Проявление симметрии в различных формах материи

Государственный Университет Управления Институт Информационных Систем Управления Специальность Информационные системы в управлении РЕФЕРАТ На тему ПРОЯВЛЕНИ СИММЕТРИИ В РАЗЛИЧНЫХ ФОРМАХ МАТЕРИИ Выполнен студенткой Студенческий билет Группа Дата выполнения работы Руководитель Оглавление стр

I.Введение…. II.Главная часть….3-1.Типы симметрии….3-11.Пространственно-временные и внутренние симметрии…….3-12.Одно- и двумерная симметрии… 5-13.Континуумы,семиконтинуумы,дисконтин уумы… 7-2.Кристаллы… 10-2.21 История познания кристаллографической симметрии……… 10-22. Симметрия кристаллов….14-3. Биосимметрия….20-31. Структурная-молекулярная….20-32. Структурная-морфологическая… 23-33.Структурная-неоклассическая….27-29 2.34.

Геометрическая и динамическая…29-III.Заключение… 32-IV.Список литературы… 34 В данном реферате рассмотрены основные типы симметрии: пространственно-временные, внутренние, одно- и двумерные. Проявления этих видов симметрии показаны на примере кристаллов. Также рассмотрена биосимметрия, включающая в себя одно из важных проявлений симметрии – симметрию молекул. I.Введение Симметрия – это такая особенность природы, про которую принято говорить, что она охватывает

все формы движения и организации материи.Истоки понятия симметрии восходят к древним.Наиболее важным открытием древних было осознание сходства и различия правого и левого. Здесь природными образцами им служили собственное тело, а также тела животных, птиц и рыб. Вот что написал русский исследователь, ученый ломоносовского склада, энциклопедист В.И. Вернадский в своей работе «Химическое строение биосферы

Земли и ее окружения»: «…чувство симметрии и реальное стремление его выразить в быту и в жизни существовало в человечестве с палеолита или даже с эолита, то есть с амых длительных периодов в доистории человечества, который длился для палеолита около полмиллиона лет, а для эолита – миллионы лет. Это чувство и связанная с ним работа, еще резко и интенсивно меняясь, сказывались и в неолите 25 000 лет тому назад». Можно вспомнить также великолепные памятники архитектуры глубокой древности, где пространственные

закономерности проявляются особенно ярко. Это храмы древнего Вавилона и пирамиды Гизы, дворец в Ашшуре. Итак, с глубокой древности, начиная, по-видимому с неолита, человек постепенно осознал и пытался выразить в художественных образах тот факт, что в природе, кроме хаотического расположения одинаковых предметов или их частей, существуют некоторые пространственные закономерности. Они могут быть совсем простыми – последовательное повторение одного предмета, более

сложными – повороты или отражения в зеркале. Для того, чтобы точно выразить эти закономерности, нужны были специальные термины. По преданию, их придумал Пифагор Регийский. Термином «симметрия», что в буквальном смысле значит соразмерность (пропорциональность, однородность, гармония), Пифагор Регийский обозначил пространственную закономерность в расположении одинаковых частей фигуры или самих фигур. Симметрия может проявляться в перемещениях, поворотах или

отражениях в зеркале. 1. ТИПЫ СИММЕТРИИ 1.1Пространственно-временные и внутренние симметрии Среди разных типов симметрии различают пространственно-временные симметрии и внутренние симметрии. А) Пространственно-временные симметрии являются наиболее общими симметриями природы. Их можно разделить на симметрии, связанные с непрерывными и дискретными преобразованиями. К непрерывным преобразованиям относятся следующие.

1) Перенос(сдвиг) системы как целого в пространстве. Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, то есть отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства). 2) Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени); симметрия относительно этого преобразования означает эквивалентность всех моментов времени (однородность времени), благодаря которой физические

законы не меняются со временем. 3) Поворот системы как целого в пространстве; симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства). 4) Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. Симметрия относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчета.

