Основні задачі математичної фізики

Тема:
Основні задачі математичної фізики.

Лекція №1

План

1.
Приклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних.

2.
Приклади постановок таких задач.

3.
Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних.

4.
Рівняння коливань струни.

5.
Розв
’
язок задачі Коші методом Даламбера

Питання для самоконтролю.

Лекція №1.

1.
В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики?

2.
Від чого залежить розв
’
язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку?

3.
Приклади рівнянь еліптичного типу.

4.
Як називається і до якого типу належить рівняння:

?

5.
В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни?

6.
Записати формулу Даламбера, яка дає розв
’
язок одномірного однорідного хвильового рівняння.

Література:

1.
А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954.

2.
Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.

3.
П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальн
ые главы
”, Киев, 1981.

4.
О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.

5.
П.Е.Данко, А.Г.Попов “
Высшая математика в упражнениях и задачах
”, ч.2, Москва, 1974.

Лекція №1.

Тема:
Основні задачі математичної фізики.

В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших наукахприводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних.

Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики.

Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку:

де а_ij
, b_i
, c – задані функції змінних х₁
, х₂
, …, х₃
(n ³2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| a_lk
|| - lE)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде:

d₁₁
dy²
-2a₁₂
dxdy+a₂₂
dx²
=0.

Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.

Це характеристичне рівняння можна записати й так

Якщо а₁₂
-а₁₁
а₂₂
>0, то інтеграли характеристичного рівняння j(х,у)=С₁
і y(х,у)=С₂
дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.

Якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

І якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д.

Найпростішим з них є хвильове рівняння , відкрите Ейлером у 1759році.

Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д.

Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є:

До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння DU=0 (Лапласа); DU=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: DU+kU=0, і полігармонійні рівняння.

В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:

рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид:

рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:

Тема:
Рівняння коливань струни.

В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух – говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності відчасу.

Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати , що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u(x,t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).

Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни ¾М₁
М₂
рівна її проекції на вісь 0Х, ¾М₁
М₂
=х₂
-х₁
. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т.

На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути j та j+Dj . тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin(j+Dj)-Tsinj. Так як кут j малий, то можна покласти tgj=sinj, і ми отримаємо :

(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).

Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай r - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде rDх. Прискорення елемента дорівнює . Отже,
по принципу Даламбера будем мати:

Скорочуючи на Dх і позначаючи , получаємо рівняння руху . (1)

Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам
, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам
, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних
та початкових
умов
називається краєвими умовами
.

Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:

u(0,t)=0,

u(l,t)=0.

Ці рівності є граничними умовами
для нашої задачі.

В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути

. (2)

Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією j(х).Таким чином, має бути

. (3)

Умови (2) і (3) являються початковими умовами
.

Тема:
Розв
’
язок задачі Коші методом Даламбера.

Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера.

Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати.
В цих випадках задача ставиться так:

Знайти рішення хвильового рівняння

U_tt
-a²
u_xx
=0 (t=y, a₁₁
=-a²
, a₁₂
=0, a₂₂
=1),

Задовільняюче початковим умовам

U(x,0)=j(x); u_t
(x,0)=y(x)

де j(х) і y(x) – задані у функції.

Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння

A₁₁
dt²
-2a₁₂
dxdt+a₂₂
dx²
=0

Прийме вид -a²
dt²
+dx²
=0,

або dx²
-a²
dt²
=0.

Воно розпадається на два рівняння:

dx-adt=0 і dx+adt=0

інтеграли яких будуть x-at=C₁
, x+at=C₂

введемо нові змінні

x=x-at, h=x+at.

Тоді

x_х
=1, x_t
=-a, h_x
=1, h_t
=a,

u_x
=u_x
x_x
+u_h
h_x
=u_x
+u_h
,

u_xx
=u_xx
x_x
+u_x
h
h_x
+u_h
x
x_x
+u_hh
h_x
=u_xx
+2u_x
h
+u_hh
,

u_t
=u_x
x_t
+u_h
h_t
=-au_x
+au_h
,

u_tt
=-au_xx
x_t
-au_x
h
h_t
+au_h
x
x_t
+au_hh
h_t
=a²
u_xx
-2a²
u_x
h
+a²
u_hh
.

Підставивши u_xx
, u_tt
в вихідне рівняння, отримаємо

a²
u_xx
-2a²
u_x
h
+a²
u_hh
-a²
(u_xx
+2u_x
h
+u_hh
)=0,

-4a²
u_x
h
=0,

u_x
h
=0.

Отримане рівняння можна записати як:

.

Звідси випливає, що u_h
не залежить від x:

u_h
=f^*
(h),

де f^*
(h) – довільна функція h.

Інтегруючи останню рівність по h при фіксованому x, маємо

.

де f₁
(x) і f₂
(h) – довільні двічі диференціюючі функції аргументів x і h.

Враховуючи, що x=х-at і h=x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді

u(x,t)=f₁
(x-at)+f₂
(x+at).

