Логические системы в различных функциональных наборах и их реализация

Курсовой проект по теме «Теоретические основы информатики» выполнил студент: Лепихов И.М.

Государственный комитет по образованию Российской Федерации

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики, факультет кибернетики, кафедра интеллектуальных технологий и систем

Москва 1997

Задание на курсовое проектирование по курсу:

«Теоретические основы информатики»

Студента: Лепихова И.М. гр. ИР-1-95.

Тема: «Логические схемы в различных функциональных наборах и их реализация»

1. Исходные данные

1.1. Строка из шестнадцати символов А = { a₀
,a₁
, ..., a₁₅
}

Матричный индикатор 5 ´ 7 = 35 ячеек.
Множество признаков H = { h₀
,h₁
, ..., h₃₅
}

Условие формирования строки символов и отображения T:H ´ A - F.

Правило выделения ФАЛ из данных пункта 1.3.

Интегральный набор К155 (по справочнику)

Условие формирования подпространства Ф <= T.

Перечень подлежащих разработке вопросов.

2.1. а) отображение Т.

б) ФАЛ F₁
, F₂
, F₃
.

в) подмножество Ф <= T.

Комбинационная схема совместной реализации ФАЛ F₁
, F₂
, F₃
.

Анализ подмножества Ф <= T на толерантность и эквивалентность.

Схема автомата, отвечающая состояниям пункта 2.3.

Выводы и заключения.

Тема исследования.

Структура формальной системы отношения по дополнительно заданной предметной области знаний.

Перечень графических материалов.

Отображение T: H ´ A - F.

Комплекс моделей, методов и средств минимизации ФАЛ F₁
и F₂
.

Комбинационная схема совместной реализации.

Матрица толерантности, карта толерантности для подмножества Ф<=T

Схема автомата А.

Введение

С развитием электроники приобретают огромное значение электронные визуальные средства отображения информации.

Эти средства представляют собой разнообразной величины экраны, оформленные различными способами (циферблаты часов, табло на стадионах и т.д.) У всех этих средств общая деталь - элемент, отображающий только один символ.

Эти элементы представляют собой матрицу, в клетках которой смонтированы светящиеся элементы (лампочки и т.п.) При подаче на них напряжения, отображается тот или иной символ визуальной информации.

Темой данного курсового проекта является разработка автомата, управляющего светящимися элементами, для отображения необходимого сообщения на табло.

Каждый символ сообщения отображается на отдельной матрице (матричном индикаторе) 5 ´ 7 светящихся элементов, то есть каждому символу соответствует определенная комбинация светящихся элементов матрицы.

В данном курсовом проекте нужно выбрать три признака (светящегося элемента) и построить автомат, управляющий этими признаками при подаче на вход четырехразрядного управляющего кода.

Для разработки автомата необходимо произвести анализ на толерантность и эквивалентность. В заключение необходимо сделать вывод.

1. Исходные данные.

Исходными данными является строка из шестнадцати символов, а так же матричный индикатор, назначение которого будет подробнее рассмотрено в пункте 1.2.

1.1.

Строка из шестнадцати символов.

Строка из шестнадцати символов выбирается произвольно. Она является объектом исследования. В данном курсовом проекте используется строка, приведенная на рисунке 1.1.

Рис. 1.1. Строка из шестнадцати символов

1.2.

Матричный индикатор.

Матричный индикатор - матрица размерностью 5 ´ 7 = 35 ячеек. С помощью матричного индикатора можно любому символу (букве, знаку препинания, цифре и т.д.) поставить в соответствие набор признаков H = { h₁
, h₂
, ..., h₃₅
}. Внешний вид матричного индикатора представлен на рисунке 1.2.

Рис. 1.2.

1.3.

Формирование отображения строки символов.

