Числення висловлень і алгебра висловлень Основні проблеми числення висловлень

Реферат на тему:

Числення висловлень і алгебра висловлень. Основні проблеми числення висловлень.

Довільну формулу F
числення висловлень можна змістовно інтерпретувати як складене висловлення, істинність або хибність якого залежить від істинності елементарних висловлень, що до нього входять. Таким чином, кожній формулі F
числення висловлень можна аналогічно тому, як це було зроблено в алгебрі висловлень, поставити у відповідність функцію істинності f
.

Виникає питання, як пов’язано таке змістовне «істинносне» тлумачення (інтерпретація) формул числення висловлень з їхньою формальною вивідністю.

Теорема 5.5.

Будь-яка теорема числення висловлень ЧВ є тотожно істинним висловленням (тавтологією).

Доведення
. Тотожна істинність усіх аксіом легко перевіряється безпосередньо побудовою відповідних таблиць істинності для кожної з них (рекомендуємо це зробити самостійно).

Відтак, доведемо, що обидва правила виведення числення висловлень перетворюють тотожно істинні формули у тотожно істинні.

Якщо A
(p
₁
,p
₂
,...,p_n

) - тотожно істинна формула, то для довільного набору значень a
₁
,a
₂
,...,a_n

її пропозиційних змінних A
(a
₁
,a
₂
,...,a_n

) є істинною. Отже, тотожно істинною буде і будь-яка формула A
, що отримується з формули A
шляхом підстановки замість пропозиційних змінних p
₁
,p
₂
,...,p_n

довільних формул B
₁
,B
₂
,.....,B_n

, оскільки останні можуть набувати лише значень 0 або 1.

Доведемо, що коли формули A
і A
®B
є тотожно істинними, тоді формула B
, яку ми дістаємо з них за правилом висновку, також є тотожно істинною. Припустімо супротивне: нехай B
не є тотожно істинною формулою, тобто існує набір значень її змінних, на якому вона набуває значення 0. Тоді підставимо цей набір у формулу A
®B
, оскільки A
є тавтологією, то дістанемо вираз 1®0, значенням якого є 0. Останнє суперечить припущенню про тотожну істинність формули A
®B
.

Таким чином, ми переконалися в тому, що всі аксіоми числення висловлень ЧВ є тотожно істинними формулами алгебри висловлень, а застосування обох правил виведення (підстановки і висновку) до тотожно істинних формул знову приводить до тотожно істинних формул. Отже, всі вивідні формули (теореми) числення висловлень є тотожно істинними формулами алгебри висловлень.

Справедливою є й обернена теорема, яку подамо без доведення.

Теорема 5.6.

Будь-яка тотожно істинна формула алгебри висловлень є теоремою числення висловлень ЧВ.

Дві останні теореми дозволяють вирішити три важливі проблеми числення висловлень: проблему несуперечності, проблему повноти і проблему розв’язності. Розглянемо їх послідовно.

1. Проблема несуперечності

.

Для кожної формальної теорії кардинальним є питання несуперечності. Справді, така теорія будується послідовним приєднанням нових теорем, які формально виводять з аксіом за допомогою правил виведення. Отже, немає жодної гарантії, що в цьому процесі ми не дійдемо до суперечності. Iнакше кажучи, виникає питання, чи при поступовому нагромадженні теорем формальної теорії (числення) не трапиться так, що одна з теорем суперечитиме іншим. Саме так виникає проблема несуперечності числення.

Числення є несуперечним

, якщо неможливо одночасно вивести з аксіом числення як формулу A
, так і її заперечення ØA
.

Наслідок 5.1.
Числення висловлень ЧВ є несуперечною формальною теорією.

Справді, якщо формула A
вивідна у численні висловлень, то формула ØA
не може бути вивідною, бо за теоремою 5.5 формула A
є тотожно істинною в алгебрі висловлень, а формула ØA
- тотожно хибною. Отже, ØA
не може бути теоремою числення висловлень ЧВ.

2. Проблема повноти

.

Iнша проблема, що виникає при дослідженні різних числень висловлень: чи будь-яка тотожно істинна формула алгебри висловлень буде вивідною в заданому численні? Це питання й являє собою проблему повноти
для числення висловлень.

Смисл такої постановки питання полягає в тому, що при побудові числення потрібно знати, чи достатньо аксіом і правил виведення даного числення для того, щоб можна було вивести будь-яку формулу, яка в змістовному розумінні є тотожно істинною.

Наслідок 5.2.
Числення висловлень ЧВ є повним.

Справедливість цього твердження безпосередньо випливає з теореми 5.6.

У математичній логіці існує й інше поняття повноти системи аксіом (або числення), що грунтується на неможливості доповнення системи аксіом будь-якою формулою, яку не можна вивести з даних аксіом.

3. Проблема розв’язності.

Розв’язувальним методом

для формальної теорії T
називають метод, за допомогою якого для довільної формули A
з T
можна за скінченне число кроків визначити, чи буде A
теоремою, чи ні.

Числення T
називають розв’язним

, якщо для T
існує розв’язувальний метод, у противному разі - формальна теорія T
є нерозв’яною.

Наслідок 5.3.
Числення висловлень ЧВ є розв’язною теорією.

Доведення.
Нехай A
- довільна формула числення ЧВ. Побудуємо для неї таблицю істинності і розглянемо її останній стовпчик. Якщо він містить лише одиниці, то A
- тотожно істинна формула і за теоремою 5.6 є теоремою ЧВ. У противному разі (останній стовпчик таблиці істинності містить хоча б один нуль), A
- не тавтологія і значить, A
не є теоремою.

Зрозуміло, що всі ці дії можна зробити за скінченне число кроків.

Нарешті, розглянемо ще одну важливу проблему для формальних теорій.

Система аксіом числення називається незалежною

, якщо жодна з аксіом цієї системи не може бути виведена з інших аксіом системи.

Зрозуміло, що аксіому, яку можна вивести з інших, можна виключити зі системи аксіом, і при цьому множина теорем теорії залишиться тією ж самою (тобто отримаємо рівносильне числення). Отже, залежна система аксіом у певному розумінні менш досконала, ніж незалежна система, бо вона містить зайві аксіоми.

Можна довести, що системи аксіом числень висловлень ЧВ і ЧВ1 є незалежними.

Iснують й інші формальні теорії, що означаються і досліджуються у математичній логіці: числення предикатів
, різноманітні числення
(теорії
) першого порядку
, числення з рівностями
, формальна арифметика
тощо. У наступних розділах розглянемо основні ідеї і принципи побудови однієї з таких теорій - числення предикатів.