ПЛАН
Введение.
1. Математическое понятие пространства.
2. Изменчивость представлений о пространстве.
3. Философское понятие пространства.
4. Геометрия реального пространства.
Заключение.
Литература.
Введение.
Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть – весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне, как нечто безразличное». (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., соч., 2 изд., т. 20, стр. 37) Абстрактность математики, однако не означает ее отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данные выше определения математики наполняется все более богатым содержанием.
Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определенная математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает в борьбе двух тенденций: с одной стороны выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и переходы к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступит на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией.
Философские вопросы математики в первом приближении можно было бы охарактеризовать как проблемы, которые хотя и возникают на почве математического знания, но не могут быть разрешены средствами одной математики. Существенную роль в их решении играет философия.
Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения абстрактных математических конструкций и реальной действительности. Так Н. Бурбаки пишет, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического».
Но философия, осмысливая достижения физико-математических наук, не ограничивается только интерпретацией полученных физических, математических результатов, а выступает по отношению к данным наукам в качестве методологии, указывающей пути исследования еще не решенных научных проблем.
Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам. Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам. В каком смысле, например, существуют n-мерные и бесконечные пространства? Что такое вообще пространство? Реально ли пространство или это чистая абстракция, существующая только в сознании человека? Этот вопрос очень интересен не только с точки зрения философии, но и сточки зрения математики. Понятие пространства – это основополагающее понятие математики. Оно входит во все без исключения разделы математики. Прежде чем начинать любые математические действия, операции, вычисления необходимо определить пространство, в котором находятся объекты предполагаемых действий. Вот почему этот вопрос так актуален и интересен для изучения.
§1. Математическое понятие пространства.
Пространство – логически мыслимая форма (или структура), служащая средой, в которой осуществляются другие формы и те или иные конструкции. Например, в элементарной геометрии плоскость или пространство служит средой, где строятся разнообразные фигуры. В большинстве случаев в пространстве фиксируются отношения, сходные по формальным свойствам с обычными пространственными отношениями (расстояния между точками, равенство фигур и др.), так что о таких пространствах можно сказать, что они представляют логически мыслимые пространственно-подобные формы. Исторически первым и важнейшим математическим пространством является 3-мерное евклидово пространство, представляющее приближенный абстрактный образ реального пространства. Общее понятие пространства в математике сложилось в результате постепенного, все более широкого обобщения и видоизменения понятий геометрии евклидова пространства. Первые пространства, отличные от 3-мерного евклидова, были введены в первой половине 19 века. Это были пространства Лобачевского и евклидово пространство любого числа измерений. Общее понятие о математическом пространстве было выдвинуто в 1854 году Б. Риманом; оно обобщалось, уточнялось и конкретизировалось в разных направлениях: таковы, например, Банахово пространство, векторное пространство, гильбертово пространство, риманово пространство, топологическое пространство. В современной математике пространство определяют как множество каких-либо объектов, которые называются его точками; ими могут быть геометрические фигуры, функции, состояния физической системы и т.д. Рассматривая их множество как пространство, отвлекаются от всяких их свойств и учитывают только те свойства их совокупности, которые определяются принятыми во внимание или введенными (по определению) отношениями. Эти отношения между точками и теми или иными фигурами, то есть множествами точек, определяют «геометрию» пространства. При аксиоматическом ее построении основные свойства этих отношений выражаются в соответствующих аксиомах.
Примерами пространства могут служить:
1) Метрические пространства, в которых определено расстояние между точками. Например, пространство непрерывных функций на каком-либо отрезке [a, b], где точками служат функции f(x), непрерывные на [a, b], а расстояние между f1(x) и f2(x) определяется как максимум модуля их разности: r = max |f1(x) - f2(x)|.
2) «Пространство событий», играющее важную роль в геометрической интерпретации теории относительности. Каждое событие характеризуется положением – координатами x, y, z и временем t, поэтому множество всевозможных событий оказывается n-мерным пространством, где «точка» – событие определяется и координатами x, y, z, t.