Визначимо функції f₁
і f₂
так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам:

u(x,t)=f₁
(x)+f₂
(x)=j(x),

u_t
(x,0)=-af¢₁
(x)+af¢₂
(x)=y(x).

Таким чином, для знаходження функцій f₁
і f₂
маємо систему рівнянь

f₁
(x)+f₂
(x)=j(x),

-af¢₁
(x)+af¢₂
(x)=y(x).

Інтегруючи другу рівність, отримаємо

де х₀
і С – постійні. Тоді

f₁
(x)+f₂
(x)=j(x),

.

Звідси знаходимо

,

і

.

Підставивши у вираз для u(x,t) знайдені значення f₁
і f₂
, отримаємо

,

.

Ця рівність називається формулою Даламбера.

Раніше функцію u(x,t) ми записували як:

u(x,t)=f₁
(x-at)+f₂
(x+at),

де перший додаток

при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f₁
(x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення.

Аналогічно функція

являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, щорозповсюджуються з тією ж швидкістю, але в від¢ємному напрямку вісі 0Х.

В цілому процес розповсюдження коливань, функції u(x,t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.

Лекція №2

План

1.
Рівняння теплопровідності.

2.
Розв
’
язок задачі методом перетворення Фур
’
є.

3.
Рівняння Пуассона.

4.
Розв
’
язок задачі Діріхле в крузі методом Фур
’
є.

Питання до самоконтролю

1.
Вияснити фізичний зміст першої крайової задачі рівняння теплопровідності в однорідному стержні.

2.
Яка кількість теплоти протікає через поверхню
S
в просторі?

3. Як називається вираз в дужках у рівнянні

Що це за рівняння?

4.
В чому полягає задача Коші для випадку стержня, обмежаного з однієї сторони?

5.
Записати інтеграл імовірностей.

6.
Яку умову повинні задовільняти частинні розв
’
язки задачі Діріхле в крузі?

Література:

6.
А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский “Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954.

7.
Н.С.Пискунов “Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.

8.
П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальн
ые главы
”, Киев, 1981.

9.
О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.

10.
П.Е.Данко, А.Г.Попов “
Высшая математика в упражнениях и задачах
”, ч.2, Москва, 1974.

Лекція №2.

Тема:
Рівняння теплопровідності.

Розмістимо вісь 0Х так, що один кінець стержня буде співпадати з точкою х=0, а другий – з точкою х=l (див. рис.). Нехай u(x,t) – температура в січній стержня з абсцисой х в момент t. Дослідним шляхом визначимо, що швидкість розповсюдження тепла пролягаючого через січну з абсцисой х за одиницю часу, визначається формулою

(1)

розглянем елемент стержня, заключений між січними з абсцисами х₁
і х₂
(х₂
-х₁
=Dх). Кількість тепла, що пройшло через січну з абсцисою х₁
за час Dt, буде рівно

(2)

те ж саме для січної з абсцисою х₂

(3)

Прилив тепла DQ₁
-DQ₂
в елемент стержня за час Dt буде рівний:

(4)

(Ми використали теорему Лагранжа до рівності ).

Цей прилив тепла за час Dt пішов на підвищення температури елемента стержня на величину DU:

DQ₁
-DQ₂
=cqDxSDU

(5)

де с – теплоємність речовини стержня, q – щільність речовини стержня (qDxS – маса елемента стержня).

Прирівнюючи вирази (4) і (5) одної і тої ж кількості тепла DQ₁
-DQ₂
, вийде:

або

.

Позначаючи k/cq=a²
, ми одержуєм:

(6)

Це і є рівняння теплопровідності в однорідному стержні.

Щоб рішення рівняння (6) було повністю визначено, функція u(x,t) має задовільняти крайові умови. Крайові умови для рішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званій першій крайовій задачі для 0£t£T, слідуючі:

u(x,t)=j(x) (7)

u(x,t)=y₁
(t) (8)

u(x,t)=y₂
(t) (9)

Фізичні умови (7) (початкові умови) відповідають тому, що при t=0 в різних січних стержня задана температура, рівна j(х). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають тому, що на кінцях стержня при х=0 і при х=l підтримується температура, рівна y₁
(t) і y₂
(t) відповідно.

Тема:
Розв
’
язок задачі методом перетворення Фур
’
є.

Нехай в початковий момент задана температура в різних січних необмежаного стержня. Потрібно визначити розподіл температури в стержні в наступні моменти часу.

Якщо стержень співпадає з віссю 0Х, то математично задача формулюється слідуючим образом. Знайти рішення рівняння

(1)

в області -¥<x<¥, t>0, задовільняюче початковій умові

u(x,0)=j(x) (2)

будемо шукати частинне рішення рівняння (1) у вигляді добутку двух функцій:

u(x,0)=-X(X)T(t). (3)

Підставляючи в рівняння (1), будем мати: X(x)T¢(t)=a²
X¢¢(x)T(t) або

. (4)

Кожне з цих відношень не може залежати ні від х, ні від t, і тому ми їх прирівняємо постійній -l²
. З формули (4) отримаємо два рівняння:

T¢+a²
l²
T=0, (5)

X¢¢+l²
X=0. (6)

Рішаючи їх знайдем:

, X=Acoslx+Bsinlx.

