Внеклассная работа по математике в школе

Введение…………………………………………………………………………………3 1 Цели проведения внеклассной работы по математике…………………………… 5 1.1 Общая характеристика внеклассной работы по математике……………… .5 1.2 Классификация внеклассной работы………………………………………… 7 2 Роль внеклассной работы по математике………………………………………… .9
2.1 Внеклассная работа учащихся по математике и методика её проведения………………………………………………………………………………9 2.2 Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, отстающих от других в изучении программного материала………………………………………………… 11 2.3 Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности………………………13 3 Виды внеклассной работы по математике…………………………………………15 3.1 Кружковые занятия по математике и методика её проведения…………….15 3.2 Факультативные занятия по математике и методика их проведения…… .19 3.3 Общая характеристика школьных математических олимпиад. Примеры задач математических олимпиад для 9, 10, 11 классов…………………………… 26 3.4 Математический бой .Схема проведения………………………………… .37 Список использованной литературы…………………………………………… 49
ВВЕДЕНИЕ Внеклассная работа по математике формирует и развивает способности и личность ребёнка. Управлять этим процессом - значит не только развивать и совершенствовать заложенное в человеке природой, но формировать у него потребность в постоянном саморазвитии и самореализации, так как каждый человек воспитывает себя прежде всего сам, здесь добытое лично - добыто на всю жизнь. Цели обучения математике обусловлены структурой личности, общими целями образования, концепцией предмета математики, её статусом и ролью в науке, культуре и жизнедеятельности общества, ценностями математического образования, новыми образовательными идеями, среди которых важное место занимает развивающее обучение. Под внеклассной работой понимается не обязательные, систематические занятия с учащимися во внеурочное время. Математические школы, факультативные занятия и кружки призваны углублять математические знания школьников, уже определивших основной круг своих учебных интересов. Учитывая, что потребность в специалистах- математиках сейчас очень велика, необходимо формировать соответствующий интерес еще в школе. На уроках математики имеется немало возможностей заинтересовать школьников содержанием этой науки. Вместе с тем основная цель занятий всё же состоит в обучении определённому комплексу процедур математического характера, занимательность изложения подчинена этой цели, развитие способностей учащихся происходит в рамках изучения обязательного материала. Нередко участие во внеклассной работе по математике может явиться первым этапом углубленного изучения математики и привести к выбору факультатива по математики, к поступлению в математическую школу, к самостоятельному изучению заинтересовавшего материала и т.п.
1 ЦЕЛИ ПРОВЕДЕНИЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 1.1 Общая характеристика внеклассной работы по математике Одной из важнейших целей проведения внеклассной работы по математике является развитие интереса учащихся к математике, привлечение учащихся к занятиям в факультативах. У учащихся имеется большое желание проверить свои силы, математические способности, умение решать нестандартные задачи. Их привлекает возможность добровольного участия. Проведение внеклассной работы по математике является прекрасным средством повышения квалификации учителей. Одной из целей является расширение изучаемого материала курса математики, иногда такое расширение выходит за рамки обязательной программы. Рассмотрение на дополнительных занятиях таких вопросов неизбежно приводит учителя к необходимости основательного знакомства с этим материалом и с методикой его изложения учащимся. Так же это помогает выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятиям математикой, что весьма важно для решения вопроса о подготовке большого числа новых математических и научно-методических кадров. Современная школа должна управлять воспитательным процессом, а не плестись в хвосте. Управлять воспитательным процессом - значит не только развивать и совершенствовать заложенное в человеке природой, корректировать намечающиеся нежелательные социальные отклонения в его поведении и сознании, но информировать у него потребность в постоянном саморазвитии, самореализации физических и духовных сил, так как каждый человек воспитывает себя прежде всего сам. Основные цели проведения внеклассной работе по математике следующие: 1. Определить степень заинтересованности учеников и учителей во внеклассной работе по математике. 2. Определить степень совпадения интересов педагога и учеников. 3. Определить место внеклассной работы по математике средних и старших классов в школьной жизни. 4. Определить направленность этой внеклассной работы. 1.2 Классификация внеклассной работы Существуют различные виды классификации внеклассной работы по математике, они весьма подробно освещены в многочисленной педагогической и методической литературе. Ю.М.Колягин различает два вида внеклассной работы по математике. 1. Работа с учащимися отстающими от других в изучении программного материала, т.е. дополнительные занятия по математике. 2. Работа с учащимися проявляющими интерес к математике. Но можно выделить ещё и третий вид работы. 3. Работа с учащимися по развитию интереса в изучении математики . Основной целью первого вида внеклассной работы является ликвидация пробелов и предупреждение неуспеваемости. Бытует мнение, что если такая дополнительная работа ведётся. То это говорит, что недостаточно организована работа на уроке. В любом случае эта работа должна носить ярко выраженный индивидуальный характер и требует от учителя особого такта и характера. Цели второго вида внеклассной работы по математике могут быть очень разнообразны и зависят от того, что интересно и что хотят узнать нового о математике ученики так, например: 1. Развитие и углубление знаний по программному материалу. 2. Привитие им навыков исследовательской работы. 3. Воспитание культуры математического мышления. 4. Развитие представлений о практическом применении математики и т. п. Третий вид внеклассной работы может носить подобные цели, но главный упор делается на развитие интересов математики в соответствии с возможностями этой группы учащихся. Существуют следующие формы внеклассной работы: 1. Математический кружок. 2. Факультатив. 3. Олимпиады конкурсы, викторины. 4. Математические олимпиады. 5. Математические дискуссии. 6. Неделя математики. 7. Школьная и классная математическая печать. 8. Изготовление математических моделей. 9. Математические экскурсии. Указанные формы часто пересекаются и поэтому трудно провести между ними резкие границы. Более того, элементы многих форм могут быть использованы при организации работы по какой либо одной из них. Например, при проведении математического вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т. д. 2 РОЛЬ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 2.1 Внеклассная работа учащихся по математике и методика её проведения Требования, предъявляемые программой по математике, школьными учебниками и сложившейся методикой обучения, рассчитаны на так называемого "среднего" ученика. Однако уже с первых классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивают программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом.
Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа. Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время. Следует различать два вида внеклассной работы по математике: работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия); работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина). Говоря о первом направлении внеклассной работы, следует отметить, что этот вид внеклассной работы с учащимися по математике в настоящее время имеет место в каждой школе. Вместе с тем повышение эффективности обучения математике с необходимостью должно привести к снижению значения дополнительной учебной работы с отстающими. В идеальном случае первый вид внеклассной работы должен иметь ярко выраженный индивидуальный характер и проявляться лишь в исключительных случаях (например, в случае продолжительной болезни учащегося, перехода из школы другого типа т. п.). Однако в настоящее время эта работа требует еще значительного внимания со стороны учителя математики. 2.2 Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, отстающих от других в изучении программного материала Основной целью ее является своевременная ликвидация (и предупреждение) имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики. Передовой опыт работы учителей математики свидетельствует об эффективности следующих положений, связанных с организацией и проведением внеклассной работы с отстающими. 1. Дополнительные (внеклассные) занятия по математике целесообразно проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 человека в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно однородны как с точки зрения имеющихся у школьников пробелов в знаниях, так и с точки зрения способностей к обучаемости. 2. Следует максимально индивидуализировать эти занятия (например, предлагая каждому из таких учащихся заранее подготовленное индивидуальное задание и оказывая в процессе его выполнения конкретную помощь каждому). 3. Занятия с отстающими в школе целесообразно проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней работой учащихся по индивидуальному плану. 4. После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме. 5. Дополнительные занятия по математике, как правило, должны иметь обучающий характер; при проведении занятий полезно использовать соответствующие варианты самостоятельных или контрольных работ из "Дидактических материалов", а также учебные пособия (и задания) программированного типа. 6. Учителю математики необходимо постоянно анализировать причины отставания отдельных учащихся при изучении ими математики, изучать типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении той или иной темы. Это делает дополнительные занятия по математике более эффективными. 2.3 Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности Второе из указанных выше направлений внеклассной работы по математике -занятия с учащимися, проявляющими к ее изучению повышенный интерес, отвечает следующим основным целям: 1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям. 2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу. 3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера. 4. Воспитание высокой культуры математического мышления. 5. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой. 6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике и практике социалистического строительства. 7. Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики. 8. Воспитание учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной. 9. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников. 10. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими , в пропаганде математических знаний среди других учащихся). Предполагается, что реализация этих целей частично осуществляется на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программы, это не удается сделать с достаточной полнотой. Поэтому окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия по математике этого вида.
3 ВИДЫ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 3.1 Кружковые занятия по математике и методика её проведения. Основным видом внеклассной работы по математике в школе являются факультативные занятия по математике. Вызывая интерес учащихся к предмету, факультативы способствуют развитию математического кругозора, творческих способностей учащихся. Их дополняют разовые мероприятия проводимые как в школе (математические вечера, викторины, олимпиады, КВН, соревнования команд и др.), так и вне школы (математические конкурсы, занятия в физико-математических школах, конкурсы по решению задач и др.). Математический кружок - одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности. Обычно кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако следует иметь в виду, что иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка и нередко весьма успешно занимаются там; учителю математики не следует этому препятствовать. Необходимо лишь более внимательно отнестись к таким учащимся, постараться укрепить имеющиеся у них ростки интереса к математике, проследить за тем, чтобы работа в математическом кружке оказалась для них посильной. Конечно, наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу учителя, однако путем индивидуализации заданий, предлагаемых учителем кружковцам, можно в некоторой степени ослабить эти трудности. Главное - сохранить массовый характер кружковых занятий по математике, являющийся следствием доступности посещения кружковых занятий всеми желающими.
