Реферат по предмету "Информатика, программирование"


Построение интерполяционного многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ



 



Международная «Лига развития науки и
образования» (Россия)



Международная ассоциация развития
науки, образования и культуры России (Италия)



 



Международный «ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»



 



(г. Архангельск)











КУРСОВАЯ РАБОТА



ПО ДИСЦИПЛИНЕ



«Информатика и программирование»



Тема : «Построение интерполяционного
многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента»







Выполнил:
студент экономического факультета, группы 12-И Воробьев А.А.


Проверил:
Горяшин Ю.В.




 



Архангельск



2004



Аннотация



Цель курсовой: для функции заданной в таблице построить
интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного
значения аргумента. Составить блок схему алгоритма и программу на одном из
языков высокого уровня (С++) для вычисления заданного интерполяционного
многочлена. В программе предусмотреть возможности ввода любого числа значений
функции для чего организовать хранение ее значении при помощи линейного списка.



















































Содержание



1.  
 Аннотация



2.  
 Содержание



3.  
 Глава №1



4.  
Глава №2



5.  
Заключение



6.  
 Список
литературы



7.  
 Приложение



8.  
Программа















































Введение.



         Возможность постановки
вычислительного эксперимента на ЭВМ приводит к существенному ускорению
процессов математизации науки и техники, к постоянному расширению области
приложения современных разделов математики. Количественные методы внедряются
практически во все сферы человеческой деятельности, что приводит к расширению
круга профессий, для  которых математическая грамотность становится необходимой.
Однако, развитие науки и техники, современная технология производства ставят
перед специалистами задачи, для которых либо не возможно, либо крайне громоздко
и сложно получение алгоритма классическими методами математического анализа.
Отсюда стремление использовать различные численные методы, разрабатываемые
вычислительной математикой и позволяющие получить конечный числовой результат с
приемлемой для практических целей точностью.



         Численный метод решения
задачи - это определенная последовательность операций над числами, т.е.
вычислительный алгоритм, языком которого являются числа и арифметические
действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на
ЭВМ, что делает их мощными и универсальными инструментами исследования.
Численные методы используются в тех случаях, когда не удается найти точное
решение возникающей математической задачи. Это происходит главным образом,
потому, что искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементах
или других известных функциях. Даже для достаточно простых математических
моделей иногда не удается получить результат решения в аналитической форме. В
таких случаях основным инструментом решения многих математических задач
выступают численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению
конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты
получаются также в виде числовых значений.



Многие численные методы
разработаны давно, однако при ручных вычислениях они могли использоваться лишь
для решения узкого круга не слишком сложных задач, и только с появлением высоко
производительных ЭВМ начался период бурного развития методов вычислительной
математики и их внедрения в практику. Численные методы приобрели важнейшее
значение как мощное математическое средство решения практических задач в
различных областях науки и техники.



Интерполирование,
интерполяция,- приближенное или точное нахождение какой-либо величины по
известным отдельным значениям или других величин, связанных с ней. В
первоначальном понимании- восстановление функции (точное или приближенное) по
известным ее значениям или значениям ее производных в заданных отрезках.



Основное применение
интерполяции - это вычисление значении табулированной функции для неузловых
(промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют
«искусством чтения таблиц между строками». (П.Ф. Фильчаков)











































Глава 1



         Основные направления исследования:
разрешимость задачи интерполирования, простейших интерполяционных формул,
применение интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул,
применение интерполяции для построения приближенных и численных методов решения
различных задач математики и ее приложений.



         Приближенное
представление функций.
Интерпояционные функции  на
отрезке  по значениям ее в узлах  сетка - означает постоение другой
функции  такой, что  В более общей постановке
задача интерполирования функции  состоит
в постоении  не только из условий
совпадения значений функций  и  на стеке , но и совпадения в
отдельных узлах производных до какого-то порядка или некоторых других
соотношений, связанных  и .



         Обычно  стоится в виде



,



где -
некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое
интерполирование называется л и н е й н ы м относительно системы , а  интерполяционным
многочленом по системе .



         Выбор системы  определяется свойством
класса функций, для приближения которого предназначаются интерполяционные
формулы. Например, для приближения -
периодической функции на   за   естественно взять
тригонометрическую систему функций, для приближения на полу оси  ограниченных или
возрастающих функции- систему рациональных или показательных функций,
учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т.д.



         Чаще всего используя а л г е
б р а и ч е с к о е  интерполирование: .
Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных многочленов.
Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:









         В задаче приближения функции
и на всём отрезке  алгебраическое интерполирование
высокого порядка выполняется сравнительно редко. Алгебраический интерполяционный
процесс не является сходящимся в классе непрерывных на  функций. Обычно
ограничиваются линейным интерполированием по узлам  и
 на каждом отрезке  или квадратичным по трем
узлам ,, на
отрезке .



         Эффективным аппаратом
приближения функции являются интерполяционные сплайны, но их построение
в ряде частных случаях требует значительных вычислительных затрат.



