Измерение случайных процессов

Реферат на тему : Измерение случайных процессов. Содержание 1.Общие сведения об измерениях стр 2.Измерения математического ожидания и дисперсии случайного процесса стр 3.Измерение функций распределения вероятности стр 4.Измерения корреляционной функции стр 5.Анализ спектра мощности стр 6.Приложения стр 7.Список литературы стр 17. ИЗМЕРЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 1.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Измерения вероятностных характеристик случайных процес­сов (статистические измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов измерительной техники. В на­стоящее время область распространения статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной информации практически безгранична. Связь, навигация, управление, диагно­стика (техническая, медицинская), исследование среды и многие другие области немыслимы без знания и использования свойств

сигналов и помех, описываемых их вероятностными характери­стиками. Потребность в изучении свойств случайных процессов приве­ла к развитию соответствующих методов и средств (преимуще­ственно электрических). Появление анализаторов функций рас­пределения вероятностей, коррелометров, измерителей математи­ческого ожидания, дисперсиометров и других видов измерителей вероятностных характеристик открыло новые возможности в об­ласти создания современной информационной и управляющей техники.

Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических измерениях. В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги, заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция), мгновенное значе­ние (выборочное значение), совокупность мгновенных значений (выборка), вероятностная характеристика (предел выборочного среднего). Введем следующие обозначения:

Х (t) — случайный процесс; i-порядковый номер реализации случайного процесса Х (t); xi(tj) —мгновенное значение процесса Х (t), соответствующее значению (i-й реализации в j-й момент времени. Случайным назы­вают процесс Х (t), мгновенные значения которого xi (tj) суть случайные величины. На рис.1 представлена в качестве примера совокупность реализации случайного процесса, воспроизводящих зависимости некоторого параметра Х от времени t. В теории случайных процессов их полное описание произво­дится

с помощью систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения вероятности, моментных функ­ций, характеристических функций и т. п. В теории статистиче­ских измерений исследуемый случайный процесс представляется своими реализациями, причем полное представление осуществля­ется с помощью так называемого ансамбля, т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль — математическая аб­стракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации,

используемые в измерительном эксперименте, пред­ставляют собой физические объекты или явления и входят в ан­самбль как его неотъемлемая часть. Если случайный процесс представлен ансамблем реализации xi (t), i=1, 2, со, то вероятностная характеристика в может быть определена усреднением по совокупности, т.е. N [X (t)]=lim 1/N  g[xi(t)], (1) N  i =1 где g [Xi (t)]— некоторое преобразование, лежащее в основе оп­ределения

вероятностной характеристики . Так, например, при определении дисперсии g [Xi (t)]= xi (t). При этом полагаем, что процесс характеризуется нулевым математическим ожиданием. Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени с использованием k-й реализации xk (t) и тогда T  [X(t)]= lim 1/T  g[xi(t)]dt. (2) & ;#61472;= 472;

& ;#61472;= 472; & ;#61472;= 472; & ;#61472;= 472; & ;#61472;= 472; & ;#61472;&

#61472;= 472; T&am p;#61472; 1472; ;&am p;#61472; Например, при определении математического ожидания T M [X (t)]= lim 1/T  xk (t) dt. (3) T  0 В общем случае результаты усреднения по совокупности (1) и по времени (2) неодинаковы.

Предел выборочного среднего по совокупности (1) представляет собой вероятност­ную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от текущего времени. Предел выборочного среднего по времени (2) представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации. Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характери­стик от времени или от номера реализации определяет

такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эрго­дичность. Стационарным, называется процесс, вероятностные ха­рактеристики которого не зависят от времени; соответственно эргодическим называется процесс, вероятностные характеристи­ки которого не зависят от номера реализации. Следовательно, стационарный неэргодический случайный процесс — это такой процесс, у которого эквивалентны времен­ные сечения (вероятностные характеристики не зависят от теку­щего времени), но не эквивалентны

реализации (вероятностные характеристики зависят от номера реализации). Нестационар­ный эргодический процесс — это процесс, у которого эквивалент­ны реализации (вероятностные характеристики не зависят от номера реализации), но не эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики зависят от текущего времени). Классифицируя случайные процессы на основе этих призна­ков (стационарность и эргодичность), получаем следующие четы­ре класса процессов: стационарные эргодические,

