СОДЕРЖАНИЕ
i. Изучение хода изменения функции
1. Условие постоянства функции. стр. 2
2. Условие монотонности функции. стр. 3
3. Максимумы и минимумы; необходимые
условия. стр. 5
4. ПЕРВОЕ ПРАВИЛО. стр. 7
5. ВТОРОЕ ПРАВИЛО. стр. 10
6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. стр. 11
7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ. стр. 14
II. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
1. РАЗЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ
ЗНАЧЕНИЙ. стр. 15
III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. стр. 19
I. Изучение хода изменения функции
1. Условие постоянства функции.
При изучении хода изменения функции на первом месте появляется вопрос об условиях, при которых функция сохраняет в данном промежутке постоянное значение или изменяется в нем монотонно.
Теорема. Пусть функция f(x) определена в промежутке X и имеет внутри него конечную производную f¢(x),а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X постоянной, достаточно условие
f¢(x)=0 внутри X.
Доказательство. Пусть это условие выполнено. Фиксируем некоторую точку x0 из промежутка X и возьмем любую другую его точку x. Для промежутка [x0, x] [x, x0] удовлетворены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно можем написать
f(x) – f(x0)=f¢(c)(x - x0),
где c содержится между x и x0, а значит, заведомо лежит внутри X. Но, по предположения, f(c)=0, так что для всех x из X
f(x)=f(x0)=const,
и наше утверждение доказано.
Заметим, что высказанное условие, очевидно, является и необходимым для постоянства функции.
В интегральном исчислении важное приложение найдет вытекающее отсюда простое
Следствие. Пусть две функции f(x) и g(x) определены в промежутке X и внутри его имеют конечные производные f¢(x) и g¢(x), а на концах (если они принадлежат X) сохраняют непрерывность. Если при этом
f¢(x) = g¢(x) внутри X,
то во всем промежутке X эти функции разнятся лишь на постоянную:
f(x) = g(x) + C (C = const).
Для доказательства достаточно применять теорему к разности f(x)-g(x); так как ее производная f(x)-g(x) внутри X сводится к нулю, то сама разность в X будет постоянной.
Пример. Рассмотрим в виде примера функции arctg x и
Легко проверить, что их производные совпадают во всех точках x, исключая x=1, x=-1 (где вторая из функций теряет смысл). Поэтому тождество
Оказывается установленным лишь для каждого из промежутков
x1 = (-1, 1), x2 = (-¥, -1), x3 = (1, +¥)
в отдельности. Любопытно, что и значения постоянной C для этих промежутков будут различными. Для первого из них C = 0 (в чем убеждаемся полагая x=0), а для двух других имеем, соответственно, C=p/2 или C=-p/2 (что легко усмотреть, если, например, устремлять x к –¥ или +¥). Все эти соотношения также могут быть доказаны элементарно.
Замечание. Значение доказанной теоремы проявляется в теоретических исследованиях и вообще в тех случаях, когда функция задана так, что из ее определения непосредственно не вытекает, что она сохраняет постоянное значение.
2. Условие монотонности функции.
По производной функции можно судить о возростании (убывании) самой функции в данном промежутке.
Теорема1. Пусть функция определена на промежутке и имеет внутри него производную, а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X монотонно возрастающей (убывающей) в узком смысле, достаточно условие:
f¢(x)>0 (Доказательство проведем для случая возрастания. Пусть же указанное для этого случая условие выполнено. Возьмем два значения x¢ и x¢¢ (x¢f(x¢¢) – f(x¢) = f¢(c)(x¢¢ - x¢) (x¢Так как f¢(c)>0, то
f(x¢¢)>f(x¢),
и функция f(x) будет строго возрастающей.
На этот раз высказанное условие уже не является в полнлй мере необходимым. Утверждение теоремы сохраняет силу, например, и в том случае, если производная f¢(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка X. В этом легко убедится если применить теорему в отдельности к каждой из частей, на которые основной промежуток разбивается упомянутыми точками.
Установленная связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически совершенно очевидна, если вспомнить, что производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею – идет ли вверх или вниз и сама кривая (рис. 1). В отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, что отвечает обращению производной в нуль.
Рис. 1
Примеры. 1) Простейший пример последнего обстоятельства доставляет функция f(x) = x3: она возрастает, и тем не менее производная ее f¢(x) = 3x2
2) Аналогично, возрастающей будет и фукнкция
f(x) = x – sin x,
ибо ее производная
f¢(x) = 1 – cos x
не отрицательна, обращаясь в нуль для значений x = 2kp (k=0, 1,
-1,2,-2…).
3. Максимумы и минимумы; необходимые условия.
Если функция f(x), определена и непрерывна в промежутке [a, b], не является в нем монотонной, то найдутся такие части [a, b], промежутка [a, b], в которой наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т. е. между a и b. На графике функции (рис. 2) таким промежуткам соответствуют характерные горбы или впадины. Рис. 2
Говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x0 - d, x0 + d), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех выполняется неравенство
f(x) £ f(x0) (или f(x) ³ f(x0)).
Иными словами, точка x0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x0) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x0.
Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x ¹ x) выполняется строгое неравенство
f(x) f(x0)).
То говорят, что функция имеет в точке x0 собственный максимум (минимум) в противном случае – несобственный.
Если функция имеет максимумы в точках x0 и x1, то, применяя к промежутку [x0, x1] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x2 между x0 и x1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В этом простейшем (и на практике - важнейшем) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они попросту чередуются.
Экстремум – объединяющий термин максимума и минимума.
Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее, основную роль будет играть производная.
Предположим сначала, что для функции f(x) в промежутке (a, b) существует конечная производная. Если в точке x0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (x0 - d, x0 + d), о котором была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f¢(x0) = 0: в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие точки будем называть стационарными.
Не каждая стационарная точка доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие не является достаточным. Например, для функции x3 проихводная 3x2 обращается в нуль при x = 0, но в этой точке функция не имеет экстремума: она все время возрастает.
Таким образом, стационарная точка для функции f(x) представляется, так сказать, лишь «подозрительной» по экстремуму подлежит дальнейшему испытанию.
Если расширить класс рассматриваемых функций, допуская, что в отдельных точках нет конечной производной, то не исключена возможность того, что экстремум придется на одну из таких точек. Поэтому их тоже нужно отнести к числу “подозрительных” по экстремуму и подвергнуть испытанию.
4. ПЕРВОЕ ПРАВИЛО
Пусть точка x0 является «подозрительной» по экстремуму для функции f(x).
Предположим, что в некоторой окрестности (x0 - d, x0 + d), этой точки (по крайней мере, для x ¹ x) существует конечная производная f¢(x) и как слева от x0 так и справа от x0 (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:
I. f¢(x) > 0 при x x0 т. е. производная f¢(x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [x0 - d, x0], функция f(x) возрастает, а в промежутке [x0 , x0 + d], убывает, так что значение f(x0) будет наибольшим в промежутке [x0 - d, x0 + d], т. е. в точке x0 функция имеет максимум.
II. f¢(x) 0 при x > x0 т. е. производная f¢(x) при переходе через точку x0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке x0 функция имеет минимум.
III. f¢(x) > 0 как при x x0 либо же f¢(x) f(x0), так что в точке x0 никакого экстремума нет.
Итак, мы получаем первое правило для испытания «подозрительного» значения x0 : подставляя в производную f¢(x) сначала x x0 , устанавливаем знак производной поблизости от точки x0 слева и справа от нее : если при этом производная f¢(x) меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если меняет знак минус на плюс, то – минимум, если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.
Класс функции, к которому применяется это правило.
Функция f(x) предполагается непрерывной в промежутке [a, b], и имеющей в нем непрерывную же производную f¢(x), за исключением разве лишь конечного числа точек. В этих точках производная как слева, так и справа стремится к бесконечным пределам, совпадающим по знакам или нет: в первом случае существует двусторонняя бесконечная производная, а во втором – разнящиеся знаками односторонние производные. Допустим, ято обращается в нуль производная лишь тоже в конечном числе точек. Графическая иллюстрация различных возможностей для “подозрительных” по экстремуму точек дана на рис. 3.
