Табличный симплекс-метод

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЧНОГО СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ВВЕДЕНИЕ Цель данного курсового проекта - составить план производства требуемых изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить е симплекс - методом и составить программу для решения задачи этим методом на

ЭВМ. 1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДАННОГО ТИПА 1.1 Математическое программирование Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом найти экстремум некоторой функции многих переменных f x1, x2, , xn при ограничениях gi x1, x2, , xn bi , где gi - функция, описывающая ограничения один из следующих знаков а bi - действительное число,

i 1, , m. f называется функцией цели целевая функция . Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные. Задачу линейного программирования можно сформулировать так . Найти max при условии a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0,

x2 0 xn 0 . Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической. В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max cT x при условии A x b x 0 , где А - матрица ограничений размером mn, bm1 - вектор-столбец свободных членов, xn 1 - вектор переменных, сТ c1, c2, , cn - вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется условие сТ х0 сТ х , для всех х Rx. Поскольку min fx эквивалентен max - fx , то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации. Для решения задач данного типа применяются методы 1 графический 2 табличный прямой, простой симплекс - метод 3 метод искусственного базиса 4 модифицированный симплекс - метод 5 двойственный симплекс - метод. 1.2 Табличный симплекс - метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида меньше либо равно , а компоненты вектора b - положительны. Алгоритм решения сводится к следующему Приведение системы ограничений к каноническому виду путм введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам. Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки равно или больше либо равно , то в указанные ограничения добавляются искусственные переменные, которые так же вводятся и в

целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума. Формируется симплекс-таблица. Рассчитываются симплекс-разности. Принимается решение об окончании либо продолжении счта. При необходимости выполняются итерации. На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу

Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом. 1.3 Метод искусственного базиса Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков равно , больше либо равно , меньше либо равно и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путм ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными

коэффициентами , а в задачи минимизации - с положительными . Таким образом из исходной получается новая - задача. Если в оптимальном решении - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

1.4 Модифицированный симплекс - метод В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры , которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы. В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии

памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m. В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-

Гаусса. Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчтных формул. 2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А идт времени, часов оборудованием 1-го типа - а1 , оборудованием 2-го

типа - а2 , оборудованием 3-го типа - а3 . На производство единицы изделия В идт времени, часов оборудованием 1-го типа - b1 , оборудованием 2-го типа - b2 оборудованием 3-го типа - b3 . На изготовление всех изделий администрация предприятия может предоставить оборудование 1-го типа не более, чем на t1 , оборудование 2-го типа не более, чем на t2 , оборудование 3-го типа не более, чем на t3 часов. Прибыль от реализации единицы готового изделия

А составляет рублей, а изделия В - рублей. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого е формулировку с ограничениями-неравенствами. а1 1 b1 5 t1 10 2 а2 3 b2 2 t2 12 3 а3 2 b3 4 t3 10 3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 3.1

Построение математической модели задачи На произв-во изделия А, часовНа произв-во изделия B, часовПредпр-е предоставит, часовОборуд-е 1го типа1510Оборуд-е 2го типа3212Оборуд-е 3го типа2410Прибыль от реализации, за ед. изд-я23Построение математической модели осуществляется в три этапа 1. Определение переменных, для которых будет составляться математическая модель. Так как требуется определить план производства изделий

А и В, то переменными модели будут x1 - объм производства изделия А, в единицах x2 - объм производства изделия В, в единицах. 2. Формирование целевой функции. Так как прибыль от реализации единицы готовых изделий А и В известна, то общий доход от их реализации составляет 2x1 3x2 рублей . Обозначив общий доход через F, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции определить

допустимые значения переменных x1 и x2 , максимизирующих целевую функцию F 2x1 3x2 . 3. Формирование системы ограничений. При определении плана производства продукции должны быть учтены ограничения на время, которое администрация предприятия сможет предоставить на изготовления всех изделий. Это приводит к следующим трм ограничениям x1 5x2 10 3x1 2x2 12 2x1 4x2 10 . Так как объмы производства продукции не могут принимать отрицательные значения, то появляются ограничения

