Теория устойчивости систем

Министерство образования РФ

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Автоматики и управления

Реферат

по математическим основам теории систем

на тему

Теория устойчивости систем

Выполнил:

Группа: ПС-263

Проверил: Разнополов О. А.

Челябинск

2003

Содержание:

1. Устойчивость в смысле Ляпунова............................................................... 3

2. Свойства устойчивых систем...................................................................... 4

3. Устойчивость тривиального решения........................................................ 4

4. Устойчивость линейных систем.................................................................. 5

5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами............ 5

6. Критерии устойчивости линейных систем................................................. 6

7. Второй метод Ляпунова.............................................................................. 8

8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений............................. 10

9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова......................................................................................................................... 12

10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова........................................................................................................ 12

11. Экспоненциальная устойчивость............................................................ 16

12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления 19

13. Асимптотический наблюдатель Люенбергера....................................... 21

Список литературы....................................................................................... 23

1. Устойчивость в смысле Ляпунова

Под устойчивостью системы обычно понимают свойство системы автоматического регулирования (САР) возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения. Полагая, что САР описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
, рассмотрим устойчивость решения дифференциальных уравнений. Пусть поведение САР описывается системой обыкновенных дифференциальны
х уравнений

,

где xi – переменные, характеризующие состояние системы. Запишем систему в векторном виде:

Введем в рассмотрение (n+1)-мерное пространство En
+1, координатами в котором будут являться переменные t, x
1, x2, …, xn. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным x1, x2, …, xn в некоторой выпуклой области G пространства En+1. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, то есть для любых начальных значений t
0, x10, x20, …, xn0 существует и при том единственное решение
xi
=
si
(t, xi0­), i
=1, 2, …, n, удовлетворяющее начальным условиям si
(t0, xi0­)=xi0, i=1, 2, …, n. Потребуем бесконечной продолжаемости данного решения, то есть будем считать функции si(t) определенными для
t
0
≤t≤¥
, причем t0 можно считать равным ¥
.

Рассмотрим некоторое решение xi=si(t) данной системы, определенное на интервале [t0,¥), причем si(t0)=xi0. Решение si
(t), i=1, 2, …, n называется устойчивым по Ляпунову при
t®¥, если для любого e
>0 существует такое d
>0, зависящее от e и t0, что любое решение xi=j
i(t), для которого при t=t0 выполняется неравенство

|
ji(t0)–si(t0)|<d,

удовлетворяет неравенству

|
ji(t)–si(t)|<e, t0≤t≤¥

для всех i
=1, 2, …, n.

Геометрически это означает, что все решения, которые при t=t0 начинаются в d-окрестности точки (x10, x20, …, xn0), никогда не покинут e-трубку решения si(t) (рис. 1).

Решение si
(t), i=1, 2, …, n, называется неустойчивым, если существует e>0 такое, что для любого d>0 найдется такой момент времени t=t1, что для некоторого значения i=k будет выполняться неравенство

|jk(t1)–sk(t1)|³e,

несмотря на то, что

|
j
i(t0)–si(t0)|<d

для всех i=1, 2, …, n.

Решение si(t) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение si(t) устойчиво по Ляпунову при t®¥;

2) существует такое число H>0, что для любого решения ji(t), удовлетворяющего при t=t0 неравенству |ji(t0)–si(t0)|<H, i=1, 2, …, n, будет справедливо равенство

.

Если H=¥, то динамическая система называется устойчивой в целом. Если нулевое состояние линейной системы асимптотически устойчиво
, то оно асимптотически
устойчиво в большом, то есть асимптотическая устойчивость выполняется для всех начальных состояний и не ограничена состояниями, достаточно близкими к нулевому состоянию.

Линейная система называется устойчиво
й (асимптотически устойчивой), если ее начальное состояние устойчиво (асимптотически устойчиво). Нелинейные системы могут иметь асимптотически устойчивое состояние равновесия, не будучи асимптотически устойчивыми в большом, то есть устойчивость справедлива в локальном смысле.