Уже при организации математического кружка необходимо заинтересовать учащихся, показать им, что работа в кружке не является дублированием классных занятии, четко сформулировать цели и раскрыть характер предстоящей работы (для этого целесообразно выделить часть времени на одном из уроков математики с тем, чтобы обратиться с сообщением об организации кружка ко всему классу).
На первом занятии кружка надо наметить основное содержание работы, выбрать старосту кружка, договориться с учащимися о правах и обязанностях члена кружка, составить план работы и распределить поручения за те или иные мероприятия (выпуск математической стенной газеты, ведение документации работы кружка и т. п.). Занятия кружка целесообразно проводить один раз в неделю, выделяя на каждое занятие по одному часу. К организации работы математического кружка целесообразно привлекать самих учащихся (поручать им подготовку небольших сообщений по изучаемой теме, подбор задач и упражнений по конкретной теме, подготовку справок исторического характера, изготовление моделей и рисунков к данному занятию и т. д.). На занятиях математического кружка учитель должен создать "атмосферу" свободного обмена мнениями и активной дискуссии. Тематика кружковых занятий по математике в современной школе весьма разнообразна. В тематике кружковых занятий для 5-11 классов находят место вопросы, связанные с историей математики, жизнью и деятельностью российских и зарубежных известных математиков. 3.2 Факультативные занятия по математике и методика их проведения Факультативные занятия по математике ведутся в школе с 8 класса со следующим числом недельных часов: 8 класс -1 час, 9 - 2 часа, 10 - 2 часа и 11-2 часа. Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества. Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса. Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс математики ведет один учитель, а факультативный - другой, изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (в этом случае изучение тем можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы). Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть: 1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне; 2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс. Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (8-9 классы, 10-11 классы и т. п.). Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствий с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.). По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате. Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю. Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой. Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике - дифференцированного обучения. По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения. В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука - "дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие". Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д. Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна 'занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п. Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях. Естественно также при проведении факультативных занятий в основном использовать методы изучения (а не обучения) математики, а также проблемную форму обучения. В частности, ее можно осуществить, если представить изучаемый факультативный курс в виде серии последовательно расположенных задач. "Решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления. Теоремы имеют вид задач. Если теорема, которую учащиеся должны доказать, является большой или трудной, то она разбивается на несколько задач так, что решение предыдущей помогает решить последующую. Определения либо включаются преподавателем в текст задачи, либо сообщаются особо. В необходимых случаях преподаватель проводит предварительную беседу или делает обобщения. Листочки с заданиями, размноженные на машинке, на каждое занятие выдаются всем ученикам"
Полезно также широко использовать задачи проблемного характера В настоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям: а) изучение курсов по программе "Дополнительные главы и вопросы курса математики"; б) изучение специальных математических курсов. Содержание программы "Дополнительные главы и вопросы" систематического курса математики позволяет решить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике, готовит учителя к работе по новой программе".
