Проблемно-орієнтовані мови програмування

1. Тема , мета та цілі курсової роботи . . . . . . . . . .3

2. Завдання на курсову роботу . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-6

а) середовище Турбо С

б)середовище Турбо Паскаль

4. Ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-11

5. Аналіз ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Текст програми на Турбо Паскалі та результат

обчислень даного ряду у цьому середовиші . . . 13-16

7. Текст програми на Турбо С та результат обчислень

даного ряду у цьому середовиші . . . . . . . . . . . . .17-19

8. Висновок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9. Список використаної літератури . . . . . . . . . . . .21

“Обчислення функцій за допомогою степеневих рядів”

Закріпити і розширити знання одержані, при вивченні дисцинліни

“Проблемно-орієнтовані мови програмування”.

Цілі роботи

Розвинути навики і вміння ефективно застосовувати ЕОМ для розв’язування прикладних задач.

Завдання:

Із використанням ЕОМ обчислити з точністю Е=0.00001 значення функції представленої степеневим рядом у 20 точках, що найбільш повно охоплюють область визначення функцій.

Знайти абсолютну та відносну похибку обчислень у цих точках.

Вступ.

Середовище Турбо С .

Мова С посідає осбливе місце серед мов програмування в комп’ютерній індустрії. С є структурованою мовою програмування. С бере свій початок від двох мов, BCPL i B. В 1967 році Мартін Річардс розробив BCPL, як мову для написання системного забезпечення і комп’ютерів. В 1970 році Кен Томпсон використовував мову С для розробки ранніх версій UNIX на комп’ютері DECPDP-7. Як в BCPL, так і в В змінні не розділялись на два типи – кожне значення даних займає одне слово в пам’яті комп’ютера і відповідність, наприклад, цілих і дійснісних чисел цілком падала на відповідальність програміста.

Мова С була розроблена ( на основі В ) Денісом Річчі з корпорації BellLаboratories в перше мова була реалізована в 1972 році на комп’ютері DECPDP – 11. Популярність С одержало в якості мови операційної системи UNIX . Сьогодні практично всі основні операційні системи написані на С або С++ . Після двох десятиліть С є практично на більшості комп’ютерів. Мова С не залежить від апаратної частини, і програми, написані на на ньому, можуть бути перенесені на інші системи. С має в собі основні принципи BCPL i B , крім того , в ньому , введена типізація змінних і деякі інші важливі моменти . В кінці 70 – х років С перетворився в те , що ми називаємо традиційний С . Застосування С для різних типів комп’ютерів , призвело до появи різних версій мови , котрі , не дивлячись на свою схожість переважно були не сумісні . Це стало справжньою проблемою для розробників програмних продуктів котрі хотіли розробити коди , які можуть працювати на декількох типах комп’ютерів . Ставало зрозуміло , що потрібна стандартна версія С . В 1989 році вийшов стандарт мови С.

Середовище Турбо Паскаль .

Система програмування Турбо Паскаль , розроблена американською корпорацією Borland , залишається однією з самих популярних середовищ програмування в світі . Цьому сприяє , з однієї сторони простота , яка закладена в мову Паскаль , а

з другої – робота і талант співробітників Borland на чолі з розробником Турбо Паскаля Андерсом Хейлсбергом , який приклав не мало зусиль для модернізації цієї мови .

Придумана щвейцарським вченим Ніколасом Віртом , як засіб для навчання студентів програмуванню , мова Паскаль здобутками А.Хейлсберга перетворилася на сучасну професійну мову програмування , котрій під силу будь-які задачі – від створення самих простих програм , призначених для рішення нескладних задач , до розробки найскладніших систем управління базами даних .

Система програмування Турбо Паскаль представляє собою двох в відомій степені самостійних початків : компілятора з мови програмування Паскаль ( мова названа на честь видатного французького математика Блеза Паскаля , і деякого інструментального середовища , яка представляє собою можливість ефективної розробки програм .

Середовище Турбо Паскаль – це перше з чим стикається програміст приступаючи до практичного програмування .

Ряди.

Пара послідовності {un} i {sn} називається рядом,або незкінченою сумою,і позначається

u1+u2…+u3+…

Елементи послідовності називаються членами ряду.Також існує кінцева границя

lim sn=s,

він називається сумою ряду,в цьому випадку ряд називається збігаючим.Якщо послідовність часткових сум {sn} не прямує до кінцевої границі,то ряд називаеться розбіжним.З цих формул бачимо,що кожна з послідовностей {un} i {sn} однозначно визначає одна одну.