2. Свойства устойчивых систем

Система, описываемая векторным дифференциальным уравнением

,

устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда
найдется постоянная M, которая будет зависеть от t, такая, что

где Ф(t,t0) – переходная матрица, то есть .

Линейная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда
:

1) имеется постоянная M, такая, что ;

2)

Вектор состояния стационарной системы не может возрастать быстрее, чем некоторая экспонента. Это верно и для нестационарной системы при условии, что матрица A(t) остается ограниченной для всех t³t0.

3.

Устойчивость тривиального решения

Исследование устойчивости любого решения системы

,

можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения .

Пусть xi=si(t) – некоторое решение системы. Введем новые переменные yi
=xi–si(t), тогда

Очевидно, что gi(0,0,…,0)
º
0, то есть последняя система будет иметь тривиальное решение yi(t) º0. Эта система носит название системы уравнений возмущенного движения.

Введем в рассмотрение два пространства
: Ex решений системы

,

и пространство Ey решений системы

.

Каждой интегральной кривой пространства Ex соответствует интегральная кривая пространства Ey, причем кривой xi
=si(t) соответствует yi(t)º0 (рис. 2). Если решение xi=si(t) устойчиво в пространстве Ex, то решение yi(t)º0 устойчиво в пространстве Ey, и наоборот. Поэтому вместо исследования устойчивости решения xi=si(t) можно исследовать устойчивость тривиального решения.

Тривиальное решение yi(t)º
0 будет устойчивым по Ляпунову, если для любого e>0 существует такое d>0, зависящее от e и от t0, что для любого решения yi=
j
i(t), удовлетворяющее при t=t0 неравенству |ji(t0)|<d, выполняется неравенство |ji(t)|<e при t
0≤t<¥ для всех i
=1,2,…,n.

Особое значение имеет устойчивость состояния равновесия
. Состояние равновесия определяется корнями уравнения

fi(x1,x2,…,xn)=0, i=1,2,…,n.

4. Устойчивость линейных систем

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

где aij(t) и fi(t) – непрерывные функции в полуинтервале t0≤t<¥.

Однородная система, соответствующая данной, имеет вид

.

Эта система имеет тривиальное решение

Любое решение однородной системы дифференциальных уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение. Отсюда следует, что в линейной однородной системе с непрерывными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и наоборот, если неустойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения также неустойчивы.

Однородная система дифференциальных уравнений, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой.

Линейная однородная система дифференциальных уравнений
устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено для t³t0.

Линейная однородная система дифференциальных уравнений асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение.

Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда устойчива (асимптотически устойчива) соответствующая однородная система дифференциальных уравнений.

5. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами

Рассмотрим устойчивость линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
:

,

где A – квадратная матрица постоянных коэффициентов, – вектор-столбец неизвестных функций.

Пусть l
1,…,lk – различные корни характеристического уравнения det(A–lE)=0, а e1,…,ek – максимальные показатели степени элементарных делителей, соответствующих этим корням. Решение исходной системы имеет вид:

,

причем Pi(t) – вектор-столбец, элементами которого являются многочлены от t; степень этих многочленов не превышает ei–1.

Для устойчивости линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения
системы имели неположительные вещественные части, причем элементарные делители, соответствующие корням характеристического уравнения с нулевой вещественной частью, были бы простыми. Из этой теоремы следует, что линейная система с постоянными коэффициентами будет устойчивой и в случае кратных корней характеристического уравнения, лежащих на мнимой оси плоскости l, только этим корням должны соответствовать простые элементарные делители, то есть соответствующая клетка Жордана должна состоять из одного элемента.

Рассмотрим устойчивость линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами:

.

Характеристическое уравнение:

.

Это характеристическое уравнение имеет корень li кратности ei.

Для устойчивости линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения имели неположительные вещественные части, причем корни с нулевой вещественной частью должны быть простыми.

