Определение
Пусть и две группы и некоторое отображение. называется изоморфизмом, а группы и - изоморфными (однотипными), если
1. - взаимно однозначно и
2. .
Изоморфизм групп и обозначается символом .
Если выполнено только условие 2. , то отображение называется гомоморфизмом (подобием).
Примеры
1. Пусть группы и заданы таблицами умножения:
и
Отображение является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).
2. Пусть =Z (группа целых чисел с операцией сложения), - группа из предыдущего примера. Положим: (2n)=p; (2n+1)=q.
Тогда - гомоморфизм.
3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где . Определим отображение формулой: (x)=x*H. Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.
Простейшие свойства гомоморфизмов групп.
Пусть - гомоморфизм. Тогда:
1.
2. .
3. Если -подгруппа, то -подгруппа в .
4. Если - (нормальная) подгруппа, то - (нормальная) подгруппа в .
Доказательство
1. Пусть - любой элемент. Тогда и по признаку нейтрального элемента .
2. Имеем: . По признаку обратного элемента получаем: .
3. Применим признак подгруппы:
4. Пусть - подгруппа. - элементы из , то есть и входят в К. Тогда и потому. Значит, - подгруппа . Пусть теперь К - нормальная подгруппа и - любой элемент. Тогда и значит. Аналогично, . Поскольку , то и , то есть подгруппа нормальна в .
Замечание
Образ нормальной подгруппы не всегда нормален.
Из доказанной теоремы следует в частности, что для всякого гомоморфизма подгруппа в . Она называется образом гомоморфизма и обозначается Im . Точно также, - подгруппа в , причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма и обозначается Ker .
Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.
Напомним, что отображение называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм cюръективен тогда и только тогда, когда Im .
Критерий инъективности гомоморфизма групп
Гомоморфизм групп инъективен тогда и только тогда, когда Ker ={}.
Доказательство
Поскольку , и значит, если инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker ={e}. Обратно, пусть ядро состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента , что . Тогда и значит и потому равно . Отсюда получаем x=y и инъективно.
Следствие
Если Ker = {e}, то изоморфно отображает на подгруппу Im .
Теорема Кэли
Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.
Доказательство
Пусть G={}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли. В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы , которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку . Определим отображение по формуле . Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть -гомоморфизм. Если, то, в частности, и значит. Таким образом, Ker тривиально и определяет изоморфизм между G и подгруппой Im в .
Теорема о гомоморфизме для групп
Пусть сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа изоморфна . Если эти изоморфные группы отождествить, то превращается в естественный гомоморфизм .
Доказательство
Обозначим H=ker . Следующим образом определим отображение
. Пусть С произвольный элемент то есть некоторый смежный класс группы по ее подгруппе H. Возьмем любой . Тогда не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если любой другой элемент, то y=x*h, где и значит, . Положим: . Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)= = Ф(x*H)Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если любой элемент, то поскольку сюръективно, найдется такой , что . Но тогда Ф(x*H)=. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)= , то ф(x)= , и потому x*H=H= . Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить и G/H), отображение совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.
Следствие
Всякий гомоморфизм определяет изоморфизм между факторгруппой и подгруппой Im .
Примеры
1. Пусть ={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм ), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1 сюръективно. По теореме о гомоморфизме -нормальная подгруппа в и .
2. Отображение (А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n в группу не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker = SL(n,R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит эта подгруппа нормальна и GL(n,R) /SL(n,R) .