На практике чаще всего
используются параболические  или кубические полиноминальные сплайны. Интерполяция
кубическим сплайном
дефекта 1 для функции  относительно
сетки  называет функцию , являющуюся многочленом 3-й
степени на каждом из отрезков ,
принадлежащую классу дважды непрерывно дифференцируемых функции и
удовлетворяющую условиям



.



         При таком определении
кубического сплайна, он имеет еще свободных параметра, для нахождения которых
на сплайн налагаются дополнительные краевые условия. Например   или  и , или некоторые другие.



         Полиномиальный
интерполяционный  сплайн произвольной степени m дефекта r определяется как функция ,
удовлетворяющая, кроме условий  и , еще дополнительно условиям
совпадения в узлах сетки значений функции  и
интерполированной функции  и их производных
до некоторого порядка.



         Часто при обработке
эмпирических данных  коэффициенты  в  определяют исходя из
требования минимизации суммы





- заданные числа, .



         Такое построение функции
называют интерполированием по методу наименьших квадратов.



         Интерполирование  функций
многих переменных имеет ряд принципиальных и алгебраических трудностей.
Например в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен
Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной
схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных  такой многочлен  суммарной степени не выше
n может быть построен по узлам  лишь при условии, что эти
узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n.



         Другой поход к интерполированию
функции многих переменных  стоит в том,
что сначала интерполируется функция по переменной  при
фиксированных  потом по
следующей переменной при фиксированных  и
т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются по
многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным
случаем.



         Интерполирование функций
и численные методы.
Интерполирование функции используется:



1.   для замены сложно вычисляемой функции
другой, вычисляемой проще



2.   для приближенного восстановления функции
на всей области задания по значениям её в отдельных точках или по другим
известным величинам



3.   для получения сглаживающих функций



4.   для приближенного нахождения
предельных значений функции



5.   в задачах ускорения сходимости последовательностей
и рядов и в других вопросах.





Общие идеи построения
интерполяционных методов решения уравнения =0
и систем уравнения ,
одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих преременных особенно 
сказывается при исследовании и практическом использовании такого рода методов
для большого числа уравнений. В основу получении интерполяционных методов
решения уравнения =0 положена
замена функции  ее интерполяционным
многочленом  и последующим решением
уравнения =0 берутся за
приближенные решении уравнения =0
интерполяционный многочлен  используется
так же при построении итерационных методов решения уравнения =0.



         Например взяв за  корень линейного
интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям  и  в узле   или по значениям  и  в узлах  и , приходят соответственно к
методу Ньютона и метода секущих



,



где -
разделенная разность функций для узлов  и
.



         Другой подход к построению
численных методов решения уравнения =0
основан на интерполировании обратной функции .
Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции  взят интерполяционный
алгебраический многочлен Лагранжа ,
построенный по узлам  Тогда за
следующее приближению к корню  уравнения
=0 берется величина .



         Численное интегрирование.
Аппарат интерполирования функции лежит в основе построения многих квадратурных
и кубатурных формул. Такого рода формулы строятся путем замены интегрируемой
функции на всей области или на её составных частях интерполяционными
многочленами того или иного вида и последующим интегрированием этих
многочленов. Например квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени
точности, так называемые квадратурные формулы Гаусса:





где -
знакопостоянная весовая функция, получаемая в результате замены функции   интерполяционным
алгебраическим многочленом, построенным по корням  ортогонального
относительно веса  многочлена
степени n.



         Изложенная выше схема
построения формул для приближенного вычисления интегралов применима и в
многомерном случае



         Формулы численного
дифференцирования,
в основе которых лежит интерполирование, получаются в
результате дифференцирования интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости
задачи численнго дифференцирования относительно ошибок использования значений
функций в узлах шаг интерполирования должен согласоваться с погрешносьтью
значений функций. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная на густой
сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более редкой
сетке.



         При численном решении
интегральных
уравнений, известная функция  заменяется
в интегральном уравнении  каким-либо интерполяционным приближением
(интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.)
с узлами интерполирования , а
приближенные значения  для  находятся из системы,
полученной после подстановке вместо независимости переменной x узлов интерполирования . В случае нелинейных интегральных
уравнений приближенные значения  находятся
соответственно из нелинейной системы.



         Интерполяционная формула-
для приближенного вычисления значений функции ,
основанного вычисления на замене приближаемой функции  более простой в каком- то
смысле функцией
















наперед заданного класса, причем
параметры  выбираются так чтобы
значения  совпадали с известными заранее
значениями  для данного множества попаро различных значений
аргумента:



такой способ приближенного
представления функций называется интерполированием, а точки , для которых должны выполняться
условия , - узлами интерполяции.



         В ряде случаев (например,
при интерполировании алгебраическими многочленами) параметры  могут быть явно выражены из
системы , и тогда непосредственно используется
для приближенного вычисления значений функции .