Для асимптотической устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательны, то есть характеристические числа матрицы A должны располагаться в левой полуплоскости.

6. Критерии устойчивости линейных систем

Критериями устойчивости называются правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения
. Математически все формы критериев устойчивости эквивалентны, так как они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Одним из таких критериев является критерий
Гурвица – это алгебраический критерий, позволяющий в аналитической форме связать условия устойчивости с параметрами системы и выделить области устойчивости.

Этот критерий заключается в следующем: если характеристическое уравнение n-ой степени имеет вид

D
(p)=cnpn+cn-1pn-1+…+c1p+c0=0,

то для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при cn>0 все n определителей Гурвица D
1, D2, …, Dn, составленные по определенной схеме, были положительны.

Определители Гурвица составляются с помощью таблицы:

по правилам:

1) выписываются по диагонали все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с cn-1;

2) заполняются горизонтальные строки – справа от данного коэффициент
а записываются коэффициенты с возрастающими индексами, а слева – с убывающими. В строках, где индекс коэффициентов меньше нуля или больше n, ставятся нули;

3) соответствующий определитель Di получится отчеркиванием i-ой строки и i-го столбца.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условий:

и т. д.

Необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, то есть ci>0, i=1,2,…,n.

Пример: исследовать устойчивость решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами:

Характеристическое уравнение этой системы:

Матрица Гурвица имеет вид:

.

Определители Гурвица:

D1=3>0, D2=9–(1–
a2b), D3=D2×(1–a2b).

Таким образом, для положительных главных диагональных миноров матрицы Гурвица требуется, чтобы параметр b удовлетворял неравенствам:

Еще одним критерием, позволяющим исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, является критерий Рауса – это алгебраический критерий, позволяющий судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Особенно удобен он в тех случаях, когда эти коэффициенты заданы численно, а степень характеристического уравнения высока и использование критерия Гурвица затруднительно.

Критерий Рауса заключается в следующем – для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первой графы таблицы Рауса были положительными.

Таблица Рауса для характеристического уравнения вида

D(p)=cnpn+cn-1pn-1+…+c1p+c0=0

составляется следующим образом:

1) в первой и второй строках таблицы выписываются соответственно коэффициенты cn,
cn-2,… и cn-1, cn-3,…;

2) для определения коэффициента aki таблицы нужно из (k+1)-го коэффициента (i-2)-ой строки (ak
+1,i-2) вычесть произведение множителя ri
-3 на (k+1)-й коэффициент (i-1)-ой строки (ak
+1,i-1), то есть aki=ak+1,i-2–ri-3×ak+1,i-1. Множитель ri-3 есть отношение первого коэффициента (i-2)-й строки (a1,i-2) к первому коэффициенту (i-1)-й строки (a1,i-1). Он постоянен для каждой строки.

i k		1	2	3
1	Коэффициенты	cn	cn-2	cn-4
2	ri	cn-1	cn-3	cn-5
3		a13=cn-2–r0cn-3	a23=cn-4–r0cn-5	a33=cn-6–r0cn-7
4		a14=cn-3–r1a23	a24=cn-5–r1a33	a34=cn-7–r1a43
5		a15=a23–r2a24	a25=a33–r2a34	a35=a43–r2a44
…	…	…	…	…

Для устойчивости системы должно выполняться условие:

cn>0, cn-1>0, a13>0, a14>0, …, a1,n+1>0.

Пример: задано характеристическое уравнение

D(p)=0.104p7+0.33p6+5.5p5+15.5p4+25p3+25p2+19.7p+9.5=0

Определим устойчивость системы. Для этого построим таблицу Рауса:

Все коэффициенты первой графы положительны, следовательно, система устойчива

7. Второй метод Ляпунова

Второй, или прямой, метод Ляпунова позволяет исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решения самих уравнений. Мы будем исследовать устойчивость тривиального решения автономных систем дифференциальных уравнений, то есть систем уравнений вида

(1)

При этом мы предполагаем, что функции fi(x1,…,xn) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой выпуклой области G
: <Hn-мерного пространства. В этом случае в области G система уравнений (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения.