В качестве конкретного примера постановки факультативного курса рассмотрим объединенную тему "Множества и операции над ними. Бесконечные множества". Содержание программы по этой факультативной теме явно ориентирует на то, чтобы общие понятия о множествах, элементах множества и операциях над множествами возникали из рассмотрения конкретных примеров множеств решений уравнений, неравенств и их систем. Такая постановка вопроса не соответствует той роли, которую играет понятие множества вне рамок учения об уравнениях и неравенствах как в математике, так и за пределами этой науки. Поэтому не исключено, что после изучения этой темы учащиеся не заметят первоначального объективного источника возникновения понятия о множестве и не поймут фундаментального значения этого понятия для всей математики. Для того чтобы указанная тема наиболее полно способствовала углублению математических знаний учащихся, у них должно быть сформировано представление о понятии множества как о первоначальном понятии математики, из которого развивается наука-математика. Здесь не идет речь о строгом логическом обосновании математики. Достаточно показать на конкретных примерах, как проявляются понятия множества, отношения между множествами и операции над множествами в различных разделах математики - арифметике, алгебре, геометрии, в учениях о функциях, уравнениях и неравенствах. Вот эта линия и должна последовательно проводиться на факультативных занятиях. Объем материала по теории множеств, изучаемого на факультативных занятиях в девятых классах, зависит от того, изучались или не изучались элементы теории множеств на факультативных занятиях в восьмых классах. Если эта тема изучалась в 9 классе, то некоторые из входящих в нее вопросов рассматриваются лишь в порядке повторения (полезнее - при решении соответствующих задач); если же эта тема не ставилась ранее, то в целях сокращения материала некоторые из более элементарных задач или упражнений следует опустить. Рассмотрение универсального множества имеет важное значение в развитии функционального мышления учащихся. Раскрытию содержания этого понятия, его относительного характера должно быть уделено большое внимание. В 9 классе для обоснования свойств отношений между множествами и операций над множествами вполне достаточно применение кругов Эйлера. В 10 классе кругами. Эйлера целесообразно иллюстрировать результаты аналитических обоснований. Для особого факультативного изучения полезно отнести: а) решение нестандартных математических задач; б) элементы программирования и принцип работы электрон" новычислительных машин; в) творческие индивидуальные работы учащихся над избранными ими самими вопросами элементарной математики. Приведем пример факультативного занятия по математике для учеников 8-х классов отстающих от школьной программы . Для того , чтобы выяснить уровень ученика , по теме : сложение и вычитание дробей с разными знаменателями . Зададим ученикам несколько теоретических и практических заданий. Во время опроса ученики не должны пользоваться учебниками , тетрадями и другой литературой. Теоретические вопросы. 1. Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. 2. Сформулируйте правило вычитание дробей с одинаковыми знаменателями . 3. Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Практические задания. Вариант 1. а). в) с) Вариант 2. а) в) с) Вариант 3. а) в) с) Теоретические вопросы у всех должны быть у всех одинаковые . Зачастую ученики не могут ответить на теоретические вопросы , именно поэтому возникают проблемы с практическим заданием. Именно поэтому важно на факультативных занятиях более подробно рассматривать нужные правила. Ученик не должен стеснятся задавать вопросы. Итак , в данном примере выписываем: Где в,d = 0. Далее подробно решить задание. Например: Сложим дроби Знаменатели дробей представляют собой собой одночлены . Наиболее простым общим знаменателями являются одночлен 12ав . Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей , а каждая переменная взята с наибольшим показателем , с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей равны 3в и 2а . Имеем На основании этого примера дать ученикам попробовать еще раз справиться с заданием . Желающие могут выйти к доске . На факультативных занятиях для отстающих учеников , главное дать понять ученику ,что он сможет решить предложенные задания. Даже если поначалу ученику помогают , то впоследствии ему будет важно добиться самостоятельных успехов. 3.3 Общая характеристика школьных математических олимпиад. Примеры задач математических олимпиад для 9, 10, 11 классов Школьные математические олимпиады представляют собой более массовые соревнования, поскольку они охватывают учеников не одного, а всех параллельных классов школы. Олимпиады в школе проводятся несколько раз в год с целью повышения интереса учеников к математике, расширения их мировоззрения, выявления наиболее способных учеников, подведения итогов работы математических кружков или клуба юных математиков, повышение общего уровня преподавания математики в средних и старших классах. Примеры олимпиадных задач Новосибирска 1998 года , решение и комментарии к этим задачам. 9 класс 1. На острове Чунга-Чанга 80% мужчин женаты, а 40% женщин - замужем. Какая доля населения этого острова состоит в браке? 2. Можно ли треугольник с тремя различными сторонами разрезать на два равных треугольника? 3. В таблице 3 *3 расставлены положительные числа. Произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в любом квадрате 2*2 равно 4. Какое число стоит в центре квадрата? 4. Доказать, что число 2001*20033 - 2002*20023 является кубом натурального числа. 5. В пробирке находится 2001 красная амёба, 2002 синие амёбы и 2003 зелёные амёбы. Две амёбы двух разных цветов могут сливаться в одну амёбу третьего цвета (красная и зелёная - в синюю, красная и синяя - в зелёную, зелёная и синяя - в красную). После нескольких таких слияний в пробирке осталась ровно одна амёба. Каков её цвет? 10 класс 1. Бизнесмен Вася купил 2 автомобиля, заплатив в сумме 36000$, и перепродал их, получив 25% прибыли. При перепродаже первого автомобиля прибыль составила 50%, а при перепродаже второго - 12,5%. Но о второй сделке Вася не сообщил в налоговую инспекцию, и в конце года с него взяли штраф, равный половине первоначальной стоимости второго автомобиля. Сколько долларов потерял Вася в результате данной сделки?
2. В таблице расставлены числа. В каждой строке и в каждом столбце произведение чисел равно 1. В каждом квадрате произведение чисел равно 2. Найти произведение чисел, стоящих в двух верхних клетках третьего столбца. 3. Докажите, что число 516 + 214 - составное число. 4. Дана окружность с центром в точке О1. Окружность с центром О2 проходит через точку О1. А и В - точки пересечения этих окружностей. Касательная к окружности с центром О2, проходящая через точку В пересекает первую окружность в точке С. Докажите, что AB=BC.
