпадають. Цей результат отримуться, по сут, при довльнй полтиц, яку можна описати рвнянням виду 2.1.58 при умов . З 2.1.60 та 2.1.48 2.1.50 мамо 2.1.61де змнн визначаються аналогчно з 2.1.55.

Справедлив в даному випадку спввдношення 2.1.52 2.1.54. З 2.1.53, 2.1.54 та 2.1.61 отримамо 2.1.62Точн траектор змни визначаються початковими значеннями цих змнних системою рвнянь 2.1.52 2.1.54 та 2.1.62, а наближен траектор тими ж початковими значеннями системою лнйних рвнянь, як включають 2.1.52, 2.1.53, 2.1.56 та 2.1.63 Припустимо, наприклад, що задан так значення праметрв .

При цих умовахнаближена система ма вигляд 2.1.64де Характеристичн корен рвн . Тобто, в порвнянн з випадком, коли та , демпфування циклю збльшуться, але перод скорочуться. Бюджетна полтика В розглядумй модел поки що, формально не враховувались державн витрати та податки. Однак величну можна вважати сумою реального особистого споживання та реальних поточних державних витрат на товари та послуги. А вдповда сум державного та приватного основного капталу.

Тод з рвняння 1.1 виплива, що величина рвна сум реальних приватних та державних заощаджень, де останн визначаються як перевищення реальних надходжень вд податкв над реальними поточними державними витратами на товари та послуги. При цьому параметр залежить вд трьох вдношень 1. вдношення особистого споживання до особистого доходу 2. вдношення надходжень вд податкв до доходу тобто середнй норм оподаткування 3. вдношення поточних державних витрат на товари та послуги до надходжень вд податкв.

До цих пр в неявному вигляд припускалося, що ц три вдношення постйн. Нехай тепер друге трете вдношення змнюються вдповдно змнам пропорцйного рвня зайнятост. Отже величина тепер буде розглядатися на як змнна, а як параметр. Припустимо, зокрема, що 2.2.1 де додатн константи. Тод повна модель буде описуватися рвняннями 1.1 1.10 та 2.2.1. з 1.4 та 2.2.1 виплива 2.2.2що разом

з 1.17 да 2.2.3Мамо також 2.2.4 2.2.5що дентично 1.16 та 1.15 вдповдно. Траектор змни та визначаються початковими значеннями змнних та системою рвнянь 2.2.3 2.2.5. Ця система ма частинний розв язок 2.2.6 2.2.7 2.2.8де 2.2.9 2.2.10 2.2.11 2.2.12 З 1.4, 2.27, 2.2.8, 2.2.10 та 2.2.11 виплива, що рвноважна траекторя росту зайнятост визначаться рвнянням 2.2.13де Вдмтимо, що рвняння 2.2.13 тотожне 1.28 в тому розумнн, що не залежить вд та .

Отже рвноважна траекторя росту зайнятост не залежить вд оптимально траектор бюджетна полтика яка визначена рвнянням 2.2.1, на не не вплива. Однак ця полтика вплива на рвноважну траекторю росту випуску продукц. Дйсно, з 2.2.11 виплива, що . Це пояснються тиж, що рст норми оподаткування обумовлений зменншенням державних позик в приватному сектор або зниженням частки надходжень вд податкв, направленою на покриття державних витрат, призводить до збльшення рвноважного вдношення капталу до випуску продукц.

З рвнянь 2.2.3 2.2.5 та 2.2.9 2.2.12 отримамо 2.2.14 2.1.15 2.1.16де Точн траектор змни змнних визначаються початковими значеннями цих змнних системою рвнянь 2.2.14 2.2.16, а наближен траектор тими ж початковими значеннями системою лнйних рвнянь, як включають 2.2.14, 2.2.15 та 2.2.17Характеристичними коренями матриц коефцнтв останньо системи корен рвняння ,2.2.18де У спввдношення 2.2.1 яке опису вплив зворотнього зв язку входять обидва параметри полтики та .

Значення цих параметрв вплива не тльки на стйксть системи, але на рвноважне вдношення каптал випуск. Припустимо, що бажанне значення яке являться рвноважним значенням вдношення основного капталу до випуску продукц визначаться як окреме ршення прийнято полтики. При цьому врахумо, що рвноважна траекторя росту випуску буде тим вища, а початковий рвень споживання тим нижчий, чим бльше значення . Таким чином, розглядуючи вплив змни на стйксть системи будемо припускати

що змнються так, щоб значення залишалося постйним. При цьому при диференцйуванн функцй по знак частинно похдно використовуться для того, щоб вказати, що сталою величиною а не . Тепер, припускаючи, що мамо , при умов, що та , похдна . Тобто додатне значення може здйснювати стаблзуючу дю. Припустимо, наприклад, що задан так значення праметрв .

Тод, якщо , корен 2.2.18 рвн а якщо , вони рвн . Тобто, в цьому випадку бюджетна полтика призводить до лквдац циклу бльш швидко збжност до довгострокового тренду. Надал не розглядуються бльш складн бюджетн полтики, аналогчн грошовим полтикам, що описуються рвняннями 2.1.19 та 2.1.39. Це пояснються тим, що диними, що мають практичний змст бюджетними полтиками т, при яких вдношення заощаджень особистих та державних до нацонального доходу пряму до додатньо константи при .

Якщо це припущення справедливе, то жодна практично здйснювана бюджетна полтика не може здйснювати вплив на рвноважну траекторю росту зайнятост. Хоча цей висновок очевидний з 2.2.13 викладених щойно мркувань вн може здатися несподваним, особливо, при спвставленн з результатами, отриманими змоделей, де грошов фактори не враховуються. На завершення цього роздлу наведемо неформальний опис впливу змн у бюджетнй полтиц, викликаючих стйкй рст вдношення заощадження доход.

З цю метою ми будемо припускати, що початковий стан економки вдповда рвноважнй траектор росту. Згадамо, що в цьому роздл прийнято припущення що пропозиця грошей зроста в геометричнй прогрес, а отже бюджетн змни не впливають на темп росту. Звдци виплива, що надлишок надходжень вд податкв над поточними державними витратами державних позик у приватного сектора економки, а не для зменшення пропозиц грошей. Тим не менш, змни бюджетно полтики вказаного типу одразу виклика зменшення споживання, а отже зайнятост.

Але зменшення зайнятост, в свою чергу виклика зниження пропорцйного темпу росту заробтно плати та цн, а в силу цього зменшення пропорцйного темпу росту попиту на грош. Оскльк пропорцйний темп росту пропозиц грошей не змнються, норма вдсотка постйно пада, викликаючи поступове збльшення попиту на каптальн товари та пдвищення рвня зайнятост. Якщо значення не дуже велике, рвень зайнятост пряму до рвноважного, в даному випадку до початкового,

рвня. Таким чино, диний стйкй ефект змни бюджетно полтики зводиться до збльшення вдношення накопичення капталу до споживання, а отже до пдвищення рвноважно траектор росту випуску продукц. Наведений опис спрощений, так як в ньому не враховано тимчасове запзнення виробництва вдносно попиту. Внаслдок цього запзнення траекторя збжност, як правило коливальною, а не стйкою. Поднання грошово та бюджетно полтики В цьому роздл розрзнялися три мети здйснення кожно полтики 1 досягнення

оптимального довгострокового балансу мж безробттям та нфляцю 2 досягнення оптимального довгострокового балансу мж споживанням та накопиченням капталу 3 мнмзаця короткострокових флуктуацй. Було показано, що при прийнятих в модел припущеннях грошова полтика може бути використана для досягнення цлей 1 та 3 але не 2, а бюджетну полтику, яка належить до класу, що ма практичний змст можна використати для досягнення цлей 2 3, але не 1. Отже, якщо прагнути досягнення всх трьох цлей необхдно застосовувати

деяке поднання грошово та бюджетно полтик. Ефективну систему регулювання економки можна отримати, якщо об днати полтики, що описуються рвняннями 2.1.58 та 2.2.1. Для спрощення викладок розглянемо комбновану полтику, що визначаться рвняннями 2.1.39 та 2.2.1. Тод модель включа рвняння 1.1 1.9, 2.1.39 та 2.2.1. Мамо рвняння 2.3.1 2.3.2 2.3.3як дентичн вдповдно рвнянням 2.2.21, 2.1.41 та 2.1.42.

Отримамо також, що 2.3.4дентичне 2.2.3 Траектор змни змнних та визначаються початковими значеннями цих змнних та системою рвнянь 2.3.1 2.3.4. Частинний розв язок ц системи 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8де 2.3.9 2.3.10 2.3.11 2.3.12З 1.4, 2.3.6, 2.3.7, 2.3.10 та 2.3.11 виплива, шо рвноважна траекторя росту зайнятост визначаться рвнянням 2.3.13Отже, рвноважна оптимальна траектор зайнятост спвпадають. Крм того з 2.3.10 та 2.3.11 мамо 2.3.14 тобто рвноважне вдношення основного капталу до випусу залежить вд але не залежить вд .

Незалежнсть цього вдношення вд пояснються рвнстю рвноважного оптимального пропорцйних рвнв зайнятост. Ц результати свдчать про те, що при використанн комбновано грошово та бюджетно полтики, що визначаться рвнянням 2.1.39 та 2.1.1 рвноважний пропорцйний рвень зайнятост та рвноважне вдношення основного капталу до випуску продукц можна регулювати незалежно одне вд одного, що ц величини не залежать вд . Розглянемо тепер спввдношення мж стйкстю системи та значенням параметру .

З рвнянь 2.3.1 2.3.4 та 2.3.9 2.3.12 отримумо 2.3.15 2.3.16 2.3.17 2.1.55де Точн траектор змни змнних визначаються початковими значеннями цих змнних системою рвнянь 2.3.15 2.3.18, а наближен траектор тими ж початковими значеннями системою лнйних рвнянь, як включають 2.3.15, 2.3.16, 2.3.18 та 2.3.19Характеристичними коренями матриц коефцнтв останньо системи корен рвняння 2.3.20де Зауважимо, що Крм того, при умов та ма мсце нервнсть , а якщо крм цього значення достатньо мале, виконуться

нервнсть . Тобто, при додатньому може мати мсце стаблзуючий вплив. Припустимо, наприклад, що При таких значеннях параметрв та при корен 2.3.20 рвн , а при ц корен рвн . Тобто, в цьому випадку вплив додатнього значення параметра проявляться якв збльшенн перода, так в демпфуванн циклу, а також в бльш швидкй збжност до довгострокового тренду. Висновки В квалфкацйнй робот побудована математична модель економчно системи, яка включа основн закономрност

функцонування. Створена програма, дозволя наглядно продемонструвати основн залежност економчних процесв. Зокрема, можна побачити, змна яких параметрв економчно системи веде до нфляцйних процесв. Також можна уточнювати параметри вибору фнансово полтики з метою одержання найкращх результатв. Основним висновком, висновок про сильну взамозалежнсть економчних показникв мж собою, саме вн предметом дослдження в данй робот.