Показатели надежности восстанавливаемого объекта

Лекция 13

1. Постановка задачи. Общая расчетная модель

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:

экспоненциальное распределение наработки между отказами;

экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t0 вероятность состояния системы в будущем (t > t0) зависит только от состояния в настоящем (t  = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).

Для марковского процесса «будущее» зависит от  «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S1 , S2 , … , Sn , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

- отсутствуют ограничения на число восстановлений;

- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями  S1 , S2 , … , Sn .

Основные правила составления модели:

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.

Элементы графа:

а) кружки (вершины графа S1 , S2 , … , Sn ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj .

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры графа:

S0 – работоспособное состояние;

S1 – состояние отказа.

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:

- исправное состояние продолжается;

- состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S1 , S2 , … , Sn . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

P1(t), P2(t), … , Pi(t), … , Pn(t),

где Pi(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е.

Pi(t) = P{S(t) = si}.

Очевидно, что для любого t

(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S1 , S2 , … , Sn нет).

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:

В общем случае, интенсивности потоков ij и ij могут зависеть от времени t.

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а)  в левой части – производная по времени t от Pi(t);

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний  P1(t), Pi(t), … , Pn(t) необходимо задать начальное значение вероятностей

P1(0), Pi(0), … , Pn(0),   при  t = 0,

сумма которых равна единице:

Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi(0) = 1, а остальные равны нулю.

2. Показатели надежности восстанавливаемых систем

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = SK SM ,

SK SM = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При  t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их  левые части   dPi(t)/dt = 0, т.к.    Pi = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

и коэффициент готовности:

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4.  Параметр потока отказов  системы

где jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

Примечание:             При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами

T0= kг.с./ ,

где  () = .

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

= = 1/ T0,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ TВ ,

где T0 – средняя наработка  между отказами;

TВ – среднее время восстановления.

P0(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

P1(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

Начальные условия: при t = 0 P0(t = 0) = P0(0) = 1; P1(0) = 0, поскольку состояния S0 и S1 представляют полную группу событий, то

Выражая P0(t) = 1 - P1(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P1(t):

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi(t):

т. е. Pi(S) = L{Pi(t)} – изображение вероятности Pi(t).

Преобразование Лапласа для производной dPi(t)/dt:

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

где L{} = L{1} = /S .

При P1(0) = 0

SP1(S) + P1(S)( +  ) = /S.

P1(S)( S + +  ) = /S,

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

Применяя  обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;

L{f(t)} = 1/( S + a), то f(t) = e-at,

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi(t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

dPi(t)/dt = 0.

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

При t алгебраические уравнения имеют вид:

Дополнительное уравнение: P0 + P1 = 1.

Выражая P1 = 1 - P0 , получаем 0 =   P0   -  (1 - P0 ), или = P0 ( +  ), откуда

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя  П(t)

Г(t) = P0 (t);         П(t) = 1 - Г(t) = P1(t).

- параметр потока отказов (t) по (4)

  (t) = P0(t) = Г(t).

При t (стационарный установившийся режим восстановления)

(t) = () = = P0 = kг.с.

- ведущая функция потока отказов (t )

- средняя наработка между отказами (t )

t0= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

Рис. 1

Анализ изменения P0(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности          (= )

/ = 0  и   P0(t) = 1.

2) При отсутствии восстановления ( = 0)

/ =   и   P0(t) = e-t,

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

Система дифференциальных уравнений:

Начальные условия: P0 (0) = 1; P1(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

После группировки:

откуда

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t:

3. Связь логической схемы надежности с графом состояний

Переход от логической схемы к графу состояний необходим:

1)при смене методов расчета надежности и сравнении результатов;

2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.

Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).

Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные стрелки, соответствующие интенсивностям восстановлений .