Содержание.

Введение.

Данная работа посвящена оптимизации, в смысле увеличения стоимости, портфеля ГКО(РКО). ГКО - государственная краткосрочная бескупонная облигация( соответственно, РКО - республиканская краткосрочная бескупонная облигация), источником дохода по ней является разница между ценой покупки и ценой продажи(дисконт). Первичное размещение облигаций производится Минфином РФ(Минфином РТ). В настоящее время это наиболее ликвидные и доходные ценные бумаги. За время своей «жизни» эти облигации проходят 3 этапа: первичное размещение(аукцион), вторичные торги, погашение. На вторичных торгах устанавливается рыночная цена облигации на каждый день. Колебания курсов облигаций различных серий в зависимости от экономической конъюнктуры спроса-предложения бывают значительны, что позволяет получить дополнительную прибыль путем спекуляции на фондовой бирже.

В предложенной работе рассмотрены общие принципы «игры» на вторичном рынке путем покупки наиболее доходных серий и продажи наименее доходных. Предлагаемая здесь методика является всего лишь гипотезой, которая на практике обычно дает положительный эффект, но связана с некоторыми трудностями при формировании оптимального портфеля. Сначала будут изложены общие сведения о методах определения доходности с помощью простых и сложных процентов и оценке эффективности вложений, затем будет сформулирована задача «О перевложениях» и дана ее экономическая интерпретация.

Глава 1. Методика расчета доходности по простым и сложным процентам.

Простые проценты

(1.1)

- первоначальная сумма

- сумма к концу срока

- ставка процентов

- количество периодов(в годах)

Следовательно, годовая ставка (1.1’)

Сложные проценты.

(1.2)

- первоначальная сумма

- сумма к концу срока

- ставка процентов

- количество периодов(в годах)

Годовая ставка по сложным процентам (1.2’)

Формула сложных процентов с учетом реинвестирования

(1.3)

Следовательно, (1.3’)

- первоначальная сумма

- сумма к концу срока

- ставка процентов(эффективная годовая приведенная к периоду T)

- период инвестирования(в днях)

- период реинвестирования(в днях)

Данная формула является основной при финансовых расчетах. Если положить T=30 дней, то она представляет собой эффективную доходность, приведенную к месяцу. Это дает возможность сравнивать эффективность операций с облигациями с операциями по другим источникам доходов.

Глава 2. Расчет доходности портфеля к погашению и к приобретению.

Доходностью к погашению i-ой серии назовем годовую ставку i из формулы (1.1’), обозначим Д_i

Эффективной доходностью к погашению, приведенную к периоду T, назовем эффективную ставку из формулы (1.3’), обозначим Д_i^эф

Доходность портфеля к погашению R определим из уравнения.

(2.1)

где

- совокупные вложения

- количество облигаций i-ой серии

- цена облигации i-ой серии

- стоимость облигаций i-ой серии по номиналу

= * номинал

номинал = 1 000 000 рублей(для ГКО и РКО)

- количество дней до погашения от даты приобретения

N - количество серий облигаций

Тогда, решив нелинейное уравнение (2.1) , получим R - доходность портфеля к погашению.

Уравнение (2.1) - это точный метод определения доходности портфеля к погашению, но можно пользоваться другим методом, который, с точки зрения применения, является более удобным и дает приемлемые результаты (Разница между точным решением и приближенном на практике составляет не более 0,05%; см. Приложение 3).

Таким образом определим средневзвешенную доходность портфеля к погашению. Взвешивание произведем по объему и времени по простым процентам.

(2.2)

- средневзвешенная доходность к погашению

- количество бумаг i-ой серии в портфеле

- число дней от даты приобретения до даты погашения i-ой серии

- доходность к погашению i-ой серии от даты приобретения( по простым процентам).

Соответственно, расчет по сложным процентам(по эффективной ставке).

(2.3)

Определим дюрацию портфеля - средневзвешенное время погашения портфеля, как:

(2.4)

- доходность к погашению i-ой серии

- число дней до погашения i-ой серии от даты приобретения

- количество бумаг i-ой серии

- цена покупки облигации i-ой серии

Формулы для расчета доходности к приобретению(какая будет доходность от даты приобретения, если продать облигацию в текущий момент по рыночной цене) аналогичны (2.2) и (2.3), за исключением того, что здесь t_i - период(в днях) от даты приобретения до текущей даты.

Примечание.

Облигации одной и той же серии могут быть приобретены в разные моменты времени, поэтому в расчетных формулах необходимо учитывать их как отдельные серии, следовательно, количество серий в расчетных формулах может быть больше, чем реальное количество выпусков, находящихся в обращении.

Глава 3. Оценка эффективности вложений.

Непременным атрибутом формирования оптимального портфеля является оценка эффективности вложений. Эта методика может быть различной в зависимости от целей инвестирования. К примеру, одной из целей является получение определенного дохода в каждый период всего срока инвестирования; в этом случае нужно подходить к оценке вложений с точки зрения дюрации портфеля - здесь дюрация играет значительную роль, хотя и не главную; другая из целей инвестирования - получение максимального дохода к концу срока инвестирования - в этом случае дюрацией можно пренебречь и исходить только из доходности. В первом случае обычно производится инвестирование на длительный срок с целью получения постоянного дохода, а во втором случае - инвестирование на более короткий срок - цель: максимизация дохода. Хотя эти 2 варианта инвестирования кажутся различными, но, фактически, 2-ой метод включает первый: можно в короткий срок получить доход и реинвестировать его еще раз и так далее. Здесь видны преимущества второго метода - можно пренебречь дюрацией портфеля, которая уменьшает доходность за счет того, что часть средств находится в менее доходных сериях.