Таким чином,щоб задати ряд,достатньо задати одну із послідовностей.В цьому значенні вивчення рядів рівносильно вивченню послідовностей.Часто нумерацію членів ряду проводять не натуральними числами,а цілими,почиеаючи з нуля.

Якщо ряд сходиться,то послідовність його членів наближається до нуля.

Критерій Коші.

Для того,щоб ряд un,де n від 1 до безмежності,збігався потрібно і достатньо,щоб для будь-якого е>0 існує таке no,що для всіх n>no має мати місце | un+un+1+…+un+p|<e.

Це твердження зразу слідує з критерію Коші існування кінцевої границі послідовності,застосованої до послідовних часткових сум даного ряду.

Признаки збіжності ряду.

Якщо члени ряду невід’ємні,то він сходиться тоді і тільки тоді,коли його часткові суми обмежені зверху.Тобто,якщо члени ряду невід’ємні,то послідовність часткових сум даного ряду зростає,а зростаюча послідовність має кінцеву границю тоді і тільки тоді,коли вона обмежена зверху.

Знакопочергові ряди.

Якщо послідовність {un} зменшується і наближається до нуля lim un=0,то при

будь-якому n=1,2,3,… виконується рівність | sn-s |<= un+1 .

Ряди такого виду називаються знакочергувальними рядами. Часткові суми з парними номерами зростають.Оскільки послідовність {s2n} зростає і обмежена зверху,то вона меє кінцевий вигляд s= lim s2n,де n прямує до нуля.

Абсолютно збіжні ряди.

Ряд un,, де n прямує до нуля – називається абсолютно збіжним,якщо ряд, членами якого є абсолютні величини членів даного ряду |un,|, де n знаходиться в межах від 1 до безмежності,сходиться .

Для того щоб ряд абсолютно сходився,необхідно і достатньо,щоб для будь-якого е>0 існувало таке no ,що для всіх номерів виконувалась нерівність |un+k| <e , де к від 1 до р ,а р знаходиться в межах від 1 до безмежності.Звідси випливає,якщо ряд абсолютно збіжний,то він є також просто збіжним.В загальному в силу властивостей критерія Коші є те,що абсолютна збіжність ряду,для будь-якого е>0 існує таке no ,що для всіх n> no і всіх p>=0 права частина нерівності менша е. Звідси випливає , що і ліва частина є також меншою від е.

Тобто для ряду виконується критерій Коші збіжності рядів тому ряд збігається.

Якщо ряд абсолютно збігається,то будь-який ряд співставлений з тих же членів,що і даний ряд,але взятий в другому порядку ,буде також абсолютно збіжний.

Умовно збіжні ряди .

Збіжний , про те не абсолютно збіжний ряд називається умовно збіжним рядом.Якщо одна із множин {un+} i {un-} ,буде кінцевою , то, відкинувши в ряді відповідне кінцеве число перших членів ряду , одержимо залишок ряду , члени котрого будуть не від’ємні або не додатні , а в другому випадку не від’ємні після множення всіх членів на –1.І в цьому і в другому випадку , якщо вихідний ряд збіжний , то він очевидним чином абсолютно збігається .

Якщо ряд умовно збігається , то два ряди розбігаються .

ТЕОРЕМА Рімана .

Якщо ряд з дійсними членами умовно збігається , то , яке б не було дійсне число S , можна так переставити члени ряду , що сума одержаного ряду буде рівна S .

Нехай є члени ряду – дійсні числа і нехай довільно взяте число S .Дано ще один ряд .Наберемо декілька членів , щоб їхня сума перевищувала S , тобто позначимо через n1 найменше натуральне число , при якому виконується умова un+……+un1 >S . Тоді при n1 >1 ,буде мати місце нерівність un+……+un1-1 <=S .

Можливість вибору токого числа виходить із розбіжності ряду.Наберемо тепер з одного з рядів підряд декілька членів , щоб , порахувавши їхню суму , одержати менше S.

Теорема Рімана показує, що однією з основних властивостей кінцевих сум чисел – незалежність їх суми , від порядку доданків – не переноситься на збіжні ряди , на нескінченні суми .Також для умовно збіжних рядів існують теореми Абеля і Діріхле.

Признак Абеля.

Якщо послідовність {an} обмежена і монотонна , а ряд  bn , де n лежить в межах від 1 до безмежності , сходиться , то і ряд  anbn ,буде також збіжним.З обмеженості і монотонності послідовності {an} випливає існування кінцевої границі lim an= a+ an .Тут послідовність {an} – монотонна і наближається до нуля .

Сумування рядів методом середніх арифметичних.

