МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Международная «Лига развития науки и
образования» (Россия)
Международная ассоциация развития
науки, образования и культуры России (Италия)
Международный «ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ»
(г. Архангельск)
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Информатика и программирование»
Тема : «Построение интерполяционного
многочлена и вычисление по нему значения функции для заданного аргумента»
Выполнил: Проверил: |
Архангельск
2004
Аннотация
Цель курсовой: для функции заданной в таблице построить
интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного
значения аргумента. Составить блок схему алгоритма и программу на одном из
языков высокого уровня (С++) для вычисления заданного интерполяционного
многочлена. В программе предусмотреть возможности ввода любого числа значений
функции для чего организовать хранение ее значении при помощи линейного списка.
Содержание
1.
Аннотация
2.
Содержание
3.
Глава №1
4.
Глава №2
5.
Заключение
6.
Список
литературы
7.
Приложение
8.
Программа
Введение.
Возможность постановки
вычислительного эксперимента на ЭВМ приводит к существенному ускорению
процессов математизации науки и техники, к постоянному расширению области
приложения современных разделов математики. Количественные методы внедряются
практически во все сферы человеческой деятельности, что приводит к расширению
круга профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой.
Однако, развитие науки и техники, современная технология производства ставят
перед специалистами задачи, для которых либо не возможно, либо крайне громоздко
и сложно получение алгоритма классическими методами математического анализа.
Отсюда стремление использовать различные численные методы, разрабатываемые
вычислительной математикой и позволяющие получить конечный числовой результат с
приемлемой для практических целей точностью.
Численный метод решения
задачи - это определенная последовательность операций над числами, т.е.
вычислительный алгоритм, языком которого являются числа и арифметические
действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на
ЭВМ, что делает их мощными и универсальными инструментами исследования.
Численные методы используются в тех случаях, когда не удается найти точное
решение возникающей математической задачи. Это происходит главным образом,
потому, что искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементах
или других известных функциях. Даже для достаточно простых математических
моделей иногда не удается получить результат решения в аналитической форме. В
таких случаях основным инструментом решения многих математических задач
выступают численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению
конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты
получаются также в виде числовых значений.
Многие численные методы
разработаны давно, однако при ручных вычислениях они могли использоваться лишь
для решения узкого круга не слишком сложных задач, и только с появлением высоко
производительных ЭВМ начался период бурного развития методов вычислительной
математики и их внедрения в практику. Численные методы приобрели важнейшее
значение как мощное математическое средство решения практических задач в
различных областях науки и техники.
Интерполирование,
интерполяция,- приближенное или точное нахождение какой-либо величины по
известным отдельным значениям или других величин, связанных с ней. В
первоначальном понимании- восстановление функции (точное или приближенное) по
известным ее значениям или значениям ее производных в заданных отрезках.
Основное применение
интерполяции - это вычисление значении табулированной функции для неузловых
(промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют
«искусством чтения таблиц между строками». (П.Ф. Фильчаков)
Глава 1
Основные направления исследования:
разрешимость задачи интерполирования, простейших интерполяционных формул,
применение интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул,
применение интерполяции для построения приближенных и численных методов решения
различных задач математики и ее приложений.
Приближенное
представление функций. Интерпояционные функции
отрезке
функции
задача интерполирования функции
в постоении
совпадения значений функций
отдельных узлах производных до какого-то порядка или некоторых других
соотношений, связанных
Обычно
где
некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое
интерполирование называется л и н е й н ы м относительно системы
многочленом по системе
Выбор системы
класса функций, для приближения которого предназначаются интерполяционные
формулы. Например, для приближения
периодической функции на
тригонометрическую систему функций, для приближения на полу оси
возрастающих функции- систему рациональных или показательных функций,
учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т.д.
Чаще всего используя а л г е
б р а и ч е с к о е интерполирование:
Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных многочленов.
Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:
В задаче приближения функции
и на всём отрезке
высокого порядка выполняется сравнительно редко. Алгебраический интерполяционный
процесс не является сходящимся в классе непрерывных на
ограничиваются линейным интерполированием по узлам
узлам
отрезке
Эффективным аппаратом
приближения функции являются интерполяционные сплайны, но их построение
в ряде частных случаях требует значительных вычислительных затрат.
На практике чаще всего
используются параболические или кубические полиноминальные сплайны. Интерполяция
кубическим сплайном дефекта 1 для функции
сетки
степени на каждом из отрезков
принадлежащую классу дважды непрерывно дифференцируемых функции и
удовлетворяющую условиям
При таком определении
кубического сплайна, он имеет еще свободных параметра, для нахождения которых
на сплайн налагаются дополнительные краевые условия. Например
Полиномиальный
интерполяционный сплайн произвольной степени m дефекта r определяется как функция
удовлетворяющая, кроме условий
совпадения в узлах сетки значений функции
интерполированной функции
до некоторого порядка.
Часто при обработке
эмпирических данных
требования минимизации суммы
Такое построение функции
называют интерполированием по методу наименьших квадратов.
Интерполирование функций
многих переменных имеет ряд принципиальных и алгебраических трудностей.
Например в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен
Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной
схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных
n может быть построен по узлам
узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n.
Другой поход к интерполированию
функции многих переменных
что сначала интерполируется функция по переменной
фиксированных
следующей переменной при фиксированных
т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются по
многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным
случаем.
Интерполирование функций
и численные методы. Интерполирование функции используется:
1. для замены сложно вычисляемой функции
другой, вычисляемой проще
2. для приближенного восстановления функции
на всей области задания по значениям её в отдельных точках или по другим
известным величинам
3. для получения сглаживающих функций
4. для приближенного нахождения
предельных значений функции
5. в задачах ускорения сходимости последовательностей
и рядов и в других вопросах.
Общие идеи построения
интерполяционных методов решения уравнения
и систем уравнения
одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих преременных особенно
сказывается при исследовании и практическом использовании такого рода методов
для большого числа уравнений. В основу получении интерполяционных методов
решения уравнения
замена функции
многочленом
уравнения
приближенные решении уравнения
интерполяционный многочлен
так же при построении итерационных методов решения уравнения
Например взяв за
интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям
методу Ньютона и метода секущих
где
разделенная разность функций для узлов
Другой подход к построению
численных методов решения уравнения
основан на интерполировании обратной функции
Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции
алгебраический многочлен Лагранжа
построенный по узлам
следующее приближению к корню
Численное интегрирование.
Аппарат интерполирования функции лежит в основе построения многих квадратурных
и кубатурных формул. Такого рода формулы строятся путем замены интегрируемой
функции на всей области или на её составных частях интерполяционными
многочленами того или иного вида и последующим интегрированием этих
многочленов. Например квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени
точности, так называемые квадратурные формулы Гаусса:
где
знакопостоянная весовая функция, получаемая в результате замены функции
алгебраическим многочленом, построенным по корням
относительно веса
степени n.
Изложенная выше схема
построения формул для приближенного вычисления интегралов применима и в
многомерном случае
Формулы численного
дифференцирования, в основе которых лежит интерполирование, получаются в
результате дифференцирования интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости
задачи численнго дифференцирования относительно ошибок использования значений
функций в узлах шаг интерполирования должен согласоваться с погрешносьтью
значений функций. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная на густой
сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более редкой
сетке.
При численном решении
интегральных уравнений, известная функция
в интегральном уравнении каким-либо интерполяционным приближением
(интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.)
с узлами интерполирования
приближенные значения
полученной после подстановке вместо независимости переменной x узлов интерполирования
уравнений приближенные значения
соответственно из нелинейной системы.
Интерполяционная формула-
для приближенного вычисления значений функции
основанного вычисления на замене приближаемой функции
смысле функцией
наперед заданного класса, причем
параметры
значения
значениями
аргумента:
такой способ приближенного
представления функций называется интерполированием, а точки
условия
В ряде случаев (например,
при интерполировании алгебраическими многочленами) параметры
системы
для приближенного вычисления значений функции
Интерполяционный процесс- процесс получения
последовательности интерполирующих функций
неограниченном возрастании числа n узлов
интерполирования. Если интерполирующие функции
в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда
называется интерполяционным рядом. Целью построения
интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в простейших
первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по
средствам интерполирующих функций
которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком сложна для
непосредственного использования.