Приведем три различные методики оценки эффективности вложений.

1. Расчет доходности к приобретению за определенный срок.

2. Расчет доходности к приобретению за определенный срок с учетом ввода-вывода денежных средств.

3. Расчет доходности к приобретению за определенный срок с учетом ввода-вывода денежных средств(метод предложен в журнале РЦБ, см. Список литературы (3)).

Каждая методика состоит из двух этапов:

1. Нахождение величины доходности портфеля к приобретению на текущий день от некоторой зафиксированной даты.

2. Сравнение доходности портфеля к приобретению с некоторым рыночным показателем. В качестве такого показателя можно брать СОЛ-индекс рынка или обобщенную доходность рынка к погашению(см. Приложения 1 и 2).

Для простоты сначала рассмотрим первую методику:

Определим стоимость портфеля следующим образом:

(3.1)

(3.2)

где:

- стоимость портфеля на начало периода

- цена i-ой серии облигации на начало периода

- количество облигаций i-ой серии на начало периода

- денежные средства в момент соответственно

- момент начало периода

- момент окончания периода

- соответственно на конец периода

Тогда доходность вложений можно определить по следующей формуле:

(по формуле простых процентов) (3.3)

Рассмотрим методику расчета доходности портфеля к приобретению с учетом ввода-вывода. Сложность заключается в том, что в течение периода инвестирования происходит ввод-вывод средств в портфель. Этот случай часто встречается на практике, поэтому данный метод оценки является с практической точки зрения наиболее актуальным.

Разобьем весь период инвестирования на периоды, границами которых являются моменты ввода-вывода средств. Пусть вводу-выводу средств соответствует время t₀,...,t_n+1, где t₁,...,t_n - моменты ввода-вывода средств в середине периода инвестирования, t₀=t,t_n+1=T - начальный и конечный моменты периода инвестирования.

Тогда определим стоимость портфеля в каждый момент ввода-вывода средств как:

(3.4)

(3.5)

где:

- рыночная цена облигации i-ой серии в момент t_j

- количество бумаг i-ой серии в портфеле соответственно до ввода-вывода средств и после

- денежные средства в момент соответственно

- стоимость портфеля соответственно до ввода-вывода средств и после

Определим доходность к приобретению между моментами ввода-вывода средств как:

(3.6)

Тогда доходность всего портфеля можно определить следующим образом:

(3.7)

Рассмотрим методику оценки эффективностью управления портфелем, предложенную в журнале РЦБ(см. Список литературы(3)).

Предлагаемая методика рассматривает доходность портфеля(с учетом потоков ввода-вывода средств) в сравнении со среднерыночной доходностью, рассчитанной методом индексов. Расчетные формулы выглядят следующим образом:

(3.8)

где I - сводный индекс рынка ГКО нарастающим итогом(например, по методике расчета СОЛ-индекса);T₀ - длительность отчетного периода.

Доходность портфеля за отчетный период с учетом ввода-вывода средств, % годовых.

(3.9)

- соответственно конечная и начальная сумма активов в портфеле ГКО, рассчитанная по средневзвешенным ценам выпусков(включая остаток лицевого счета)

- сумма ввода(вывода), при вводе средств m_i>0, при выводе m_i<>

- продолжительность периода от момента ввода(вывода) до даты окончания отчетного периода.

Дополнительная прибыль - разность между абсолютной фактической прибылью портфеля и условной прибылью «среднерыночного» портфеля с аналогичным потоком вводов-выводов.

(3.10)

где - фактическая прибыль портфеля за отчетный период

(3.11)

П_ср - условная прибыль портфеля с аналогичной начальной суммой и потоком ввода-вывода, обладающего среднерыночной доходностью за базовый период(среднерыночная прибыль)

(3.12)

Глава 4. Формулировка и экономическая интерпретация задачи о перевложениях.

Оптимизация портфеля ГКО - очень сложная задача. Здесь не известны цены на будущий период и их сложно прогнозировать. В связи с этим возникают сложности при оптимизации; перед инвестором встают следующие вопросы: какой портфель считать лучшим, как вкладывать средства для максимизации прибыли, как спрогнозировать цены.

В данной работе не ставится задача прогноза цен, но будет сделана попытка увеличить стоимость портфеля, исходя из известных величин. Так как во время торгов устанавливаются цены покупок и продаж, то можно покупать одни серии облигаций и продавать другие по определенной методике, которая ведет к увеличению стоимости портфеля(локальная оптимизация).

Поставим задачу оптимизации следующим образом. Будем оптимизировать стоимость портфеля в каждый день, т.е. :

На время t₁ получим некоторый портфель стоимостью

Оценить эффективность управления портфелем можно по формулам (3.3),(3.7),(3.9).

Предлагается следующая методика:

1. Вычислить эффективную доходность всех серий, обращающихся на рынке, приведенную к месячной, с учетом комиссии биржи и налога на ценные бумаги.

2. Выбрать ту серию, которая имеет максимальную эффективную доходность и ту серию, которая имеет минимальную и содержится в портфеля.

3. Если минимальная доходность меньше максимальной на некоторое пороговое значение , то продать серию с минимальной доходностью и купить серию с максимальной доходностью. - задается инвестором; чем больше значение , тем более эффективная операция. Рассматривался случай при =1.