Симметрия относительно первых двух преобразований приводит к законам сохранения импульса и энергии, а симметрия относительно поворотов - к закону сохранения момента и равномерному прямолинейному движению центра инерции физической системы (в иенрциальной системе координат). Среди дискретных пространственно-временных симметрий различают СРТ-симметрию и зеркальную симметрию. 1) Из свойств пространства и основных положений квантовой теории

поля следует, что для любой частицы, обладающей каким-либо зарядом, должна существовать симметричная ей античастица(обладающая той же массой, временем жизни и спином, но с противоположным значением заряда)), а также необходимость определенной симметрии между движениями частиц и античастиц. Основной для указанной симметрии является то, что одновременное отражение всех пространственных осей (Р) и временной оси (Т)(то есть переход к зеркальной системе пространственных координат и отсчет времени

в обратном напрвлении) формально сводится к реальному повороту. Поютому теория, удовлетворяющая требованиям релятивистской инвариантности должна быть инвариантна и относительно так называемого слабого отражения(РТ) Поскольку при слабом отражении энергия и импульс частиц меняются на противоположные значения, инвариантность теории относительно слабого отражения, казалось бы, приводит к существованию физически недопустимых

состояний с отрицательными энергиями. В квантовой теории поля это можно устранить, истолковав движение частиц с отрицательными энергиями как обращенное по времени, зеркально симметричное движение частиц с положительной энергией, но с противоположным значением заряда. Таким образом, необходимость существования античастиц следует из требования релятивистской инвариантности и положительности энергии. Законы природы оказываются, следовательно, симметричными относительно так

называемого сильного отражения (СРТ) и зарядового сопряжения (то есть перехода от частиц к античастицам). Это утверждение составляет содержание теоремы СРТ, согласно которой для любого движения частиц может осуществляться в природе симметричное ему движение античастиц. 2)Зеркальная симметрия осуществляется в процессах, вызываемых сильными и электро-магнитными взаимодействиями, а также в системах, связанных с помощью этих взаимодействий (атомах,атомных ядрах,молекулах,кристаллах

и т.д.). Наличие зеркальной симметрии означает, что для любого процесса, обусловленного сильным или электро-магнитным взаимодействием, с равной вероятностью могут осуществляться два зеркально-симметричных перехода. Это обуславливает, например, симметричность относительно плоскости, перпендикулярной спину, углового распределения квантов, испускаемых поляризованными ядрами. Зеркально-симметричные состояния отличаются друг от друга противоположными направлениями скоростей

(импульсов) частиц и электрических полей и имеют одинаковые направления магнитных полей и спинов частиц. Б) Под внутренней симметрией понимают симметрию между частицами (в квантовой теории поля – между полями) с различными внутренними квантовыми числами. Среди различных внутренних симметрий можно выделить глобальные симметрии и локальные симметрии. Примером глобальной симметрии является инвариантность лагранжиана относительно следующих калибровочных преобразований входящих в него полей: (1)

Где -произвольное число, а числа Qi фиксированы для каждого поля i. Эта инвариантность приводит к аддитивному закону сохранения заряда Qi = const.Наряду с электрическими в качестве зарядов могут выступать и др. заряды: бариооный, лептонный, странность и т.д. Симметрия (1) называется глобальной симметрией, если параметр преообразования  не зависит от пространственно – временных координат точки, в которой рассматривается поле.

Если параметры преобразований для глобальных симметрий можно расссматривать как произвольные функции пространственно-временных координат, то говорят, что соответствующие симметрии выполняются глобально. 2.1.2.Одно- и двумерная симметрии Изучение симметрии кристаллических ребер и рядов ионов,атомов и молекул, слагающих кристалл, привело к необходимости вывода всех одномерных групп симметрии. Все операции одномерной симметрии оставляют инвариантной одну особенную прямую.

Изучение же симметрии граней и молекулярных, атомных, ионных слоев кристаллов привело к необходимости вывода всех двумерных групп симметрии. В последних операции симметрии оставляют инвариантной одну особенную плоскость. Симметрия одномерная характерна для фигур с одним особенным направлением – бордюров, лент, стержней, названия которых недвусмысленно говорят об их происхождении. Однако названия эти употребляются здесь не в обычном житейском смысле, а как родовые обозначения для

определенных совокупностей явлений. Бордюры – это фигуры без особенных точек, но сединственной осью переносов и особенной полярной плоскостью. К ним относятся обычные бордюры, применяемые для украшения проходов в метро, стен, колонн, пилястр, ребра кристаллов, побеги растений, некоторые биологические мембраны и т.д. Их симметрия исчерпывается всего семью группами, составленными из осей переносов, обычных и «скользящих» плоскостей, простых осей второго порядка.

Ленты – это фигуры без особенных точек, но с единственной осью переносов и проходящей через нее полярной или неполярной плоскостью. Бордюры, таким образом ленты с особенной полярной плоскостью. К ним относятся всевозможные борьеры, садовые решетки, заборы, биологические мембраны и т.д. Доказано, что в лентах может быть только 6 элементов симметрии: простая двойная ось, центр и плоскость симметрии, ось переносов, двойная винтовая ост и плоскость скользящего отражения.

Таким образом для лент характерно отсутствие осей симметрии выше второго порядка. Объяснение этого простое: оси порядка выше двух вызывали бы существование нескольких транслякционных осей либо нескольких особенных плоскостей, что противоречит первоначальным условиям. Стержни – это фигуры без особых точек и плоскостей, но с единственным особым направлением, осью стержня, с которой, кроме оси переносов, могут совпадать винтовые, зеркально-поворотные, простые поворотные

оси любого порядка. Таким образом, бордюры и ленты – стержни особого рода. Примеры стержней – цепи, плетеные канаты, цепные полимерные молекулы, лучи простого и поляризованного света, силовые линии и т.д. На оси стержня можно располагать фигуры с самыми различными, но не выходящими за пределы особого направления элементами симметрии; из всех фигур с особой точкой для этой цели пригодны ,таким образом, все конечные фигуры, кроме правильных многогранников, содержащих косые оси.

Размножение фигур по оси стержня производится с помощью элементов симметрии бесконечных (транслякционные и винтовые оси, плоскость скользящего отражения), а также промежуточных элементов конечных фигур (центра симметрии, поперечной оси второго порядка, зеркально-поворотной оси, поперечной плоскости симметрии). Существует бесконечное множество видов симметрии стержней, сводимых к 17 гтипам, кристаллографических групп симметрии – 75. Симметрия двумерная присуща фигурам с двумя особенными направлениями: сетчатым

орнаментам и слоям, названия которых по происхождению хотя и связаны с определенного рода бытовыми вещами, тем не менее также служат лишь родовыми понятиями для обозначения двух гораздо более широких явлений. Сетчатый орнамент – это фигура без особенной точки, с особенной полярной плоскостью и двумя осями переносов. Примерами его являются плоские орнаменты кристаллических граней, образованные атомами, ионами и молекулами, клеточек биологических срезов и т.д. Бесконечный сетчатый орнамент применяется человеком при производстве

паркетных полов, бумажных обоев, ковров и т .д. Фигуры односторонней разетки симметрии n или n∙m (n - ось симметрии порядка n, m - плоскость, точка – знак прохождения n штук плоскостей m вдоль оси n) при их размножении в двух взаимно перпендикулярных направлениях посредством непрерывных переносов а’ и а’ приводят к односторонним плоским континуумам двоякого рода: а’: а’: n∙m; а’: а’: n (n = 1:∞)(здесь двоеточие-знак перпендикулярности).

Таким образом, возможно бесконечное множество отличных от евклидовых односторонних плоскостей. Замечательно, что только при n = ∞ мы получаем вполне изотропную: 1) Обыкновенную одностороннюю плоскость симметрии а’: а’: ∞∙m,которой отвечает, например, гладкая поверхность воды, отражающая световые лучи; 2) правую и левую односторонние плоскости симметрии а’: а’: ∞, которой отвечает поверхность

оптически активного раствора, вращающего плоскость линейно поляризованного света вправо или влево. Для биологических систем наиболее характерны плоскости именно двух последних родов (изомерийные). Всем остальным видам симметрии ( n ≠ ∞) отвечают анизотропные плоскости; формуле а’: а’: 1отвечают правые и левые асимметричные в смысле симметрии размножаемых точек плоскости. Их моделями могут служить бесконечные односторонние поверхности с равномерно и беспорядочно распределенными

на них асимметричными молекулами или однородные сообщества высших растений, рассмотренные с высоты птичьего полета. От односторонних плоских континуумов легко перейти к односторонним семиконтинуума - бесконечным плоским фигурам, прерывным в одних и непрерывным в других направлениях. Примеры их - система начерченных на бумаге параллельных полос, плоский ряд карандашей и т. д. Их симметрия исчерпывается всего 7 видами. Причем если отбросить в формулах симметрии плоских односторонних