3) Фазовые пространства, рассматриваемые в теоретической физике и механике. Фазовое пространство физической системы – это совокупность всех ее возможных состояний, которые рассматриваются при этом как точки этого пространства. Понятие об указанных пространствах имеет вполне реальный смысл, поскольку совокупность возможных состояний физической системы или множество событий с их координацией в пространстве и во времени вполне реальны. Речь идет, стало быть, о реальных формах действительности, которые, не являясь пространственными в обычном смысле, оказываются пространственно-подобными по своей структуре. Вопрос о том, какое математическое пространство точнее отражает общие свойства реального пространства, решается опытом. Так было установлено, что при описании реального пространства евклидова геометрия не всегда является достаточно точной, и в современной теории реального пространства применяется риманова геометрия.
§2. Изменчивость представлений о пространстве.
Говоря о пространстве, необходимо также говорить и о времени, так как пространство и время неотделимы.
Время и пространство – основные формы существования материи. Философию, прежде всего, интересует, реальны ли время и пространство или это чистые абстракции, существующие только в сознании человека. Философы-идеалисты отрицают объективный характер Времени и Пространства, ставят их в зависимость от сознания (Беркли, Юм, мах), рассматривают их как априорные формы чувственного созерцания (Кант) или как категории абсолютного духа (Гегель).
Материализм признает объективный характер Времени и Пространства, отрицает вневременную и внепространственную реальность. Время и Пространство неотделимы от материи. В этом проявляется их универсальность и всеобщность. Пространство выражает порядок расположения одновременно существующих объектов.
Свойства объектов быть протяженными, занимать место среди других объектов, граничить с другими объектами – наиболее общие характеристики пространства. Понятие пространства имеет смысл, так как понятие пространства сконструировано.
Развитие естествознания показало несостоятельность метафизической концепции, согласно которой Время и Пространство существуют независимо от материальных процессов и отдельно друг от друга, как самостоятельные сущности.
Диалектический материализм исходит не из простой связи Времени и Пространства с движущейся материей, а из того, что движение является сущностью Времени и Пространства и что, следовательно, материя, движение, время и пространство неотделимы. Эта идея получила подтверждение в современной физике. Естествознание 18-19 веков, признавая объективность Времени и Пространства, рассматривало их, вслед за Ньютоном, в отрыве друг от друга и как нечто самостоятельное, существующее независимо от материи и движения.
В соответствии с атомистическими взглядами древних натурфилософов (Демокрит, Эпикур) естествоиспытатели почти вплоть до 20 века отождествляли пространство с пустотой, считали его абсолютным, всегда и повсюду одинаковым и неподвижным.
Современная физика отбросила старые представления о пространстве как пустом вместилище тел и о времени как едином для всей бесконечности вселенной.
Главный вывод теории относительности Эйнштейна состоит как раз в установлении того, что Время и Пространство существуют не сами по себе, в отрыве от материи, а находятся в такой универсальной взаимосвязи, в которой они теряют самостоятельность и выступают как относительные стороны единого и неделимого времени-пространства.
Открытие неевклидовой геометрии опровергло кантовское учение о Времени и Пространстве, как внеопытных формах чувственного восприятия. Кант считал пространство и время – это формы чувственного созерцания субъекта, эти формы априорны. Здесь Кант интуитивно уходит от вопроса по поводу эволюции живой материи и человека. Жизненный опыт субъекта включает в себя не только опыт индивида, но и опыт человечества, приобретенный в ходе эволюции на планете Земля.
Позднее австрийский математик Мах (1838 – 1916) и французский Хуан Каре (1854 – 1912) считали: пространство и время имеют лишь субъективную природу, они не априорны, они есть способ упорядочивания, ощущений.
Исследования Бутлерова, Федорова и их последователей обнаружили зависимость пространственных свойств от физической природы материальных тел, обусловленность физико-химических свойств материи пространственным расположением атомов.
Факт изменчивости наших представлений о Времени и Пространстве используется философским и «физическим» идеализмом для отрицания их объектной реальности. Согласно диалектическому материализму, человеческое познание в своем развитии дает все более глубокое и правильное представление об объективно-реальном Времени и Пространстве.
§3. Философское понятие пространства.
Вопрос о пространстве и времени связан с вопросом о движении. Если движение – это изменение вообще, то каким образом оно проявляется через пространство и время. Если количество форм движения пять, то каждой форме должны соответствовать свое пространство и свое время. Если этого не делать, то мы вынуждены будем сказать так: пространство и время – абсолютны. Для конца ХХ века повторять идеи Ньютона – это неуместно.
Вопрос о пространстве и времени важен для разных наук: физика, математика, биология, …, философия. Для философии сложность вопроса в следующем: в какой форме представить пространство и время каждой из перечисленных наук в сфере философии?
В истории философии вопрос о пространстве и времени затрагивали многие мыслители. Например, в средние века Августин Блаженный считал: время на обыденном уровне понятно каждому, но как только ставят вопрос в мировоззренческом аспекте, понять время почти невозможно.
В эпоху Нового времени Ньютон пришел к выводу: время и пространство абсолютны, то есть ни с чем не связаны и ни от чего не зависят. Изучая Библию, Ньютон был крайне озадачен словами пророка Даниила о том, что наступят времена, когда время больше не будет. Эти слова никак не согласуются с абсолютностью пространства и времени.
Говоря о пространстве и времени, хочется отдельно выделить социальное пространство и время.
Социальное пространство, вписанное в пространство биосферы и Космоса, обладает человеческим смыслом. Оно функционально расчленено на ряд подпространств, характер которых меняется исторически по мере развития общества.
Существуют пространственные сферы жизнедеятельности, значимые для человека с социальной точки зрения. Существуют различия между «общественным» пространством и пространством природы, остающиеся вне человеческой деятельности. Например, у египтян: пространство по берегам Нила – центр Вселенной, течение Нила с севера на юг – главное направление пространства.
Средневековое мышление рассматривает пространство как систему разнокачественных мест (земной, греховный мир и мир небесный, мир «чистых сущностей», на Земле выделялись святые места).
Существует пространственная архитекторика, которая не сводится только к отношениям материальных вещей, а включает их отношение к человеку, его социальные связи и те мысли, которые фиксируются в системе общественнозначных идей, таким образом, специфика социального пространства – социально значимый характер окружающих вещей.
Социальное время – внутреннее время общественной жизни, мера изменчивости социальных процессов, исторически возникающих преобразований в жизни людей.
На ранних стадиях общественного развития – замедленные ритмы социального развития, квадрициклический характер социального времени, традиций.
Сейчас социальное время ускорилось. Следовательно, можно сделать вывод о неравномерном течении социального времени, оно уплотняется и ускоряется по мере общественного прогресса (особенно в революционные периоды).
В качестве некоторого итога можно сказать, что пространство и время имеют следующие особенности:
1) Они объективны, так как не зависят от сознания субъекта, не зависят от воли субъекта.
2) Они абсолютны, то есть всеобщи и необходимы для объективных процессов, отношений, связей. Нет объектов вне пространства и вне времени. Такая абсолютность не тождественна Ньютоновской абсолютности.
3) Они относительны, то есть связанность с отношением в конкретной форме движущейся материи. Каждой из пяти форм материи соответствуют свои пространство и время. В разных частях Вселенной пространство и время различны. Эйнштейн показал математически в специальной теории относительности связанность между пространством и временем, а в общей теории относительности связанность пространства-времени с движущимся математическим объектом.
Принцип относительности в пространстве и времени, как противовес принципу абсолютности пространства и времени позволяет ставить вопрос о пространстве и времени применительно в пяти формам движения.
Каждая форма предполагает свое собственное пространство и время. Социальное движение обязывает нас ставить вопрос о социальном времени и социальном пространстве. В современной философии это вопрос стоит очень актуально. Он по своему содержанию открыт, то есть ответов на него нет.
§4. Геометрия реального пространства.
Проблемы, связанные с интерпретацией существуют в настоящее время во всех разделах математики, в частности, в геометрии. Построение неевклидовых геометрий естественно привело к идее, что возможно существование физических пространств другой природы, которые отвечают новым геометриям также как, наше реальное пространство отвечает трехмерной евклидовой геометрии. Но общая идея такого рода немедленно ставит вопрос, каким образом мы вообще можем определить характер физического пространства самого по себе и отнести его к определенной геометрической структуре? Что означает само понятие «реальное пространство»? Почему мы, в частности, убеждены, что окружающее нас пространство, пространство в котором мы живем, имеет евклидову структуру?
Эти вопросы возникли уже перед Лобачевским. Лобачевский полагал, что выбор одной геометрии как реальной из многих возможных решается исключительно в опыте, а именно в практике измерений. Эту же мысль защищал позднее Риман в лекциях об основаниях геометрии. Эту мысль систематически проводил Гельмгольц в борьбе против априоризма. Гельмгольц считал, что обычная евклидова геометрия появилась на основе измерения тел посредством жестких масштабов и, поскольку такие тела и такие масштабы реально существуют, наше обычное пространство является евклидовым. В других мирах, где это условие будет нарушено, мы, естественно, должны будем принять как адекватную другую геометрическую структуру. Особая данность (наглядность) евклидовой геометрии объясняется исключительно историческим привыканием человека к определенной среде обитания.