Пример 1.

Пусть есть 2 серии, период инвестирования 30 дней. Начальная сумма инвестирования 100000000. Время до погашения 1-ой серии 40 дней 2-ой - 60 дней.

Данные по доходности на базовые моменты времени представлены в таблице 1.

Таблица 1. Цены и доходность для примера 1.

Результаты представим в таблице 2.

Таблица 2. Результаты для примера 1.

В результате получили доходность к приобретению =

Если вначале вложить все средства во 2-ю серию и ждать до конца периода, то получили бы сумму = 102667000

Соответствующая доходность к приобретению =

Следовательно, для данного примера метод дает положительный результат.

Пример 2.

Проанализируем метод на реальных данных. В Приложении 5 приведены последние цена и эффективная доходность, приведенная к месячной с учетом налога с доходов по ценным бумагам и с учетом комиссии биржи с 1 по 30 апреля 1997 по вторичным торгам на рынке РКО. Пусть в начальный момент времени есть консервативный портфель: количество бумаг каждой серии 100 штук(за исключением тех серий, которые размещаются в апреле). Начальная сумма денег = 0. Пусть каждый день может совершается только одна операция продажи-покупки. Придерживаясь предложенного метода получим следующие результаты(см. Таблицу 3) (в ячейках таблицы - количество бумаг на конец дня):

Таблица 3. Результаты для примера 3.

Стоимость портфеля на начало периода (на 1 апреля): 719970000 рублей

Стоимость портфеля на конец периода (на 30 апреля): 855827340 рублей

Соответствующая доходность к приобретению:

Стоимость портфеля на конец периода учета перевложения(серия 21020 перевложена на аукционе 10.04.97 в 21022 по цене отсечения, 22004 перевложена в 22010 24.04.97 по цене отсечения): 851086169

Соответствующая доходность к приобретению:

Следовательно предложенная методика дала на 8 пунктов больший результат, в абсолюте: 4741171 рублей дополнительной прибыли.

В работе также приведены результаты проверки метода на случайной выборке(см. Приложение 4).Ставилась следующая задача: доходность изменяется в пределах 28-32% случайным образом каждый день. Задано время до погашения каждой бумаги. В программе рассмотрено 6 вариантов.

1. Задана начальная сумма денег = 2 млрд. Руб., далее инвестирование по методике.

2. Задан консервативный портфель, далее инвестирование по методике.

3. Задана начальная сумма денег = 2 млрд. Руб., доходность падает с каждым днем на 1%, далее инвестирование по методике.

4. Задан консервативный портфель, доходность падает с каждым днем на 1%, далее инвестирование по методике.

5. Задана начальная сумма денег = 2 млрд. Руб., доходность растет с каждым днем на 1%, далее инвестирование по методике.

6. Задан консервативный портфель, доходность растет с каждым днем на 1%, далее инвестирование по методике.

Получены следующие результаты(см. Таблицу 4):

Таблица 4. Результаты проверки метода на случайной выборке.

Заключение.

В работе изложены базовые сведения для работы с ГКО: доходность к погашению, доходность к приобретению, расчет доходности портфеля, метод оценки эффективности управления портфелем облигаций.

Также была предложена методика максимизации прибыли за определенный период.

Рассмотренная здесь методика имеет как преимущества, так и недостатки.

Преимущества метода:

• Позволяет получить большую прибыль по сравнению с консервативным портфелем;

• Простота применения.

  Недостатки метода:

• Срок инвестирования запланирован, т.е. закреплено время окончания; но может быть так, что спрос на бумагу, в которую вложены все средства, в конце периода недостаточен для продажи, в связи с этим неликвидность операции(как правило, для больших объемов; для РКО свыше 1000 бумаг).

  Эта методика - всего лишь первый шаг, но очень важный при оптимизации портфеля. Далее можно строить модели прогнозирования цен на вторичных торгах, прогноз цены отсечения на аукционе с помощью матстатистики и теории вероятностей, нелинейной оптимизации, финансовой математики. Данная работа показывает, что можно улучшить эффективность управления портфелем. Оптимальное решение(решение, которое является наилучшим из всех возможных) существует, и эта работа - первая проба в его достижении. Можно разрабатывать другие методы оптимизации портфеля, но они должны включать прогноз цен для того, чтобы наиболее близко приблизить решение к оптимальному(Для нахождения оптимального решения необходимо знать цены облигаций на весь период инвестирования: тогда, если они известны, можно определить оптимальную стратегию, например, методом динамического программирования и получить оптимальное решение).

Приложение 1. СОЛ-индекс ГКО. Методика расчета и рекомендации по использованию

1. Общая информация об индексе

СОЛ-индекс рассчитывается для ГКО с 1 января 1995 года по данным ММВБ. Разработан совместно с ИФ "ОЛМА".

Индекс регулярно публикуется в бюллетенях "Финансовый рынок", "Финансовый маркетинг", системах Reuters, Bloomberg.

Официальный аудитор - KPMG.

2. Цель расчета

Основная. Иметь возможность апостериорной оценки эффективности инвестиций на рынке ГКО в среднем в течение произвольно взятого временного интервала.

Дополнительная. Очень часто банки и компании, являющиеся официальными дилерами ЦБ России по операциям с ГКО, обращаются клиенты, готовые предоставить свои средства дилеру для вложения в облигации. При этом дилер берет на себя обязательство управлять портфелем клиента в целях оптимизации прибыли. В договоре клиенту, как правило, гарантируется определенный уровень доходности вложений и отдельно регламентируется порядок распределения прибыли, полученной сверх гарантированного уровня.