неотрицательности x1 0 x2 0 . Таким образом, математическая модель задачи представлена в виде определить план x1 , x2 , обеспечивающий максимальное значение функции max F max 2x1 3x2 при наличии ограничений x1 5x2 10 3x1 2x2 12 2x1 4x2 10 . x1 0 x2 0 . 3.2 Решение задачи вручную Табличный метод ещ называется метод последовательного улучшения оценки. Решение задачи осуществляется поэтапно. 1. Приведение задачи к форме x1 5x2 10 3x1 2x2 12 2x1 4x2 10

. x1 0 x2 0 . 2. Канонизируем систему ограничений x1 5x2 x3 10 3x1 2x2 x4 12 2x1 4x2 x5 10 . x1 0 x2 0 . A1 A2 A3 A4 A5 A0 3. Заполняется исходная симплекс-таблица и рассчитываются симплекс-разности по формулам 0 - текущее значение целевой функции i - расчт симплекс-разностей, где j 1 6 . C23000БCб -2-3000 Так как при решении задачи на max не все симплекс-разности положительные, то оптимальное решение можно улучшить. 4. Определяем направляющий столбец j.

Для задачи на max он определяется минимальной отрицательной симплекс-разностью. В данном случае это вектор А2 5. Вектор i, который нужно вывести из базиса, определяется по отношению min при аi j 0 В данном случае сначала это А3 . 5. Заполняется новая симплекс-таблица по исключеню Жордана - Гаусса а. направляющую строку i делим на направляющий элемент a i j a i j a i j , где j 1 6 б. преобразование

всей оставшейся части матрицы a ij aij - a i j aij , где i i , j j В результате преобразований получаем новую симплекс-таблицу C23000БCб -2510A502650-45016-7503500 Повторяя пункты 3 - 5, получим следующие таблицы C23000БCбA0A1A2A3A4A5A235301130-16A40113 00431-136A125310-230568 1300-13076 C23000БCбA0A1A2A3A4A5A2334010-1438A30114 00134-138A127210012-149 140001458

Так как все симплекс-разности положительны, то оптимальное решение найдено X 72 , 34 , 114 , 0 , 0 единиц max F 9 14 рублей 4. АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ 4.1 Построение двойственной задачи и е численное решение Проведение анализа на чувствительность связано с теорией двойственности, поэтому в курсовой работе необходимо построить двойственную задачу и найти е численное решение.

Для рассматриваемой модели двойственная задача имеет вид min T y min 10y1 12y2 10y3 при условиях y1 3y2 2y3 2 А1 5y1 2y2 4y3 3 А2 y1 0 , y2 0 , y3 0. А3, А4, А5 Оптимальное решение двойственной задачи получается при решении прямой задачи из последней симплекс-таблицы. В результате получаем оптимальное решение двойственной задачи Yопт 0, 14, 58, 0, 0 , для которого Тyопт 9 14. Оптимальное значение целевой функции в двойственной

задачи совпадает с оптимумом целевой функции прямой задачи, в чм не трудно убедиться. 4.2 Определение статуса ресурсов Ресурсы относятся к дефицитным, если оптимальный план предусматривает их полное использование, при частичном использовании ресурсов, они считаются не дефицитными. Статус ресурсов для любой модели линейного программирования можно установить непосредственно из оптимальной симплекс-таблицы исходной по значению дополнительных переменных.

Положительное значение дополнительной переменной указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т.е. на его недефицитность, нулевое значение дополнительной переменной указывает на дефицитность ресурса. Для данного примера дополнительные переменные х4 и х5 равны нулю, следовательно, оборудование второго и третьего типов являются дефицитными, а первого типа - недефицитным х3 2,75 . Такой же вывод можно сделать из решения двойственной задачи.

