Тригонометричні функції

1. Стисненням заготовки на прокатному стані на­зивають величину де і — товщини заготовки до і після прокатування. Доведіть, що -, де d— діаметр вала і — кут захвату.

Вказівка. З прямокутного трикутника АОВ: ОВ = 0,5dcos, = 2.

2. Схили двосхилого і схили ABFEі CDEFчотири­схилого даху з горизонтальною площиною утворюють кут , а схили ADEі BCF — кут . Для якого даху — дво- чи чотирисхилого потрібно менше мате­ріалу?

Вказівка. Площа двосхилого даху , а чотирисхилого - . Щоб порівняти ці площі, розглянемо їх різницю

Оскільки b>0, m>0, 0<<90° і 0<<90°, то при < дістанемо S₂
— S₁
< 0; при = , S₂
-S₁
= 0, а при > , S₂
– S₁
>0.

Отже, якщо всі схили обох дахів будуть однаково нахилені до горизонтальної площини, то на обидва дахи потрібна буде однакова кількість покрівельного матеріалу. Якщо схили ADEі BCFчотирисхилого даху матимуть більший кут нахилу, ніж схили АВEFі DCFE, то покрівельного матеріалу потрібно буде біль­ше, ніж для двосхилого, а при меншому куті — менше.

Границя функції

1. Температура нагрівання металевого стержня на відстані від місця нагрівання (до температури 1000 °) визначається формулою f(x) = де х – відстань у дециметрах. Визначте граничні значення температури стержня на відстані 1 м від місця нагрівання. Чи можна такий стержень взяти в руку?

Відповідь.

2. Яку роботу треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною і площею дна ?

Розв'язання. Поділимо глибину ями на п рівних частин і в думці проведемо горизонтальні площи­ни, які ділять об'єм ями на п рівних частин. Висота кожного шару дорівнюватиме м, а маса 1000 кг = 9800 Н.

Вважатимемо, що кожний з шарів води піднімають на висоту, яка дорівнює відстані від нижньої площини до поверхні води. Тоді висоти піднімання послідовних частин води дорівнюватимуть: , , ,...,, а набли­жені значення роботи піднімання цих частин визнача­тимуться так:

.

Отже, наближене значення роботи піднімання всієї води становитиме:

Вся робота, очевидно, дорівнює:

Поняття похідної функції

1. (t) — 3t²
— 4t — рівняння прямолінійного ру­ху матеріальної точки (s, м; t, с). Знайдіть середню швидкість цієї точки за проміжок часу від t₁
= 2 с до t₂
= 5 с.

Розв'язання. Середня швидкість матеріаль­ної точки за проміжок часу _l
є відношення відстані , пройденої точкою за цей проміжок часу, до величини проміжку часу

2. Знайдіть швидкість руху тіла в момент часу і = 2 с, якщо закон руху задано формулою .

Відповідь. = 16 м/с.

3. Під час нагрівання тіла його температура Т змі­нюється залежно від часу нагрівання t за законом Т(t) = 0,4 t²
. З якою швидкістю змінюється температура тіла в момент t = 10 с?

4. Об'єм газу Vпри температурі t⁰
визначається формулою V= 1 + 0,0075 t.Визначте швидкість змі­ни об'єму газу при будь-якій температурі.

5. Сила струму в амперах змінюється залежно від часу за законом J= 0,2 t²
, де t— час у секундах. Знайдіть швидкість зміни сили струму наприкінці десятої секунди.