семиконтинуумов символ непрерывной оси переносов, то получается 7 формул симметрии уже известных нам бордюров. Это значит, что плоские односторонние семиконтинуумы - это обыкновенные бордюры, до бесконечности вытянутые в ширину. Слои – это фигуры без особенных точек, с особенной, не обязательно полярной плоскостью и двумя осями переносов. Таким образом, сетчатые орнаменты - лишь особого рода слои. Примерами слоев являются складчатые слои полипептидных цепей, тончайшие пленки, прозрачные двусторонние

вывески и т. д. Вывод видов симметрии двусторонних плоских континуумов осуществляется размножением фигур двусторонней розетки посредством двух взаимно перпендикулярных непрерывных переносов. Так как число групп симметрии двусторонних розеток бесконечно, то бесконечно и число групп симметрии двусторонних плоских континуумов. Двусторонний плоский семиконтинуум можно получить посредством двух взаимно перпендикулярных переносов прямой линии, обладающей той или иной симметрией ленты.

В качестве примера плоского двустороннего семиконтинуума можно взять систему тонких натянутых на плоскости равноотстоящих друг от друга проволок. 2.1.3.Континуумы, семиконтинуумы, дисконтинуумы Теперь возвратимся к фигурам с трехмерной симметрией, но уже как к симметрическим пространствам – трехмерным дисконтинуумам, семиконтинуумам и континуумам. Уже из философских положений: 1) пространство и время – формы существования материи,2)движение – сущность пространства и времени,3)существуют

качественно различные, взаимно превращающиеся виды материи и формы ее движения – вытекают выводы о существовании качественно различных взаимно превращающихся конкретных форм пространства и времени. Данные о континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах также подтверждают эти утверждения. Они с новой и очень своеобразной стороны выявляют связь симметрии с пространством и временем. Очевидно кристаллы в отношении их атомов,ионов и молекул можно рассматривать как дискретные трехмерные

пространства – дисконтинуумы. Помимо дискретных – анизотропных и неоднородных – пространств в теории различают еще и дискретные в одних и непрерывные в других направлениях пространства – семиконтинуумы I и II рода. Семиконтинуумы, будучи явлениями, переходными между континуумами и дисконтинуумами и одновременно их единством, с новых сторон выявляют диалектику пространства. Пространственные (трехмерные) семиконтинуумы I рода могут быть получены трансляцией плоских континуумов

вдоль перпендикуляра к ним. Число групп симметрии пространственных семиконтинуумов I рода бесконечно.Можно привести несколько примеров таких пространств в природе. Они проявляются, например, в так называемых смектических жидких кристаллах. Последние состоят из пленок толщиной в 1-2 молекулы, пленки лежат друг на друге, как листы в стопке бумаги, причем молекулы в них одной своей осью расположены параллельно друг другу, а двумя другими нет.

Другие примеры-поле стоячих ультразвуковых волн в жидкости, образованное сгущениями и разряжениями последней, а также однородное световое поле, которое можно рассматривать как семиконтинуум для плоских волн. Пространственные семиконтинуумы II рода могут быть получены переносом любых из одно- и двусторонних плоскостей, обладающих симметрией бесконечных слоев. Простейшие примеры семиконтинуумов II рода дает практика: с ними мы сталкиваемся при укладке стержней-

бревен, труб и т.д. Перейдем теперь к рассмотрению полностью непрерывных во всех трех направлениях пространств-континуумов. Пространственные континуумы могут быть получены путем трех непрерывных взаимно перпендикулярных переносов элементарных объектов, обладающих симметрией конечных фигур. Примером симметрических пространственных континуумов являются разнообразные физические поля. Евклидово пространство – также один из примеров таких континнумов.