5. По кругу сидят 2002 хамелеона, которые могут менять цвет в следующем порядке: синий, оранжевый, фиолетовый, зелёный. Если прикоснуться к одному из них, то он меняет цвет на следующий по порядку, и одновременно с ним меняют свой цвет трое следующих за ним по часовой стрелке. В начальный момент времени все хамелеоны - синие. Можно ли добиться того, чтобы все хамелеоны стали зелёными? 11 класс 1. Доказать, что для всех положительных чисел a, b, c, d выполняется неравенство . 2. Вычислить: 3. В некоторой компании мальчиков больше, чем девочек. Если каждый мальчик купит батончик "Snickers", а каждая девочка - батончик "Mars", то они истратят на 1 рубль меньше, чем если бы каждый мальчик купил "Mars", а девочка "Snickers". На сколько мальчиков больше чем девочек? 4. В параллелограмме ABCD AD+BC=BD. На стороне AB взята точка K, а на стороне CD - точка M так, что AKCM - ромб. Найти отношение AK:KB. 5. В каждой вершине тетраэдра находится лампочка, которая может гореть поочерёдно красным, желтым, зелёным цветом. На каждой грани тетраэдра находится кнопка, при нажатии на которую все лампочки в вершинах, принадлежащих этой грани, меняют своё состояние на следующее. Можно ли путём нескольких нажатий добиться того, чтобы все лампочки горели жёлтым цветом, если изначально все они горели красным цветом. РЕШЕНИЯ. 9 КЛАСС. 1. Количество мужчин и женщин, состоящих в браке, - одно и то же. Обозначим его . Тогда мужчин на острове - , женщин - . Общее число жителей - . Состоящих в браке - . Тогда искомая величина: . 2. Пусть разрезан на два равных треугольника (см. рис). Тогда в должен быть равен одному из углов . Но не может равняться или , так как внешний угол треугольника всегда больше внутреннего угла, не смежного с ним. Если же , то , значит является высотой. Так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то , что противоречит тому, что - разносторонний. Следовательно, разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника. A B C D E F G H I 3. (ABDE)(BCEF)=(ABC)(DEF)(BE). Учитывая, что ABDE=BCEF=4, ABC=DEF=1, получаем равенство: 16=BE. Аналогично получим, что EH=16. Перемножаем полученные равенства: (BE)(EH)=(BEH)E. 1616=E. Ответ: E=256. 4. Обозначим 2001=. Тогда данное нам числовое выражение запишется в виде:. Тогда . 5. Пусть Nk, Ns и Nz - количество красных, синих и зелёных амёб, соответственно. В начальный момент времени , - нечётны, - чётно. Нетрудно проверить, что при любом слиянии эти чётности сохраняются. Поэтому в конце концов , . Ответ: последняя амёба - синяя. РЕШЕНИЯ. 10 КЛАСС. 1. Пусть x$ - стоимость первого автомобиля, y$ - стоимость второго автомобиля. При продаже Вася получил 9000$ чистой прибыли. Составляем систему уравнений: . Решив систему, найдём . Тогда сумма штрафа составляет 12000$. 12000 - 9000=3000. Таким образом, Вася потерял 3000$. A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
2. (A1A2A3B1B2B3C1C2C3) (A3A4A5B3B4B5C3C4C5) (A6A7A8B6B7B8C6C7C8)=(A1A2A3A4A5A6A7A8)  (B1B2B3B4B5B6B7B8) (C1C2C3C4C5C6C7C8)(A3B3C3). Т.е. A3B3C3=8. Аналогично - C1C2C3=8. Произведение чисел в квадрате 66, стоящем на пересечении 3-8 столбцов и 3-8 строк равно 16, так как этот квадрат разбивается на 4 квадрата 33. В оставшемся уголке (на рисунке он заштрихован) произведение чисел равно 1/16, так как во всей таблице произведение равно 1. Но произведение чисел в закрашенном уголке можно также получить, перемножив числа первой и второй строк, первого и второго столбца и разделив всё это на A1A2B1B2. Отсюда A1A2B1B2=16.
