Глава
Математическое моделирование системных элементов
Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практически уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 - 1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".
Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности специалистов.
1.1. Три этапа математизации знаний
Современная методология науки выделяет три этапа математизации знаний: математическая обработка эмпирических (экспериментальных) данных, моделирование и относительно полные математические теории.
Первый этап -
это математическая, чаще всего именно количественная обработка эмпирических (экспериментальных) данных. Это этап выявления и выделения чисто феноменологических функциональных взаимосвязей (корреляций) между входными сигналами (входами
Второй этап
математизации знаний определим как модельный. На этом этапе не-которые объекты выделяются (рассматриваются) в качестве основных, базовых (фун-даментальных), а свойства (атрибуты), характеристики и параметры других объектов исследования объясняются и выводятся исходя из значений, определяемых первыми (назовем их оригиналами). Второй этап математизации характеризуется ломкой старых теоретических концепций, многочисленными попытками ввести новые, более глубокие и фундаментальные. Таким образом, на "модельном" этапе математизации, т.е. этапе математического моделирования, осуществляется попытка теоретического воспроизве-дения, "теоретической реконструкции" некоторого интересующего исследователя объек-та-оригинала в форме другого объекта - математической модели.
Третий этап -
это этап относительно полной математической теории данного уровня организации материи в данной или рассматриваемой предметной области. Третий этап предполагает существование логически полной системы понятий и аксиоматики. Математическая теория даёт методологию и язык, пригодные для описания явлений, процессов и систем различного назначения и природы. Она даёт возможность преодолевать узость мышления, порождаемую специализацией.
1.2. Математическое моделирование и модель
Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - математических моделей.
Под математической моделью принято понимать совокупность соотношений (уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п.), определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения - реакции
Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала
Принимая во внимание изложенное выше, дадим наиболее общее, но в то же время строгое конструктивное определение математической модели, сформулированное П.Дж.Коэном.
Определение 2.
Математическая модель - это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.
Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами ("грамматика" и "синтаксис" математических выражений) приводят к формированию абстрактных математических объектов (АМО). Только интерпретация делает этот абстрактный объект математической моделью.
Таким образом, исходя из принципиально важного значения интерпретации в тех-нологии математического моделирования, рассмотрим ее более подробно.
1.3. Интерпретации в математическом моделировании
Интерпретация (от латинского "interpretatio" - разъяснение, толкование, истолкование) определяется как совокупность значений (смыслов), придаваемых каким-либо образом элементам некоторой системы (теории), например, формулам и отдельным символам. В математическом аспекте интерпретация - это экстраполяция исходных положений какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исходные положения которой определяются независимо от формальной системы. Следовательно, можно утверждать, что интерпретация - это установление соответствия между некоторой формальной и содержательной системами. В тех случаях, когда формальная система оказывается применимой (интерпретируемой) к содержательной системе, т.е. установлено что между элементами формальной системы и элементами содержательной системы существует взаимно однозначное соответствие, все исходные положения формальной системы получают подтверждение в содержательной системе. Интерпретация считается полной, если каждому элементу формальной системы соответствует некоторый элемент (интерпретант) содержательной системы. Если указанное условие нарушается, имеет место частичная интерпретация.
При математическом моделировании в результате интерпретации задаются значения элементов математических выражений (символов, операций, формул) и целостных конструкций.
Основываясь на приведенных общих положениях, определим содержание интерпретации применительно к задаче математического моделирования.
Определение 3.
Интерпретация в математическом моделировании - это информационный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения
непустого информационного множества данных и знаний, определяемого АМО и называемого областью интерпретации, в кообласть - информационное множество данных и знаний, определяемое предметной областью и объектом моделирования и называемое областью значений интерпретации.
Таким образом, интерпретацию следует рассматривать как один из основополагающих механизмов (инструментов) технологии математического (научного) моделирования.
Именно интерпретация, придавая смысл и значения элементам (компонентам) математического выражения, делает последнее математической моделью реального объекта.
1.4. Виды и уровни интерпретаций
Создание математической модели системного элемента - многоэтапный процесс. Основным фактором, определяющим этапы перехода от АМО к ММ, является интерпретация. Количество этапов и их содержание зависит от начального (исходного) информационного содержания интерпретируемого математического объекта - математического описания и требуемого конечного информационного содержания математического объекта - модели. Полный спектр этапов интерпретации, отражающий переход от АМО - описания к конкретной ММ, включает четыре вида интерпретаций: синтаксическую (структурную), семантическую(смысловую), качественную(численную) и количественную. В общем случае, каждый из перечисленных видов интерпретации может иметь многоуровневую реализацию. Рассмотрим более подробно перечисленные виды интерпретаций.
Cинтаксическая интерпретация
Синтаксическую интерпретацию будем рассматривать как отображение морфологической (структурной) организации исходного АМО в морфологическую организацию структуру заданного (или требуемого) АМО. Синтаксическая интерпретация может осуществляться как в рамках одного математического языка, так и различных математических языков.