Рис. 3
Отметим, что в случаях б, в, г кривая пересекает касательную, переходя с одной ее стороны на другую; в этих случаях кривая имеет перегиб.
Для функций рассматриваемого класса приведенное правило полностью решает интересующий нас вопрос. Дело в том, что для такой функции в промежутке (a, b) – всего лишь конечное число стационарных точек, где отсутствует конечная производная:
a и в любом промежутке
(a, x1), (x1, x2 ), … , (xk, xk+1), … , (xk-1, b) (2)
производная f¢(x) сохраняет постоянный знак. Действительно, если бы f¢(x) меняла знак, например, в промежутке (xk, xk+1), то, ввиду предположенной непрерывности f¢(x) – по теореме Больцано-Коши – она обращалась бы в нуль в некоторой точке между xk и xk+1, что невозможно, поскольку все корни производной содержатся в ряду точек (1).
По Теореме 1, в каждом из промежутков (2) функция изменяется строго монотонно.
Замечание.
Хотя указанный класс функций охватывает все практически интересные случаи, но все же полезно дать себе отчет в том, что могут быть случаи, где правило исследования «подозрительных» значений неприложимо. Если, например рассмотреть функцию, определяемою равенствами
при x ¹ 0 и f(0) = 0,
то, при x = 0 она имеет производную . Однако в любой близости от стационарной точки как слева, так и справа производная
бесконечное множество раз обращается в нуль, меняя при этом знак: правило неприложимо (хотя и без него непосредственно ясно, что экстремума нет).
5. ВТОРОЕ ПРАВИЛО
Если точка x0 - стационарная:
f¢(x0) = 0
и функция f(x) имеет не только первую производную f¢(x0) в окрестности этой точки, но и вторую производную f¢¢(x0) в самой точке x0, то все испытание может быть сведено к рассмотрению знака этой последней производной, в предположении, что она отлична от нуля.
Действительно, по определению производной имеем
Но функция
(3)
приобретает знак своего предела f¢¢(x0), лишь только x (будучи отличным от x0) достаточно близко к x0(ôx - x0ô) Пусть f¢¢(x0) > 0; тогда дробь (3) положительна для всех упомянутых значений x. Но для x x0 будем иметь x - x0 > 0, так что и f¢(x0) > 0. Иными словами, получается, что производная f¢(x) меняет знак минус на плюс, а тогда – уже по первому правилу – в точке x0 будет минимум. Аналогично устанавливается, что, если f¢¢(x0) Таким образом, можно сформулировать второе правило для испытание «подозрительного» значения x0: подставляем x0 во вторую производную f¢¢(x); если f¢¢(x0) > 0, то функция имеет минимум, если же f¢¢(x0) Это правило имеет более узкий круг применения; оно, например, явно неприложимо к тем точкам, где не существует конечной первой производной (там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда вторая производная обращается в нуль, правило также ничего не дает. Решение вопроса тогда зависит от поведения высших производных.
6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Умение находить значения x, доставляющие функции y = f(x) экстремальные значения, может быть использовано для построение графика функции, точно характеризующего ход его изменения при возрастании x в промежутке [a, b].
Раньше мы строили график по точкам, взятым более и менее густо, но случайно и без учета особенностей графика (наперед не известных). Теперь можно с помощью указанных выше методов установить некоторое число «опорных» точек, характерных именно для данного графика. Имеется в виду, в первую очередь, вершины его горбов и впадин, отвечающие экстремальным значениям функции. Впрочем, к ним надлежит присоединить все вообще точки, где касательная горизонтальна или вертикальна. Даже если они не отвечают экстремумам функции.
Мы ограничимся рассмотрением функции y = f(x), принадлежащих к указанному в пункте 3 классу. Тогда для построения графика такой функции y = f(x) надлежит выполнить следующее:
1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва.
2. Найти асимптоты.
3. Приблизительно нарисовать график функции.
4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную (без производных более высокого порядка часто удается обойтись).
5. Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо равны нулю.