Новый взгляд на этот вопрос был высказан А. Пуанкаре, который подчеркнул, во-первых, тот факт, что геометрия сама по себе как математическая структура не имеет физического значения и не может подлежать какой-либо проверке. Мы проверяем в действительности только адекватность системы «геометрия плюс физика» (Г+Ф), то есть адекватность опыту определенным образом интерпретированной геометрии. Во-вторых, Пуанкаре указал на то обстоятельство, что данная система физических представлений не требует жестко какой-то единственной геометрии. Мы можем заменить Г на Г1 и Ф на Ф1 таким образом, что новая система утверждений (Г1+Ф1) будет столь же адекватно описывать данную систему физических связей. С одними и теми же физическими представлениями в принципе совместимы различные геометрии. Мы прибегаем к той или иной геометрии в нашем описании мира, согласно Пуанкаре, отнюдь не из-за каких-то особенностей физического материала, но исключительно из-за ее удобства как средства предсказаний и расчетов.
Концепция Пуанкаре, получившая позднее наименование конвенционализма, содержит следующие два вывода. Первый состоит в том, что в принципе любую геометрию можно «спасти» посредством той или иной переформулировки физических законов. Сам Пуанкаре, в частности, был убежден, что физики никогда не откажутся от евклидовой геометрии как от математической основы описания реальных закономерностей. Евклидова геометрия наиболее проста, и ее сохранение будет целесообразным всегда, даже ценой существенного усложнения физических принципов. Это методологическое предсказание Пуанкаре, однако, оказалось неверным. Эйнштейн, создав общую теорию относительности, органически связанную с римановой геометрией, явно продемонстрировал обратное.
Второй вывод из концепции Пуанкаре носит более общий философский характер. Если данная система физических фактов совместима как с аппаратом описания с различными геометриями, тогда вопрос об истинной геометрии для той или другой сферы опыта теряет смысл, как и вопрос об истинной геометрии пространства в целом. Наше убеждение, что геометрия реального пространства является евклидовой, с этой точки зрения, не более чем привычка выражения, фиксирующая то обстоятельство, что евклидова геометрия служит удобным средством описания и предсказания в обычном опыте.
Тезис Пуанкаре о том, что любую геометрию можно спасти, безусловно, верен. Но это теоретический, идеализированный тезис, а отнюдь не принцип практического действия. Вообще любое положение в структуре науки можно спасти, соответствующим образом усложняя структуру теории. Однако одно дело идеальная, теоретическая возможность, а другое – практика науки. Ученый в действительности никогда не занимается бесконечным конструированием только ради спасения определенного тезиса или теории. Практически любой тезис ставится под сомнение и отвергается, как только его защита в достаточной мере усложняется, начинает требовать искусственных гипотез, не расширяющих возможности теории в целом. Абсолютизация евклидовой геометрии как аппарата описания, исходя из чисто теоретической возможности ее сохранения, является, конечно, неверной. Простота евклидовой геометрии имеет относительный смысл. В ряде случаев именно отказ от простой геометрии позволяет дать наиболее адекватное и простое описание реальности.
Не является верным также и второй вывод из концепции Пуанкаре, утверждающий неосмысленность, некорректность идеи истинного пространства для данной области фактов. В основе его, как нетрудно видеть, также лежит смещение идеального и фактического, идеальной свободы и фактической определенности в познавательной ситуации.
Эйнштейн, выдвигая в свое время идею свободного конструирования принципов теоретической физики, вместе с тем отмечал: «При такой неопределенности методики (методики отыскания принципов) можно думать, что существует произвольное число равноценных систем теоретической физики. Это мнение в принципе определенно верно. Но история показала, что из всех мыслимых построений в данный момент только одно оказывается преобладающим. Никто из тех, кто действительно углублялся в предмет, не станет отрицать, что теоретическая система практически однозначно определяется миром наблюдений, хотя никакой логический путь не ведет от наблюдений к основным принципам теории». [7]. Аналогично этому, принципиальная множественность геометрий, допустимых для описания данной сферы физической реальности, не исключает того, что каждая такая сфера практически однозначно определяет свою геометрию. Это значит, что, подчеркивая свободу в выборе геометрии, мы вправе, тем не менее, говорить о существовании различных геометрических пространств, то есть различных сфер опыта, описание которых органически связано с определенной системой геометрических преобразований.