В случае, если доходность опеpаций с ГКО повысится за вpемя действия договоpа, инвестор рискует недополученной прибылью. Дилеp же может не обеспечить гаpантиpованный уpовень доходности и понести пpямые убытки. Если и дилер, и его клиент будут четко знать, какую прибыль обеспечивал рынок в течение определенного периода времени, то это поможет решить проблему определения первоначально гарантированного уровня процента при трастовых договорах. Сравнив уровень доходности, рассчитанный с помощью индекса, и реальную эффективность операций дилера за время действия договора, можно на объективной основе решать вопросы распределения "сверхнормативной" прибыли (если таковая имеется).

3. Описание гипотез

• Можно ввести понятие "среднерыночный портфель". Среднерыночный портфель для ГКО лучше интерпретировать используя денежную капитализацию рынка, а не количество бумаг в номинальном выражении.

• Теоретически существует "средний инвестор", который хочет, чтобы его портфель стал точной микрокопией всего рынка ГКО. Если допустить, что операции на рынке совершаются мгновенно, то среднерыночный портфель можно реально поддерживать.

4. Экономическая интерпретация

Индекс можно интерпретировать как обобщенный коэффициент приращения первоначальной суммы, инвестированной в среднерыночный портфель. Если мы сформировали портфель из облигаций, то доходность этого портфеля за определенный период складывается из доходности каждого отдельного выпуска, входящего в портфель. Коэффициент приращения для одного выпуска можно посчитать, взяв отношение текущей цены облигации к ее цене на момент начала расчета (или к цене предыдущего дня, так как по цепочке всегда можно посчитать эффективность за любой прошедший период). Формула для расчета индекса должна быть обобщением указанного метода подсчета эффективности, но уже для обобщенной облигации, являющейся индикатором среднерыночного портфеля.

5. Определение множества возможных математических моделей.

В качестве объекта усреднения можно взять либо абсолютные значения цен, либо относительные (к предыдущей дате или к определенному базовому моменту).

Усреднение можно было производить по типу среднегеометрического или среднеарифметического. Последний тип усреднения решает задачу идентификации среднерыночного портфеля; геометрический способ, на наш взгляд, более подходит в случае интерпретации индекса как коэффициента приращения первоначальной суммы, инвестированной в среднерыночный портфель. Поскольку мы хотим сравнивать именно эффективность инвестиций (см. раздел 2), геометрический способ усреднения позволяет это сделать наиболее корректно (формула фактически является обобщенной формулой для коэффициента приращения стоимости среднерыночной облигации).

В соответствии с экономической интерпретацией необходимо определить веса вхождения в среднерыночный портфель для выпусков, обращающихся в данный момент на рынке ГКО. Очевидно, что значения весовых коэффициентов будут меняться каждый день, т.е. доля каждого выпуска в составе гипотетического портфеля также варьирует. В принципе в качестве коэффициентов веса можно было бы использовать и объемы выпусков в номинальном выражении, однако, на наш взгляд, "денежный" подход более корректен, так как он позволяет оценить объем "живых" денег, вложенных в те или иные бумаги. Кроме того, учитывая процедуры новых эмиссий и погашений, нельзя не отметить, что в случае учета эмиссий в номинальном выражении изменение весов происходит более скачкообразно, а это негативно сказывается на гладкости динамики индекса.

6. Описание выбранной модели

Формулу для расчета текущего значения индекса можно записать в следующем виде:

где I_t - значение индекса на текущую дату; I_t-1 - значение индекса на предыдущий день; P_i,t - средневзвешенная цена (объем торгов в рублях деленный на объем торгов в штуках) каждого обращающегося выпуска; V - объем эмиссии каждого выпуска в номинальном выражении; А_i,t - весовые коэффициенты; i - номер выпуска, t - день.

В начальный момент времени индекс равен 1. Для удобства индекс рассчитывается сериями (по одному календарному году), в начале которых индекс принимает значение 1. Рассчитать эффективность инвестиций за период, в который попадают моменты окончания серий, можно с помощью коэффициентов перехода - значений индекса в конце серии.

7. Учет технических моментов

Важно выбрать методику расчета индекса в дни погашений и аукционов. Можно выделить шесть возможных ситуаций:

• аукцион по размещению нового выпуска, совмещенный с погашением старого;

• аукцион по размещению нового выпуска без погашения старого;

• аукцион по размещению дополнительного транша обращающегося выпуска с одновременным погашением старого;

• аукцион по размещению дополнительного транша обращающегося выпуска без погашения старого;

• погашение ГКО на аукционе по размещению бумаг, не входящих в индекс (например, ОФЗ);

• погашение ГКО на вторичных торгах.

Ясно, что все эти ситуации затрагивают только погашаемые облигации и бумаги, pазмещенные на аукционе. Для других выпусков условно можно считать, что аукцион - это вторичные торги, на которых цены остались неизменными. Приняв это предположение, рассмотрим все приведенные выше случаи.

В первом из них (и наиболее часто встречающемся) в день аукциона происходит единственное изменение - цена погашаемых бумаг возрастает до 100% от номинала. На следующий день вместо погашенного выпуска в расчете участвует новый выпуск (или несколько выпусков, если аукцион сдвоенный). Индекс рассчитывается в обычном порядке, а для нового выпуска ценой предыдущих торгов служит средневзвешенная цена аукциона.