6. Составить таблицу изменения знака первой и второй производных. Определить промежутки возрастания, убывания, выпуклости вверх или вниз функции, найти точки экстремума (в том числе концевые) и точки перегиба.
7. Окончательно начертить график.
При этом чем большую точность графика мы хотим достигнуть, тем больше необходимо найти точек, лежащих на нем. Обычно целесообразно найти (быть может, с определенной точностью) точки пересечения графика с осями координат и точки, соответствующие экстремумам функции; другие точки находятся по мере потребности.
В случае очень громоздких выражений для второй производной иногда приходится ограничиваться рассмотрением тех свойств графика, которые можно изучать лишь с помощью первой производной.
Пример.
Найти экстремумы и построить график функции.
Конечная производная:
существует везде, исключая точки x = 0 и x = ±1. При приближении к ним как слева, так и справа производная имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках обе односторонние производные бесконечны.
Для определения корней производной приравниваем нулю ее числитель; мы найдем . Итак, «подозрительными» по экстремуму будут точки
-1, , 0, ,1
Впрочем, ввиду четности функции (и, следовательно, симметрии ее графика относительно оси y), достаточно ограничится правой полуплоскостью, т. е. значениями x ³ 0.
При x = 0 (и вблизи этой точки) числитель и второй множитель знаменатиля имеют знак плюс. Множитель же x1/3 знаменателя меняет знак минус на плюс, производная – тоже: минимум. При (и вблизи) знаменатель сохраняет знак плюс. Числитель же, имея в виду значения x, близкие к , перепишем так: ; он обращается в нуль при, с уменьшением x – увеличивается, а с увеличением – уменьшается, так что меняет знак плюс на минус, и налицо максимум. При переходе через x = 1 множитель в знаменателе, который обращается в этой точке в нуль, не меняет знака; это же справедливо и для производной, так что при x = 1 экстремума нет.
Хотя рассматриваемая функция определена и непрерывна во всем промежутке (-¥, +¥), но построение графика, разумеется, может быть осуществлено лишь в конечном промежутке. Впрочем, можно охарактеризовать и поведение функции «на бесконечности», переписав ее так:
видим, что f(x) > 0 и стремится к нулю при x ® ±¥. Таким образом, график функции расположен над осью x, но по мере удаления в бесконечность как налево, так и направо, приближается к совпадению с осью.
Таблица:
x =
-¥
-1
= -0,71
0
= 0,71
1
+¥
y =
0
1
=1,59
1
= 1,59
1
0
y¢ = +¥
y¢ = 0
y¢ =±¥
y¢ = 0
y¢ = -¥
макс.
мин.
макс.
График функции:
Рис. 4
7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ
Мы видели, что если f¢(x0) = 0 и f¢¢(x0) > 0, то функция f(x) достигает в точке x0 минимума; если же f¢(x0) = 0 и f¢¢(x0) Предположим теперь, что в окрестности точки x = x0 функция f(x)имеет n последовательных производных, и n –я производная в точке x = x0 непрерывна. Пусть все они, вплоть до (n-1)–й, в этой точке обращаются в нуль:
f¢(x0) = f¢¢(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0,
между тем как f(n)(x0) ¹ 0. Расположим приращение f(x) - f(x0) функции f(x) по степеням разности x - x0 по формуле Тейлора с дополнительным членом по формуле Пеано, так как все производные порядков, меньше чем n, равны в точке x0 нулю, то
Вследствие того, что a ® 0 при x ® x0, при достаточной близости x к x0 знак суммы в числителе будет совпадать со знаком f(n)(x0) как для x x0,. Рассмотрим два случая.
1. n есть нечетное число: n = 2k + 1.При переходе от значений x, меньших чем x0, к значениям, большим чем x0, выражение (x - x0)2k + 1 изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разности f(x) – f(x0) изменится. Таким образом в точке x0 функция f(x) не может иметь экстремума, ибо вблизи этой точки принимает значения как меньшие, так и большие, чем f(x0).
