Пусть дано уравнение , где - непрерывная функция, имеющая в интервале (a,b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [a,b].
Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [a,b] дугу кривой можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай (рис.1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. .
Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:
Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:
.
Пусть x1 - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то
x1 может считаться приближенным значением корня.
Аналогично для хорды, проходящей через точки и , вычисляется следующее приближение корня:
В общем случае формулу метода хорд имеет вид:
(1)
Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. , то все приближения к корню выполняются со стороны правой границы отрезка (рис.2) и вычисляются по формуле:
(2)
Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (1) используется в том случае, когда . Если справедливо неравенство , то целесообразно применять формулу (2).
Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением
Если обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке [a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:
или
где - заданная погрешность вычислений.
Список идентификаторов.
a – начало отрезка,
b – конец отрезка,
eps – погрешность вычислений,
x – искомое значение корня,
min – модуль значения производной функции в начале отрезка,
d – модуль значения производной функции в конце отрезка,
x0 – точка, в которой мы ищем производную.
****************************************************************
Program kursovaia;
uses crt;
Var
a,b,eps,x,min: real;
{Вычисление данной функции}
Function fx(x:real): real;
begin
fx:=exp(x)-10*x;
end;
----------------------------------------------------------------
{Функция вычисления производной и определение точности вычислений}
{Для определения точности вычисления берем значение 2-й производной в точке x*=}
Function proizv(x0,eps: real): real;
var
dx,dy,dy2: real;
begin
dx:=1;
Repeat
dx:=dx/2;
dy:=fx(x0+dx/2)-fx(x0-dx/2);
dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4);
dy2:=dy2+fx(5*x0/4-dx);
Until abs(dy2/(2*dx)) proizv:=dy/dx;
end;
----------------------------------------------------------------
{Уточнение количества знаков после запятой}
Function utoch(eps:real): integer;
var
k: integer;
begin
k:=-1;
Repeat
eps:=eps*10;
k:=k+1;
Until eps>1;
utoch:=k;
end;
----------------------------------------------------------------
{Процедура определения наименьшего значения производной на
заданном промежутке}
Procedure minimum(a,b,eps: real; var min: real);
var
d: real;
begin
a:=a-eps;
b:=b+eps;
Repeat
a:=a+eps;
b:=b-eps;
min:=abs(proizv(a,eps));
d:=abs(proizv(b,eps));
If min>d Then min:=d
Until min 0
end;
----------------------------------------------------------------
{Процедура уточнения корня методом хорд}
Procedure chord(a,b,eps,min: real; var x:real);
Var
x1: real;
begin
x1:=a;
Repeat
x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1));
x1:=x
Until abs(fx(x))/minend;
----------------------------------------------------------------
{Основная программа}
Begin
clrscr;
Writeln ('Введите начало отрезка a, конец отрезка b');
Readln (a,b);
Writeln ('Введите погрешность измерений eps');
Readln (eps);
minimum(a,b,eps,min);
chord(a,b,eps,min,x);
Writeln ('Корень уравнения x= ',x:3:utoch(eps));
End.
****************************************************************
После работы программы для различных значений погрешностей, получим результаты корня x :
0,11
0,111
0,1119
0,11183
0,111833
Результат вычислений в программе MathCAD дал следующее значение корня x:
x=0.112
График функции выглядит так:
Поведение функции вблизи точки пересеченья с осью ОХ выглядит так:
Алгоритм.
Пользуясь рекуррентной формулой (2) и формулой для оценки точности вычисления, составим процедуру уточнения корня методом хорд:
Procedure chord(a, b, eps, min : real; var x : real);
Здесь x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1)) – рекуррентная формула,
abs(fx(x))/min При вычислении производной функции
Function proizv(x0, eps : real) : real;
будем иметь в виду, что один из способов найти производную - это взять достаточно малые значения справа и слева на равном расстоянии от - точке, в которой мы хотим найти производную.
Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка.
По значениям f' можно таким же способом найти производную от f', т.е. f''. Можно выразить f'' непосредственно через f(x):
Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу:
Здесь dx:=1 - первоначальная величина промежутка,
dx:=dx/2 – для уточнений делим промежуток на 2,
dy:=fx(x0+dx/2 -fx(x0-dx/2) – вычисление первой производной в точке x0 ,
dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4)+fx(5*x0/4-dx) – вычисление второй производной, для определения точности вычисления, используется вторая производная в точке
abs(dy2/(2*dx))дифференцирования,
proizv:=dy/dx – значение первой производной.
Для оценки точности вычисления корня необходимо вычислять наименьшее значение производной f'(x) на промежутке [a, b], поэтому надо найти производную в точке x0.
Так как мы вычислили значение производной, то составим процедуру определения модуля ее наименьшего значения на промежутке [a, b]:
Procedure minimum(a,b,eps:real;var min:real);
Для этого достаточно сравнить модуль значения производной на концах промежутка и выбрать среди этих двух значений меньшее. Это можно сделать , так как по условию, функция на промежутке строго монотонна вместе со своими производными первого и второго порядков. Следует брать значение очень близкое к a, но справа от нее, аналогично для точки b - брать близкое значение слева от b, так как если в точке a или b производная будет равна нулю, тогда деление на нуль станет невозможным и в программе будет получена ошибка.
Здесь min:=abs(proizv(a,eps))- модуль значения производной функции в начале отрезка,
d:=abs(proizv(b,eps))- модуль значения производной функции в конце отрезка,
If min>d Then – сравнение значений модуля производной.
Функция для указания точности вычисления:
Function utoch(eps:real):integer;
Применяется в выводе корня x для уточнения его порядка относительно погрешности.
Здесь k:=k+1 – оператор, подсчитывающий степень погрешности и порядка корня x.
Заданную функцию запишем так:
Function fx(x:real):real;
Здесь fx:=exp(x)-10*x – наша заданная функция.
Блок-схема алгоритма.
Список используемой литературы:
1) Математическое обеспечение САПР: Методические указания к практическим занятиям. Рязань, РРТИ, 1990 (№1706).
2) Математическое обеспечение САПР: Методические указания к лабораторным работам. Рязань, РРТИ, 1991 (№1890).
3) Бахвалов Н.С., Шадков И.П., Кобельников Г.М., Численные методы. М.: Наука, 1987.
4) Волков Е.А., Численные методы. М.: Наука, 1988.
5) Элементы вычислительной математики, под ред. С.Б.Норкина. М.: Высшая школа, 1966.