"Длинная" арифметика

с восьмерично-десятичной системой счисления), а "цифрами" числа являются четырехзначные числа. Возникают вопросы. Что за 9 в А [0], почему число хранится "задом наперед"? Ответы очевидны, но подождем с преждевременными объяснениями. Ответы на вопросы будут ясны из текста. Примечание. Мы работаем с положительными числами! Первая задача.

Ввести "длинное" число из файла. Решение задачи начнем с описания данных. Const MaxDig = 1000; {Максимальное количество цифр — четырехзначных!} Osn = 10000; {Основание нашей системы счисления, в элементах массива храним четырехзначные числа} Type Tlong = Array[0 Integer; {Максимальное количество десятичных цифр в нашем числе} Алгоритм ввода "длинного" числа из файла рассмотрим на конкретном примере.

Пусть в файле записано число 23851674 и основанием (Osn) является 1000 (храним по три цифры в элементе массива А). Изменение значений элементов массива А в процессе ввода (посимвольного в переменную Ch) отражено в табл. 2. Таблица 2 А[0] А[1] А[2] А[3] Ch Примечание 3 674 851 23 - Конечное состояние 2 Начальное состояние 1 2 0 0 3 1-й шаг 1 23 0 0 8 2-й шаг 1 238 0 0 5 3-й шаг 2 385 2 0 1 4-й шаг: старшая

цифра элемента А [1] перешла в пока "пустой" элемент А[2] 2 851 23 0 6 5-й шаг 2 516 238 0 7 6-й шаг 3 167 385 2 4 7-й шаг 23 Проанализируем таблицу (и получим ответы на поставленные выше вопросы). 1. В А[0] храним количество задействованных (ненулевых) элементов массива А — это уже очевидно. 2. При обработке каждой очередной цифры входного числа старшая цифра элемента

массива с номером i становится младшей цифрой числа в элементе i+1, а вводимая цифра будет младшей цифрой числа из А[1]. В результате работы нашего алгоритма мы получили число, записанное "задом наперед". Примечание (методическое): Можно ограничиться этим объяснением и разработку процедуры вынести на самостоятельное задание. Можно продолжить объяснение. Например, выписать фрагмент текста процедуры перенос старшей цифры из A[i] в младшую цифру А[i+1], т.е. сдвиг уже введенной части числа на одну позицию вправо:

For i := A[0] DownTo 1 Do Begin A[i+l] := A[i+l] + (Longint(A[i]) * 10) Div Osn; A[i] := (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn; End; Пусть мы вводим число 23851674 и первые 6 цифр уже разместили "задом наперед" в массиве А. В символьную переменную считали очередную цифру "длинного" числа — это "7". По нашему алгоритму эта цифра "7" должна быть размещена младшей цифрой в

А[1]. Выписанный фрагмент программы "освобождает" место для этой цифры. В таблице отражены результаты работы этого фрагмента. i А[1] А[2] А[3] ch 2 После этого остается только добавить текущую (считанную в ch) цифру "длинного" числа к А[1] и изменить значение А[0]. В конечном итоге процедура должна иметь следующий вид:

Procedure ReadLong(Var A : Tlong); Var ch : char; i : Integer; Begin FillChar(A, SizeOf(A), 0) ; Read(ch); While Not(ch In ['0 9']) Do Read(ch); {пропуск не цифр во входном файле} While ch In ['0 9'] Do Begin For i := A[0] DownTo 1 Do Begin {"протаскивание" старшей цифры в числе из

A[i] в младшую цифру числа из A[i+l]} A[i+l] := A[i+l] + (LongInt(A[i]) * 10) Div Osn; A[i] := (LongInt(A[i]) * 10) Mod Osn End; A[1] := A[l] + Ord(ch) - Ord('0'); {добавляем младшую цифру к числу из А[1]} If A[A[0]+1] > 0 Then Inc(A[0]); {изменяем длину, число задействованных элементов массива А} Read(ch) End End; Вторая задача. Вывод "длинного" числа в файл или на экран.

Казалось бы, нет проблем — выводи число за числом. Однако в силу выбранного нами представления "длинного" числа мы должны всегда помнить, что в каждом элементе массива хранится не последовательность цифр "длинного" числа, а значение числа, записанного этими цифрами. Пусть в элементах массива хранятся четырехзначные числа. Тогда "длинное" число 128400583274 будет в массиве

А представлено следующим образом: A[0] A[1] A[2] A[3] 3 3274 58 1284 При выводе "длинного" числа из массива нам необходимо вывести 0058, иначе будет потеря цифр. Итак, незначащие нули также необходимо выводить. Процедура вывода имеет вид: Procedure WriteLong(Const A : Tlong); Var ls, s : String; i : Integer; Begin Str(Osn Div 10, Is); Write(A[A[0]]; {выводим старшие цифры числа}

For i := A[0] - l DownTo 1 Do Begin Str(A[i], s); While Length(s) < Length(Is) Do s := '0' + s; {дополняем незначащими нулями} Write(s) End; WriteLn End; Третья задача. Предварительная работа по описанию способа хранения, вводу и выводу "длинных" чисел выполнена. У нас есть все необходимые "кирпичики", например, для написания программы сложения двух "длинных" положительных чисел.