С помощью матричного индикатора устанавливается соответствие каждому символу a_i
из исходной строки символов А (см. п. 1.1) определенный набор признаков Н_а
< H. Например, первому символу «И» можно поставить в соответствие следующий набор признаков из числа заштрихованных ячеек индикатора (см. рис. 1.3а) : (1,5,6,10,11,14,15,16,18,20,21,22, 25,26,30,31,35). Это соответствует отображению на индикаторе, представленному на (рис 1.3б), где «1» на рисунке означает наличие признака в соответствующей ячейке, а «0» - его отсутствие. В общем случае при появлении на логическом устройстве управления матричным индикатором набора (10001100011001110101110011000110001)

устройство должно выдавать сигнал на соответствующем выходе подтверждающей, что индикатор распознал символ «И». Аналогично должны распознаваться другие символы строки А, что соответствует отображению T:H ´ A, которое представлено в таблице 1. По горизонтали таблицы расположена строка А символов, по вертикали 35 признаков Н. Если признак соответствует данной букве, то на пересечении строки-признака и столбца-буквы ставится «1» и т.д. до заполнения всей таблицы. Затем производится подсчет единиц в строке.

Для упрощения задачи из всего множества признаков выделяется три признака из 35-ти, для которых строится таблица истинности, причем число единиц для каждого признака подбирается равным 7,8 и 9. Таким образом, устройство классифицирует символы по двум классам объектов: по наличию или отсутствию трех признаков.

2.

Промежуточное исследование исходных данных.

В промежуточном исследовании мы поставим в соответствие буквам строки из 16-ти символов наборы признаков, сформулируем отображение T:H ´ A - F и выделим 3 ФАЛ. Построим для них таблицу истинности и по картам Карно найдем их номера.

2.1.

Отображение символов строки А на индикаторе.

С помощью матричного индикатора (см. п.1.2) поставим в соответствие буквам строки из пункта 1.1 наборы признаков (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1, отображение символов строки А на индикаторе.

Выпишем отдельно буквы и соответствующие им признаки

И 1,5,6,10,11,14,15,16,18,20,21,22,25,26,30,31,35

В 1,2,3,4,6,10,11,15,16,17,18,19,21,25,26,30,31,32,33,34

A 2,3,4,6,10,11,15,16,17,18,19,20,21,25,26,30,31,35

H 1,5,6,10,11,15,16,17,18,19,20,21,25,26,30,31,35

пробел

М 1,5,6,7,9,10,11,13,15,16,20,21,25,26,30,31,35

И 1,5,6,10,11,14,15,16,18,20,21,22,25,26,30,31,35

Х 1,5,7,9,12,14,18,22,24,27,29,31,35

A 2,3,4,6,10,11,15,16,17,18,19,20,21,25,26,30,31,35

Й 1,3,5,6,10,11,14,15,16,18,20,21,22,25,26,30,31,35

Л 3,4,5,7,10,11,15,16,20,21,25,26,30,31,35

O 2,3,4,6,10,11,15,16,20,21,25,26,30,32,33,34

В 1,2,3,4,6,10,11,15,16,17,18,19,21,25,26,30,31,32,33,34

И 1,5,6,10,11,14,15,16,18,20,21,22,25,26,30,31,35

Ч 1,5,6,10,11,15,16,17,18,19,20,25,30,35

. 35

2.2.

Получение ФАЛ

В данном курсовом проекте из множества признаков выделено 3 (см. табл.1). С номерами 1,3,5 для которых и будет построена логическая схема устройства, диагностирующего их наличие или отсутствие.

Для решения задачи в двухзначной логике необходимо перейти к двоичному коду, закодировав им каждый из 16-ти символов строки А.

При этом достаточно четырехразрядного двоичного числа, определяющего значение XYZP, которым в дальнейшем будет кодироваться номер каждого символа. Например, второй символ «В» должен иметь код 0001, первый «И» - 0000 и т.д.

Таблица истинности для выбранных признаков представлена в таблице 2, где ФАЛ - функция алгебры логики, в которых значение 1 принимается для кодов, имеющих значение признака h, равного 1. В общем случае h Ì {0,1}. Следует учесть, что h₁
-F₁
, h₃
-F₃
, h₅
-F₅
.

Отображение T:H ´ A - F

Табл. 1

2.3.

Нахождение номеров ФАЛ по карте Карно

Следующим этапом является нахождение 10-значных номеров ФАЛ по карте Карно, общий вид которой для 4-ех переменных представлен на рисунке 2.2. Цифры в квадратах являются степенью числа 2 при определении номера ФАЛ, выбранных в данной работе на рисунке 2.2а,б,в

Рис. 2.2 Карта Карно со степенями двойки

2.4.
Таблица истинности.

Табл. истинности для ФАЛ. Табл. 2

Нахождение номера ФАЛ: F₁

N(F1 ) = 20 + 21 + 23 + 25 + 27 + 26 + 29 + 212 + + 213 + 214 = 29419

Нахождение номера ФАЛ: F₃

N(F3 ) = 21 + 22 + 212 + 28 + 29 + 210 + 211 = 7942

Нахождение номера ФАЛ: F₅

N(F5 ) = 20 + 23 + 25 + 26 + 27 + 29 + 210 + 213 + + 214 = 26345

2.5.

Представление ФАЛ в совершенной нормальной форме.

Представим выбранные признаки в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) и совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ). Для этого из таблицы истинности ФАЛ (см. табл. 2) выпишем конституэнты 0 и 1.

ФАЛ в СДНФ примет вид:

F₁
(X,Y,Z,P) = (X,Y,Z,P) Ú(X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú

(X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P)

F₃
(X,Y,Z,P) = (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú

(X,Y,Z,P) Ú(X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P)

F₅
(X,Y,Z,P) = (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú

(X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P) Ú (X,Y,Z,P)

ФАЛ в СКНФ примет вид:

F₁
(X,Y,Z,P) = (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y ÚZ Ú P) & (X Ú Y ÚZ Ú P)

F₃
(X,Y,Z,P) = (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P)

F₅
(X,Y,Z,P) = (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P) & (X Ú Y Ú Z Ú P)

2.6.

Минимизация ФАЛ

Проведем минимизацию полученных ФАЛ при помощи карты Карно и представим их в ДНФ. Для этого попытаемся оптимальным образом объединить 0-кубы в кубы большей размерности. Клетки, образующие k-куб, дают минитерм n-k ранга, где n - число переменных, которые сохраняют одинаковое значение на этом k-кубе. Таким образом, получим ДНФ выбранных ФАЛ.

Рис 2.2а Рис 2.2б Рис 2.2в

Проведем минимизацию алгебраическим путем, воспользовавшись тождеством а È а = а.

XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP = XYZ Ú XZP Ú XZP Ú YZP Ú XYZ Ú XZP = ZP Ú XYZ Ú XZP Ú YZP Ú XYZ

XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZPÚ XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP = YZP Ú YZP Ú XZP Ú XYZ Ú XYZ = XY Ú YZP Ú YZP Ú XZP

Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZPÚ XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP Ú XYZP = XZP Ú XYP Ú XYZ Ú XZP Ú XZP Ú XYZP

2.7.

Представление ФАЛ в виде куба

3.

Исследование ФАЛ.

3.1.

Матрица отношений.

Построить матрицу отношений T:H ´ A. Матрица отношений представляет собой таблицу, строками которой являются записи (кортежи признаков), а строками отношения, которые имеют все уникальные имена. Матрица отношения представлена в таблице 3.

Матрица отношений. Табл. 3

3.2.

Исследование ФАЛ на толерантность.