Так как в течение одного дня обычно проходят и аукцион, и вторичные торги, то обе вышеуказанные операции осуществляются в один день, т.е. фактически индекс в один день рассчитывается дважды, а итоговым является мультипликация результатов двух операций. Проигнорировать процесс погашения и прирост до номинала даже одного погашаемого выпуска мы не можем, так как это реальная прибыль и реальный прирост нашего портфеля.

Ситуация упрощается, если на аукционе не происходит погашения. При этом значение индекса в день аукциона остается неизменным по отношению к показателю предшествующих вторичных торгов. Порядок расчета в первый день после аукциона не отличается от первого случая.

Эти же ситуации возникают в тех случаях, когда на аукционе размещается дополнительный транш обращающегося выпуска. Отличие состоит в том, что средневзвешенная цена аукциона не используется при расчете индекса в первую послеаукционную торговую сессию. В день аукциона значение индекса увеличивается лишь за счет прироста цены погашаемого выпуска. Если же погашения не происходит, индекс остается постоянным до следующих вторичных торгов.

В двух последних случаях погашаемый выпуск не замещается новыми бумагами. Порядок расчета индекса в этих ситуациях следующий: если погашение происходит до аукциона по бумагам другого типа, то цена погашаемого выпуска возрастает до 100%, остальные бумаги сохраняют цены предшествующих вторичных торгов. Если же погашение происходит на вторичных торгах - погашаемые ГКО возрастают в цене до номинала, остальные бумаги - в соответствии с рыночной конъюнктурой.

8. Достоинства и недостатки. Рекомендации по использованию.

Сам индекс отражает обобщенную доходность по отношению к предыдущему дню. Однако доходность вложений за определенный период можно рассчитать с помощью несложной формулы:

,

где Y - доходность вложений в ГКО, % годовых; I₀ - значение СОЛ-индекса на момент начала периода инвестиций; I₁ - значение СОЛ-индекса на момент окончания периода инвестиций; t - продолжительность периода инвестиций, дней.

Говоря о недостатках подхода, отметим, что при моделировании возникает нелинейность (в веса входят цены облигаций, и, следовательно, в формулу они входят дважды). Если брать веса пропорционально количеству бумаг (т.е. использовать не реальные цены, а номиналы), то, на первый взгляд, проблема нелинейности устраняется. Однако приоритет был отдан соответствию формулы и выбранной экономической интерпретации.

Кстати говоря, даже если бы мы и взвешивали по количеству бумаг, нелинейность обеспечивалась хотя бы за счет того, что количество обращающихся на рынке выпусков меняется практически не реже одного раза в две недели, и вообще линейность фактически нарушалась бы при каждом аукционе/погашении/доразмещении. Первоначально мы специально рассчитали индекс в двух вариантах с различным подходом к взвешиванию и получили расхождение только в третьем знаке, причем на интервале более полугода. Решающим аргументом в пользу капитализационного (денежного) взвешивания стало то обстоятельство, что в этом случае динамика индекса не испытывает резких скачков при погашении/аукционе, так как деньги от погашения, как правило, перетекают на вторичные торги.

Приложение 2. SOBI-GKO-yield (обобщенный индекс ГКО). Методика расчета и рекомендации по использованию

1. Общая информация об индексе

SOBI-GKO-yield рассчитывается для ГКО с октября 1995 года по данным ММВБ.

Индекс регулярно публикуется в бюллетенях "Финансовый рынок", "Финансовый маркетинг", системах Reuters, Bloomberg.

2. Цель расчета

Определить общую тенденцию движения доходности рынка.

Для уровня доходности наиболее корректным индикатором, в широком смысле этого слова, является кривая распределения эффективных процентных ставок (yield curve). Она имеет явное преимущество перед точечными (агрегированными) показателями, поскольку, во-первых, позволяет оценить уровень ставок на конкретный срок и на конкретный отрезок времени, а во-вторых, снимает проблему корректного усреднения показателей доходности отдельных выпусков. Однако не всегда быстро удается определить, что же меняется - форма самой кривой или ее общий уровень. Точечный индикатор может помочь решить эту проблему.

3. Описание гипотез

• Любую ценную бумагу можно рассматривать как совокупность потоков платежей.

• Совокупность обращающихся на рынке дисконтных бумаг можно считать одной синтетической купонной облигацией.

• Все промежуточные выплаты будут реинвестированы под один и тот же процент.

4. Экономическая интерпретация

Действительно, если принять первую гипотезу, потоки платежей синтетической облигации эквивалентны совокупности потоков платежей всех обращающихся ГКО. Датой погашения этой облигации является дата погашения ГКО той серии, которая имеет наиболее длительный период до погашения в текущий момент. Синтетическая облигация погашается по номинальной стоимости этого выпуска, в качестве купонов выступают выплаты, осуществляемые при погашении остальных, более “коротких” ГКО.

5. Определение множества возможных математических моделей

Классическая формула, применяемая для расчета доходности купонной облигации, имеет следующий вид:

, (1)

где Р — рыночная стоимость синтетической облигации (т.е. портфеля, состоящего из ГКО всех обращающихся выпусков); N — количество обращающихся выпусков ГКО; C_i — объем погашения i-го выпуска ГКО; у* — доходность к погашению синтетической облигации — обобщенная рыночная доходность (с учетом реинвестирования “купонов”); d_i — количество дней до погашения i-го выпуска ГКО.

Важно, чтобы в левой и правой частях формулы стояли величины одинаковой размерности. Фактически C_i представляет собой v_i — объем в обращении i-й облигации (на конкретный день). Под рыночной ценой портфеля в левой части формулы в этом случае следует понимать сумму (v_ip_i), где p_i — средневзвешенная (за торговую сессию) цена соответствующей бумаги в виде доли от номинала (0,7; 0,8 и т.п.); v_i — объем в обращении.

Уравнение (1) можно решить одним из итерационных методов. Найденная в результате обобщенная процентная ставка y* отражает доходность к погашению синтетической облигации.

Кроме того, для определения показателя обобщенной доходности можно пользоваться обобщенной ставкой duration weighted yield, которая является хорошим приближением решения уравнения (1). Таким образом, в качестве индикатора обобщенной доходности можно пользоваться следующим выражением:

, (2)

где — весовой объемный коэффициент каждого выпуска ГКО,

;

y_i — эффективная доходность к погашению ГКО i-й серии;

—количество дней до погашения i-го выпуска ГКО;

— средний срок до погашения портфеля всех обращающихся облигаций.

После несложных преобразований формула (2) принимает следующий вид:

, (3)

6. Описание выбранной модели

Индекс расcчитывается путем численного решения уравнения (1) методом хорд. Выбор в пользу численного решения уравнения (1) по сравнению с приближенным аналитическим решением сделан в связи со следующими соображениями. Программные средства позволяют без особых затрат в быстрые сроки рассчитать точное решение уравнения с любой допустимой погрешностью. Следовательно, использовать хотя бы и аналитическое, но приближенное решение вряд ли целесообразно.

7. Учет технических моментов

Необходимости в подобном учете не возникло.

8. Достоинства и недостатки. Рекомендации по использованию

• Гипотеза о том, что все промежуточные выплаты будут реинвестированы под один и тот же процент, пока еще для российского рынка является слишком сильной. Данное допущение уместно для очень стабильной долгосрочной конъюнктуры процентных ставок.

• Метод расчета индекса путем численного решения некоторого уравнения затрудняет его расчет непрограммными средствами (вручную). Скорость расчета индекса становится критической в случае, если расчет необходимо производить очень часто и в очень сжатые сроки. Таким образом, человек, не имеющий возможности пользоваться хотя бы электронными таблицами, самостоятельно рассчитать индекс не сможет.

• Данный индикатор позволяет анализировать степень взаимосвязи рынка ГКО с различными макроэкономическими параметрами, а также влияние смежных сегментов финансовой сферы на конъюнктуру рынка ГКО. С помощью него удобно анализировать соотношения текущего уровня процентных ставок и темпов инфляции. Кроме того, ним удобно проводить корреляционный анализ.

• У точечных показателей доходности по сравнению с кривой распределения процентных ставок есть достоинства — их динамику более удобно изображать графически на плоскости, тогда как для изображения динамики всей кривой доходности нужны уже объемные графики.

• Описанный выше индикатор - инструмент макропрогнозирования в средне- и долгосрочной перспективе.

Приложение 3. Оценка между точным решением и приближенным значением.

#include

#include

#include

#include

const N=5; // кол-в инстументов

int n; // кол-во бумаг

float Q[N], // объемы бумаг

P[N], // цены приобретения

T[N], // интервал обращения

Ppr; // цена продажи

// метод вычисления доходности портфеля численным методом секущих Ньютона

// усовершенствованный

float method3() {

int i;

float Ik; // Ik - значение %

float F=0,

F0;

for (Ik=-50;Ik<300;ik+=0.01)>

F0=F;

F=0;

for (i=0;i<>

F+=Q[i]*P[i]*pow(1+Ik/1200,(float)T[i]/30)-Ppr*Q[i];

if (F0<=0 &&="" f="">=0) break;

}

return Ik;

}

// метод вычисления доходности портфеля через взвешивание по времени и объему

float method2() {

int i;

float Ik,S,S1;

float D[N],D1[N];

for (i=0;i

D[i]=(((float)Ppr-(float)P[i])/(float)P[i]*36500/(float)T[i]);

D1[i]=(pow(1+D[i]*(float)T[i]/36500,30/(float)T[i])-1)*1200;

}

S=0;S1=0;

for (i=0;i

S+=D1[i]*Q[i]*P[i]*T[i];

S1+=Q[i]*P[i]*T[i];

}

Ik=S/S1;

return Ik;

}

void main(void) {

float I;

clrscr();

Q[0]=223;Q[1]=200;Q[2]=400;Q[3]=500;Q[4]=300;Q[5]=271;Q[6]=32;Q[7]=10;

P[0]=80.16;P[1]=80.53,P[2]=80.37;P[3]=80.21;P[4]=80.05;P[5]=75.00;P[6]=93.22;P[7]=92.5;

T[0]=40;T[1]=40;T[2]=40;T[3]=40;T[4]=40;T[5]=148;T[6]=14;T[7]=11;

Ppr=87.15;

I=method3();

cout<><"ставка по="" численному="" методу=""><>

I=method2();

cout<><"ставка по="" методу="" взвешивания=""><>

}

Результат:

Ставка по численному методу: 76.555565

Ставка по методу взвешивания: 76.550621

Приложение 4. Проверка метода на случайной выборке.

Программа 1.

#include

#include

#include

#include

const N=8;

void main(void) {

float Q[N], // кол-во

P[N], // цена

T[N], // дней до погашения

D[N], // дох-ть эффективная

Q1[N], // нач. портфель

P1[N], // нач. цены

Cush,S; // деньги

float S1,S2;

int k,maxk,i;

T[0]=58;

T[1]=37;

T[2]=72;

T[3]=107;

T[4]=135;

T[5]=163;

T[6]=303;

T[7]=359;

randomize();

Cush=200000; // 2 миллиарда

maxk=0;

clrscr();

for (k=0;k

D[k]=28+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),T[k]/30);

P1[k]=P[k];

Q[k]=Q1[k]=0;

if (D[maxk]

printf("\n%f %f",D[k],P[k]);

}

Q1[maxk]=Q[maxk]=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Cush=Cush-Q[maxk]*P[maxk]*1.001;

printf("\n%d %f %f",maxk,Q1[maxk],Cush);

S=0;

for (k=0;k

for (i=1;i<=21;i++)>

maxk=0;

for (k=0;k

D[k]=28+float(random(200))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),(T[k]-i)/30);

if (D[maxk]

}

for (k=0;k

if (Q[k]>0)

if (D[k]+1

Cush+=P[k]*Q[k]*0.999;

Q[maxk]+=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Cush=Cush-Q[maxk]*P[maxk]*1.001;

Q[k]=0;

}

}

printf("\nденьги %f",Cush);

for (k=0;k

printf("\n Q[%d]= %f",k,Q[k]);

}

asm {

mov ax,0

int 16h

}

}

S1=S2=0;

for (k=0;k

S1+=Q1[k]*P[k];

S2+=Q[k]*P[k];

}

printf("\nнач.ст-ть :%fбыло бы :%f есть:%f",S,S1,S2);

}

Программа 2.

#include

#include

#include

#include

const N=8;

void main(void) {

float Q[N], // кол-во

P[N], // цена

T[N], // дней до погашения

D[N], // дох-ть эффективная

Q1[N], // нач. портфель

P1[N], // нач. цены

Cush,QQ,S; // деньги

float S1,S2;

int k,maxk,i;

T[0]=58;

T[1]=37;

T[2]=72;

T[3]=107;

T[4]=135;

T[5]=163;

T[6]=303;

T[7]=359;

randomize();

Cush=0;

maxk=0;

clrscr();

for (k=0;k

Q1[k]=Q[k]=100;

D[k]=28+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),T[k]/30);

}

S=0;

for (k=0;k

for (i=1;i<=21;i++)>

maxk=0;

for (k=0;k

D[k]=28+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),(T[k]-i)/30);

if (D[maxk]

}

for (k=0;k

if (Q[k]>0)

if (D[k]+1<=d[maxk])>

Cush+=P[k]*Q[k]*0.999;

QQ=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Q[maxk]+=QQ;

Cush=Cush-QQ*P[maxk]*1.001;

Q[k]=0;

}

}

printf("\nденьги %f",Cush);

for (k=0;k

printf("\n Q[%d]= %f",k,Q[k]);

}

asm {

mov ax,0

int 16h

}

}

S1=S2=0;

for (k=0;k

S1+=Q1[k]*P[k];

S2+=Q[k]*P[k];

}

printf("\nнач.ст-ть :%fбыло бы :%f есть:%f",S,S1,S2);

}

Программа 3.

#include

#include

#include

#include

const N=8;

void main(void) {

float Q[N], // кол-во

P[N], // цена

T[N], // дней до погашения

D[N], // дох-ть эффективная

Q1[N], // нач. портфель

P1[N], // нач. цены

Cush,S; // деньги

float S1,S2;

int k,maxk,i;

T[0]=58;

T[1]=37;

T[2]=72;

T[3]=107;

T[4]=135;

T[5]=163;

T[6]=303;

T[7]=359;

randomize();

Cush=200000; // 2 миллиарда

maxk=0;

clrscr();

for (k=0;k

D[k]=28+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),T[k]/30);

P1[k]=P[k];

Q[k]=Q1[k]=0;

if (D[maxk]

printf("\n%f %f",D[k],P[k]);

}

Q1[maxk]=Q[maxk]=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Cush=Cush-Q[maxk]*P[maxk]*1.001;

printf("\n%d %f %f",maxk,Q1[maxk],Cush);

S=0;

for (k=0;k

for (i=1;i<=21;i++)>

maxk=0;

for (k=0;k

D[k]=28-i/10+float(random(200))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),(T[k]-i)/30);

if (D[maxk]

}

for (k=0;k

if (Q[k]>0)

if (D[k]+1

Cush+=P[k]*Q[k]*0.999;

Q[maxk]+=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Cush=Cush-Q[maxk]*P[maxk]*1.001;

Q[k]=0;

}

}

printf("\nденьги %f",Cush);

for (k=0;k

printf("\n Q[%d]= %f",k,Q[k]);

}

asm {

mov ax,0

int 16h

}

}

S1=S2=0;

for (k=0;k

S1+=Q1[k]*P[k];

S2+=Q[k]*P[k];

}

printf("\nнач.ст-ть :%fбыло бы :%f есть:%f",S,S1,S2);

}

Программа 4.