(A1A2B1B2)( A3B3C3)( C1C2C3)=(A1A2A3B1B2B3C1C2C3)C3. 1688=2С3. Откуда С3=512, A3B3=8/512=1/64. Ответ: 1/64. 3. . 4. Пусть вписанный в первую окружность . Соответствующий ему центральный угол . Но вписан во вторую окружность, поэтому . - это угол между касательной BC и секущей AB, поэтому . Тогда по теореме о сумме углов треугольника, . Значит, - равнобедренный. AB=BC, что и требовалось доказать. 5. Каждому цвету поставим в соответствие один из остатков по модулю 4. Синий - 0, оранжевый - 1, фиолетовый - 2, зелёный - 3. Вместо хамелеонов будем рассматривать 2002 целых числа, стоящие по кругу. Операция смены цвета в новой трактовке будет равносильна прибавлению 1 к четырём последовательно стоящим числам. (При этом, если будет получаться число, большее 3, то оно заменяется на остаток от деления на 4.) В начальный момент времени по кругу стоят нули и нам требуется узнать, можно ли путём указанной операции сделать все числа, равные трём. В начальный момент времени сумма равна 0 и на каждом шаге она может изменяться лишь на величину, кратную четырём, т.е. сумма всех чисел на каждом шаге будет делиться на 4. Поэтому 2002 тройки (которые в сумме дают 6006=41501+2) получить нельзя. РЕШЕНИЯ. 11 КЛАСС. 1. Перенесём все слагаемые в левую часть. . 2. , , , ……… . . 3. Пусть x - количество мальчиков, y - количество девочек. - стоимость сникерса, - стоимость марса (в копейках). Составим уравнение. . . . . . - целое положительное число (т.к. по условию x>y), b и a - также целые числа, так как копейка - самая мелкая денежная единица. Следовательно (b-a) - это положительный делитель 100. Возможные варианты: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. Такие же варианты будут и для разности x-y. Ответ: мальчиков может быть больше, чем девочек, на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. Пусть O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, она же является точкой пересечения диагоналей ромба AKCM. AD=BC, тогда, по условию, 2AD=BD. AD=BD/2=OD. - равнобедренный. Пусть R - середина отрезка OA. Тогда медиана DR является также высотой. . по свойству диагоналей ромба. Значит, . Пусть T -точка пересечения DR и AB. По теореме Фалеса, ; . Следовательно, . Поставим в соответствие каждому цвету остаток по модулю 3: красному - 0, жёлтому - 1, зелёному - 2. Тогда операция нажатия на кнопку будет равносильна прибавлению единицы к трём числам, находящимся в вершинах выбранной грани (если при этом где-либо будет получаться тройка, то вместо неё будет записываться - 0, т.е. остаток от деления на 3). А вопрос задачи будет звучать следующим образом: можно ли все числа в вершинах тетраэдра сделать равными единице? Таким образом, сумма чисел в вершинах тетраэдра будет изменяться каждый раз на слагаемое кратное трём. А т.к. в начальный момент она была равна 0, то в любой момент времени сумма кратна трём. Поэтому единицы в вершинах тетраэдра получить нельзя, ведь в этом случае сумма всех чисел равна 4, а 4 на 3 нацело 3.4 Математический бой . схема провидения. Схема матбоя. Матбой - это соревнование двух команд в решении нестандартных задач , подобранных жюри, в умении рассказывать решение у доски и в умении проверять чужие решения. Команды получают одинаковые задачи и решают их в разных помещениях в течении заданного времени. Таким образом, матбой состоит из двух частей: решение задач и собственно боя. Чтобы определить, в каком порядке команды будут рассказывать решения задач, команды делают вызовы: одна называет номер задачи, решение которой она желает услышать, другая сообщает, принят ли вызов. Обычно команды вызывают друг друга по очереди. Если вызванная команда хочет отвечать, то она выставляет докладчика, а другая команда - оппонента для проверки решения. Командам могут даваться минутные перерывы для помощи докладчику или оппоненту. Если вызванная команда отказалась, то она вызвавшая команда должна сама рассказать решение задачи. При этом если оппонент докажет, что у докладчика нет решения, то вызов считают некорректным. Тогда вызвавшая команда должна повторить вызов.
Команда может отказаться делать очередной вызов (если у нее не осталось решенных задач и не хочет делать некорректный вызов). Тогда другая команда получает право рассказывать решения любых задач, оставшихся неразобранными. После каждого выступления жюри дает командам очки как за доклад, так и за оппонирования.