         Интерполяционный процесс- процесс получения
последовательности  интерполирующих функций  при
неограниченном возрастании числа n узлов
интерполирования. Если интерполирующие функции  представлены
в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда
называется интерполяционным рядом. Целью построения
интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в простейших
первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по
средствам интерполирующих функций , о
которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком сложна для
непосредственного использования.





         Интерполяционная формула
Эверетта:



Интерполяционные формулы Грегори-
Ньютона построенные по нисходящим или восходящим разностям, наиболее
целесообразно применять в начале или конце таблицы. При этом для достижения высокой
степени точности иногда приходится рассматривать разности, отстоящие достаточно
далеко от интересующих нас значений функции  или
. Поэтому на средних
участках таблицы лучше результаты дают интерполяционные формулы, построенные на
базе центральных разностей, то есть разностей, которые ближе всего расположены
к центральной сотке, содержащей .



         К интерполяционным формулам
с центральными разностями относятся формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя,
Эверетта и многие другие; формула Эверетта получила наибольшее распространение,
она была получена 1900 г.:





 где ;
; .



         Формуле Эверетта так же
можно придать форму, наиболее удобную для вычисления:





если для ее коэффициентов ввести
обозначения



     



  



         Коэффициенты  удобнее всего вычислять по
следующей рекуррентной формуле, которая непосредственно вытекает из :



; ;



         Таблица разностей:
































































































x y












































































































































Таблицу можно продолжать строить, в
нашем случае до последнего , число
разностей зависит от количества значений y. Таблица разностей высчитывается



 ,
и так далее(можно заметить такую систему в приведенной выше таблице)





        

















Тестовый
пример.



            П р и м е р. Функция  задана таблицей на сегменте . Определим при помощи
интерполяции значение .



Р е ш е н и е.
По данным значениям функции составляем таблицу разностей (табл. 1), из которых
видно, что четвертые разности в данном примере практически равны постоянны, а
пятые разности практически равны нулю, и поэтому мы их в дальнейших вычислениях
не будем принимать во внимание.



            Принимаем =0,85; =0,9; =0,874.



            Тогда =0,8273695; =0,8075238, и, далее, так
как шаг таблицы =0,05, то





Т а б
л и ц а 2






















x













0.60


0.65


0.70


0.75


0.80


0.85


0.90


0.95


1.00



0.9120049


0.8971316


0.8812009


0.8642423


0.8462874


0.8273695


0.8075238


0.7867871


0.7651977



-0.0148733


-0.0159307


-0.0169586


-0.0179549


-0.0189179


-0.0198457


-0.0207367


-0.0215894



-0.0010574


-0.0010279


-0.0009963


-0.0009630


-0.0009278


-0.0008910


-0.0008527



0.0000295


0.0000316


0.0000333


0.0000352


0.0000368


0.0000383



0.0000021


0.0000017


0.0000019


0.0000014


0.0000015




-0.0000004


0.0000002


-0.0000005


0.0000001








Т а б
л и ц а 2

























Эверетта







0


1


2



0.52000


-0.06323


0.01179



0.82273695


-0.0009278


0.0000014



0


1


2



0.48000


-0.06157


0.01160



0.8075238


-0.0008910


0.0000015






            Все
вычисления по формуле Эверетта представлены в табл. 2.



            Все
необходимые значения разностей(и самой функции, которые мы в табл. 2 обозначили
как разности нулевого порядка ) взяты
из табл. 1. Первые три строки в табл. 2 заполнены значениями  для  и , а последующие три строки
соответственно значениями  для  и .



Перемножив (не
снимая промежуточных результатов) коэффициенты  на
расположенные в той же строке , мы и
получим искомое значение функции , как
сумму произведений



            Проверка
производится непосредственно при помощи степенного ряда для рассматриваемой
функции Эверетта   согласно которому
получим  















































ГЛАВА
№2



MAIN











































Заключение



Удалось построить
интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного
значения аргумента. Составлена блок схема алгоритма и программа на языке С++ (Приложение)
для вычисления заданного интерполяционного многочлена. В программе
предусмотрена возможность ввода любого числа значений функции для чего
организованно хранение ее значения при помощи линейного списка.



















































Список литературы



1.   Архангельский Н.А. Вычислительные
методы алгебры в приемах и задачах. М.: МАИ, 1976.



2.   Васильев Ф.П. Численные методы
решения экстремальных задачь. М.: Наука,1988.



3.   Васильков Ф.В., Василькова Н.Н.
Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб.
Пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.



4.   Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей
математике. Киев: Наукова думка, 1974.



5.   Фильчаков П.Ф., Численные методы.
Киев: Наукова думка, 1976.



6.   Большая математическая энциклопедия.
М.: Олма-Пресс, 2004



7.   Демидович Б.П., Марон И.А. Основы
вычислительной математики. М.: Наука, 1970.



8.   Тихонов А.Н., Вводные лекции по
прикладной математике. М.: Наука, 1984.



9.   Калиткин Н.Н., Численные методы. М.:
Наука, 1987.



10.           
Корн Г., Корн Т.
Справочник по математике. М.: Наука, 1984.



























 



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.