Рассмотрим функции V(
x1,…,xn), определенные и непрерывные в области G: <H и обладающие в этой области непрерывными частными производными по всем своим аргументам.

Функция
V(x1,…,xn) называется знакоположительной (знакоотрицательной) в указанной области G, если для любого
.

Функция V(x1,…,xn) называется положительно определенной (отрицательно определенной) в той же области G, если для любого , причем тогда и только тогда, когда =0.

Функции V
(x1,…,xn) первого типа называют знакопостоянными, второго типа – знакоопределенными.

Достаточно просто определяется знакоопределенность в том случае, если функция V(x1,…,xn) представляет собой квадратичную форму, то есть

.

Тогда функция V
(x1,…,xn) является положительно определенной, если положительно определена вышеуказанная квадратичная форма.

Дадим знакоопределенной функции V(x1,…,xn) геометрическую интерпретацию. Рассмотрим функцию двух переменных V(x1,x2). На плоскости x1, x2 линия V(x1,x2)=с (c – некоторое число) представляет собой замкнутую кривую, содержащую внутри себя начало координат (рис. 3). При c=0 кривая стягивается в начало координат.

Пусть si(t) – некоторое решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям si(t0)=xi0.

Полной производной по времени t функции V(x1,…,xn) в силу системы (1) называется функция

,

или, учитывая формулу полной производной,

.

Из этой формулы следует, что производная в силу системы (1) не зависит от выбранного решения s(t), а является функцией точки . Иначе полученное выражение можно записать так:

.

Производная
представляет собой скалярное произведение вектора на вектор фазовой скорости . При
>0 фазовые траектории системы (1) пересекают поверхность в сторону возрастания
, а при <0 – в сторону убывания.

Положительно определенные функции , производные которых в силу системы (1) являются отрицательно определенными или знакоотрицательными, называются функциями Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости гласит, что если для системы уравнений (1) существует положительно определенная функция , производная которой в силу системы (1)
знакоотрицательна, то тривиальное решение системы (1) устойчиво по Ляпунову
.

Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует положительно определенная функция
, производная которой в силу системы (1) отрицательно определена. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости гласит, что тогда тривиальное решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова о неустойчивости утверждает, что если для системы уравнений (1) существует непрерывная функция , удовлетворяющая условию , производная которой в силу системы (1) знакоопределенная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых знак функции совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение системы неустойчиво в смысле Ляпунова.

8. Линеаризация систем дифференциальных уравнений

Пусть поведение САР описывается системой дифференциальных уравнений

(1)

Пусть , то есть начало координат является состоянием равновесия. Будем полагать, что функции
fi
(
x1,…,xn), i=1,2,…,n имеют непрерывные частные производные в некоторой области . Разложим функции fi(x1,…,xn) в ряд Тейлора в окрестности точки (0,0,…,0):

(2)

а функции j
i(x1,…,xn) содержат члены разложения порядка малости выше первого относительно переменных x1,…,xn и поэтому

. (3)

С учетом равенств (2) систему (1) можно переписать в виде

где A=[aij] – числовая матрица, а – вектор-столбец, удовлетворяющий условию

.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

называется системой первого приближения для системы уравнений (1).

Функцию fi(x1,…,xn) можно получить в другом виде, не только разложением в ряд Тейлора. Существенно при этом, чтобы нелинейные члены ji(x1,…,xn) удовлетворяли условию (3).

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению
гласит, что тривиальное решение системы

асимптотически устойчиво по Ляпунову, если все корни характеристического уравнения матрицы A этой системы имеют отрицательные вещественные части, то есть Reli<0, i=1,2,…,n.

Согласно теореме Ляпунова о неустойчивости по первому приближению, если среди корней характеристического уравнения матрицы A имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то тривиальное решение данной системы неустойчиво.