1. Предельное число выходов к доске одного человека (обычно два). 2. Число минутных перерывов (обычно три). 3. Примерное время на доклад (обычно пятнадцать мин.), после которого жюри решает, дать еще время или передать слово оппоненту. 4. Можно ли оппоненту дополнять докладчика, если он не нашел пробелов в решении (обычно «нет»). 5. Какую разницу очков считать нечейной (обычно не больше трех). 6. Какой круг фактов и методов можно использовать без доказательства. 7. Можно ли пользоваться литературой и калькуляторами во время решения задач (обычно «да»). 8. Можно ли выходить к доске с записанным решением (обычно «да»). НАЧАЛО БОЯ. Когда время на решение задач истекло команда и жюри собираются вместе. Целесообразно создать обстановку (расставить столы) для удобного общения членов команд и жюри (рис. 1). Команда 1 Капитаны сообщают названия команд. На доске изображается таблица результатов. Номер задачи Очки команды Вызов Очки команды Очки жюри Существуют ограничения на общение участников, которые показаны на схеме (Рисунок 2: например, оппонент может общаться только с докладчиком и жюри, а капитан - только со своей командой и с жюри). Примеры задач и игр для конкурса капитанов 1. Сколько существует трехзначных чисел? 2. На столе лежат 20 спичек, двое по очереди берут 1 или 2 спички. Побеждает тот, кто берет последнюю спичку. 3. Газету разорвали на 3 части, потом 1 из частей разорвали еще на 3 части, и так делали 40 раз. Сколько получилось частей? 4. Полный бидон молока весит 30 кг., а наполненный наполовину 15,5 кг. Сколько весит бидон? 5. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали. 6. Найдите хотя бы 1 решение неравенства 0,017. Сколько диагоналей в правильном семиугольнике? 8. В строке написано несколько минусов. Двое по очереди переправляют один или два соседних минуса на плюс. Выигрывает тот , кто переправит последний минус. 9. Замените звёздочки числами так , чтобы сумма любых трёх соседних чисел равнялась 20. 7, *, *, *, *, *, *, 9 10. Известно, что дробь В*А*Р*Е*Н*Ь*Е К*А*Р*Л*С*О*Н Равно целому числу, где разные буквы обозначают разные цифры, а между цифрами стоит знак умножения. Чему равна дробь? 11. Три охотника варили кашу. Один положил 2 кружки крупы, второй - 1 кружку, а у третьего крупы не было. Они съели кашу поровну. Третий охотник и говорит: «Спасибо за кашу! У меня осталось 5 патронов, - и вот вам задача: как поделить патроны в соответствии с вашим вкладом?» 12. На озере росли лилии. Каждый день их число удваивалось, и на 20 день заросло всё озеро. На какой день заросла половина озера? 13. Есть 2 сковородки на каждой помещается 1 блин. Надо пожарить 3 блина с двух сторон. Каждая сторона блина жариться 1 минуту за какое наименьшее время можно это сделать? 14. Два мальчика хотели купить книгу. Одному из них не хватало 27 копеек, а второму - 1 копейки. Они сложили свои деньги, но денег всё равно не хватило. Сколько стоит книга? 15. Одна кастрюля вдвое выше другой, зато вторая вдвое шире первой. В какой из них больше войдет воды? 16. Шоколадка стоит рубль и еще пол шоколадки. Сколько стоит шоколадка? Образцы задач математического боя для восьмых классов 1. Какое наименьшее число выстрелов всегда достаточно, чтобы попасть в четырехклеточный корабль при игре в морской бой? 2. Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей? 3. На сторонах произвольного многоугольника произвольным образом расставлены стрелки. Докажите, что число вершин, в которое входят 2 стрелки, равно числу вершин, из которых выходят 2 стрелки. 4. Докажите, что среднее арифметическое двух последовательных простых чисел не является простым числом. 5. На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка АБ. Докажите, что сумма расстояния от этих точек до точки А не равна сумме расстояний от этих точек до точки Б. 6. Дано 100 положительных чисел. Известно, что произведение любых 7 из них больше 1. Докажите, что произведение всех чисел больше 1. 7. Путешественник отправился из родного города А в саамы удаленный от него город страны В, затем из В - в самый удаленный от него город С и т.д. Докажите, что если С не совпадает с А, то путешественник никогда не попадет домой.(Расстояние между городами различно). 8. В углах шахматной доски 3х3 стоят 4 коня: два белых (в соседних углах) и два черных. Можно ли за несколько ходов (конь ходит буквой «Г») поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони разного цвета. 9. На стороне угла дана точка А. Постройте на этой же стороне точку М, которая одинаково удалена от точки А и от другой стороны угла. 10. По кругу расставлены 10 точек. Двое по очереди соединяют их отрезками. Начало 1 отрезка - в любой точке, а каждый следующий отрезок начинается из конца предыдущего. Проигрывает тот, кто не может провести новый отрезок (дважды проводить отрезок нельзя, а пересекать - можно). Предположим, что игроки не делают ошибок. Кто из них победит? Ответы к задачам конкурса капитанов 1. 