Підставляючи в (3), отримаємо:

(7)

постійна С включається в А(l) і В(l).

Для кожного значення l ми торимаєм рішення виду (7). Произвольн
ы
е
постійні А і В для кожного значення l мають визначені значення. Виходячі з цього можна рахувати А і В функціями від l. Сума рішень виду (7) також є рішенням:

.

Інтегруючи вираз (7) по параметру l в границях від 0 до ¥ також отримаємо рішення

, (8)

якщо А(l) і В(l) такі, що цей інтеграл, його похідна по tі друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А(l) і В(l) так, щоб рішення u(x,t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:

. (9)

Припустимо, що функція j(х) такова, що вона представіма інтегралом Фур’є:

або

. (10)

зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:

(11)

підставляючи знайдені вирази А(l) і В(l) у формулу (8) отримаємо:

або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо

. (12)

Це і є рішення поставленої задачі.

Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:

. (13)

Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки

. (14)

Позначимо

. (15)

Диференціюючи, отримаємо:

.

Інтегруючи по частинах, знайдем:

або

Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:

. (16)

Знайдем постійну С. З (15) слідує:

Отже, в рівності (16) має бути

.

Тоді,

. (17)

Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13)

.

Підставляючи замість b його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):

. (18)

Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:

. (19)

Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.

Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію

0 при -¥<x<x₀
,

j^*
(х)= j(x) при x₀
£x£x₀
+Dx, (20)

0 при x₀
+Dx<x<¥.

Тоді функція

(21)

є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення j^*
(х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:

.

Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:

. (22)

Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u^*
=0, крім відрізка [x₀
,x₀
+Dx], де вона рівна j(х). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо r - лінійна густина стержня, с – темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x₀
,x₀
+Dx] при t=0 буде

DQ»j(x)Dxrc. (23)

Розглянемо далі функцію

. (24)

зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній x було миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=cr.

Тема:
Рішення задачі Діріхле для кола.

Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f(j), де j - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r,j), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа

. (1)

і на окружності кола що приймає задані значення

. (2)

Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:

(1¢)

Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи

U=Ф(j)R(r). (3)

Підставляючи в ріність (1’), вийде:

r²
Ф(j)R¢¢(r)+rФ(j)R¢(r)+Ф¢¢(j)R(r)=0

або

. (4)

Так як ліва частина цієї рівності не залежить відr, а права від j, отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через –k²
. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:

Ф¢¢(j)+k²
Ф(j)=0, (5)

r²
R¢¢(r)+rR¢(r)-k²
R(r)=0 (5¢)

Загальне рішення рівності (5) буде

Ф=Аcoskj+Bsinkj. (6)

Рішення рівняння (5¢) будем шукати у формі R(r)=r^m
. Підставляючи R(r)=r^m
у (5¢), дістанемо:

r²
m(m-1)r^m-1
-k²
r^m
=0

або

m²
-k²
=0.

Отже, маємо два лінійно незалежних рішення r^k
і r^-k
. Загальне рішення рівняння (5¢) буде

R=Cr^k
+Dr^-k
. (7)

Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):

U_k
=(A_k
coskj+B_k
sinkj)(C_k
r^k
+D_k
r^-k
). (8)

Функція (8) буде рішенням рівняння (1¢) при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5¢) приймають вид:

Ф¢¢=0, rR(r)+R¢(r)=0,

отже,

U₀
=(A₀
+B₀
j)(C₀
+D₀
lnr). (8¢)

Рішення має бути періодичною функцією від j, так як при одному і тому ж значенні r при j і j+2p ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8¢) має бути В₀
=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8¢) має бути D₀
=0, а у формулі (8) D_k
=0.

Таким чином, права частина (8¢) перетворюється в добуток А₀
С₀
, яке ми позначимо як А₀
/2. Отже,

. (8¢¢)

Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від j. Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями

K=1, 2, …, n, …,

так як в силу произвольности
постійних А, В, С, D від’ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,

(9)

(постійна С_n
включена у A_n
i B_n
). Тепер підберемо произвольн
ы
е
постійні A_n
і B_n
так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:

. (10)

Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f(j) розкладалась в ряд Фур’є в інтервалі (-p,p), та щоб A_n
Rⁿ
і B_n
Rⁿ
були її коефіцієнтами Фур’є. Отже, A_n
і B_n
мали визначатись по формулам:

. (11)

Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і j. Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість A_n
і B_n
їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:

. (12)

Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:

. (13)

Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:

. (14)

Формула (14) називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f(j) неперервна, то функція U(r,j), визначена інтегралом (14), задовільняє рівність (1¢) і при r®R буде U(r,j)®f(j), тобто U(r,j) являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.