Определим классы толерантности. Рассмотрим классы толерантности k₁
, k₂
, k₃
,имеющие общие элементы, следовательно, являющиеся пересекающимися множествами.

h₁
= h(a₁
) = h(A) = { X₀
, X₁
, X₃
, X₅
, X₆
, X₇
, X₉
, X₁₂
, X₁₃
, X₁₄
}

h₂
= h(a₂
) = h(B) = { X₁
, X₂
, X₈
, X₉
, X₁₀
, X₁₁
, X₁₂
}

h₃
= h(a₃
) = h(C) = { X₀
, X₃
, X₅
, X₆
, X₇
, X₉
, X₁₀
, X₁₃
, X₁₄
}

Проанализировав классы h₁
, h₂
, h₃
, можно получить: k₁
Ç k₂
= 0;

k₁
Ç k₃
= 0; k₂
Ç k₃
= 0, т.е. {k₁
, k₂
, k₃
} - образуют класс толерантности

Результаты исследования занесем в таблицу 3.

3.3.

Исследование ФАЛ на эквивалентность.

Определим классы эквивалентности для этого множества А = {Х₀
, Х₁
, ...., Х₁₅
} разобьем на классы эквивалентности, получим 6 классов

М₁
= {AC} = {X₀
,X₃
,X₅
,X₆
X₇
,X₁₃
,X₁₄
}

М₂
= {AB} = {X₁
,X₁₂
}

М₃
= {B} = {X₂
,X₈
,X₁₁
}

М₄
= { } = {X₄
,X₁₅
}

М₅
= {ABC} = {X₉
}

М₆
= {BC} = {X₁₀
}

При этом каждый класс полностью определяется любым его представителем. Сопоставив результаты исследования с результатами пункта 3.2 получим следующие зависимости

или

K₁
= M₁
È M₂
È M₅

K₂
= M₂
È M₃
È M₅
È M₆

K₃
= M₁
È M₅
È M₆

Результаты исследования занесены в таблицу 3. Результаты исследования на эквивалентность и толерантность необходимы для оптимизации построения логической схемы.

3.4.

Матрица эквивалентности и толерантности.

Матрицу эквивалентности и толерантности можно представить в виде квадрата, по диагонали которого строятся классы эквивалентности, а затем устраиваются отношения толерантности. Матрица эквивалентности и толерантности представлена в таблице 4.

Матрица эквивалентности и толерантности. Таблица 4.

3.5.

Диаграмма Эйлера.

Диаграмма Эйлера дает наглядное представление о том, как распределяются признаки по классам толерантности и эквивалентности. Диаграмма Эйлера для выбранных ФАЛ представлена на рисунке 3.5.

Диаграмма Эйлера. Рис. 3.5

3.6.

Построение комбинационной схемы.

Комбинационная схема автомата распознавания набора признаков H = {h₁
, h₃
, h₅
} построена на основе результатов исследований в пункте 3.1 и пункте 3.4.

Таблица 5

Используя таблицу 5, можно записать следующие отношения:

G₁
= (XYZP) Ú (XYZP) Ú (XYZP) Ú (XYZP) Ú (XYZP) Ú (XYZP) Ú (XYZP) = (XYZP) Ú (XYZP) Ú (XYZP) Ú (XYZ) Ú (YZP)

G₂
= (XYZP) Ú (XYZP)

G₃
= (XYZP) Ú (XYZP) Ú (XYZP)

G₄
= (XYZP) Ú (XYZP)

G₅
= (XYZP)

G₆
= (XYZP)

Тогда ФАЛ можно представить в виде:

F₁
= G₁
Ú G₂
Ú G₅

F₃
= G₂
Ú G₃
Ú G₅
Ú G₆

F₅
= G₁
Ú G₅
Ú G₆

Эти отношения эквивалентны ФАЛ в СДНФ, полученным в пункте 2.5.

Комбинационная схема строилась в два этапа:

1 этап: - построение комбинационной схемы на элементах и, или,

(нестандартных).

2 этап: - замена нестандартных элементов на стандартные и-не

Заключение

Проведя анализ на толерантность и эквивалентность, мы построили автомат, распознающий кортеж признаков H = {h₁
, h₃
, h₅
}, который состоит из 16 - ти логических элементов.

Список литературы

1. В.П. Сигорский. «Математический аппарат инженера» - издательство Киев: Техника - 1975 г.