Якщо заданий числовий ряд розбіжний , то інколи виявляється корисним визначити суму ряду не простим способом – як границю його часткових сум , а якимось іншим .

Одним з таких способів , називається сумування рядів методом середніх арифметичних . Для ряду  un , де n лежить в межах від 1 до безмежності , зробивши з його часткових сум їх середнє арифметичне , при цьому , якщо існує кінцева границя lim Qn= Q ,

то заданий ряд називається сумуючим методом середніх арифметичних . Поняття сумування ряду методом середніх арифметичних є узагальненим поняттям збіжності ряду , сумування методом середніх арифметичних дає зрозуміти , що всякий збіжний ряд , який ми сумуємо методом середніх арифметичних йде до своєї суми .

Збіжність функціональних послідовних рядів .

Нехай у деякій довільній множині Х задана послідовність функцій , які приймають числові значення . Елементи множини Х називають точками . Ця послідовність функцій називається обмеженою на множині Х , якщо | f n (x) | <=c , і називається збіжною в протилежному випадку .

Рівномірне сходження функціональних послідовностей і рядів.

Функціональна послідовність називається рівномірно збіжною до функції f на множині Х , якщо для будь – якого е>0 існує такий номер no , що для всіх номерів n>no виконується нерівність | f n (x) – f (x) | < e .

Очевидно , що якщо послідовність рівномірно сходиться на множині Х до функції f , то ця послідовність збігається до функції .

Спеціальні признаки рівномірної збіжності рядів .

Якщо послідовність функції an (x) належить R , рівномірно наближається на множині Х до нуля і в кожній точці х належить Х монотонна , а послідовність функції bn (x) належить Х , так , що послідовність часткових сум ряду  bn (x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , обмежена на Х , то ряд  an(x)bn(x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , рівномірно сходиться на множині Х .

Якщо послідовність функції an (x) належить R , обмежена на множині Х і монотонна в кожній точці х належить Х , а ряд рівіномірно сходиться на Х , то і ряд  an(x)bn(x) , де n лежить в межах від 1 до безмежності , також рівномірно сходиться на множині Х .

Степеневі ряди.

Степеневим рядом називається ряд виду  an(z-zo),де n-лежить в межах від 1 до безмежності,числа an-називаються коефіцієнтом ряду.Розглянемо тепер аналітичні функції, котрі розкладаються в степеневий ряд з дійсними коефіцієнтами в деякому радіусі точки дії осі R.Якщо така функція f аналітична в точці xo, яка належить R,то в деякому радіусі цієї точки на дійсній осі функція f представляється в вигляді суми степеневого ряду

f(x)=  an(x-xo)

з дійсними коефіцієнтами.

Розглянемо деякі особливості подібних функцій.Перш за все помітимо,що для всякого степеневого ряду з дійсними коефіцієнтами існує радіус сходження R.В результаті цього одержуємо,що ряди одержані врезультаті диферіїнцювання і інтегрування мають такий же радіус сходження,що й степенево-показникові ряди.

Якщо в деякому радіусі заданої точки функція розкладається в степеневий ряд , то цей розклад буде єдиним .

Згідно теореми всяка аналітична , в деякій точці дійсної осі ,функція нескінченно диференційована в цій точці розкладається в цій точці в свій ряд Тейлора . Зворотнє також можливо , якщо дійсна функція розкладається в деякому радіусі будь-якої точки ,то може статися , що вона не рівна сумі свого ряду Тейлора .

Якщо функція в радіусі точки Xo має всі похідні , обмежені в сукупності у цьому радіусі , функція розкладається в степеневий у деякому радіусі точки Xo .

Формула Стірлінга .

Розклад функції ln(1+x) в степеневий ряд дає можливість легко одержати асимптичну формулу для факторіала n! При n , яке прямує до безмежності . Така формула називається формулою Стірлінга .

Аналіз ряду даного у курсовій роботі.

Даний ряд у курсовій роботі являється степенево—показниковим рядом .

Область значень для х є від –0.5 до 0.5 .

Ряд поданий у курсовій роботі є збіжним рядом .

Текст програми на Паскалі .

Висновок .

Порівнявши результати одержані двома різними компіляторами , такими як Турбо Паскалі та Турбо Сі очевидно , що одержані результати однакові .

Список літератури .

Кудрявцев Л.Д. , “Краткий курс математического анализу ” , Москва , Наука , 1989

Фаранов В.В. , “Турбо Паскаль 7.0” , Москва , Но Лидж , 1996 .

Том Сван , “ Турбо С “ , Київ , Діалектика , 1996 .

Методичні вказівки .