2. n есть четное число: n = 2k. В этом случае разность f(x) – f(x0) не меняет знака при переходе от x, меньших чем x0 к большим, так как (x - x0)2k > 0 при всех x. Очевидно, вблизи x0 как слева, так и справа, знак разности f(x) – f(x0) совпадает со знаком числа f(n)(x0). Значит, если f(n)(x0) > 0, то f(x) > f(x0) вблизи точки x0, и в точке x0 функция f(x) имеет минимум; если же f(n)(x0) Отсюда получаем такое правило:
Если из производных, не обращающихся в точке в нуль, первой оказывается производная нечетного порядка, то функция не имеет в точке ни максимума, ни минимума. Если такой производной является производная четного порядка, функция в точке, имеет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли эта производная отрицательна или положительна.
Пример.
Например, для функции f(x) = ex + e-x + 2 cos x точка x = 0 является стационарной, так как в этой точке обращается в нуль производная
f¢(x) = ex - e-x - 2 sin x
Далее:
f¢¢(x) = ex + e-x - 2 cos x f¢¢(0) = 0;
f¢¢¢(x) = ex - e-x + 2 sin x f¢¢¢(0) = 0;
f¢¢¢¢(x) = ex + e-x - 2 cos x f¢¢¢¢(0) = 4.
Так как первой в нуль не обратилась производная четного порядка, то налицо экстремум, а именно минимум, ибо f¢¢¢¢(0) > 0.
II. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
1. РАЗЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна в конечном замкнутом промежутке [a, b]. До сих пор мы интересовались лишь ее максимумами и минимумами, теперь же поставим вопрос о разыскании наибольшего и наименьшего из всех значений, которые она принимает в этом промежутке; по известному свойству непрерывных функций, такие наибольшее и наименьшее значения существуют. Остановимся для определенности на наибольшем значении.
Если оно достигается в некоторой точке между a и b, то это одновременно будет одним из максимумов (очевидно, наибольшим); но наибольшее значение может достигаться и на одном из концов промежутка, a или b (Рис. 5). Таким образом, нужно сравнить между собой все максимумы функции f(x) и ее граничные значения f(a) и f(b); наибольшее из этих чисел и будет наибольшим из всех значений функции f(x) в [a, b]. Аналогично разыскивается и наименьшее значение функции.
Рис. 5
Если желают избежать исследования на максимум или минимум, то можно поступить иначе. Нужно лишь вычислить значения функции во всех «подозрительных» по экстремуму точках и сравнить их с граничными значениями f(a) и f(b); наибольшее и наименьшее из этих чисел, очевидно, и будут наибольшим и наименьшим из этих значений функции.
Замечание. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда между a и b оказывается лишь одна «подозрительная» точка x0. Если в этой точке функция имеет максимум (минимум), то без сравнения с граничными значениями ясно, что это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке (Рис. 6). Часто в подобных случаях оказывается более простым произвести исследование на максимум и минимум, чем вычислять и сравнивать частные значения функции (особенно, если в состав ее выражения входят буквенные постоянные).
Важно отметить, что сказанное приложимо в полной мере и к открытому промежутку (a, b), а также к бесконечному промежутку.
Рис. 6
Замечание.
Нужно обратить внимание на следующее. При разыскании наибольшего или наименьшего значения функции для определенного промежутка изменения аргумента легко может оказаться, что внутри этого промежутка вовсе нет корней производной для других «подозрительных» значений. Это свидетельствует о том, что в рассматриваемом промежутке функция оказывается монотонно возрастающей или убывающей и, следовательно, достигает как наибольшего, так и наименьшего своего значения на концах промежутка.
III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фихтенгольц Г. М.
Основы математического анализа (1). – СПб.: Издательство «Лань», 2001. – 448 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература).
2. Кудрявцев Л. Д.
Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. – М.: Высш. школа, 1981, т. I. – 687 с., ил.
3. Фролов Н. А.
«Дифференциальное и интегральное исчисление».
Государственное учебно-педагогическое издание министерства просвещения РСФСР. Москва – 1955.
4. Хинчин А. Я.
«Краткий курс математического анализа».
Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва – 1955 г.
5. Стефан Банах.
«Дифференциальное и интегральное исчисление»
Государственное издательство физико-математической литературы. Москва - 1958 г.