Исходные числа и результат храним в файлах. Назовем процедуру сложения SumLongTwo. Тогда программа ввода двух "длинных" чисел и вывода результата их сложения будет иметь следующий вид: Var A, B, C : Tlong; Begin Assign(Input, 'Input.txt'); Reset(Input); ReadLong(A); ReadLong(B) ; Close(Input); SumLongTwo(A, B, C); Assign(Output, 'Output.txt');

Rewrite(Output); WriteLong(C); Close(Output) End. Алгоритм процедуры сложения можно объяснить на простом примере. Пусть А=870613029451, В=3475912100517461. i A[i] B[i] C[1] C[2] C[3] C[4] 1 9451 7461 6912 1 0 0 2 1302 51 6912 1354 0 0 3 8706 9121 6912 1354 7827 1 4 0 3475 6912 1354 7827 3476 Алгоритм имитирует привычное сложение столбиком, начиная с младших разрядов.

И именно для простоты реализации арифметических операций над "длинными" числами используется машинное представление "задом наперед". Результат: С = 3476782713546912. Ниже приведен текст процедуры сложения двух "длинных" чисел. Procedure SumLongTwo(A, B : Nlong; Var C : Tlong); Var i, k : Integer; Begin FillChar(C, SizeOf (C), 0) ;

If A[0] > B[0] Then k := A[0] Else k : =B[0]; For i := l To k Do Begin С [i+1] := (C[i] + A[i] + B[i]) Div Osn; C[i] := (C[i] + A[i] + B[i]) Mod Osn {Есть ли в этих операторах ошибка?} End; If C[k+l] = 0 Then C[0] := k Else C[0] := k + l End; Четвертая задача. Реализация операций сравнения для "длинных" чисел (А=В,

А<В, А>В, А<=В, А>=В). Function Eq(A, B : TLong) : Boolean; Var i : Integer; Begin Eq := False; If A[0] <> B[0] Then Exit Else Begin i := l; While (i <= A[0]) And (A[i] = B[i]) Do Inc(i); Eq := i = A[0] + l End End; Реализация функции А >

В также прозрачна. Function More(A, B : Tlong) : Boolean; Var i : Integer; Begin If A[0] < B[0] Then More := False Else If A[0] > B[0] Then More := True Else Begin i := A[0]; While (i > 0) And (A[i] = B[i]) Do Dec(i); If i = 0 Then More := False Else If A[i] >

B[i] Then More := True Else More:=False End End; Остальные функции реализуются через функции Eq и More. Function Less(A, B : Tlong) : Boolean; {A < B} Begin Less := Not(More(A, B) Or Eq(A, B)) End; Function More_Eq(A, B : Tlong) : Boolean; {A >= B} Begin More_Eq := More(A, B) Or Eq(A, B) End; Function

Less_Eq(A, B : Tlong) : Boolean; {A <= B} Begin Less_Eq := Not More(A, B) End; Для самостоятельного решения может быть предложена следующая, более сложная, задача. Требуется разработать функцию, которая выдает 0, если А больше В, 1, если А меньше В, и 2 при равенстве чисел. Но сравнение должно быть выполнено с учетом сдвига.

О чем идет речь? Поясним на примере. Пусть А равно 56784, а В — 634. При сдвиге числа В на 2 позиции влево функция должна сказать, что В больше А, без сдвига, что А больше В. Другой пример. При А равном 56700, а В — 567 и сдвиге 2 функция должна "сказать", что числа равны. Решение может иметь следующий вид: Function More(Const

А, В : Tlong; Const sdvig : Integer) : Byte; Var i : Integer; Begin If A[0] > B[0] + sdvig Then More := 0 Else If A[0] < B[0] + sdvig Then More := l Else Begin i := A[0]; While (i > sdvig) And (A[i] = B[i-sdvig]) Do Dec(i); If i = sdvig Then Begin More:=0; {совпадение чисел с учетом сдвига}

For i := 1 To sdvig Do If A[i] > 0 Then Exit; More := 2; {числа равны, "хвост" числа А равен нулю} End Else More := Byte(A[i] < B[i-sdvig]) End End; Пятая задача. Умножение длинного числа на короткое. Под коротким понимается целое число типа LongInt. Процедура очень походит на процедуру сложения двух длинных чисел.