Но если это верно, то это значит, что существуют объективные характеристики в сфере опыта, диктующие приложимость определенных пространственных представлений и практически исключающие все другие представления такого рода. Задача, очевидно, состоит в том, чтобы выявить эти характеристики и достаточно ясно их определить. К этому сводится так называемая проблема физического пространства. В 20-х годах немецкий философ Рейхенбах пытался разрешить ее на основе некоторой модернизации эмпирических воззрений Гельмгольца. Основные его идеи состояли в следующем:
1. Геометрия определяется заданием метрики, а именно соглашением о том, как изменяется длина эталона перемещением его в пространстве и времени. В евклидовой геометрии мы имеем простейший случай, а именно допускаем, что эталон остается постоянным в своей длине.
2. Выбор единицы длины и установление правила изменения длины при перемещении (правила конгруэнтности) не диктуется опытом. Это соглашения. Но эти соглашения имеют тесную связь с эмпирической ситуацией, они подсказываются ей. Допущение неизменности эталона при перемещении в евклидовой геометрии, безусловно, оправдано реальным поведением твердых тел, и именно в силу этого евклидова геометрия с такой большой точностью удовлетворяет практике расчетов, связанных с изменениями в обыденной жизни и в технике.
3. Ни формальная простота, ни большая наглядность отношений евклидовой геометрии не дают повода для ее абсолютизации. Каждая новая сфера опыта в принципе связана с новой геометрией. Вопрос о том, какая геометрия должна быть принята как основная, целиком определяется характером физических законов. Введение новой геометрии схематически может быть представлено следующим образом. Пусть Г0 – евклидова геометрия, а Ф0 – сфера физических теорий, где она используется. Переходя в некоторую сферу физических представлений Ф1, но, используя евклидову геометрию, мы приходим к теории Г0+Ф1. Пусть Ф1 такова, что может быть представлена в виде двух частей Ф1¢+Ф2, где Ф2 содержит допущения о новых физических силах. Эти силы могут быть самыми разнообразными, но может оказаться, что они являются в некотором смысле правильными или универсальными, а именно такими, что от них можно отказаться через введение новой геометрии, то есть описание Г0+ Ф1¢+Ф2 может быть заменено эквивалентным описанием без Ф2, некоторой теорией Г1+ Ф1¢. Так, описывая ход световых лучей вблизи больших масс, мы можем воспользоваться евклидовой геометрией, объяснив отклонение лучей от евклидовых прямых силами тяготения. Но так как силы тяготения изгибают все траектории единообразно, по одному закону, то мы можем описать их столь же адекватно, сразу введя геометрию с определенной кривизной, соответствующей кривизне траекторий, сделав, таким образом, излишним использование сил тяготения. Новая геометрия необходимо вводится всюду, где ее введение элиминирует некоторую систему универсальных сил.
4. Евклидова геометрия не имеет никаких преимуществ перед другими возможными геометриями ни в формальном, ни в содержательном плане. Ее наглядность, легкость восприятия объясняется исключительно близостью к объединенному опыту. Не существует никакого чистого восприятия пространства в кантовском смысле, соответствующего структуре евклидовой геометрии. В принципе любая формальная структура, поскольку она может получить эмпирическую интерпретацию, может быть сделана столь же наглядной, как и евклидова геометрия в ее исходных положениях.
Общая позиция Рейхенбаха в истолковании геометрии, как мы видим, существенно отличается от установки Пуанкаре. Если Пуанкаре полагал, что при выборе геометрии решающим фактором является простота самой геометрии, то Рейхенбах все сводит, напротив, к упрощению системы физических сил, делая этот выбор целиком подчиненным простоте физической теории в целом. Эта установка более адекватна, она объясняет фактически наблюдаемую релятивность геометрии, хотя, как мы сейчас понимаем, она также недостаточна в определенных и существенных отношениях. Ценным моментом в концепции Рейхенбаха является также его попытка уяснить место конвенций в системе геометрического знания, связать конвенциональное с эмпирическим, устранить из представления о конвенции идею произвольности. Но эта позиция в целом все-таки неудовлетворительна. Хотя, в отличие от Гельмгольца, Рейхенбах ясно отличает проблемы физической геометрии от проблем геометрии как математической структуры, то есть вопросы приложения от вопросов обоснования, в целом его общее направление мышления в философии математики является сугубо эмпирическим и в силу этого ограниченным. Это особенно ясно проявляется в его попытке обосновать особую наглядность евклидовой геометрии.
Наглядность, по Рейхенбаху, проявляет себя, прежде всего, в своей нормативной функции, в том, что она практически однозначно диктует нам тот или другой логический вывод. Так, на основе наглядности мы убеждены, что если прямая пересекает круг в одной точке, то она пересекает его и в другой, и не допускаем никакой другой логической возможности. Точно так же мы убеждены, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Основная идея Рейхенбаха состоит здесь в том, что нормативная сила представлений проистекает не из опыта, не из непосредственных эмпирических ассоциаций, но имеет в значительной мере логическое происхождение. Прямая – кратчайшее расстояние между двумя точками в нашем представлении только потому, что сами эти представления выработаны так, чтобы соответствовать всей структуре выводов евклидовой геометрии. Поэтому одно дело – непосредственные восприятия, структура пространства и другое дело – структура представлений, связанных с геометрией как с определенной системой логических выводов. Пространство может и не содержать параллельных прямых, точных кругов и т.д., но это не исключает наличия в нашем сознании некоторой правильной, очищенной системы представлений, которая, с одной стороны, связана генетически с пространством, а с другой – является «очищенной», подогнанной под логику евклидовой геометрии. Именно такого рода логическая визуальность была, по мнению Рейхенбаха, абсолютизирована Кантом в его идее чистого созерцания пространства.
Рейхенбах указывает здесь на различие между эмпирической интерпретацией евклидовой геометрии и ее идеальной моделью. В отличие от Мизеса, он не отождествляет идеальные представления с опытными данными, а рассматривает их как некоторый вторичный внутритеоретический продукт. Он совершенно прав в том, что непонимание этого момента определило основную слабость и эмпирической философии геометрии. Пытаясь вывести из опыта наглядность геометрии, как это делал Гельмгольц, мы не можем объяснить нормативной силы этой наглядности, ее однозначности в отличие от многозначности и неопределенности непосредственного эмпирического восприятия. По Рейхенбаху, геометрия, возникнув на основе опыта, и оформившись как логическая структура, сама порождает теперь систему наглядных представлений, не имеющих прямого соответствия с опытом, со структурой пространства. Рейхенбах делает отсюда вывод, что всякая геометрия может быть соединена с такого рода вторичной логической наглядностью, и евклидова геометрия представляет здесь особый случай, не более чем в плане исторической очередности.
В этом пункте Рейхенбах допускает принципиальную ошибку. Верно, что старое различие, идущее от Платона, между чертежом треугольника и мысленным треугольником находит здесь достаточно удовлетворительное разрешение.
Тем не менее, особый характер наглядности евклидовой геометрии не может быть понят ни с наивно эмпирической, ни с предлагаемой Рейхенбахом логической точек зрения. Арифметика и геометрия Евклида не просто две первые исторически математические структуры, а структуры, связанные с категориальным видением мира, и они будут занимать всегда совершенно особое место в человеческом восприятии мира, несмотря на широкое использование других геометрических и арифметических систем. Какие бы пространства мы не использовали в физике, мы всегда представляем физические объекты в обычном трехмерном пространстве. Этот факт истолковывается часто чисто психологически («человек еще не привык к другим пространствам»), или антропоморфно («так устроены визуальные способности человека»), или, наконец, логически («однозначность представлений, связываемых с евклидовой геометрией, порождена ее логической организацией, жестким логическим соподчинением понятий»). Дело, однако, здесь не в психологии и не в логике. Евклидовый характер представлений об объектах диктуется тем, что эти представления внедрены в само представление об объектах, образуют общую логику восприятия мира, продиктованную в конечном итоге необходимой структурой деятельности или структурой субъективно-объективного отношения. Но это значит, что особая данность евклидовых представлений для сознания отнюдь не только следствия их широкой употребимости и логической организации, но прежде всего следствия самого характера отношений, которые они фиксируют, то есть она имеет онтологическую природу. В этом смысле другие геометрии не могут быть поставлены рядом с евклидовой вне зависимости от их важности для науки и степени использования.
Заключение.
Когда в настоящее время задается вопрос об истинной геометрии реального пространства, то мы получаем обычно два ответа. Первый состоит в том, что геометрия реального пространства является евклидовой, так как мы все представляем себе неизбежно в евклидовом трехмерном пространстве. Остальные же геометрии (пространства) – не более чем средство описания и не имеют реального статуса. Другой ответ состоит в том, что реальное пространство риманово, поскольку наиболее общая физическая картина мира, выраженная в общей теории относительности, связана с группой римановых геометрий.
Из сказанного выше ясно, что каждый ответ в некотором смысле верен. Но если первый ответ под геометрией реального пространства имеет в виду необходимую геометрию восприятия, и он может быть обоснован только в рамках философии, через анализ связи понятий геометрии с категориальным видением мира, то второй ответ имеет ввиду геометрию физического описания, и он может быть оправдан в рамках физики и методологии, диктующей неизбежность в данной сфере опыта использовать то или другое пространство как средство описания в той форме, как это делал, к примеру, Рейхенбах. Недостаток позитивистской методологии в исследовании проблемы пространства состоит в том, что она, исследуя реальное пространство, ограничивается только физическим аспектом, оставляя в стороне глубокие вопросы отношения математических структур к действительности, которые были уже ясно поставлены такими философами, как Лейбниц и Кант.
Современная формалистская философия математики склонна прежде всего подчеркивать одинаковость всех возможных геометрических систем. Это является продолжением традиции, идущей от Гельмгольца и направленной на оправдание неевклидовых геометрий. Несмотря на определенную ее разумность, она ограничена. Здесь не учитывается то, на чем в несколько мистифицированной форме настаивает математический реализм – привилегированность отдельных математических представлений, имеющая онтологическое основание. Мы вправе говорить о реальном пространстве, о реальной логике, о настоящей арифметике как об особых интуитивно ясных системах отношений, и эта интуитивная ясность, особая данность для сознания, может быть объяснена в данном случае только связью этих объектов с деятельностным, категориальным видением мира, но не эмпирически и не логически. Широкое использование в науке многомерных геометрий не может поставить их онтологически рядом с евклидовой геометрией, поднять их наглядность до уровня наглядности евклидовой геометрии, изменить того факта, что мы представляем все вещи и процессы природы только в трехмерном евклидовом пространстве.
Вопрос о реальном пространстве, очевидно, связан с общей проблемой реальности математических объектов. Позитивный смысл математического реализма состоит в том факте, что центральные понятия математики, такие как множество, число, величина, функция, континуизм, евклидово пространство, имеют прямое отношение к общему категориальному видению мира, отражая, таким образом, уровень представлений о реальности. Этим обстоятельством, прежде всего, объясняется особая интуитивная ясность этих понятий, которая как исходный факт лежала в основе всех рационалистических концепций математики. Логически продуцированное воображение Рейхенбаха – ни в коей мере не объясняет этого феномена, хотя компонент наглядности, связанный с логикой, безусловно, существует. Для уяснения статуса математических понятий недостаточно традиционного различия между формальным и содержательным, здесь должно быть учтено также различие между эмпирическим и категориальным.
Сказанное означает, что формалистская философия математики не является удовлетворительной и в понимании математического объекта. Она должна быть дополнена концепцией, раскрывающей непосредственную связь математического мышления с онтологией, с категориальными представлениями о мире. Конечно, для решения конкретных математических задач и даже для реализации конкретных шагов в обосновании математики нет необходимости выяснять истоки тех или иных математических представлений, и в этом плане можно понять призыв Гейтинга очистить математику от метафизики и идею Бар-Хиллера построить теорию математического мышления без онтологии. Но здесь упускается из виду, что для оправдания общей стратегии в основаниях математики выяснение связи математических понятий с логикой и категориальными представлениями может оказаться ничуть не менее важным, чем выяснение их связи с опытом.
Литература.
1. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. – М., 1981
2. Лукьянец В.С. Пространство как объект математизированного физического знания. – В кн.: Диалектический материализм и вопросы естествознания. Пермь, 1970
3. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. – М: Просвещение, 1969
4. Петров Ю.А. Философские проблемы математики. – М., 1974
5. Философский словарь (под ред. И.Т. Фролова) – М.: Политическая литература, 1981
6. Чудинов Э.М. Теория относительности и философия. – М.: Политическая литература, 1974
7.
Эйнштейн А. Физика и реальность. – М., 1965