При синтаксической интерпретации АМО возможны несколько вариантов задач реализации.
Задача 1.
Пусть исходный АМО не структурирован, например, задан кортежем элементов. Требуется посредством синтаксической интерпретации сформировать морфологическую структуру математического выражения
Задача 2.
Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру,
которая по тем или иным причинам не удовлетворяет требованиям исследователя (эксперта). Требуется посредством синтаксической интерпретации преобразовать в соответствии с целями и задачами моделирования исходную структуру St
Задача 3.
Пусть АМО имеет некоторую исходную морфологическую структуру St
Таким образом, синтаксическая интерпретация математических объектов даёт возможность формировать морфологические структуры АМО, осуществлять отображение (транслировать) морфологические структуры АМО с одного математического языка на другой, конкретизировать или абстрагировать морфологические структурные представления АМО в рамках одного математического языка.
Семантическая интерпретация
Семантическая интерпретация предполагает задание смысла математических выражений, формул, конструкций, а также отдельных символов и знаков в терминах сферы, предметной области и объекта моделирования. Семантическая интерпретация даёт возможность сформировать по смысловым признакам однородные группы, виды, классы и типы объектов моделирования. В зависимости от уровней обобщения и абстрагирования или, наоборот, дифференциации или конкретизации, семантическая интерпретация представляется как многоуровневый, многоэтапный процесс.
Таким образом, семантическая интерпретация, задавая смысл абстрактному ма-
тематическому объекту, "переводит" последний в категорию математической модели с объекта-оригинала, в терминах которого и осуществляется такая интерпретация.
Качественная интерпретация
Интерпретация на качественном уровне предполагает существование качественных параметров и характеристик объекта-оригинала, в терминах (значениях) которых и производится интерпретация. При качественной интерпретации могут использоваться графические и числовые представления, посредством которых, например, интерпретируется режим функционирования объекта моделирования.
Количественная интерпретация
Количественная интерпретация осуществляется за счет включения в рассмотрение количественных целочисленных и рациональных величин, определяющих значение параметров, характеристик, показателей.
В результате количественной интерпретации появляется возможность из класса, группы или совокупности аналогичных математических объектов выделить один единственный, являющийся конкретной математической моделью конкретного объекта-оригинала.
Таким образом, в результате четырех видов интерпретаций - синтаксической, семантической, качественной и количественной происходит поэтапная трансформация
АМО, например, концептуальной метамодели (КММ) функциональной системы
Глава Концептуальное метамоделирование функционирования системного
элемента
2.1. Системный элемент как объект моделирования
Понятие "элемент" является одним из фундаментальных в общей теории систем (ОТС) - системологии. Оно происходит от латинского "Elementarius" и имеет смысл: начальный, простой, простейший, конечный, неделимый, лежащий в основе чего-либо.Впервые понятие "элемент" встречается, по-видимому, у Аристотеля в его работе "Метафизика".
Согласно ОТС, любая система (обозначим ее ), независимо от ее природы и назначения, а также от сознания субъекта (эксперта), существует только в структуриро-ванной форме. Структурированность выступает в качестве всеобщего свойства материи - ее атрибута. Именно свойство структурированности, а следовательно, и членимости целостной системы на части
В целенаправленных действующих системах любой компонент
В системологии понятие "элемент" трактуется двояко - как абсолютная и как относительная категории. Абсолютное понятие элемента определяется физико-химическим подходом, относительное - системологическим.
Понятие абсолютного элемента
свойства исходной целостной системы . При таком подходе, назовем его молекулярным
, понятие "элемент" включает в себя и фиксирует существенные свойства целостной системы .
Понятие относительного элемента
исходной целостной системы . При этом элемент
категория, зависящая от "взгляда" и "отношения" к нему субъекта (исследователя, эксперта). Такой подход к определению элемента
Определение 1.
Элемент - это относительно самостоятельная часть системы,
рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое с интегральным поведением, направленным на реализацию присущей этому целому функции.
С учетом изложенного выше, рассмотрим элемент с точки зрения целостности.
2.2. Целенаправленность системного элемента
Фундаментальным свойством системного элемента
возможность получать некоторые результаты деятельности системного элемента
Целенаправленно действующий системный элемент
- элемент
- элемент
- элемент
Функция
указывает на то, "что делает элемент
Логика
описывает внутренний алгоритм поведения элемента
Контекст
определяет конкретные условия применения ( приложения ) элемента
Таким образом, принимая во внимание изложенное, можно определить содержательно что такое модель функционирования системного элемента
Определение 4.
Модель функционирования элемента ( МФЭ )
- это отражение на неко-тором языке совокупности действий, необходимых для достижения целей ( целевой функции ), т.е. результата
2.3. Целостность системного элемента
Целостность одно из основных свойств (атрибутов) системного элемента. Она отражает завершенную полноту его дискретного строения. Правильно сформированный
системный элемент
Факторы целостности
Полная совокупность факторов целостности элемента
Внешние факторы
1. Низкий уровень связности (число взаимосвязей) элемента
2. Низкий уровень взаимодействия
Внутренние факторы
1. Высокая степень связности друг с другом частей, из которых состоит элемент
2. Высокая интенсивность
Оценка целостности элемента
Перечисленные выше факторы могут быть использованы для оценки целостности системного элемента
среде
Введем понятие "прочность" как показатель внутренней целостности элемента и
определим его через суммарную композицию показателей взаимосвязей
этом определяется выражением
Для обобщенной оценки внешних взаимосвязей
Полученные показатели прочности (1) и сцепленности (2) используем для оценки
целостности
т.е. как отношение прочности
С учетом (1) и (2) выражение (3) принимает вид
Уровни целостности элемента
Анализ выражений (3) и (4) дает возможность ранжи-ровать элементы
Случай 1.
Если значение показателя прочности
Случай 2.
Пусть значения показателей прочности
т.е.
Случай 3.
Наконец, пусть значения показателя прочности
как субаддитивная целостность.
Таким образом, введенный показатель
оценки качества целостных свойств элемента
2.4. Метод концептуального метамоделирования
Концептуальное метамоделирование ( КММ ) основано на использовании индуктивно-дедуктивного подхода. Создание КММ осуществляется на основе индуктивного подхода ( от конкретного к абстрактному, от частного к общему ) посредством обобщения, концептуализации и формализации.
Использование КММ предполагает переходы от общего к частному, от абстрактного к конкретному на основе интерпретаций.
КММ функционирования системного элемента
1. Элемент
2. Компоненты
3. Элемент
4. Функционирование системного элемента
5. Процесс функционирования элемента
6. Структура и свойства отображения
7. Совокупность существенных внутренних свойств элемента
условии фиксированного "среза" значений входных воздействий
8. Внутренние свойства элемента
Концептуальное математическое описание системного элемента
с учетом изложенных выше положений, представим кортежем
Такое описание определим как концептуальную метамодель - КММ функционирования системного элемента
2.5. Стратифицированный анализ и описание КММ системного элемента
Концептуальные метамодели элемента, основанные на записи ( 1 ), могут образовывать некоторые иерархии. Уровни таких иерархий определяются степенью ( этапами ) конкретизации свойств элемента. Ранжирование КММ ( 1 ) по шкале "Абстрактное - Конкретное" на основе метода стратификации, следовательно, приводит к иерархической дедуктивной системе концептуальных метамоделей. Такая система может быть использована для математического моделирования конкретных элементов как некоторый исходный базовый инвариант, интерпретируемый в конкретную математическую модель.
В зависимости от степени конкретизации, сформируем дедуктивную систему, вклю-чающую следующие уровни КММ элемента
КММ элемента
КММ элемента
КММ элемента
КММ элемента
КММ элемента
Рассмотрим более подробно КММ на каждом из перечисленных уровней.
КММ теоретико-системного уровня
Наиболее общую и абстрактную форму описания функционирования системного
элемента
и векторное множество выходных реакций ( откликов ) элемента
Кроме того, на рассматриваемом уровне абстракции учитывается факт связности векторного множества
Таким образом, КММ теоретико-системного уровня задаются тройкой
КММ уровня непараметрической статики
Второй уровень представления КММ включает в рассмотрение отображение
Раскрытие структуры преобразования вида
Функционирование элемента
сигналов "вход - выход":
Если из условия (
определение функции элемента
Таким образом, КММ ( 3 ) проинтерпретирована в КММ того же уровня, но в скалярной форме функционального представления. Отметим, что богатство концептуальных метамоделей
КММ уровни параметрической статики
Дальнейшая конкретизация КММ функционирования системного элемента
осуществляется за счет включения в рассмотрение функциональных параметров
где
Перечни ( номенклатура ) параметров
КММ уровня непараметрической динамики
Следующий, четвертый уровень конкретизации КММ функционирования системного элемента
при неизменном отображении
функционал или оператор, зависящий от времени
При изложенных условиях КММ рассматриваемого уровня абстракции представляется кортежем, включающем следующие четыре компоненты
Отметим, что на данном уровне представления КММ время
наличия динамических свойств, но не характеризует их конкретно.
КММ уровня параметрической динамики
Последний - пятый уровень дедуктивного представления КММ функционирования системного элемента
В КММ рассматриваемого уровня выполняются условия концептуальной полноты представления функциональных свойств элемента
Отметим, что выражения ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 7 ) и ( 8 ) могут быть представлены в форме традиционных аналитических зависимостей вида
Выводы
Таким образом, концептуальное метамоделирование функционирования системного элемента
Практическое использование представленных выше КММ для моделирования функций системных элементов
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |