Определение
Элементы коммутативной группы G называются ее системой образующих (с.о.) , если каждый элемент можно записать в виде: , где . Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом образующих (г.к.о.)
Примеры.
1. Циклическая группа - группа с одной образующей.
2. Группа всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с операцией сложения имеет стандартную с.о. e= , где - вектор, у которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.
Отметим, что Z. Будем также считать, что - тривиальная группа.
3. Система {3,7} - является с.о. группы Z. Это вытекает из тождества: m= m*7+(-2m)*3 .
4. Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему образующих можно взять, например, все элементы этой группы.
5. Группа Qрациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о. В самом деле, если - любые рациональные числа, записанные в виде отношения целых, то, приводя к общему знаменателю сумму , получим дробь, знаменатель которой не превосходит N= . Поэтому любая несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.
Пусть G- группа с с.о. . Определим отображение формулой: . Очевидно, что является сюръективным гомоморфизмом. Будем называть стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о Он отображает стандартную с.о. группы в заданную с.о. группы G. Из существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является гомоморфным образом группы . Отметим еще, что если - сюръективный гомоморфизм, то - с.о. группы K. Поэтому гомоморфный образ г.к.о. является г.к.о.
Теорема о подгруппах г.к.о.
Всякая подгруппа H группы G с с.о. допускает конечную с.о. , причем .
Доказательство.
Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай сформулированный в теореме. Определим множество
. Легко проверить, что - подгруппа и потому P=kZ, где . Если k>0 выберем так, чтобы . Пусть - подмножество G, состоящее из всевозможных линейных комбинаций , где все . Очевидно, что - подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также - подгруппа . По предположению индукции допускает конечную с.о. , где . Если k=0, и теорема доказана. Предположим, что k>0. Докажем тогда, что - с.о. подгруппы H. Пусть - произвольный элемент. Тогда h= . Значит,
=и потому=, откуда и теорема полностью доказана.
Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания группы G с заданной с.о. с помощью матриц. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . Тогда H=Ker- подгруппа г.к.о. и потому имеет конечную с.о. . Поскольку , можно записать: , где . Матрица с этими элементами полностью описывает подгруппу H, а, следовательно, и группу G.
Примеры.
1. Пусть G=- циклическая группа с образующей g. Стандартный гомоморфизм имеет ядро nZс образующей n. Здесь - (11) матрица (n).
2. Пусть G=- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3) как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и *13=11, мы видим, что каждый элемент из может быть записан в виде , то есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм
действует по формуле: . Ядро этого гомоморфизма состоит из таких двумерных векторов , для которых =1, то есть элементы и должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2; m=4q+2 (). Отсюда видно, что в качестве образующих можно выбрать элементы и . Поэтому получаем: .
Замечание.
Построение матрицы для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы G и подгруппы . Существует стандартный способ изменения с.о. - выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы , а э.п. с.о. H приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B- любая , то взяв в качестве -множество всевозможных целочисленных комбинаций столбцов B и образовав факторгруппу G= мы придем к группе, для которой =B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет некоторую г.к.о.