стационарные неэргодические, нестационарные эргодические, нестационарные неэргодические. Учет и использование описанных свойств случайных процес­сов играет большую роль при планировании эксперимента по определению их вероятностных характеристик. Поскольку измерение представляет собой процедуру нахож­дения величины опытным путем с помощью специальных техни­ческих средств, реализующих алгоритм, включающий в себя операцию сравнения с известной величиной, в статических изме­рениях должна применяться мера,

воспроизводящая известную величину. Типовые алгоритмы измерений вероятностных характеристик случайных процессов, различающиеся способом применения ме­ры в процессе измерений, представляются в следующем виде: * [X (t)]= KSdg [X (t)]; (4) * [X (t)]= Sd Kg [X (t)]; (5) * [X (t)]= Sd gK [X (t)]; (6) где Sd—оператор усреднения; К—оператор сравнения; * [X (t)]—результат измерения характеристики

 [X (t)]. Данные алгоритмы различаются порядком выполнения опе­раций. Операция сравнения с образцовой мерой (К) может быть заключительной [см. (4)], выполняться после реализации оператора g, но до усреднения [см. (5)] и, наконец, быть началь­ной [см. (6)]. Соответствующие обобщенные структурные схе­мы средств измерений значений вероятностных характеристик представлены на рис. 2. На этих рисунках для обозначения блоков, реализующих операторы, входящие в выражения

(4) — (6), используют­ся те же обозначения. Так, g — устройство, выполняющее пре­образование, лежащее в основе определения вероятностной ха­рактеристики ; Sd — устройство усреднения (сумматор или ин­тегратор); К— компаратор (сравнивающее устройство), а М—мера, с помощью которой формируется известная величина ( g x.) Представленное на рис. 2, а средство измерений реализует следующую процедуру: на

вход поступает совокупность реализа­ций {xi (t)} (при использовании усреднения по времени — одна реализация xi, (t) на выходе узла g имеем совокупность преоб­разованных реализации {g[xi (t)]}; после усреднения получаем величину Sd {g[xi (t)]}, которая поступает на компаратор, осуще­ствляющий сравнение с известной величиной о, в результате чего получаем значение измеряемой вероятностной характеристики *[X(t)]. Отличие процедуры, реализуемой средством измерений, пред­ставленным на рис.

2, б, заключается в том, что после формиро­вания совокупности {g [xi (t)]} она поступает не на усреднитель, а на компаратор, который выполняет сравнение с известной вели­чиной go; на выходе компаратора формируется числовой массив {g* [xi (ti)]} и усреднение выполняется в числовой форме. На выхо­де усреднителя Sd имеем результат измерения * [X (t)]. Средство измерений (рис. 2, в) основано на формировании массива числовых эквивалентов мгновенных значений

реализа­ции случайного процесса Х (t), после чего преобразование g и ус­реднение выполняются в числовой форме. Это устройство эквива­лентно последовательному соединению аналого-цифрового пре­образователя (АЦП) и вычислительного устройства (процессо­ра). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной программе обеспечивает реализа­цию операторов g и Sd, Погрешность результата измерения вероятностной характе­ристики случайного процесса

* [X(t)]=*[X(t)]-  [ X(t)]. (7) Для статистических измерений характерно обязательное на­личие составляющей методической погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных о мгновенных значени­ях реализации случайного процесса, ибо при проведении физиче­ского эксперимента принципиально не может быть использован бесконечный ансамбль реализации или бесконечный временной интервал. Соотношение (7) определяет результирующую по­грешность,

включающую в себя как методическую, так и инстру­ментальную составляющие. В дальнейшем будут приводиться соотношения только для определения специфической для стати­стических измерений методической погрешности, обусловленной конечностью числа реализации и временного интервала. 2. ИЗМЕРЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ИДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Математическое ожидание и дисперсия случайного процес­са — основные числовые вероятностные

характеристики, измере­ние которых играет большую роль в практике научных исследова­ний, управления технологическими процессами и испытаний. При измерении математического ожидания результатом из­мерения является среднее по времени или по совокупности мгно­венных значений реализации исследуемого случайного процесса. Усреднение по времени применяется на практике существенно чаще, чем усреднение по совокупности, поскольку работать с од­ной реализацией удобнее и проще, чем с совокупностью.