4.3 Определение значимости ресурсов Значимость ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения целевой функции F, приходящейся на единицу прироста данного ресурса. Значимость ресурсов всегда можно определить по значению двойственных переменных в оптимальном решении двойственной задачи. В данном случае Yопт 0, 14, 58, 0, 0 . Таким образом, из двух дефицитных ресурсов оборудование второго типа имеет большую значимость и увеличении

интервала работы на этом оборудовании более выгодно с точки зрения влияния на значение целевой функции. 4.4 Определение допустимого интервала изменения запаса ресурсов Изменение отведнного администрацией предприятия времени т.е. правых частей ограничений может привести к недопустимости текущего решения. Поэтому важно определить диапазон изменений компонент вектора ограничений, в котором допустимость решений не нарушается. Оборудование второго типа, которое используется для изготовления

изделий, является дефицитным и имеет большую значимость. Определим диапазон допустимых изменений интервала работы на этом оборудовании. Оптимальная симплекс-таблица задачи имеет вид C23000БCбA0A1A2A3A4A5A2334010-1438A30114 00134-138A127210012-149 140001458 Так как начальными базисными переменными являлись x1, x2, x3 в оптимальной симплексной таблице в соответствующих столбцах расположена матрица А-1 Изменим время работы на оборудование второго типа на величину 2, тогда

время работы будет 12 2 . Найдм базисное решение, соответствующее изменнному времени работы на оборудовании второго типа 0.75 - 2 4 0 , 2 3 2.75 32 4 0 , 2 -3.66 3.5 2 2 0 , 2 -7. Отсюда видно, что -3.66 2 3 , т.е. 8.34 b2 15 . Таким образом первоначальный интервал работы на оборудовании второго типа может быть увеличен до 15 часов или уменьшен до 8.34 часа без нарушения допустимого решения.

Уменьшение времени влечт за собой уменьшение единиц вырабатываемой продукции, поэтому является не целесообразным. 4.5 Исследование зависимости оптимального решения от изменений запасов ресурсов Изменение свободного члена ограничения исходной задачи на величину 2 вызывает изменение целевой функции на F i y j .Если приращение времени работы берется из интервала допустимых изменений, значений двойственных оценок остаются неизменными. Таким образом, изменение целевой функции будет линейно зависеть от изменения

времени работы. В данном примере F i 12 12 i . Ищется зависимость значений целевой функции от изменения времени работы на оборудовании второго типа. Для этого изменяется время работы начиная от 0 часов с шагом h 0.5 до 3 часов. Результаты измерений приведены в таблице 1. Таблица 1 2, часов00.511.522.53b2, часов1212.51313.51414.515F, руб.06.251320.252836.2545F, руб.9.25 Т.к. зависимость F b2 - линейная, то достаточно подсчитать значение функции в двух крайних точках интервала.

Cледовательно, с увеличением времени работы на оборудовании второго типа на 2 часа увеличивается и объм изделий на общей стоимостью 28 рублей. 5. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Графический метод применим только для двух и менее переменных х, что подходит к данному заданию. Линии, соответствующие ограничения, строятся на осях Ох. Заштрихованная область - область допустимых стратегий. x1 5x2 10 3x1 2x2 12 2x1 4x2 10 . x1 0 x2 0

. 1. x1 5x2 10 x1 0, x2 2 x1 10, x2 0 . 2. 3x1 2x2 12 x1 0, x2 6 x1 4, x2 0 . 3. 2x1 4x2 10 x1 0, x2 2.5 x1 5, x2 0 . 4. Найдм экстремум функции F 2x1 3x2 , 6. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОМУ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ Составление математической модели и решение систем линейных неравенств часто имеет место в реальной жизни. Примеры таких задач Пример 1. Рассматривается работа промышленного предприятия под

углом зрения его рентабельности, причм приводится ряд мер с целью повышения этой рентабельности. Показатель эффективности - прибыль или средняя прибыль , приносимая предприятием за хозяйственный год. Пример 2. Группа истребителей поднимается в воздух для перехвата одиночного самолта противника. Цель операции - сбить самолт. Показатель эффективности - вероятность поражения цели. Пример 3. Ремонтная мастерская занимается обслуживанием машин е рентабельность определяется количеством

машин, обслуженных в течение дня. Показатель эффективности - среднее число машин, обслуженных за день. Пример 4. Группа радиолокационных станций в определнном районе ведт наблюдение за воздушным пространством. Задача группы - обнаружить любой самолт, если он появится в районе. Показатель эффективности - вероятность обнаружения любого самолта, появившегося в районе. Пример 5. Предпринемается ряд мер по повышения наджности электронной цифровой вычислительной техники

ЭЦВТ . Цель операции - уменьшить частоту появления неисправностей сбоев ЭЦВТ, или, что равносильно, увеличить средний промежуток времени между сдоями наработку на отказ . Показатель эффективности - среднее время безотказной работы ЭЦВТ. Пример 6. Проводится борьба за экономию средств при производстве определнного вида товара. Показатель эффективности - количество сыкономленных средств.

С помощью анализа модели на чувствительность определить параметр, от которого результат зависит больше и решить, каким способом возможно увеличение эффективности и на сколько, а так же многое другое. В данной части пояснительной записки к курсовой работе представлена и описана программа, реализующая решение систем линейных неравенств табличным методом. 1. НАЗНАЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ Программа предусмотрена для решения систем линейных неравенств табличным методом,

а так же для попытки оптимизации различных экономических, социальных и т. д. проблем. Метод, описанный в программе, может применяться на государственных и частных предприятиях для улучшения эффективности производства. 2. УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ 1.1 Ограничения и область применения Из программных средств требуется операционная система MS DOS версии 5.0, программная Среда NORTON COMMANDER, язык программирования

Borland Pascal 7.0 . Кроме того НГМД должен содержать файлы в директории KURSOVIK 1. Файл входных данных - KURS97.DAT 2. Программный файл - KURS97.EXE 1.2 Требования к техническим средствам IBM PC или IBM PC - совместимый компьютер с дисководом 3.25 мкостью 1.2 Мб. 3. ВХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ Входные и выходные данные заносятся в файлы

KURS97.DAT и KURS97.RES соответственно. Входные данные записываются в определнном порядке. Выходные данные записываются в виде симплекс-таблиц. 4. ИНСТРУКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЮ Входные данные вносятся в файл KURS 97.DAT в следующей очердности сначача вводятся коэффициенты при неизвестных в целевой функции, затем вводятся элементы вектора ограничений, а потом - элементы матрицы ограничений по столбцам.

Результаты вычислений вы найдте в файле KURS 97.REZ. 5. ТЕКСТ ИСХОДНОГО МОДУЛЯ Полный текст программы KURS97.PAS выглядит следующим образом . program Kurs97 uses crt const n 2 m 3 Epsilon 0.01 var VectorA array 1 m, 0 mn of real TargetVector array 1 mn of real SimplexVector array 0 mn of real DigitOfBasisVector array 1 m of real BasisVector array 1 m of integer

IndexOfEnterVector integer IndexOfOutputString integer MinimumBuffer real key char FileOfOutput text Описание процедур procedure ReadDates считывание данных из файла var DateFile text procedure ReadDatesTargetVector считывание данных целевого вектора var i integer begin for i1 to n do ReadlnDateFile, TargetVectori end procedure ReadDatesVectorA считывание вектора

А и заполнение единицами диагонали var i,j integer begin for j0 to n do for i1 to m do ReadlnDateFile, VectorAi, j i1 for jn1 to nm do begin VectorAi, j1 inci end end procedure ReadDatesBasisVector var i integer begin for i1 to m do BasisVectorini end begin AssignDateFile, kurs97.dat ResetDateFile ReadDatesTargetVector ReadDatesVectorA

ReadDatesBasisVector CloseDateFile end procedure CountSimplexVector расчет симплек-вектора var i,j integer Summa real Simplex real begin SimplexVector00 for i1 to m do SimplexVector0SimplexVector0 DigitOfBasisVectoriVectorAi, 0 for j1 to mn do begin Summa0 for i1 to m do SummaSumma DigitOfBasisVectoriVectorAi, j SimplexVectorjSumma -

TargetVectorj if absSimplexVectorj Epsilon then SimplexVectorj0 end end function GetEnterVector integer поиск вводимого вектора var i integer Min real begin GetEnterVector1 MinSimplexVector1 for i2 to mn do if Min SimplexVectori then begin GetEnterVectori MinSimplexVectori end end function GetOutputString integer поиск выводимой строки var i integer

Temp real begin GetOutputString1 if VectorA1, IndexOfEnterVector 0 then MinimumBufferVectorA1, 0 VectorA1, IndexOfEnterVector for i2 to m do begin TempVectorAi, 0 VectorAi, IndexOfEnterVector if Temp 0 then if MinimumBuffer Temp then begin MinimumBufferTemp GetOutputStringi end end end procedure ReCountOutputString пересчет коэффициентов выводимой строки var i,j integer

Buffer real procedure ReCountDigitOfBasisVector begin DigitOfBasisVectorIndexOfOutputStringTar getVectorIndexOfEnterVector end procedure ReCountBasisVector begin BasisVectorIndexOfOutputStringIndexOfEnt erVector end begin ReCountDigitOfBasisVector ReCountBasisVector BufferVectorAIndexOfOutputString, IndexOfEnterVector for i0 to mn do begin VectorAIndexOfOutputString, iVectorAIndexOfOutputString, i

Buffer end end procedure ReCountVectorA var i,j integer begin for j0 to mn do begin for i1 to m do begin if i IndexOfOutputString then if j IndexOfEnterVector then VectorAi, jVectorAi, j - VectorAi ,IndexOfEnterVectorVectorAIndexOfOutputS tring,j end end for i1 to m do if i IndexOfOutputString then VectorAi, IndexOfEnterVector0 end function AllIsPositiv boolean var i integer begin AllIsPositivTrue for i1 to mn do if

SimplexVectori 0 then AllIsPositivFalse end function ToStrconst D real string var S string begin strD62, S ToStr S end procedure WriteMatrixs procedure WriteTargetMatrix var i integer begin writeln write Target for i1 to nm do writeToStrTargetVectori, writeln end procedure WriteMatrixA var i,j integer begin writeln writeln

Basis D.Basis A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 writeln for i1 to m do begin write A ,BasisVectori, ,ToStrDigitOfBasisVectori, for j0 to mn do writeToStrVectorAi, j, writeln if i m then writeln else writeln end end procedure WriteMatrixSimplex var i integer begin write Simplex for i0 to mn do writeToStrSimplexVectori, writeln writeln end begin clrscr WriteTargetMatrix WriteMatrixA WriteMatrixSimplex end procedure

WriteMatrixsInFile procedure WriteTargetMatrix var i integer begin writelnFileOfOutput, write FileOfOutput, Target for i1 to nm do writeFileOfOutput, ToStrTargetVectori, writelnFileOfOutput end procedure WriteMatrixA var i,j integer begin writelnFileOfOutput, writelnFileOfOutput, Basis D.Basis A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 writelnFileOfOutput, for i1 to m do begin writeFileOfOutput,

A ,BasisVectori, ,ToStrDigitOfBasisVectori, for j0 to mn do writeFileOfOutput, ToStrVectorAi, j, writelnFileOfOutput if i m then writelnFileOfOutput, else writelnFileOfOutput, end end procedure WriteMatrixSimplex var i integer begin writeFileOfOutput, Simplex for i0 to mn do writeFileOfOutput, ToStrSimplexVectori, writelnFileOfOutput writelnFileOfOutput, end begin clrscr WriteTargetMatrix WriteMatrixA WriteMatrixSimplex end

Головная программа BEGIN ClrScr ReadDates AssignFileOfOutput, kurs97.res RewriteFileOfOutput CountSimplexVector WriteMatrixs while not AllIsPositiv do begin IndexOfEnterVectorGetEnterVector IndexOfOutputStringGetOutputString ReCountOutputString ReCountVectorA CountSimplexVector WriteMatrixsInFile

WriteMatrixs if key0 then keyreadkey key0 end CloseFileOfOutput END. 6. ОПИСАНИЕ ЛОГИКИ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ В программе реализованны следующие процедуры 1. Процедура ReadDates - считывает данные из файла. 2. Процедура ReadDatesTargetVector - считывает коэффициенты при неизвестных в целевой функции из файла. 3. Процедура ReadDatesVector - считывание их входного файла матрицы

А и заполнение диагональной матрицы. 4. Процедура CountSimplexVector - рассчт симплекс-разностей. 5. Процедура GetEnterVector - поиск вводимого в базис столбца. 6. Процедура GetOutputString - поиск выводимой из базиса строки. 7. Процедура ReCountOutputString- пересче выводимой строки. 8. Процедура ReCountVectorA - пересчт остальной матрицы ограничений.

9. Процедуры WriteMatrixA, WriteTargetMatrix, WriteMatrixSimplex - печать результирующих таблиц на экран и в файл.