900. 2. Первый каждым ходом берет столько спичек, чтобы остаток делился на 3. 3. 81. 4. 1 кг. 5. см. Рисунок 3. 6. х=0,0105. 7. 14. 8. Первый ходит в центр, а затем ходит симметрично второму. 9. 7, 9, 4, 7, 9, 4, 7, 9. 10. 0. 11. Все патроны надо дать первому охотнику. 12. За 19 дней. 13. За 3 минуты. 14. 27 копеек. 15. В широкую войдет вдвое больше. 16. 2 руб. Краткие решения задач математического боя 1. Будем располагать выстрелы по параллельным диагоналям с интервалом 3 клетки, начиная с диагонали А4 - Г1. Понятно, что четырехклеточному (крейсер) кораблю укрыться будет негде. Получаем, что 24 выстрела всегда достаточно. Покажем, что 24 выстрела необходимо. Для этого разместим на доске 24 крейсера без наложений. Кстати, мы заодно доказали, что на доске 10х10 нельзя разместить 25 крейсеров без наложений (иначе не хватило бы 24 выстрелов). 2. Обозначим ЧБ - число блондинов, ЧГ - число голубоглазых, ЧБГ - число голубоглазых блондинов, а ЧВ - число всех людей. Тогда по условию:
(ЧБГ/ЧГ) > (ЧБ/ЧВ), следовательно (ЧБГ/ЧБ) > (ЧГ/ЧВ) Итак, доля голубоглазых среди блондинов больше, чем доля голубоглазых среди всех людей. 3. У каждой стрелки 1 начало и 1 конец, значит число всех начал равно числу концов, поэтому число вершин с двумя началами равно числу вершин с двумя концами (поскольку в остальных вершинах сходятся одно начало и один конец, т.е. поровну).
4. Задача кажется простой, поскольку по определению последовательных простых чисел между ними нет простых чисел, но вот неожиданный вопрос: «Почему среднее арифметическое двух чисел лежит между ними?». Нагляднее всего это можно доказать так: пусть А А = (А+А)/2
5. Заметим, что расстояние от любой точки до А и до Б отличается на длину отрезка АБ. При переходе от точки А к точке Б все расстояния от «левых» точек увеличиваются, а от «правых» уменьшаются на длину отрезка АБ. Но число точек слева не равно числу точек справа, следовательно, сумма расстояний до точки Б будет отличаться от суммы расстояний до точки А по крайней мере на величину отрезка АБ. 6. Заметим, что количество чисел, меньших 1 не больше 6, а все остальные больше 1. Перемножим все числа, меньшие 1 и еще несколько чисел, чтобы всего было 7 чисел. Их произведение больше 1, а все остальные числа больше 1, значит произведение всех чисел больше 1. 7. Если путник из В не вернулся в А, то расстояние ВС строго больше АВ, а каждое следующие расстояние не меньше предыдущего. (Почему нельзя сказать : больше предыдущего , ведь расстояния различны ? ) Если бы путник потом вернулся в город А , то последнее расстояние было бы больше АВ , а это противоречит тому , что В - самый дальний город для А . 9. Построим схему движений коней по клеткам . Для этого занумеруем клетки и впишем их номера в том порядке в котором конь может их обойти .Тогда видно , что кони как бы бегают по кругу , т.е. любой ход коня не меняет порядка следования их цветов на схеме , а Значит , нельзя изменить чередования их цветов в углах доски. 10. Пусть М -искомая точка . Опустим из неё перпендикуляр на другую сторону угла и получим точку С . Можно выразить углы треугольника АМС через величину исходного угла , а тогда легко построить точки С и М . Но суть задачи заключается в том , что у неё есть два решения , одно из которых обычно теряют : точку М можно отложить по разные стороны от точки А.
11. Выигрывает начинающий : первым ходом он соединяет любые точки А и В , а затем проводит отрезок либо к точке А , либо к точке В. Это всегда возможно , поскольку второй игрок вынужден каждый раз ходить в новую точку , которая еще не была соединена с точками А и В . При такой стратегии начинающий не может проиграть , ничья невозможна, поскольку число отрезков конечно. Список использованной литературы 1. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе / Тобольск, Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997 2. Ермолаева Н.А. Маслова Г. Г. Новое в курсе математики средней школы / М:, Просвещение, 1978. 3. Журнал "Математика в школе ". 4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мокрушин Е.Л. и другие. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики / М., Просвещение, 1977. 5. Методика преподавания математики в средней школе : Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский, -2-е издание переработано и дополнено / М., Просвещение ,1980. 6. Методические рекомендации по изучению курса методики преподавания математики / Сост. Петрова Е.С., Саратов, Изд-во "Полиграфист", 1983 7. Пичурин Л.Ф., Репьев В.В. Вопросы Общей методики преподавания математики / Москва Изд-во "Просвещение", 1979 8. Учебники для средней школы и соответствующие пособия для учителя. 9. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе / Москва, Изд-во "Просвещение", 1985