На рис. 3 приведена структурная схема устройства, реали­зующего алгоритм t M* [X (t)]= 1/T xk (t) dt. t-T На рисунке Д—преобразователь измеряемой величины в электрический сигнал (датчик); НП — нормирующий преобра­зователь, превращающий входной сигнал в стандартный по виду и диапазону значений; И — интегратор; УС — устройство сопря­жения, обеспечивающее согласование выхода интегратора со входами

цифрового вольтметра и регистрирующего прибора; ЦИП — цифровой прибор (например, цифровой вольтметр); РП—регистрирующий прибор (самопишущий прибор). Для оценки среднего квадратичeского значения погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных, можно пользоваться следующими соотношениями: 1/2  =[2D[X(t)]  k/T] M при усреднении по времени T и 1/2  =[D[X(t)]/N] M при усреднении по совокупности

N. Здесь D[X (t)]—дисперсия процесса X(t), а  k — интервал корреляции. Дисперсия случайного процесса характеризует математиче­ское ожидание квадрата отклонений мгновенных значений реали­зации случайного процесса от математического ожидания. Таким образом, T 2 D[X(t)]= lim 1/T  [xk (t)-[X(t)]] dt T 0 или N 2 D[X(t)]= lim 1/N  [xi(t)-[X(t)]] dt

N i=1 Возможны различные варианты построения устройств для измерения дисперсии случайного процесса — дисперсиометров. На рис. 4 приведена структурная схема средства измерений дисперсии случайного процесса, т. е. работающего согласно вы­ражению t t 2 D* [X(t)]=1/T  [xk (t)- 1/T1  xk (t)dt] dt t-T t-T1 На рисунке НП — нормирующий преобразователь;

И1 и И2 — интеграторы; ВУ— вычитающее устройство; КУ— квадратирующее устройство; УС — устройство сопряжения; ЦИП — цифро­вой прибор; РП — регистрирующий прибор. Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборочных данных о мгновенных значениях Х (t) может быть определена с помощью соотношений 2 1/2  =[2D[X (t)]  k/T]

M , где D[X2 (t)]— дисперсия Х (t); T—время усред­нения. При усреднении по совокупности N реализаций 2 1/2  =[D[X (t)] /N] D 3. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Одномерная интегральная функция распределения вероятно­сти F (X) равна вероятности того, что мгновенное значение про­извольной реализации в произвольный момент

времени меньше установленного уровня, т. е. Xi (ti)  X. Функция F (X) определя­ется как предел выборочного среднего: F (X)= lim Sd [ [x (t) ,X]], d 1 при x (t)  X Где [x(t) ,X]= 0 при x (t) > X Поскольку интегральные F (X) и дифференциальные w (X) функции распределения вероятности связаны между собой со­отношениями

X w (X) =(dF (X))/dX ; F (X)=  w (X) dX - справедливо выражение w (X) = lim ((F(X+X)-F (X))/X)= lim ((Sd [[x(t) ,X]])/X) X&am p;#61488; X&am p;#61488; 1 при X < x (t)  X+X где  [x(t) ,

X]= 0 при x (t)  X, x (t) > X+X В качестве примера рассмотрим средство измерений для определения интегральной функции распределения вероятности уровня электрического сигнала. Схема средства измерений, реа­лизующего алгоритм t F* (X)=1/T   [xk(t) ,X]dt , t-T показана на рис. 5, где ПУ — пороговое устройство, формиру­ющее сигнал

X k (t}—X; ФУ—формирующее устройство; И—интегратор, на выходе которого получается сигнал F* (X) при установленных значениях Х и Т; УС — устройство сопряжения; ЦИП — цифровой прибор; РП — регистрирующий прибор. Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборки определяется для F {X) с помощью соотношения 2 1/2  =[2(F -

F )  k/T] F при усреднении по времени и с помощью соотношения 2 1/2  =[2(F - F )/N] F при усреднении по совокупно­сти. Для (X) соответствующие соотношения имеют вид: 2 1/2  =[2(w - w X)  k/T] w 2 1/2 и  =[(w - w X)/N] w В приведенных соотношениях F и w — истинные значения измеряемых функ­ций при данном

X. 4. ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ Для случайного процесса с нулевым математическим ожида­нием корреляционная функция равна: Rx (s,) = lim Sd[xi (t) xi-s (t-)], d где  и s — соответственно сдвиг во времени и в пространстве реализации перемножаемых мгновенных значений. В практических задачах большую роль играют стационарные случайные процессы, т. е. процессы с постоянными

вероятностны­ми характеристиками, не зависящими от текущего времени. Сре­ди случайных процессов можно выделить эргодические процессы, для которых t Rx () = lim 1/T x (t) x (t-)dt, T 0 Большое значение корреляционного анализа в различных областях науки и техники привело к созданию множества измери­тельных приборов для измерений корреляционных функций

— коррелометров. Типовая структура коррелометра, в котором используется усреднение по времени, представлена на рис. 6. При этом реализуется следующий алгоритм: t R*x () = 1/T xk (t) xk (t-)dt, t-T Как видно, после нормирующего преобразователя НП сигнал поступает в устройство временной задержки УЗ и на перемножа­ющее устройство ПУ, осуществляющее перемножение мгновен­ных значений, сдвинутых по

времени на интервал т. Далее с по­мощью интегратора И выполняется усреднение, после которого результирующий сигнал через УС подается на цифровой прибор ЦИП или регистрирующий прибор РП. Средние квадратические погрешности, обусловленные ко­нечностью объема выборочных данных о мгновенных значениях реализации процесса Х (t), оцениваются с помощью соотноше­ний:

1/2  ={2D[xk (t) xk (t-)]  k/T} R при усреднении по времени Т и 1/2  ={D[xk (t) xk (t-)]/N} R при усреднении по совокупности. 5. АНАЛИЗ СПЕКТРА МОЩНОСТИ Спектр мощности характеризует ее частотное распределение, и он может быть определен в соответствии со следующими форму­лами: 2 Sx(w) = lim 1/T  xiT (w) 

T Где t -jwt’ XiT (w) =  xi (t’) e dt’ t-T На рис. 7 изображена схема анализатора спектра мощно­сти случайного процесса Х (t). С выхода нормирующего преобразователя НП i-я реализация случайного процесса xi (t) поступает на блок Ф, выполняющий преобразование Фурье, после чего узлом Кв производится возве­дение в квадрат и нормирование с учетом интервала усреднения

Т. С помощью устройства сопряжения УС сформированный сиг­нал поступает на ЦИП и регистратор РП. В настоящее время отечественной промышленностью серийно выпускаются анализаторы случайных процессов. К ним относят­ся многофункциональный статистический преобразователь Ф790, корреллометр Ф7016, комплекс измерителей характеристик случайных сигналов Х6-4/а, многофункциональные измерители ве­роятностных характеристик

Ф36 и Ф37, анализаторы спектра Ф4326, Ф4327, Ф7058 и др. С помощью этих приборов и устройств можно измерять математические ожидания и дисперсии, а также значения функций распределения вероятности, корреляционных и спектральных функций с последующим восстановлением вида самих функций. Перечисленные анализаторы рассчитаны в ос­новном на унифицированный входной сигнал и позволяют изме­рить от 256 до 4096 ординат анализируемой функции.

Погреш­ность измерения не превышает ±5 %. Кроме того, для определения вероятностных характеристик случайных сигналов могут использоваться электроизмеритель­ные приборы, предназначенные для измерения среднего и дей­ствующего значений сигнала. Для определения среднего значе­ния применяют магнитоэлектрические приборы и цифровые ин­тегрирующие приборы. Для определения среднего квадратического отклонения используют приборы, показания которых определяются действующим значением сигнала (термоэлектри­ческие, электростатические

и др.). Корреляционные устройства получили применение в различ­ных областях науки и техники для измерения различных величин. В качестве примера можно указать корреляционное устройство для измерения скорости прокатки. Эти устройства измеряют кор­реляционную функцию, зависящую от т, которая, в свою очередь, зависит от скорости прокатки. Список литературы : 1.Метрология и электроизмерительные приборы. Душин М .Е.М.: Энергоатомиздат,1986. 2.Метрология, стандартизация и измерения в технике связи.

Под ред. Б.П. Хромого М.: Радио и связь, 1986. 3.Основы метрологии и стандартизации. Голубева В. П. М .: Вектор, 1996.