В том случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто мнимые корни, нельзя судить об устойчивости тривиального решения
данной системы по уравнениям первого приближения. В этом случае, называемом критическим, устойчивость или неустойчивость тривиального решения зависит от нелинейной части . Путем соответствующего выбора можно сделать решение либо устойчивым, либо неустойчивым.

Пример 1: исследовать устойчивость тривиального решения системы уравнений

.

Система первого приближения для этой системы имеет вид

.

Характеристическое уравнение

.

Его корни: . Первый корень лежит в правой полуплоскости. Значит, решение исходной системы неустойчиво.

Пример 2: исследовать устойчивость тривиального решения системы уравнений

.

Система первого приближения:

.

Характеристическое уравнение:

.

Его корни: l
1=l2=–1.

Оба корня лежат в левой полуплоскости, значит, тривиальное решение системы устойчиво.

9. Исследование устойчивости линейных систем с помощью второго метода Ляпунова.

Рассмотрим линейную стационарную систему:

(1)

Пусть положение равновесия этой системы будет находится в точке . Будем искать функцию Ляпунова в виде:

Рассмотрим производную этой функции в силу уравнения (1):

.

Мы получили также квадратичную форму. Поэтому чтобы производная по времени от функции Ляпунова была отрицательно определенной, эта квадратичная форма должна быть отрицательно определенной. Обозначим:

.

Зададим матрицу G как некоторую положительно определенную матрицу. Тогда мы получим уравнение относительно матрицы H, называемое уравнением Ляпунова.

Если матрица H, найденная из этого уравнения, является положительно определенной матрицей, то система устойчива, в противном случае система неустойчива.

10. Исследование устойчивости нелинейных систем с помощью второго метода Ляпунова

Рассмотрим анализ устойчивости состояния равновесия некоторого класса нелинейных систем автоматического регулирования с помощью второго метода Ляпунова. Полагаем, что нелинейная САР состоит из линейного объекта регулирования и нелинейного регулятора. Поведение объекта регулирования описывается линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в векторной записи имеет вид:

, (1)

где – вектор координат, характеризующих состояние объекта регулирования;

y – скалярная координата, характеризующая воздействие регулятора на объект регулирования (регулирующее воздействие).

Матрица А полагается невырожденной (detA

Регулятор имеет в своём составе сервомеханизм, управление которого

(2)

и чувствительный момент, формирующий сигнал ошибки

, (3)

где – вектор постоянных коэффициентов; r – скалярный параметр обратной связи. Относительно нелинейной функции будем полагать, что , если
e
¹0. В точке e=0 допускается разрыв непрерывности первого рода, функция f(e) предполагается непрерывной при e¹0.

Введем следующую классификацию рассматриваемых нелинейных САР в зависимости от характера корней характеристического уравнения матрицы A. САР будет:

1) собственно устойчива, если все корни характеристического уравнения матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то есть Reli<0;

2) нейтральна по координатам x1,…,xk, если Rel1=Rel2=…=Relk=0, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части;

3) собственно неустойчива, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть.

Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения матрицы A простые и удовлетворяют условию Reli≤0, i=1,2,…,n. Определим состояния равновесия, которые могут быть в нелинейной САР, описываемой уравнениями (1)–(3). Эти состояния равновесия представляют собой решения системы линейных алгебраических уравнений

(4)

Рассмотрим вспомогательную систему уравнений:

. (5)

Пусть определитель этой системы не равен нулю:

. (6)

В этом случае эта система уравнений имеет единственное решение, которое мы найдем по правилу Крамера:

(7)

.

Если a2=0, то из второго уравнения системы (4) следует, что e=0, и, согласно равенствам (7) получаем xk=0 (
k=1,…,n) и y=0. Таким образом, система дифференциальных уравнений (1)–(3) имеет единственное состояние равновесия с координатами

xk=0, y=0 (k=1,…,n). (8)

Если a2¹0, то система уравнений (4) может иметь несколько решений. Из (7) и (4) следует

(9)

Это уравнение может иметь различные решения в зависимости от знака величины Ba
2 и формы кривой f(e). Если Ba2<0, то уравнение (9) имеет единственное решение e=0, и система уравнений (4) имеет решение (8). Если Ba2>0, то уравнение (9) может иметь несколько решений. Обозначим их e1, …, em; тогда система (4) имеет m решений, определяемых равенствами

xki=Akei (k=1,…,n), yi=Bei (i=1,…,m). (10)

Таким образом, в зависимости от вида нелинейной функции f(e) и значений a2 и B в САР возможны следующие виды состояния равновесия:

1) Единственное состояние равновесия (8);

2) Конечное число состояний равновесия (10).

Исследование устойчивости любого из состояний равновесия
(10) может быть сведено к рассмотрению устойчивости тривиального решения
(8).

Пусть a1=1, a2=0. Тогда

. (11)

Исследование устойчивости тривиального решения системы (11) удобно проводить, когда уравнения приведены к канонической форме. Канонической формой уравнений (11) назовем такой их вид, когда матрица A приведена к жордановой форме. Для любой числовой матрицы A существует такая невырожденная матрица T, что T­-1AT=J, где J – жорданова форма матрицы A.

Сделаем в системе (11) замену переменных:

Тогда из (11):

или .

Пусть , тогда

. (12)

Эта система уравнений является канонической формой уравнений движения. Мы рассматриваем случай простых корней характеристического уравнения матрицы A, поэтому J=diagA.

Для того, чтобы состоянию равновесия xk=0, y=0 системы уравнений (11) соответствовало единственное состояние равновесия zk=0, e=0 последней системы уравнений, требуется, чтобы определитель системы (12) был отличен от нуля, то есть

.

Учитывая, что J-1=T-1A-1T, , получаем:

.

Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений (12), приведенной к канонической форме. Для исследования построим функцию Ляпунову специального вида, предложенную А. И. Лурье, с помощью этой функции найдем условия, накладываемые на параметры регулятора, при выполнении которых тривиальное решение систем (12) и (11) асимптотически устойчиво.

Пусть все корни характеристического уравнения det(A–lE)=0 простые и лежат в левой полуплоскости, то есть Reli<0, i=1,2,…,n. Функцию Ляпунова будем искать в виде

.

Чтобы
была положительно
определенной, требуется, чтобы первое слагаемое представляло собой положительно определенную квадратичную форму, тогда первое слагаемое будет строго положительным для всех , удовлетворяющих условию . Второе слагаемое в силу условий, накладываемых на функцию f(e), будет строго положительной для всех e, удовлетворяющих условию e¹0. Таким образом, функция будет определенно положительной, если квадратичная форма положительно определена.

Составим полную производную функции по времени t в силу (12):

Так как B – симметрична, то BT=B, получим

.

Заменим C=–(JTB+BJ). Матрица С симметрична, поэтому

Видно, что является квадратичной формой относительно z1,…,zn, f(e). Если характеристические числа матрицы A удовлетворяют условию lj+li¹0, то по заданной симметричной матрице C однозначно определяется матрица B:

. (13)

Пусть матрица A устойчива, то есть ее характеристические числа лежат в левой полуплоскости. Существует теорема, которая утверждает, что если С – матрица некоторой положительно определенной квадратичной формы, то определенная по формуле (13) матрица B также является матрицей положительно определенной квадратичной формы.