Его можно получить непрерывным «размножением» в трех направлениях точки, обладающей симметрией обыкновенного шара( ∞/∞∙m). Пространство уже обычного электрического поля, в котором направление «вперед» (по силовым линиям) отлично от направления «назад» (против силовых линий), существенно отличается от пространства Евклида. Такой континуум можно получить непрерывным переносом в трех взаимно перпендикулярных направлениях одной точки с симметрией обыкновенного круглого конуса(∞&

#8729;m). Как известно, в теории относительности была впервые выявлена глубокая связь двух фундаментальных континуумов – пространственного и временного. Поэтому особое значение среди различных физических континуумов придается пространственно-временному, описываемому ортохронной группой преобразований Лоренца. Она состоит из: 1) группы вращений в пространственно-временных плоскостях на чисто мнимый угол,2) группы трехмерных вращений, 3) группы пространственной инверсии.

Основной вывод, неизбежно следующий из рассмотрения свойств одно дву трех четырех …,n-мерных континуумов, семиконтинуумов и дисконтинуумов это вывод о бесконечном – количественном и качественном разнообразии и одно- и двусторонних превращениях, переходах одних реальных пространств и времен в другие. Эти же выводы подтверждаются и общей теорией относительности, согласно которой в «большом» – в масштабах Метагалактики – реальное пространство- время глубоко неоднородно и неизотропно, хотя в «малом» (например,

в масштабах Солнечной ситемы) это пространство-время псевдоевклидово. Однако это подход к малому пространству и времени только с одной точки зрения. Тоже малое даже в бесчисленном множестве «совсем малых» пространств и времен, если его рассматривать уже с позиции геометрической симметрии, вернее кристаллографических аспектов, обнаруживает также бесконечное разнообразие Материалы о плоских и трехмерных реальных континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах

доказывают это совершенно строго.Приведем новые подтверждения развиваемых здесь положений из области квантовой физики твердого тела. Известно, что все атомы правилбной кристаллической решетки в некотором приближении одинаковы. Они подобны музыкальным струнам, настроенным на одну и ту же частоту, и вследствие этого при возбуждении колебаний в одном из них способны резонировать, что приводит к волне, бегущей через весь кристалл. Природа этих волн может быть очень разнообразной - звуковой, магнитной, электрической

и т.д. Согласно общим законам квантовой механики, эти волны возникают и передаются только в виде квантов энергии. Последние во многом аналогичны обычным частицам, и их называют квазичастицами. Поскольку природа их определяется структурой и химическим составом кристаллов, то их разнообразие значительно более широко, чем разнообразие истинных частиц.Сейчас известны такие квазичастицы, как фотоны (кванты звука), электроны проводимости, магноны (спиновые волны), эквитоны, поляритоны (светоэкзитоны) и многие

дручие. Важность введения квазичастиц в теорию твердого тела состояла в том, что во многих случаях кристалл оказалось возможным трактовать с позиций невзаимодействующих или слабо взаимодействующих квазичастиц. Известно, что механику истинных частиц пронизывает принцип относительности, выраженный лоренцовыми преобразованиями. Этот принцип выражает однородность, изотропность пространства и однородность времени, с которыми связаны разные законы сохранения. Это проявляется также и в универсальности для механики

всех истинных частиц зависимости энергии E от импульса p: Е=&#8730; E +c p Где Е т с -энергия покоя, т – масса поко, с – скорость света в вакууме. Если с/м<<c, то есть вне релятивистской области, то Е=р /2т. Это обычный квадратичный закон дисперсии. Однако с переходом к квазичастицам положение радикально меняется!

И это прямо связано с резко иным характером малых кристаллических пространств по сравнению с «пустым» пространством малого. Очень четко и интересно резюмируют результаты такого перехода И.М. Лившиц и В.М. Агранович. Они пишут, что для квазичастиц положение радикально меняется, потому что «квазичастицы не в пустом пространстве не в вакууме, а в кристаллическом пространстве, которое имеет симметрию, отвечающую соответствующей пространственной группе кристалла.

В связи с этим имеется выделенная система отсчета и нет прежнего принципа относительности. Поэтому нет и закона дисперсии, который имеет место для истинных частиц. Вместо этого возникает сложный закон дисперсии Е=Е(р), причем вместо импульса приходится говорить о квазиимпульсе, ибо пространство уже неоднородно и закон сохранения импульса, который является точным законом в однородном пространстве, в кристаллическом пространствевыполняется с точностью до целочисленного

вектора обратной решетки, умноженной на h. Закон дисперсии для квазичастиц существенно отличается от элементарного закона Е=р /2т. Во-первых, Е(р) – периодическая функция р с периодом, равным периоду обратной решетки, умноженному на h. Во- вторых, имеется, вообще говоря, резкая анизотропия этого закона дисперсии и, следовательно, анизотртпия всех свойств, определяемых квазичастицами»ю Далее. Для истинных частиц в зависимости Е=р /2т каждому

Е соответствуют поверхности, называемые поверхностями Ферми. В данном случае это просто сферы, радиус которых растет пропорционально &#8730;Е. Для квазичастиц уже в пространстве квазиимпульсов функции Е=Е(р) при каждом заданном Е соответствует периодически повторяющийся набор поверхностей Ферми, которые иногда могут смыкаться в одну поверхность, проходящую через все пространство.

Придавая Е различные значения и изображая графически в итоге всю функцию Е= Е(р), можно передать рисунком все черты динамики квазичастиц. Получающиеся при таком подходе изображения топологически очень сложны и чрезвычайно напоминают абстрактные скульптуры. Они резко отличаются от примитивных по форме сфер. Подобно истинным частицам одни из квазичастиц подчиняются статистике

Бозе- Эйнштейна и являются, стало быть, бозонами, другие – Ферми-Дирака и являются фермионами.Но не всегда статистика квазичастиц совпадает со статистикой истинных частиц. Так, в системе электронов имеются квазичастицы-плазмоны, являющиеся бозонами, хотя, как известно, свободные электроны являются фермионами. 2.КРИСТАЛЛЫ ¬ 2.2.1. История познания кристаллографической симметрии Под кристаллографической симметрией в узком, или точном,

смысле обычно понимают такую симметрию (кристаллов), группы которой могут быть полностью описаны с помощью простых, винтовых и зеркальных осей 1,2,3,4 и 6-го порядка оси переносов и плоскости скользящего отражения. При этом трансляции, связанные с плоскостями скользящего отражения и винтовыми осями, часто представляются конечными. Кристаллографическая, или структурная, симметрия в широком смысле от этих ограничений освобождена. Она включает первую как свой частный случай и стало быть в принципе может быть

представленагруппами и симметрией, опивываемыми простыми, зеркальными и винтовыми осями любых, в том числе 5,7,8,…,&#8734; порядков, а также осями переносов и плоскостями скользящего отражения. В истории познания Кристаллографической симметрии следует остановиться на трех моментах, характеризующих диалектичность процесса познания. Во-первых, познание симметрии кристаллов и кристаллографической симметрии шло по спиралям путем отрицания отрицания. Именно: от живого созерцания – блещущей внешней формы кристаллов

– к абстрактному мышлению – их внутреннему решетчатому строению, а от него, с одной стороны, к практике – к величайшему использованию кристаллов в производстве и в быту, с другой- снова к внешней форме кристаллов, но увиденной уже и изнутри. Во-вторых, в познании кристаллографической симметрии весьма интересна сама история названия этого вида симметрии.Учение о ней, первоначально воз¬никнув вне связи с изучением кристаллов, а затем тесно с ним переплетаясь и получив свое наименова¬ние, решительно вышло — не без старания самих

кри¬сталлографов — за рамки чисто «кристаллического» представления о симметрии. И здесь снова шел слож¬ный диалектический процесс познания. Третий момент отмечен В. И. Вернадским: «Кристаллография, — пишет он, — стала наукой только тогда, когда первые основатели кристаллографии в XVII в. Гульельмини и Стеноп, а главным образом в XVIII в. Роме де Лиль,

Гаюи правильно приняли за основу построения научного исследования одно свойство природных кристаллов как основное и оста¬вили без внимания отклонения в наружной форме кристаллов от идеальных многогранников геометрии как вторичные. Этим единым исходным свойством был принят правильно закон постоянства гранных углов, открытый независимо Гульельмини и Стснсепом, так называемый закон Стенопа. Вторичными свойствами явились размеры и форма кристаллических пло¬скостей и ребер кристаллических

