Задача № 1
Имеются следующие данные 25 предприятий легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной продукции:
№ предприятия
Объем произведенной продукции, млн. руб.
Валовая прибыль,
млн. руб.
1
653
45
2
305
11
3
508
33
4
482
27
5
766
55
6
800
64
7
343
14
8
545
37
9
603
41
10
798
59
11
474
28
12
642
43
13
402
23
14
552
35
15
732
54
16
412
26
17
798
58
18
501
30
19
602
41
20
558
36
21
308
12
22
700
50
23
496
29
24
577
38
25
688
49
С целью изучения зависимости между объемом произведенной продукции и валовой прибылью произведите группировку предприятий по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп предприятий с равными интервалами.
По каждой группе и совокупности предприятий подсчитайте:
1) число предприятий;
2) объем произведенной продукции – всего и в среднем на одно предприятие;
3) валовую прибыль – всего и в среднем на одно предприятие.
Результаты представьте в виде групповой таблицы.
Сделайте краткие выводы.
Решение:
Определим величину интервала группировки предприятий объему произведенной продукции:
млн. руб.,
где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения объемов произведенной продукции.
Определим теперь интервалы групп (xi, xi+1):
1 группа: 305-404 млн. руб.; 2 группа: 404-503 млн. руб.; 3 группа: 503-602 млн. руб.; 4 группа: 602-701 млн. руб.; 5 группа: 701-800 млн. руб.,
где млн. руб.; млн. руб.;
млн. руб.; млн. руб.;
млн. руб.; млн. руб.
Далее произведем группировку предприятий по объему произведенной продукции, образовав, пять групп предприятий с равными интервалами:
Группа
Объем произведенной продукции, млн. руб.ины
произведенная продукция, млн. руб
Валовая прибыль,
млн. руб.
1
305-404
305
11
308
12
343
14
402
23
2
404-503
412
26
474
28
482
27
496
29
501
30
3
503-602
508
33
545
37
552
35
558
36
577
38
4
602-701
602
41
603
41
642
43
653
45
688
49
5
701-800
700
50
732
54
766
55
798
59
798
59
800
64
На основе полученной таблицы определим требуемые показатели. Результаты представим в виде групповой таблицы:
Группа
Количество предприятий в группе, шт.
Объем произведенной продукции, млн. руб.
произведенная продукция, млн. руб
Валовая прибыль,
млн. руб
1
4
305-404
Всего
1358
Всего
60
В среднем на одно предприятие
339,5
В среднем на одно предприятие
15
2
5
404-503
Всего
2365
Всего
140
В среднем на одно предприятие
473
В среднем на одно предприятие
28
3
5
503-602
Всего
2740
Всего
179
В среднем на одно предприятие
548
В среднем на одно предприятие
35,8
4
5
602-701
Всего
3188
Всего
219
В среднем на одно предприятие
637,6
В среднем на одно предприятие
43,8
5
6
701-800
Всего
4594
Всего
341
В среднем на одно предприятие
765,66
В среднем на одно предприятие
56,83
Задача № 2
Имеются следующие данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию:
Номер завода
Январь
Февраль
затраты времени на единицу продукции, час
изготовлено продукции, шт
затраты времени на
единицу продукции, час
всю продукцию, час
1
2
160
1,8
420
2
2,8
180
2,4
440
Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам в январе и феврале. Укажите виды средних величин, используемых в решении задач.
Решение
Средние затраты времени определяется по формуле:
Данная формула является средней гармонической взвешенной.
Подставив в последнюю формулу известные значения, получим средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам в январе:
=ч.
Теперь определяем средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам в феврале:
.
Данная формула является средней арифметической взвешенной.
Подставив в последнюю формулу известные значения, получим затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам в феврале:
ч.
Задача № 3
В целях изучения стажа рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:
Стаж рабочих, лет
Число рабочих, чел
До 5
От 5 до 10
От 10 до 15
От 15 до 20
От 20 до 25
Свыше 25
5
10
35
25
15
10
Итого
100
На основании этих данных вычислите:
1. Средний стаж рабочих цеха.
2. Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.
3. Коэффициент вариации.
4. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.
5. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
Сделайте выводы.
Решение
Приведем группировку к стандартному виду с равными интервалами и найдем середины интервалов для каждой группы. Результаты представлены в таблице:
Стаж рабочих, лет
Число рабочих, чел,
Середина
интервала,
До 5
5
2,5
12,5
175,56
877,8
От 5 до 10
10
7,5
75
68,06
680,6
От 10 до 15
35
12,5
437,5
10,56
369,6
От 15 до 20
25
17,5
437,5
3,06
76,5
От 20 до 25
15
22,5
337,5
45,56
683,4
Свыше 25
10
27,5
275
138,06
1380,6
итого
100
1575
4068,5
1,Средний стаж рабочих цеха высчитывается посредством применения формулы среднеарифметической взвешенной:
2,Среднеквадратическое отклонение: Посоветуйте выбрать машинку для стрижки собак.
Дисперсия:
3,Коэффициент вариации:
4. 4. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так при вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t = 3. Поскольку дана 10%-ная случайная бесповторная выборка, то
,
где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.
Считаем также, что дисперсия . Тогда предельная ошибка выборочной средней равна:
С вероятностью 0,997 можно сказать, что возможные границы, в которых находятся средний стаж рабочих цеха в диапазоне от 4,18 до 27,32 лет.
5. Выборочная доля w удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет равна:
%.
Учитывая, что при вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t = 3,вычислим предельную ошибку выборочной доли:
, или 13,94%.
Пределы доли признака во всей совокупности:
или .
Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет., находятся в пределах от 46,06% до 73,94%
Выводы.
1. Средний стаж рабочих цеха на предприятии составляет 15,75 лет.
2. Среднеквадратическое отклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется от средней величины в ту или иную сторону в среднем на 6,37 года
3. Так как коэффициент вариации больше 33 %, то исходная выборка не однородна.
Задача № 4
Численность населения России характеризуется следующими данными:
Годы
На начало года, тыс. чел
1990
1995
1996
1997
1998
1999
2000
148041
148306
147976
147502
147105
146388
145500
Для анализа численности населения России за 1995-2000гг. определите:
1. Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 1990 году.
Полученные показатели представьте в таблице.
2. Среднегодовую численность населения России.
3. Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 1995-2000 гг. и за 1990-1995гг.
Постройте график динамики численности населения России.
Сделайте выводы.
Решение
1. Определим показатели, темп роста и прироста численности населения России, абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному 1995 году).
Формулы для расчета следующие.
Абсолютный прирост по годам и к базисному году, соответственно, равен:
Темп роста по годам и к базисному году, соответственно, равен:
Темп прироста по годам и к базисному году, соответственно, равен:
Результаты приведены в таблице.
Годы
На начало года, тыс. чел.
Абсолютный прирост, тыс. чел
Темпы роста, %
Темпы прироста, %
по годам
к базисному году
по годам
к базисному году
по годам
к базисному году
1990
148041
-
-
-
-
-
-
1995
148306
265
265
1,001
1,001
-98,999
-98,999
1996
147976
-330
-65
0,997
0,999
-99,003
-99,001
1997
147502
-474
-539
0,996
0,996
-99,004
-99,004
1998
147105
-397
-936
0,997
0,993
-99,003
-99,007
1999
146388
-717
-1653
0,995
0,988
-99,005
-99,012
2000
145500
-888
-2541
0,993
0,982
-99,007
-99,018
2. Среднегодовую численность населения России.
определим по формуле средней арифметической взвешенной:
= тыс. чел.
3.Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 1995-2000 гг. и за 1990-1995гг. определяется по формуле среднего геометрического:
Подставив исходные данные, получим среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 1995-2000 гг.:
за 1995-2000 гг.: , или 99,6 %;
за 1990-1995 гг.: , или 100,1 %.
Среднегодовой абсолютный прирост определяется по формуле:
.
Подставив рассчитанные , получим среднегодовой темп прироста численности населения России:
за 1995-2000 гг.: ,
за 1990-1995 гг.: .
