Пусть , где и
- параболическая и гиперболическая части .
Обозначим , где .
Пусть .
(1) Рассмотрим уравнение вида:
(2) Задача А. Найти в области решение уравнения (1)из класса , удовлетворяющее условиям
(3) ,
,
где - непрерывные достаточно гладкие функции, причем .
Пусть .
Для доказательства существования решения задачи А для уравнения (1) в области , следует решить первую задачу Дарбу
(4)
и задачу
(5)
Решение задачи (5) известно (см. курсовую работу) и имеет вид
,
где
,
,
а оператор действует следующим образом
Рассмотрим решение задачи (4).
уравнение гиперболическое. Рассмотрим характеристическое уравнение
.
Сделаем замену переменных
.
Учитывая, что
,
,
получим
,
,
а значит
.
,
получили общее решение гиперболического уравнения .
Используя условия из (4) получим
,
.
Таким образом, получили систему уравнений для определения функций и :
.
Из второго уравнения получим
.
Из первого уравнения получим
.
(6)
Для определения используем условие . В силу непрерывности частных производных из гиперболической области на линии получим
(7)
.
(8) Аналогично из параболической области на линии получим соотношение
,
и
Обозначим
, .
(9) Что бы найти необходимо решить систему (7), (8) при условиях
, ,
т.е. уравнение
(10)
при условиях (9).
Из (10) найдем
.
Общее решение однородного уравнения
.
Частное решение ищем в виде
.
Подставляя в уравнение найдем
,
т.е.
.
Поэтому
.
Т.к.
или
Вычтем из второго уравнения первое
т.е.
окончательно
.
Для получим
,
т.е.
.
Таким образом, получили
Поэтому
.
Тогда для получим
(11) ,
где - функция Грина, определяемая формулой
, .
Решение задачи (4) определяется формулой (6), (11).
Для доказательств единственности решения в области , докажем, что однородная задача Дарбу имеет только тривиальное решение. Для этого решим задачу (4) при условии: . Подставляя данные условия в решение полученное на основании формул (6), (11) получим:
(*)
т.е. .
Учитывая, что и условие , получим , что вместе с (8) дает уравнение для определение , т.е.
Решение (12) имеет вид:
.
С помощью (13) из (14) найдем:
т.е.
На основании (14) имеем:
Таким образом, получили, что решение однородной задачи Дарбу может быть только тривиальным. Единственность решения в области очевидна.
Литература.
1. А.Н. Зарубин Краевые задачи для дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений. Орел 2002г.
2. Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. – Орел: ОГУ, 1999.
3. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский Уравнения математической физики. Москва 1953г.
4. Э. Камке Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных Москва 1967г.
5. Р. Курант Уравнения с частными производными Москва 1961г.