многогранников. Ис¬ходя из этого построили реальные полиэдры—модели природных кристаллов, в которых ребра и плоскости, теоретически являющиеся функцией гранных углов, выявились в своей реальной величине и форме, на¬рушенных в природных кристаллах проявлением по¬верхностных сил. Эти силы оставлены были вначале без внимания. Так получились идеальные полиэдры геометрии. Такие полиэдры были впервые построены Роме де Лилем в

XVIII столетии. Они называются кристалли¬ческими многогранниками». Идеальные по своей форме кристаллы стали рассматриваться как реальные с истинной симмет¬рией, а отклоняющиеся от них — как ложные с ис¬каженной симметрией. Первые в природе встречаются один на одну или даже несколько тысяч, с большим трудом их удается получить в лабораторных усло¬виях. Вторые составляют, если можно так выразить¬ся, сверхподавляющую часть природных кристаллов.

Они легко получаются в лабораторных условиях. Результат такой ориентации известен: на протяже¬нии столетий наиболее часто встречающиеся, а потому поистине реальные «ложные» кристаллы с искажен¬ной симметрией оставались вне поля зрения кристал¬лографов, что отрицательно сказалось на общем уров¬не учения о реальных кристаллах, Се.ичас положение выправляется. И все же в таких поворотах внимания кристаллографов было некоторое оправдание: невоз¬можно изучать само отклонение, не зная того, от чего оно отклоняется

Закон постоянства гранных углов Стенона впослед¬ствии дал начало учению о морфологической симмет¬рии кристаллов — основе учения о симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А.В Шубникова об особенных элементах фигуры: «Точка (пря¬мая, плоскость) фигуры (или ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми опе¬рациями фигуры (или ее части). Особенные геомет¬рические элементы существуют в фигурах в единст¬венном числе».

Центр сферы, ось конуса, поперечная плоскость цилиндра—соответственно особенные точка, линия, плоскость; трехмерное пространство в класси¬ческом учении о пространственной симметрии кристал¬лов — также особенный геометрический элемент. Существует несколько наименований фигур с осо¬бенными точками. Чаще всего их называют конеч¬ными или строже точечными фигурами, реже — фи¬гурами симметрии нулевого измерения. Последние мо¬гут быть разделены на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры

с особенными плоско¬стями. Все платоновы тела и шар принадлежат к фигурам первой категории. К фигурам второй кате¬гории принадлежат так называемые розетки (одно- и двусторонние). Примеры односторонних розеток — фигуры пуговицы, цветка растения, насекомого, дет¬ской бумажной вертушки, фигуры травления на гра¬нях кристалла; примеры двусторонних розеток - ре¬шетки ворот, колеса, кольца, платки с одинаковым ри¬сунком с обеих сторон, буквы без лица и изнанки (П,

Н, Ж ), снежинки, фигуры млекопитающих, ес¬ли смотреть на них сбоку (при другой ориентации они предстанут уже в виде односторонних розеток). Таким образом, и у тех и у других розеток имеется одна особенная плоскость с особенной точкой в ней. При этом у односторонних розеток эта плоскость полярна, т. е. ее «лицо» отлично от «изнанки», а у дву¬сторонних она не полярна и может являться поэтому плоскостью симметрии. По-видимому, будет правильно связать развитие учения о симметрии нулевого измерения с построения¬ми

древними математиками таких типичных конечных фигур, как многоугольники и многогранники. Особое место здесь должно быть отведено пяти правильным платоновым многогранникам, которые Г. Вейль удач но назвал древним эквивалентом некоторых современных классов групп симметрии конечных фигур. Далее в изучении симметрии кри¬сталлов наблюдается досадный более чем полуторатысячелетний перерыв. Возобновившийся после столь длительного застоя ход исследований в сухом пе¬речне дат и фамилий выглядит

так. 1611 г. — И. Кеплер указывает на сохранение уг¬ла (в 60° между отдельными лучами у снежинок и гениально объясняет это их внутренним сложением из шарообразных частиц. 1669 г. — Н. Стенсен открыл закон постоянства углов у кристаллов кварца и гематита. 1670 г. — Э. Бартолин (1625—1698) то же свой¬ство указал для кальцита; 1695 г. — А. Левенгук (1632—1723) — для гипса (малых и больших кри¬сталлов);

1749 г. — М. В. Ломоносов (1711—1765) — для кристаллов селитры, пирита, алмаза и других, положив тем са