#include

#include

#include

#include

const N=8;

void main(void) {

float Q[N], // кол-во

P[N], // цена

T[N], // дней до погашения

D[N], // дох-ть эффективная

Q1[N], // нач. портфель

P1[N], // нач. цены

Cush,QQ,S; // деньги

float S1,S2;

int k,maxk,i;

T[0]=58;

T[1]=37;

T[2]=72;

T[3]=107;

T[4]=135;

T[5]=163;

T[6]=303;

T[7]=359;

randomize();

Cush=0;

maxk=0;

clrscr();

for (k=0;k

Q1[k]=Q[k]=100;

D[k]=28+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),T[k]/30);

}

S=0;

for (k=0;k

for (i=1;i<=21;i++)>

maxk=0;

for (k=0;k

D[k]=28-i+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),(T[k]-i)/30);

if (D[maxk]

}

for (k=0;k

if (Q[k]>0)

if (D[k]+1<=d[maxk])>

Cush+=P[k]*Q[k]*0.999;

QQ=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Q[maxk]+=QQ;

Cush=Cush-QQ*P[maxk]*1.001;

Q[k]=0;

}

}

printf("\nденьги %f",Cush);

for (k=0;k

printf("\n Q[%d]= %f",k,Q[k]);

}

asm {

mov ax,0

int 16h

}

}

S1=S2=0;

for (k=0;k

S1+=Q1[k]*P[k];

S2+=Q[k]*P[k];

}

printf("\nнач.ст-ть :%fбыло бы :%f есть:%f",S,S1,S2);

}

Программа 5.

#include

#include

#include

#include

const N=8;

void main(void) {

float Q[N], // кол-во

P[N], // цена

T[N], // дней до погашения

D[N], // дох-ть эффективная

Q1[N], // нач. портфель

P1[N], // нач. цены

Cush,S; // деньги

float S1,S2;

int k,maxk,i;

T[0]=58;

T[1]=37;

T[2]=72;

T[3]=107;

T[4]=135;

T[5]=163;

T[6]=303;

T[7]=359;

randomize();

Cush=200000; // 2 миллиарда

maxk=0;

clrscr();

for (k=0;k

D[k]=28+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),T[k]/30);

P1[k]=P[k];

Q[k]=Q1[k]=0;

if (D[maxk]

printf("\n%f %f",D[k],P[k]);

}

Q1[maxk]=Q[maxk]=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Cush=Cush-Q[maxk]*P[maxk]*1.001;

printf("\n%d %f %f",maxk,Q1[maxk],Cush);

S=0;

for (k=0;k

for (i=1;i<=21;i++)>

maxk=0;

for (k=0;k

D[k]=28+i+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),(T[k]-i)/30);

if (D[maxk]

}

for (k=0;k

if (Q[k]>0)

if (D[k]+1

Cush+=P[k]*Q[k]*0.999;

Q[maxk]+=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Cush=Cush-Q[maxk]*P[maxk]*1.001;

Q[k]=0;

}

}

printf("\nденьги %f",Cush);

for (k=0;k

printf("\n Q[%d]= %f",k,Q[k]);

}

asm {

mov ax,0

int 16h

}

}

S1=S2=0;

for (k=0;k

S1+=Q1[k]*P[k];

S2+=Q[k]*P[k];

}

printf("\nнач.ст-ть :%fбыло бы :%f есть:%f",S,S1,S2);

}

Программа 6.

#include

#include

#include

#include

const N=8;

void main(void) {

float Q[N], // кол-во

P[N], // цена

T[N], // дней до погашения

D[N], // дох-ть эффективная

Q1[N], // нач. портфель

P1[N], // нач. цены

Cush,QQ,S; // деньги

float S1,S2;

int k,maxk,i;

T[0]=58;

T[1]=37;

T[2]=72;

T[3]=107;

T[4]=135;

T[5]=163;

T[6]=303;

T[7]=359;

randomize();

Cush=0;

maxk=0;

clrscr();

for (k=0;k

Q1[k]=Q[k]=100;

D[k]=28+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),T[k]/30);

}

S=0;

for (k=0;k

for (i=1;i<=21;i++)>

maxk=0;

for (k=0;k

D[k]=28+i+float(random(400))/100;

P[k]=100/pow((D[k]/1200+1),(T[k]-i)/30);

if (D[maxk]

}

for (k=0;k

if (Q[k]>0)

if (D[k]+1<=d[maxk])>

Cush+=P[k]*Q[k]*0.999;

QQ=int(Cush/(P[maxk]*1.001));

Q[maxk]+=QQ;

Cush=Cush-QQ*P[maxk]*1.001;

Q[k]=0;

}

}

printf("\nденьги %f",Cush);

for (k=0;k

printf("\n Q[%d]= %f",k,Q[k]);

}

asm {

mov ax,0

int 16h

}

}

S1=S2=0;

for (k=0;k

S1+=Q1[k]*P[k];

S2+=Q[k]*P[k];

}

printf("\nнач.ст-ть :%fбыло бы :%f есть:%f",S,S1,S2);

}

Приложение 5. Последние цены и эффективная доходность к погашению на рынке РКО с 1 по 30 апреля 1997 г.

Список литературы.

1. Потоки платежей, виды облигаций и вычисление доходности. Серия: «Теория инвестиционного анализа и практика российского рынка.» Издательство Консультационное Агентство «Соболев».

2. Остроушко О., Гришин О. «Доходность и дюрация портфеля ГКО» Журнал Рынок Ценных Бумаг № 5/1996.

3. Черновский А. «Как оценить эффективность управления портфелем ГКО» Журнал Рынок Ценных Бумаг № 24/1996.

4. Четыркин Е. «Методы финансовых и коммерческих расчетов».