Построим график динамики численности населения России.
Он имеет вид:
Выводы:
Анализ графика и полученных расчетных данных свидетельствует о том, что:
- Динамика населения России испытывала незначительный рост с 1990 г. по 1995 г. Включительно на 0,1%, а затем стало падать со скоростью -0,4% в год
- среднегодовой темп прироста численности населения России в 2000 г. к 1990 г. Имел отрицательную динамику и составил -0,3 %.
Задача № 5
Имеются следующие данные о стоимости имущества предприятия (млн. руб.):
01.01.
01.02.
01.03.
01.04.
01.05.
01.06.
01.07.
Стоимость имущества,
млн. руб.
62
68
65
68
70
75
78
Определите среднегодовую стоимость имущества:
1) за I квартал;
2) за II квартал;
3) за полугодие в целом.
Решение
Используем формулу средней хронологической:
,
где yi – значение показателя на i-1 момент времени.
Подставив исходные данные, получим средние данные о стоимости имущества предприятия:
за I квартал:
млн. руб.,
за II квартал:
млн. руб.
Средние средние данные о стоимости имущества предприятия в целом за полугодие можно определить по формуле среднего арифметического:
млн. руб.
Задача № 6
Динамика средних цен и объема продажи на колхозных рынках города характеризуется следующими данными:
Наименование товара
Продано товаров за период, тыс. кг
Средняя цена за 1 кг за период, руб.
базисный
отчетный
базисный
отчетный
Колхозный рынок № 1:
Картофель
Свежая капуста
6,0
2,5
6,2
2,4
8,0
15,0
8,5
19,0
Колхозный рынок №2:
Картофель
12,0
12,8
7,5
8,0
На основании имеющихся данных вычислите:
1. Для колхозного рынка № 1 (по двум видам товаров вместе):
а) общий индекс товарооборота в фактических ценах;
б) общий индекс цен;
в) общий индекс физического объема товарооборота.
Определите в отчетном периоде прирост товарооборота в абсолютной сумме и разложите по факторам (за счет изменения цен и объема продаж товаров).
Покажите взаимосвязь начисленных индексов.
2. Для двух колхозных рынков вместе (по картофелю):
а) индекс цен переменного состава;
б) индекс цен постоянного состава;
в) индекс влияния изменения структуры объема продажи картофеля на динамику средней цены.
Решение
1. Рассмотрим вначале Колхозный рынок № 1. Сформируем для него из исходных данных следующую таблицу:
Наименование товара
Продано товаров за период, тыс. кг
Средняя цена за 1 кг за период, руб.
базисный
отчетный
базисный
отчетный
Картофель
i = 1
6,0
6,2
8,0
8,5
Свежая капуста
i = 2
2,5
2,4
15,0
19,0
а) Используя в качестве соизмерителя неизменные цены, получим следующую формулу для определения общий индекс товарооборота в фактических ценах:
, или 100,1%.
Таким образом, индекс физического объема товарооборота равен 0,1%,т.е. прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде за счет увеличения количества проданного товара на 0,1 % составил 0,1 тыс. руб. ( - = 85,6 – 85,5 =0,1).
б) Общий индекс цен определяется по формуле:
, или 114,83%.,т.о. цены на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным выросли на 14,83 %
Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде составил
тыс.руб. за счет увеличения цен на 14,83 %.
в) Отсюда, используя взаимосвязь индексов, вычислим общий индекс цен:
, или 114,71%.
Т.о.товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по сравнению с базисным на 14,71%.
Разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота в в фактических ценах дает нам прирост товарооборота в абсолютной сумме:
тыс. руб.
Вывод: Т.о. можно сделать вывод, что товарооборот на 1-м рынке увеличился за отчетный период на 14,83 %.В основном это произошло за счет роста цен – на 14,71% и совсем незначительно за счет увеличения объема продаж - 0,1 %.
2. Рассмотрим теперь два колхозных рынка вместе (по картофелю):). Сформируем для них из исходных данных следующую таблицу:
Номер рынка
Продано товаров за период, тыс. кг.
Средняя цена за 1 кг за период, руб
базисный
отчетный
базисный
отчетный
1
6,0
6,2
8,0
8,5
2
12,0
12,8
7,5
8,0
Индекс себестоимости переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с переменными весами, характеризующее изменение индексируемого (усредняемого) показателя:
,или 6,4%.,т.о. средний индекс цен по двум рынкам повысился на 6,4%.
Индекс себестоимости постоянного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с одними и теми же весами:
, или 6,5 %.,т.е в среднем по двум рынкам индекс цен повысился на 6,5 %.
Индекс изменения объема продажи картофеля на динамику средней цены равен:
, или 99,9%.
Выводы.
1. По результатам отчетного периода рост товарооборота на 1-м рынке произошел за счет роста цен на картофель, т.е за счет увеличения себестоимости продукции. Более того, за год наблюдалось незначительное сокращение затрат за счет уменьшения физического объема продукции
2. Если бы продажа товаров не сопровождалась перераспределением, то средний индекс цен по двум рынкам на продукты увеличилось бы на 6,5%.Изменение структуры продажи товаров в общем объеме вызвало снижение цены на 0,01 %.Одновременное воздействие двух факторов увеличило средний индекс цен по двум рынкам на 6,4%.
Произошедший рост товарооборота вызван ростом цен одновременно на 2-х рынках.
Задача № 7
По заводу имеются следующие данные о выпуске продукции:
Вид продукции
Выпуск продукции в I квартале, тыс. руб.
Увеличение (+) или уменьшение (-) выпуска продукции во II квартале по сравнению с I кварталом, %
Рельсы трамвайные
22300
+3,0
Чугун литейный
15800
-2,0
Железо листовое
10500
+1,5
1. Определить общий индекс физического объема продукции.
2. Определить сумму изменения затрат за счет объема произведенной продукции.
Решение:
Сформируем из исходных данных следующую таблицу:
Вид продукции
Выпуск продукции в I квартале, тыс. руб.
Индивидуальный индекс
Рельсы трамвайные
22300
1,03
Чугун литейный
15800
0,98
Железо листовое
10500
1,015
1.Воспользуемся среднегармоническим индексом:
или 101%,т.е.общий индекс физического объема продукции составляет 1%.
Задача № 8
Для изучения тесноты связи между объемом произведенной продукции (факторный признак – Х) и балансовой прибылью (результативный признак – У) по данным задачи № 1 вычислите эмпирическое корреляционное отношение.
Сделайте выводы.
Решение
Перепишем, полученную в задаче 1 сгруппированную таблицу:
Группа
Объем произведенной продукции, млн. руб.ины
произведенная продукция, млн. руб
Валовая прибыль,
млн. руб.
1
305-404
305
11
308
12
343
14
402
23
2
404-503
412
26
474
28
482
27
496
29
501
30
3
503-602
508
33
545
37
552
35
558
36
577
38
4
602-701
602
41
603
41
642
43
653
45
688
49
5
701-800
700
50
732
54
766
55
798
59
798
59
800
64
Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле:
,
где - межгрупповая дисперсия;
- общая дисперсия.
Групповые средние суммы активов банков были определены в задаче 1:
Группа
Количество предприятий в группе, шт.
Валовая прибыль,
млн. руб
1
4
15
2
5
28
3
5
35,8
4
5
43,8
5
6
56,8
Определим теперь среднее значение, общую дисперсию, и межгрупповую дисперсию суммы валовой прибыли предприятий:
млн. руб.;
млн. руб.2;
млн. руб.2.
В результате эмпирическое корреляционное отношение будет равно:
.
Вывод: Рассчитанное значение эмпирического корреляционного отношения свидетельствует о достаточно высокой статистической связи между Валовой прибылью и объем произведенной продукции.
Список литературы
1. Батырева Л.В., Сафин М.Ф. Общая теория статистики: Задания к контрольной работе. – Челябинск: УрСЭИ АТиСО, 2002. – 32 с.
2. Батырева Л.В. Общая теория статистики: Учебно-практическое пособие. – Челябинск: УрСЭИ АТиСО, 2003. – 84 с.
3. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 416 с.