Procedure Mul(Const A : TLong; Const К : Longlnt; Var С : TLong); Var i : Integer; {результат - значение переменной С} Begin FillChar (С, SizeOf(С), 0); If K = 0 Then Inc(С[0]){умножение на ноль} Else Begin For i:= l To A[0] Do Begin C[i+l] := (LongInt(A[i]) * K + C[i])

Div Osn; C[i] := (LongInt(A[i])* K + C[i]) Mod Osn End; If C[A[0]+1] > 0 Then C[0]:= A[0] + 1 Else C[0]:= A[0] {определяем длину результата} End End; Шестая задача. Вычитание двух длинных чисел с учетом сдвига Если понятие сдвига пока не понятно, то оставьте его в покое, на самом деле вычитание с учетом сдвига

потребуется при реализации операции деления. В начале выясните логику работы процедуры при нулевом сдвиге. Введем ограничение: число, из которого вычитают, больше числа, которое вычитается. Работать с "длинными" отрицательными числами мы не умеем. Процедура была бы похожа на процедуры сложения и умножения, если бы не одно "но" — заимствование единицы из старшего разряда вместо переноса единицы в старший разряд.

Например, в обычной системе счисления мы вычитаем 9 из 11 — идет заимствование 1 из разряда десятков, а если из 10000 вычитаем 9 — процесс заимствования несколько сложнее. Procedure Sub (Var A : TLong; Const B : TLong; Const sp : Integer); Var i, j : Integer; {из А вычитаем В с учетом сдвига sp, результат вычитания в А} Begin For i := l To B[0] Do Begin Dec(A[i+sp], B[i]); j: = i;{*} {реализация сложного заимствования}

while (A[j+sp] < 0) and (j <= A[0]) Do Begin{*} Inc(A[j+sp], Osn) ; Dec(A[j+sp+l]); Inc(j); {*} end; {*} {Реализация простого заимствования. Если операторы, отмеченные *, заменить на нижеприведенные операторы в фигурных скобках, то, по понятным причинам, логика не будет работать при всех исходных данных. Можно сознательно сделать ошибку и предложить найти ее — принцип "обучение через ошибку"}

{If A[i+sp]<0 Then Begin Inc(A[i+sp], Osn); Dec (A[i+sp+l]);End;} End; i := A[0]; While (i > l) And (A[i] = 0) Do Dec(i); A[0] := i {корректировка длины результата операции} End; Рекомендуется выполнить трассировку работы данной процедуры, например, для следующих исходных данных. Число А равно 1010, число В — 2000073859998. Седьмая задача.

Деление двух длинных чисел, т.е. нахождение целой части частного и остатка. Написать исходную (без уточнений) часть логики не составляет труда. Это: Procedure Long_Div_Long(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong); Begin FillChar(Res, SizeOf(Res), 0); Res[0] := 1; FillChar(Ost, SizeOf(Ost), 0); 0st[0] := 1;

Case More(A, B, 0) Of 0: MakeDel(A, B, Res, Ost); {А больше В, пока не знаем, как выполнять операцию - "выносим" в процедуру} 1: Ost:=A; {А меньше В} 2: Res[l] := l; {А равно В} End; End; А дальше? Дальше начинаются проблемы. Делить столбиком нас научили в школе. Например, 1000143123567 |73859998 - 73859998 | |13541 (Целая часть частного) 261543143 -

221579994 399631495 - 369299990 303315056 - 295439992 78750647 - 73859998 4890649 (Остаток) Что мы делали? На каждом этапе в уме подбирали цифру (1, 3, 5 и т.д.), такую, что произведение этой цифры на делитель дает число меньшее, но наиболее близкое к числу Какому? Это трудно сказать словами, но из примера ясно. Зачем нам это делать в уме, пусть делает компьютер.

Однако упростим пример, оставим его для тестирования окончательной логики процедуры, тем более что и числа "длинные". Пусть число А будет меньше В*10, тогда в результате (целой части деления) будет одна цифра. Например, А равно 564, а В — 63 и простая десятичная система счисления. Попробуем подобрать цифру результата, но не методом прямого перебора, а методом деления отрезка пополам.

Пусть Down — верхняя граница интервала изменения подбираемой цифры, Up — нижняя граница интервала, Ost равен делимому. Down Up С = В * ( (Down + Up) Div 2) Ost = 564 0 10 315 = 63 * ( (0 + 10) Div 2) C < Ost 5 10 441 = 63 * ( (5 + 10) Div 2) C < Ost 7 10 504 = 63 * ( (7 + 10) Div 2) C <

Ost 8 10 567 = 63 * ( (8 + 10) Div 2) C > Ost 8 9 504 = 63 * ( (8 + 9) Div 2) C < Ost Итак, результат — целая часть частного — равен (Up + Down) Div 2, остаток от деления — разность между значениями Ost и С. Нижнюю границу (Down) изменяем, если результат (С) меньше остатка, верхнюю (Up), — если больше. Усложним пример. Пусть А равно 27856, а В — 354. Основанием системы счисления является не 10, а 10000.

Down Up С Ost = 27856 0 10000 1770000 C > Ost 0 5000 885000 C > Ost 0 2500 442500 C > Ost 0 1250 221250 C > Ost 0 625 110448 C > Ost 0 312 55224 C > Ost 0 156 27612 C < Ost 78 156 41418 C > Ost 78 117 34338 C > Ost 78 97 30798 C > Ost 78 87 29028 C > Ost 78 82 28320

C > Ost 78 80 27966 C > Ost 78 79 27612 C < Ost Целая часть частного равна 78, остаток от деления — 27856 минус 27612, т.е. 244. Пора приводить процедуру. Используемые "кирпичики": функция сравнения чисел (More) с учетом сдвига и функция умножения длинного числа на короткое (Mul) описаны выше. Function FindBin(Var Ost : Tlong; Const В : TLong;

Const sp : Integer) : Longint; Var Down, Up : Word; C : TLong; Begin Down := 0;Up := 0sn; {основание системы счисления} While Up - l > Down Do Begin {Есть возможность преподавателю сделать сознательную ошибку. Изменить условие цикла на Up>Down. Результат - зацикливание программы.} Mul(В, (Up + Down) Div 2, С); Case More(Ost, C, sp)

Of 0: Down := (Down + Up) Div 2; 1: Up := (Up + Down) Div 2; 2: Begin Up := (Up + Down) Div 2; Down := Up End; End; End; Mul(B, (Up + Down) Div 2, C); If More (Ost, C, 0) = 0 Then Sub(Ost, C, sp) {находим остаток от деления} Else begin Sub (C, Ost, sp); Ost := C end; FindBin := (Up +

Down) Div 2; {целая часть частного} End; Осталось разобраться со сдвигом, значением переменной sp в нашем изложении. Опять вернемся к обычной системе счисления и попытаемся разделить, например, 635 на 15. Что мы делаем? Вначале делим 63 на 15 и формируем, подбираем в уме первую цифру результата. Подбирать с помощью компьютера мы научились. Подобрали — это цифра 4, и это старшая цифра результата. Изменим остаток. Если вначале он был 635, то сейчас стал 35.

Вычитать с учетом сдвига мы умеем. Опять подбираем цифру. Вторую цифру результата. Это цифра 2 и остаток 5. Итак, результат (целая часть) 42, остаток от деления 5. А что изменится, если основанием будет не 10, а 10000? Логика совпадает, только в уме считать несколько труднее, но ведь у нас же есть молоток под названием

компьютер — пусть он вбивает гвозди. Procedure MakeDel(Const А, В : TLong; Var Res, Ost : TLong); Var sp : Integer; Begin Ost := A; {первоначальное значение остатка} sp := А[0] - В[0]; If More(А, В, sp) = l Then Dec(sp); {B * Osn > A, в результате одна цифра} Res[0] := sp + l;

While sp >= 0 Do Begin {находим очередную цифру результата} Res[sp + 1] := FindBin(Ost, B, sp); Dec(sp) End End; Методические рекомендации. Представленный материал излагается на четырех занятиях по известной схеме: 10-15-минутное изложение идей, а затем работа учащихся под руководством преподавателя. 1-е занятие. Ввод, вывод и сложение длинных чисел (задачи 1, 2, 3).

2-е занятие. Функции сравнения (задача 4). 3-е занятие. Умножение и вычитание длинных чисел (задачи 5, 6). 4-е занятие. Деление длинных чисел (задача 7). Безусловно, эта схема не догма. В зависимости от уровня подготовки учащихся на самостоятельное выполнение может быть вынесена значительная часть материала. Замечу только, что в силу сложившейся традиции в ряде случаев допускаются при изложении

сознательные ошибки. В результате работы каждый учащийся должен иметь собственный модуль для работы с "длинными" числами. Темы для исследований 1. Решение задач: поиск наибольшего общего делителя двух "длинных" чисел; поиск наименьшего общего кратного двух "длинных" чисел; извлечение квадратного корня из "длинного" числа и т.д. 2. "Длинные" числа могут быть отрицательными.

Как изменятся описанные выше операции для этого случая? 3. Для хранения "длинных" чисел используется не массив, а стек, реализованный с помощью списка. Модифицировать модуль работы с "длинными" числами. Список литературы С.М. Окулов. "Длинная" арифметика. Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.comp-science.ru/