Получим условия, накладываемые на параметры САР для того, чтобы функция была функцией Ляпунова. Возьмем некоторую матрицу C положительно определенной квадратичной формы, тогда матрица B тоже будет матрицей некоторой положительно определенной квадратичной формы. Для того, чтобы функция была функцией Ляпунова, требуется, чтобы ее производная
в силу системы (12) была отрицательно определенной функцией. Для положительной определенности функции – требуется, согласно критерию Сильвестра, положительность всех главных диагональных миноров матрицы квадратичной формы. Так как матрица C положительно определенная, то первые n неравенств критерия выполняются, и остается одно:

Это условие является необходимым и достаточным условием отрицательной определенности производной . Перепишем его в виде

. (14)

Согласно второй теореме об асимптотической устойчивости состояний равновесия zk=0, e=0 системы (12) будет асимптотически устойчиво. При выполнении неравенства
(см. выше), получим, что

. (15)

Это будет означать асимптотическую устойчивость тривиального решения xk=0, y=0 системы уравнений (11). Таким образом, неравенства (14) и (15) являются достаточным условием асимптотической устойчивости состояния равновесия системы (11).

Когда характеристическое уравнение матрицы A имеет один нулевой корень, то выделим компоненту z1 вектор-функции в виде . Тогда система (12) запишется в виде:

где – (n-1)-мерная вектор-функция, J’ – диагональная матрица порядка (n-1)x(n-1), и – (n-1)-мерные вектор-столбцы, b0 и c0 – скалярные величины. Функцию Ляпунова будем искать в виде

.

Если квадратичная форма является положительно определенной и a>0, то функция будет положительно определенной в пространстве .

Для того чтобы выражение в фигурных скобках представляло собой отрицательно определенную квадратичную форму, необходимо и достаточно
, чтобы

Если b0c0<0, то можно подобрать такое положительное a, чтобы выполнялось равенство

.

Тогда производная будет знакоотрицательной функцией.

11. Экспоненциальная устойчивость

Пусть свободное движение системы S описывается уравнением

(1)

где функция определена, непрерывна и дифференцируем на некотором открытом множестве

Полагаем, что , то есть существует равновесие
, а в области определения выполняются неравенства:

– решение данной системы при начальных условиях . Равновесие называется экспоненциально
устойчивым, если для любых значений из области ||x0||<r, t0>0 можно выбрать такие два положительные числа M и a, что для всех t>t0 справедливо неравенство:

. (2)

Кривая будет мажорантой для кривой .

Согласно теореме Красовского, если каждое решение системы (1) удовлетворяет условию (2) экспоненциальной устойчивости положения равновесия , то в области существует функция Ляпунова , такая, что ее полная производная по времени в силу уравнений движения имеет знак, противоположный знаку V. Функция V удовлетворяет оценкам:

, (3)

где с1, c2, c3, c4 – вещественные числа, .

Условия теоремы всегда выполняются для линейных стационарных асимптотически устойчивых систем, и в этом случае функция Ляпунова не зависит от t и представляет собой квадратичную форму

,

При t®¥ в устойчивой свободно движущейся системе с функцией Ляпунова вида и, следовательно, функция Ляпунова V также стремится к нулю. Из (3) следует, что

.

Заменим во втором неравенстве из (3) правую часть большой величиной . Неравенство усилится:

. (5)

Это линейное дифференциальное неравенство, на основе которого можно получить мажоранту и построить мажорирующую модель сравнения.

. (5a)

Это уравнение, соответствующее предыдущему неравенству или порожденное неравенством. Решение этого уравнения имеет вид:

. (6)

Представим полученное решение в виде равенства:

,

где d
(t) – неизвестная функция времени, о которой можно сказать лишь то, что она неотрицательна для всех t³t0, для которых выполняется (5). Тогда решение:

.

Поскольку d(t) положительна, получим неравенство

. (7)

Если выбрать V0=z0, правая часть этого неравенств
а становится равной решению (6), и мы получим:

.

Заменим в правой части (7) V0 на бόльшую величину , а в левой V(t) – на меньшую :

. (8)

Извлекая из обоих частей квадратный корень, получим линейное относительно неравенство

.

Таким образом решение z(t) уравнения (5a), определяемое (6), будет мажорировать:

а) функцию Ляпунова V(t), если V(t0)≤z0, что следует из (7) и (6);

б) функцию квадрата нормы переменной состояния , если , что вытекает из (8) и (6).