Интерполяционная формула
Эверетта:
Интерполяционные формулы Грегори-
Ньютона построенные по нисходящим или восходящим разностям, наиболее
целесообразно применять в начале или конце таблицы. При этом для достижения высокой
степени точности иногда приходится рассматривать разности, отстоящие достаточно
далеко от интересующих нас значений функции
участках таблицы лучше результаты дают интерполяционные формулы, построенные на
базе центральных разностей, то есть разностей, которые ближе всего расположены
к центральной сотке, содержащей
К интерполяционным формулам
с центральными разностями относятся формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя,
Эверетта и многие другие; формула Эверетта получила наибольшее распространение,
она была получена 1900 г.:
где
Формуле Эверетта так же
можно придать форму, наиболее удобную для вычисления:
если для ее коэффициентов ввести
обозначения
Коэффициенты
следующей рекуррентной формуле, которая непосредственно вытекает из
Таблица разностей:
x | y | |||||
Таблицу можно продолжать строить, в
нашем случае до последнего
разностей зависит от количества значений y. Таблица разностей высчитывается
и так далее(можно заметить такую систему в приведенной выше таблице)
Тестовый
пример.
П р и м е р. Функция
интерполяции значение
Р е ш е н и е.
По данным значениям функции составляем таблицу разностей (табл. 1), из которых
видно, что четвертые разности в данном примере практически равны постоянны, а
пятые разности практически равны нулю, и поэтому мы их в дальнейших вычислениях
не будем принимать во внимание.
Принимаем
Тогда
как шаг таблицы
Т а б
л и ц а 2
x | ||||||
0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 | 0.9120049 0.8971316 0.8812009 0.8642423 0.8462874 0.8273695 0.8075238 0.7867871 0.7651977 | -0.0148733 -0.0159307 -0.0169586 -0.0179549 -0.0189179 -0.0198457 -0.0207367 -0.0215894 | -0.0010574 -0.0010279 -0.0009963 -0.0009630 -0.0009278 -0.0008910 -0.0008527 | 0.0000295 0.0000316 0.0000333 0.0000352 0.0000368 0.0000383 | 0.0000021 0.0000017 0.0000019 0.0000014 0.0000015 | -0.0000004 0.0000002 -0.0000005 0.0000001 |
Т а б
л и ц а 2
Эверетта | ||
0 1 2 | 0.52000 -0.06323 0.01179 | 0.82273695 -0.0009278 0.0000014 |
0 1 2 | 0.48000 -0.06157 0.01160 | 0.8075238 -0.0008910 0.0000015 |
Все
вычисления по формуле Эверетта представлены в табл. 2.
Все
необходимые значения разностей(и самой функции, которые мы в табл. 2 обозначили
как разности нулевого порядка
из табл. 1. Первые три строки в табл. 2 заполнены значениями
соответственно значениями
Перемножив (не
снимая промежуточных результатов) коэффициенты
расположенные в той же строке
получим искомое значение функции
сумму произведений
Проверка
производится непосредственно при помощи степенного ряда для рассматриваемой
функции Эверетта
получим
ГЛАВА
№2
MAIN
Заключение
Удалось построить
интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного
значения аргумента. Составлена блок схема алгоритма и программа на языке С++ (Приложение)
для вычисления заданного интерполяционного многочлена. В программе
предусмотрена возможность ввода любого числа значений функции для чего
организованно хранение ее значения при помощи линейного списка.
Список литературы
1. Архангельский Н.А. Вычислительные
методы алгебры в приемах и задачах. М.: МАИ, 1976.
2. Васильев Ф.П. Численные методы
решения экстремальных задачь. М.: Наука,1988.
3. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н.
Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб.
Пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.
4. Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей
математике. Киев: Наукова думка, 1974.
5. Фильчаков П.Ф., Численные методы.
Киев: Наукова думка, 1976.
6. Большая математическая энциклопедия.
М.: Олма-Пресс, 2004
7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы
вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
8. Тихонов А.Н., Вводные лекции по
прикладной математике. М.: Наука, 1984.
9. Калиткин Н.Н., Численные методы. М.:
Наука, 1987.
10.
Корн Г., Корн Т.
Справочник по математике. М.: Наука, 1984.
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |