Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції (Укр.)

Наближене обчислення визначених нтегралв, що не беруться через елементарн функц Змст Вступ. Формули прямокутникв трапец. Параболчне нтерполювання. Дроблення промжку. Залишковий член формули прямокутникв. Залишковий член формули трапец. Залишковий член формули Смпсона. Додаток 1. Додаток 2. Висновки. Лтература.

Вступ. Багато задач науки технки приводять до проблеми обчислення нтегралв, але не вс нтеграли пддаються обчисленню. В данй робот разглядаться питання наближеного обчислення визначених нтегралв, що не беруться через елементарн функц. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутникв, формула трапецй а також формула Смпсона. Формули прямокутникв трапец. Нехай треба обчислити значення визначеного нтегралу , де деяка заданая на промжку неперервна функця.

сну багато прикладв обчислення подбних нтегралв, або за допомогою первстно, якщо вона виражаться в скнченному вигляд, або ж минуя первстну за допомогою рзних прийомв, як правило, штучних. Потрбно вдмтити, однак, що всм цим вичерпуться вузький клас интегралв за його межами зазвичай вдаються до рзних методв наближеного обчислення. В данй робот можно ознайомитися з основними з цих методв, в яких наближен формули для нтегралв складаються по деякому числу значень пднтегрально функц, обчислених

для ряду зазвичай рвновддалених значень незалежно змнно. Перш формули, як сюди вдносяться, простш всього отримуються з геометричних мркувань. Витлумачуючи визначений нтеграл як площу деяко фгури, яка обмежена кривою , ми ставимо перед собою задачу знаходження ц площ. Перш за все, вдруге використовуюч ту думку, яка привела нас до самого поняття о визначеном нтеграл, можно розбити усю фгуру мал. 1 на смуги, скажемо одн той же ширини , а потм кожну

смугу наближено замнити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка з його ординат. Це приводе нас до формули , де . Тут шукана площа криволнйно фгури замнються площею деяко ступенчато фгури, яка складаться з прямокутникв або ж, можно сказати, що визначений нтеграл замнються нтегральною сумою. Ця наближена формула називаться формулою прямокутникв. На практиц зазвичай беруть якщо вдповдну середню ординату позначити через , то формула перепишеться

у вигляд . 1 Надал, кажучи про формулу прямокутникв, ми будемо мати на уваз якраз цю формулу. Геометричн мркування природньо приводять до друго, часто використовувамй наближенй формул. Замнивши дану криву вписаною в не ламаною, з вершинами у точках , где . Тод наша криволнйна фгура замниться ншою, яка складаться з ряду трапецй рис2 Якщо, як ранш рахувати, що промжок разбитий на рвн частини, то площ цих трапецй будуть .

Мал. 2 Додаючи, прийдемо до ново наближено формули . 2 Це так звана формула трапецй. Можно показати, що при зростанн до нескнченност похибка формули прямокутникв формули трапецй нескнченно зменьшуться. Таким чином, при достатньо великому обидв ц формули вдтворюють шукане значення з довльним рвнем точност. Параболчне нтерполювання. Для наближеного обчислення нтеграла можно спробувати замнити функцю близьким до не многочленом 3 покласти

Можно сказати, що тут при обрахуванн площ дана крива замнються на параболу - го порядку 3, в звязку з чим цем процес отримав назву параболчного интерполювання. Сам вибр нтерполюючуго многочлена частше всього виконують наступним чином. У промжку беруть значень незалежно змнно пдбирають многочлен так, щоб при усх взятих значеннях його значення спвпадало з значенням функц . Цю умовою, як ми знамо, многочлен визначаться однозначно, його

вираз даеться нтерполяцонною формулою Лагранжа При нтерполюванн виходить лнйний, вдносно значень вираз, коефцнти якого вже не залежать вд цих значень. Вирахувавши коефценти раз назавжди, можно х використовувати для будь-яко функц в даному промжку . В найпростшому випадку, при , функця просто замнються сталою , де будь-яка точка у промжку , скажемо, середня . Тод наближено 4 Геометрично площа криволнйно фгури замнються тут площадью прямокутника з висотою, яка рвна середнй ординат.

При функця замнються лнйною функцю , яка ма однаков з нею значення при и . Якщо взяти то 5 , як легко обчислити, Таким чином, тут ми наближено вважамо На цей раз площа криволнйно фгури замнються площею трапец замсть криво береться хорда, яка зполуча кнц. Менш тривальний результат отримамо взявши . Якщо покласти то нтерполяцйний многочлен буде мати вигляд 7 За допомогою легкого обчислення вираховумо , аналогчно

Таким чином, приходимо до наближено формули . Тут площа фгури пд даною кривою замнються площею фгури, яка обмежена звичайною параболою з вертикальною вссю, що проходить через крайн середню точки криво. Збльшуя степнь нтерполяцйного многочлена, тобто проводя параболу 3 через все бльше число дано криво, можно розраховувати отримати бльшу точнсть. Но бльш практичним виявляться нший шлях, якй грунтуться на поднанн де параболчного нтерполювання з дею дроблення.

Дроблення промжку. При обчисленн нтегралу можно зроботи так. Розбмо спочатку промжок на деяке число рвних промжкв , в звязку з чим, шуканий нтеграл постане у вигляд суми 9 Тепер же до кожного з цих промжкв застосумо параболчне нтерполювання, тобто станемо обчислювати нтеграли 9 по однй з наближених формул 4, 6, 8. Легко збагнути, що виходячи з формул 4 або 6, ми таким шляхом знов отримамо вже вдом нам формули прямокутникв трапецй,

1 и 2. Застосумо тепер до нтегралв 9 формулу 8, при цьому для стислост положимо, як вище Ми отримамо Зрештою, додаючи почленно ц равенства, прийдемо до формули 10 Вона носит назву формули Смпсона Th. Simpson цю формулою користуються для наближенного обчислення нтегралв частш, анж формулами прямокутников трапецй, бо она при тих же затратах да зазвичай бльш точний результат. Залишковий член формули прямокутникв. Почнемо з формули 4.

Припустимо, що у промжку функця ма неперервн похдн перших двох порядкв. Тогд, розкладая по формул Тейлора за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всх значень в , де мститься мж та залежить вд . Якщо пронтегрувати цю рвнсть у промжку вд до , то другий член зправа зникне, бо 11 Таким чином, отримамо , так, що залишковий член формули 4, який поновлю точнсть ма вигляд . Позначив через , вдповдно найменьше та найбльше значення неперервно функц у промжку коростуючись тим,

що другий множник пднтегрального виразу на змню знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати , де мститься мж точками и . По вдомй властивост неперервно функц, знайдеться в така точка , що , остаточно . 12 Якщо зараз роздлити промжок на рвних частин, то для кожного часткового промжку будемо мати точную формулу . Додавнши ц равенства при почленно отримамо при звичайних скорочених позначеннях , де вираз залишковий член формули прямокутникв 1.

Так як вираз також знаходиться мж , то вн представля одне з значень функц . Тому остаточно мамо 13. При зростанн цей додатковий член спада приблизно як . Залишковий член формули трапец. Займемось тепер формулою 6 при попереднх здогатках вдносно функц . Скориставшись нтерполяцйною формулою Лагранжа з залишковим членом можемо написати . нтегруя цю формули вд до , знайдемо , так що залишковий член формули 6 буде .

Розмрковуючи, як вище, користуючись тим, що другий множник пднтегрально функц тут не змню знака, знайдемо . Нарешт, для випадку длення промжку на рвних частин 14. Таким залишковий член формули трапецй 2. При зростанн вн також зменьшуеться приблизно як . Ми бачемо, що застосування формули трапецй приводить до похибки того ж порядку, що для формули прямокутникв. Залишковий член формули Смпсона. Звернемося, нарешт до формули 8.

Можно було б, аналогчно тому, як це було зроблено тльк що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом покласти 15. Но ми стикамося тут з таким станом речей, а саме, пронтегрувавши рвнсть 15, ми не змогли б спростити нтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз в пднтегральнй функц вже змню знак на промжку . Тому ми зробимо накше. Вираз , яким би не було число , в точках прийма одн тж значення, що функця .

Легко пдбрати число так, щоб похдна цього виразу при спвпадала з похдною . Таким чином, при цьому значенн ми мамо не що нше, як нтерполяцйний многчлен Эрмта, який вдповда простим вузлам , двукратному вузлу . Скориставшись формулою Эрмта з залишковим членом в пропушенн снування для функц похдних до четвертого порядку включно отримамо . Тепер пронтегрувавши цю равнсть вд до ми знайдемо, що так як .

Якщо припустити похдну неперервною, то, як в попереднх випадках, залишковий член формули 8 , користуючись тим, що другий множник в пднтергальному вираз не змню знака, можно пдставити в такому вигляд . Якщо промжок роздлити на рвних частин, то для формули Смпсона 10 отримамо залишковий член у вигляд 16. При зростанн цей вираз зменьшуться приблизно як таким чином, формула Симпсона дйсно бльш вигдна, нж попередн дв формули.

Додаток 1. Текст программи для автоматичного обчислення нтегралв на мов програмування QBASIC Тут описуються стал e 2.718281828459045 pi 3.141592653589793 Тут задаться вд пд нтегрально функц DEF fny x ex 2 DEF fncoef i i MOD 2 2 2 DEF fnxi i a i h DEF fnxis i a i h 2 DEF fnxic i a i h h 2 DEF fnxir i a i h h 2 CLS Тут вводяться меж нтегрування та кльксть промжкв

INPUT Введть нижню межу нтегрування a INPUT Введть верхню межу нтегрування b INPUT Введть кльксть промжкв n Тут обчислються крок h b - a n Тут обчислються наближене значення нтеграла за методом Смпсона integ 0 FOR i 1 TO 2 n - 1 integ integ fncoefi fnyfnxisi NEXT integ integ fnya fnyb integ integ h 6 PRINT Simpson integ

Тут обчислються наближене значення нтеграла за методом трапецй integ 0 FOR i 1 TO n - 1 integ integ fnyfnxii NEXT integ integ fnya fnyb 2 integ integ h PRINT Trapeze integ Тут обчислються наближене значення нтеграла за методом лвих прямокутникв integ 0 FOR i 0 TO n - 1 integ integ fnyfnxii NEXT integ integ h PRINT L Rectangle integ Тут обчислються наближене значення нтеграла за методом центральних прямокутникв

integ 0 FOR i 0 TO n integ integ fnyfnxici NEXT integ integ h PRINT C Rectangle integ Тут обчислються наближене значення нтеграла за методом правих прямокутникв integ 0 FOR i 1 TO n integ integ fnyfnxiri NEXT integ integ h PRINT R Rectangle integ Додаток 2. Дал подан результати роботи програми, яка викладена в додатку 1. 1 в межах вд 0 до n1000 Метод Смпсона -8.742278155181581D-08

Метод трапецй -8.742270585611512D-08 Метод лвих прямокутникв 3.141505318306509D-03 Метод центральних прямокутникв -3.14167628761223D-03 Метод правих прямокутникв -6.283265152840917D-03 2 в межах вд 0 до n1000 Метод Смпсона 2.067 Метод трапецй 1.98355065565 Метод лвих прямокутникв 1.98355202888 Метод центральних прямокутникв 1.95887392223 Метод правих прямокутникв 1.90952591778 3 в межах вд 0

до 1 n1n10n100n1000n10000М-д Смпсона,3,3,3,3,3М-д трапецй,5,335,33335,349,349999М-д лв. прямокутникв0,28501,32835,33283349,33328 33349999М-д центр. прямокутникв2,5,44275,34342525,334334250 25,3334333425002 М-д правих прсмокутникв2,25,442501,3434249,33433425 ,3334333424999 4 в межах вд 0 до 1 n1000 Метод Смпсона .7468241385662959 Метод трапецй .7468240772530558 Метод лвих прямокутникв .7471401375268841 Метод центральних прямокутникв .7471916808878213

Метод правих прямокутникв .7461916811378212 5 в межах вд 0 до n1000 Метод Смпсона .8323745796964475 Метод трапецй .8323723082182791 Метод лвих прямокутникв .8325874590746988 Метод центральних прямокутникв .8319367429487694 Метод правих прямокутникв .8319318081462942 Висновки. У даннй робот було розглянуто методи наближених обчислень визначених нтегралв, були виведин формули

обчислень, формули додаткових членв. Результати, як наведен в додатку 2 наочно показують, що найбльш вигдним використання формули Смпсона. Лтература. 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М. 1968. 2. Воробьева Г. Н Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М. 1979. 3. Математический практикум.

М. 1960.