Поскольку матрица Hположительн
о определенная , то все ее собственные значения вещественны и положительны, и мы можем выразить через них c1 и c2:

(9)

где l
m(H) – наименьшее, а lM(H) – наибольшее из собственных значений матрицы H. Далее

.

Так как H – симметрична, то

,

Отсюда

, или (10)

При этом в (9)–(10) было использовано свойство симметрических вещественных матриц:

. (11)

Наибольшее l
M(H) и наименьшее lm(H) собственные значения матрицы H, если H положительно определена, будут вещественными и положительными.

Таким образом для функции , независимо от вида (1) и (3) можно записать:

Коэффициент будет зависеть от вида уравнения.

Для линейной стационарной системы

имеем

.

Обозначим , где G – положительно определенная симметрическая матрица. Следовательно,

,

то есть в данном случае также является квадратичной формой, и на основании (11) можно записать

.

Таким образом, для квадратичных функций Ляпунова и для корней квадратных из них в случае стационарной системы все коэффициенты в неравенствах (3) Красовского выражены через собственные значения матриц H и G.

12. Главная обратная связь по состояниям. Метод модального управления

Пусть система S описывается уравнением:

.

Требуется найти такое управление u(t), что оно переводит систему из некоторой начальной точки в начало координат 0n, то есть .

Будем искать управление u(t) в виде

(1)

– это главная обратная связь по состояниям. Подставим эту функцию в исходное уравнение. Получим

.

Для оценки устойчивости этой линейной системы воспользуемся первым методом Ляпунова. Согласно первому методу Ляпунова, у матрицы

все собственные числа должны быть отрицательны. Зададим некоторые собственные числа l1,…,ln<0 для этой матрицы и из ее характеристического полинома найдем числа k1,…,kn, составляющие вектор . Мы сможем найти вектор в случае, если система S полностью управляема.

Таким образом, введя модальное управление вида (1), можно обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы .

Методику нахождения модального управления лучше всего пояснить на примере.

Пример: требуется найти управление, переводящее систему

в состояние .

Управление будем искать в виде

;

Подставим это управление в исходное уравнение. Получим

.

.

Найдем характеристический полином этой матрицы:

. (2)

Зададим корни характеристического уравнения такими: . Теперь, если мы подставим их в характеристическое уравнение, мы получим одно уравнение с двумя неизвестными.

Поступим иначе: составим характеристический полином, корнями которого будут
и :

.

Однако полином (2) имеет те же самые корни, что и последний полином, следовательно, мы записали одно и то же, то есть

.

Два полинома равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной (в данном случае l). Получим систему уравнений:

Отсюда находим, что . Следовательно, искомое управление будет иметь вид:

.

1

3. Асимптотический наблюдатель Люенбергера

Рассмотрим систему

(1)

Если эта система полностью наблюдаема, то можно построить такое устройство, которое называется асимптотический наблюдатель Люенбергера, на выходе которого получим оценку вектора состояния:

, (2)

где – так называемая невязка между выходом и наблюдением; – полученная оценка состояния и выхода.

Назовем вектором ошибки разность между состоянием системы и его оценкой :

.

Вычтем из первого уравнения системы (1) первое уравнение системы (2). Получим

.

Если (A–LCT) – гурвицева матрица, то , и значит .

Матрица будет или не будет гурвицевой в зависимости от матрицы L. То есть, мы можем обеспечить любое заданное распределение корней характеристического уравнения матрицы , задавая матрицу L.

Пример: найти L для системы

для корней характеристического уравнения .

Решение: .

Составим характеристические полиномы:

Корни этих полиномов должны быть равны, поэтому приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях:

Отсюда получим, что .

Чтобы , необходимо, чтобы у гурвицевой матрицы главные диагональные миноры были положительными. Проверим это:

Значит,.

Список литературы

1. Математические основы теории автоматического регулирования, т. 1. Под ред. Б. К. Чемоданова. М., 1977

2. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. Под ред. Е. А. Санковского. Минск, 1973.

3. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем.