Педагогика в начальных классах

Содержание стр.
Введение. 1.
Теоретическая часть. 5
1.1 Ознакомление с текстовыми задачами. 5
1.2. Способы решения текстовых задач. 16
1.3. Особенности работы над задачами
по системе Л.В. Занкова. 34
1.4. Как составить и решить задачу по системе
Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова. 39
2. Практическая часть. 44
Заключение. 72
Список используемой литературы 73
Приложения. 75
Введение.
Интерес к решению текстовых задач возник у меня после занятий по методике математике. Изучив методическую литературу по вопросам обучения решения задач, познакомившись со статьями журналов, в которых авторы выступают за более широкое и активное включение детей в решение задач, я решила проверить методику на практике.
В практике большинство учителей мало уделяют внимание решению задач. Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения; выполнить проверку полученного результата. Необоснованно много внимания и неоправданных затрат времени идет на оформление краткой записи и решения задачи. При этом основное внимание направлено на реализацию единственно цели – получение ответа на вопрос задачи. Так же в курсе математики в начальной школе масса времени посвящается вычислению уже по готовым математическим моделям, то есть по знакомому описанию какого либо явлению с помощью математической символики. Все это отрицательно сказывается на формировании общих умений решать задачу, а не оказывают необходимое влияние на развитие мышления учащихся.
Так же после того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться приступать к выполнению другого задания. Надо подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на предыдущий способ, на трудности при поиске решения задачи, выявить новую и полезную для учащихся информацию. Что часто не успевает сделать на уроке учитель.
Среди причин определяющих недостаточный уровень у учащихся умений решать задачи, я выделяю следующее:
Первая заключается в методике обучения, которая в данное время ориентировала учащихся не на формирование у учащихся обобщенных умений, а на “разучивание” способов решения задач определенных видов.
Вторая причина кроется в том, что учащиеся объективно отличаются друг от друга характером умственной деятельности, осуществляемой при решении задач.
На уроке учитель должен выбрать вариант организации и содержания решения задачи, а ученики должны выбрать способы решения задач.
Существуют такие способы решения задач:
I Арифметический способ;
II Алгебраический способ;
III Графический способ;
IV Практический способ;
Так же текстовые задачи на уроках математики в начальных классах могут быть использованы для самых разных целей: для подготовки к ведению новых понятий (в частности, арифметических действий); для ознакомления с новыми понятиями, свойствами понятий, для углубления и расширения формируемых математических знаний и умений; для вычислительных навыков; для обучения методам и приемам решения задач на разных этапах этого обучения и для многих других целей. Очевидно, что и методика работы с задачей на уроке должна определяться прежде всего тем, с какой целью эта задача включена в урок.
Анализ практики показывает, что далеко не всегда характер работы с задачей на уроке соответствует той цели, ради достижения которой она рассматривается на уроке. Чтобы решить данные цели, мне удалось выделить возможные виды работы с задачами на уроке математике, которые хоть чем-то отличаются друг от друга. Главное – представить все многообразие возможных ситуаций с задачами на уроке, дав тем самым учителю право и возможность выбирать.
Начальная школа все дальше и дальше уходит от традиционной методики математики. Появляются различные типы школ, вводятся альтернативные программы и учебники.
Наиболее распространенной среди альтернативных систем является дидактическая система, разработанная под руководством академика Л.В. Занкова.
Хотелось бы обратить внимание на то, что значительному большинству учителей, студентов (даже те, кто прослушал курс переподготовки, где рассматривались и раскрывались принципы обучения, приемы и методы работы) нужна основательная помощь, которая заключалась бы в конкретизации методических приемов и методов работы, ибо отсутствие таковых приводит к противоречию между предлагаемыми принципами и их реализации на практике.
И также хотелось бы проанализировать некоторые затруднения, возникающие у учителя и учащегося при решении текстовых задач.
Но кроме системы Л.В. Занкова существует еще система Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова. Эта система по своей сути также сложна и вызывает затруднения у учителей и учащихся. При решении задач возникает много трудностей, порой кажется, что невозможно составить краткую запись задачи, а о решении и речи не может быть. Я хотела бы помочь разрешить все затруднения при решении текстовых задач в системе Д.Б. Эльконина–В.В. Давыдова.
Но хотелось бы добавить, что какую бы задачу мы не решали, во всех случаях это очень трудное дело.
1. Теоретическая часть.
1.1 Ознакомление с текстовыми задачами.
В начальном обучении математике велика роль текстовых задач. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащегося. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. Существуют простые и составные задачи. Задачи, которые решаются в одно действие называются простыми задачи, решающиеся в два и более – составные.
Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого- либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.
Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).
В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.
Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной (Найти площадь прямоугольника) или вопросительной форме (Чему равна площадь прямоугольника?).
Рассмотрим задачу: “На тракторе “Кировец” колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе “Казахстан” – за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора. За сколько дней будет вспахано поле?”
Условие этой задачи. “На тракторе “Кировец” колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе “Казахстан” – за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора.”. В нем описываются отношения между тремя величинами: объемом работы, производительностью труда и временем выполнения работы, причем в трех различных ситуациях.
Первая ситуация. Некоторый объем работы выполняется только на тракторе “Кировец” с определенной производительностью. Известно значение одной величины, а именно время работы – 10 дней. Значения других величин известны.
Вторая ситуация. Тот же объем работы выполняется только на тракторе “Казахстан” с определенной производительностью. Известно время работы – 15 дней. Значения других величин неизвестны.
Третья ситуация. Тот же объем работы выполняется двумя тракторами с соответствующей каждому производительностью. Значения всех трех величин неизвестны.
Требование (вопрос) задачи: “За сколько дней будет вспахано поле?” В нем указывается, что нужно найти одно из неизвестных значений величин, а именно время совместной работы. Это же требование должно быть сформулировано в повелительной форме: “Найти число дней, которое потребуется для вспашки поля двумя тракторами при совместной работе”.
В данной задаче пять неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины назовем искомым.
Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или все условие включены в одно предложение с требованием задачи. Например, приведенная выше задача может быть дана в такой формулировке: “На тракторе “Кировец” колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе на “Казахстан” – за 15 дней. За сколько дней можно вспахать это поле, если будут работать оба трактора?” В ней часть условия (“будут работать оба трактора”) помещена в предложение с требованием задачи. В следующем тексте все условие делается в одном предложении с вопросом: “За сколько дней вспашут поле тракторы “Кировец” и “Казахстан”, работая вместе, если на одном из них поле может быть вспахано за 10 дней, а на другом – за 15 дней?”
В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, т.е. такую, которая не нужна для выполнения требования задачи. Например, в рассмотренной выше задаче для выполнения ее требования не имеют значения названия марок тракторов. Здесь важно лишь, что в задаче речь идет о двух тракторах с разной производительностью.
В задаче “Девочка нашла 10 белых и 5 подберезовиков, а мальчик 7 белых грибов. Сколько белых грибов нашли дети?” содержится избыточная информация о подберезовиках. Данное “5 подберезовиков” оказывается лишним.
На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так, в задаче “Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 м” недостаточно данных для ответа на ее вопрос. Чтобы можно было решить задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными. Такими данными может быть значение площади или некоторые данные, по которым можно было бы определить одну из искомых сторон.
Одна и та же задача может рассматриваться как задача с избыточными (недостающими) данными и как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся у решающего знаний. Например, ученик, не имеющий знаний о вспашке поля как задачу с недостающей информацией. Решить ее он сможет, если в эту задачу ввести, например, значение о площади вспахиваемого поля. При наличии знаний о дробях и действиях с ними ответить на вопрос задачи можно и не зная площади поля.
Ключ к решению задачи – это анализ ее решения, на основе которого устанавливается зависимость между данными и искомыми значениями величин.
Основной традиционный прием анализа задач – разбор от вопроса и от числовых данных. Обратим внимание на толкование этих понятий. Разбор задачи от вопроса – это суждение, которое состоит в том, чтобы подобрать два числовых значения одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба могут быть неизвестными. Для их нахождения подбираются два других, и так продолжается процесс подбора, пока не приходим к известным числовым значениям величин.
В результате такого разбора учащиеся устанавливают зависимость между числовыми значениями величин, расчленяют ее на простые задачи и составляют план ее решения. Установить связь между числовыми данными задачи и расчленить ее на ряд простых можно и путем разбора от числовых данных.
Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается следующий вопрос. И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи.
В некоторой методической литературе разбор задачи от вопроса называется «аналитическим методом разбора, а разбор задачи от числовых данных – «синтетическим методом разбора». Но и первый и второй методы разбора есть анализ условия задачи, поскольку оба они направлены на расчленение составной части задачи на простые. Указанные способы разбора задач являются средством раскрытия пути их решения.
При анализе задачи от вопроса и от числовых данных можно выделить этапов. На первом этапе необходимо: 1) научить детей анализировать условие составной задачи и проводить рассуждение при ее разборе от вопроса; 2) довести до сознания учащихся, что для ответа на вопрос задачи необходимо, чтобы в ее условии было дано не менее двух числовых данных.
Достигнуть этого можно путем решения серий простых задач на все четыре действия без числовых данных, с неполными и полными данными.
Затем решаются простые задачи разных видов, связанные с действиями вычитания, умножения и деления. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях чертят схемы. Дается установка: прямоугольники со знаком вопроса задачи начертить длиной в две клетки и высотой в одну; на одну клетку ниже начертить два других прямоугольника так, чтобы расстояние между ними было в две клетки, и соединить их между собой отрезками.
В результате решения простых задач с графической иллюстрацией учащиеся убеждаются, что для решения задачи необходимо, чтобы в ее условии было дано не менее двух числовых данных одной или нескольких величин, а также приобретают навыки правильно формулировать вопросы при анализе задачи
На втором этапе решаются задачи в два и три действия с полным анализом и его графической иллюстрацией
Таким образом, чтобы сформировать у учащихся понятие анализа составных задач и выработать умение вести рассуждение, необходимо решить значительное количество задач разной структуры. При фронтальном разборе задачи схему на доске чертит учитель, а учащиеся анализируют условие задачи. В тетрадях дети чертят схемы по указанию учителя, главным образом при ознакомлении с новым видом задач и при выполнении домашнего задания.
Схема дает наглядное представление о разбиении составной задачи на простые и служит опорой мыслительной деятельности учащихся при анализе задачи, как от вопроса, так и от числовых данных. При этом создаются благоприятные условия для повторения анализа задачи.
На третьем этапе, когда учащиеся овладели полным анализом задачи от вопроса и от числовых данных, возникают условия для дальнейшего развития абстрактного мышления учащихся и повышения эффективности работы над задачей, используя неполный анализ при разборе задач.
Полный анализ задачи, решаемой в 4— 5 действий, является многословным, забирает много времени. В учебниках для начальных классов значительное количество составляют задачи с прямым указанием на выполнение действия, т. е. задачи, «прозрачные». Применение к таким задачам полного анализа тормозит движение мысли учащихся, так как большинство детей сразу могут составить план решения, если задача сокращенно записана в удобной форме. Анализ условия прозрачных задач способом разбора от числовых данных целесообразно сочетать с сокращенной записью их условия. При этом учащиеся сначала знакомятся с содержанием задачи и затем составляют сокращенную запись одновременно с анализом ее условия. Такое сочетание дает четкое представление о полезности работы по сокращенной записи условия задачи, при которой записываются не только числа, но и математические выражения, укорачивает ее запись. Предпосылкой для такой работы является умение учащихся устанавливать связь между данными и искомыми в простых задачах, которой они овладевают в процессе их решения в I—II классах. В зависимости от подготовки учащихся часто бывает полезно провести подготовительную работу к решению составной задачи. С этой целью предлагается решить устно несколько простых задач тех видов, с которыми они будут соприкасаться при решении составной задачи. Сочетание составления краткой записи условия задачи с его анализом, при котором записываются как числа, так и соответствующие выражения, дает возможность не только уяснить содержание задачи, но и выявить зависимость между числовыми значениями величина наметить порядок действий, сократить рассуждение, используя неполный анализ, при котором числовые выражения воспринимаются как известные данные.
Для учащихся, которые затрудняются составить план решения, ведется более подробный анализ.
В учебнике имеются задачи, требующие найти сумму нескольких значений одной величины, в которых каждое последующее значение больше или меньше предыдущих значений на несколько единиц. Составление сокращенной записи условия таких задач с их анализом, при котором записываются не только числа, но и выражения, не только укорачивает условие задачи, но и делает более прозрачный путь к ее решению.
Решая задачи, которые включают в себя простые задачи, сокращенная запись условия задачи, при которой записываются выражения, учащиеся не только воспроизводят знания связей между числовыми значениями простых задач, но и обогащаются знаниями о новых связях, на основе которых сочетаются простые задачи.
В курс математики начальных классов включены составные задачи, которые имеют несколько числовых значений различных величин и связанных различными зависимостями. В решении таких задач многие учащиеся затрудняются. Сокращенная запись условия задачи, при которой «прозрачные» связи зависимости между числовыми значениями величин записываются с помощью математических выражений, значительно облегчает разбор и решение задачи. При этом задача разделяется на две части: на «прозрачную» часть и часть, в которой зависимость между числовыми значениями величин дана в завуалированном виде.
При решении многих задач учащиеся допускают ошибки из-за того, что не умеют представить жизненную ситуацию, описанную в задаче, и не умеют осознать отношения между величинами.
Ко всем ли задачам нужна краткая запись? Конечно, нет. В учебниках имеются задачи с небольшими числами, кратко сформулированные, решение которых дети могут легко записать с помощью математического выражения.
Таким образом, планируя на уроке решение /составных задач, следует творчески использовать в работе различные методические приемы.
Сочетание сокращенной записи условия задачи с ее анализом, когда записываются не только числа, не и выражения, предполагающие определенные действия, делают задачу более «прозрачной» в поиске ее решения. При этом создаются условия для экономии времени и повышения эффективности и самостоятельности работы учащихся. Кроме этого, возникают условия для дифференцированной работы учащихся. Дети, которые после сокращенной записи условия задачи умеют составить план решения задачи, приступают к самостоятельному его выполнению, а для учащихся, которые затрудняются, ведется более подробный анализ условия задачи с использованием наглядности.
После того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться приступать к выполнению другого задания. Полезно подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на трудности при поиске решения задачи, проанализировать неверно найденное решение, выявить новую и полезную для учащихся информацию.
Такой подход к обучению решению задач будет способствовать формированию приемов работы над задачей, элементов творческого мышления учащихся наряду с реализацией непосредственных целей обучения. Программой по математике для начальной школы предусмотрено использование различных приемов работы, и это нашло отражение в учебниках математики. Предлагаются задания: реши задачу другим способом, составь и реши обратную задачу, измени вопрос так, чтобы задача решалась в одно (два) действие и др. Каждый из приемов применяется с определенной учебной и развивающей целью. Однако такие задания выполняются в том случае, когда в учебнике дано соответствующее указание. Принято считать, что развитию математического мышления и творческой активности учащихся способствует решение нестандартных задач. Действительно, задачи такого рода вызывают у детей интерес, активизируют мыслительную деятельность, формируют самостоятельность, нешаблонность мышления. Но ведь почти каждую текстовую задачу можно сделать творческой при определенной методике обучения решению. Существуют приемы и формы организации работы при обучении младших школьников решению задач, которые, как показывает опыт, способствуют развитию творческой активности и мышления учащихся, вырабатывают стойкий интерес к решению текстовых задач и которые недостаточно часто применяются в практике работы.
Один из таких приемов работы над задачей — изменение вопроса задачи. Этот прием используется с различной дидактической целью.
Такой прием находит отражение в учебниках математики для I и II классов.
Крайне редко используется прием по изменению вопроса в III классе, несмотря на то, что применение его приносит большую пользу и позволяет более полно использовать условие той или иной задачи.
Поиск различных способов решения задачи – один из эффективных приемов, позволяющих глубже раскрыть взаимосвязь между величинами, входящими в задачу, и один из способов проверки решения задачи. Поэтому целесообразно направить деятельность учащихся на поиск решения, их сравнения и выбор рационального. Все это, несомненно, окажет положительное влияние на развитие мышления учащихся и умения решать задачи. Однако большую помощь для более глубокого осмысления взаимосвязей между величинами, входящими в задачу, окажет постановка продуманных вопросов и поиск ответов на них.
Целесообразность применения того или иного приема работы над задачей требует от учителя тщательного продумывания цели решения задачи, изучения содержания задачи, особенности ее решения.
1.2. Способы решения текстовых задач.
Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).
В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.
Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются отношения между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий.
Решение текстовой задачи арифметическим способом – это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:
1. Восприятие и анализ содержания задачи.
2. Поиск и составление плана решения задачи.
3. Выполнение плана решения. Формулировка вывода о выполнении требования задачи (ответа на вопрос задачи).
4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть.
Формулировка окончательного вывода о выполнении требования задачи или ответа на вопрос задачи.
Следует подчеркнуть, что в реальном процессе решения задачи отмеченные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Так, иногда уже при восприятии задачи решающий может обнаружить, что данная задача – известного ему вида и он знает как ее решать. В том случае поиск решения не вычленяется в отдельный этап и обоснование каждого шага при выполнении первых трех этапов делает необязательной проверку после выполнения решения. Однако полное, логически завершенное решение обязательно содержит все этапы. А знание возможных приемов выполнения каждого из этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным.
Основная цель первого этапа решения – понимание решающим в целом ситуации, описанной в задаче, понимание условия задачи, ее требование или вопроса, смысла всех терминов и знаков, имеющих в тексте.
Известно несколько приемов, применение которых способствует пониманию содержания задачи.
Прочитаем, например, такую задачу:
По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. Сначала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со средней скоростью 8 км/ч. от идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядим. Какое расстояние пробежит за это время собака?
Разобраться в содержании этой задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задать специальные вопросы по тексту и ответить на них.
1. О чем эта задача? (Задача о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется для каждого его участника скоростью, временем и пройденным расстоянием.)
2. Что требуется найти в задаче? (В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака за все это время.)
3. Что означают слова “за все это время”? (В задаче говорится, что собака бегает между мальчиками с “с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого”. Поэтому слова “за все это время” означают “за все то время с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого”.)
4. Что в задаче известно о движении каждого из участников его? (В задаче известно, что: 1) мальчики идут в одном направлении; 2) до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км; 3) скорость первого мальчик, идущего впереди, 4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч; 5) скорость бега собаки 8 км/ч;
6) время движения всех участников одинаково: это время от начала движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчиков, т.е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.)
5. Что дальше известно? (В задаче неизвестно, в течение какого времени второй мальчик догонит первого, т.е. не известно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собака, - это требуется узнать в задаче.)
6. Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения? (Искомым является значение величины – расстояния, которое пробежала собака за общее для всех участников время движения.)
Большую помощь в осмыслении содержания задачи и создания основы для поиска решения задачи оказывает переформулировка текста задачи – замена данного в нем описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные характеристики, но и более явно их выражающим. Особенно эффективно использование этого средства в сочетании с разбиением текста на смысловые части.
Направления переформулировки могут быть следующие: отбрасывание несущественной, излишней информации; замена описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замена некоторых терминов описанием смысла соответствующих понятий; переорганизация текста задачи в форму, удобную для поиска решения. Результатом переформулировки должно быть выделение основных ситуаций. Так, заметив, что речь в приведенной выше задаче идет о движении, ее можно переформулировать следующим образом:
“Скорость первого мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч (первая часть задачи). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время ходьбы мальчиков – это время, в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость бега собаки 8 км/ч. Время бега собаки равно времени ходьбы мальчиков до встречи. Требуется определить расстояние, которое пробежала собака.”
Учащиеся с первых дней учатся решать текстовые арифметические задачи. Но более глубокое изучение текстовых арифметических задач происходит в 3 классе.
В третьем классе продолжается работа по формированию у учащихся умения решать как простые, так и составные текстовые арифметические задачи различных видов. К этому времени учащиеся усваивают общее умение решать арифметические задачи: умеют анализировать задачу, выделяя данные и искомое, устанавливать соответствующие связи, на основе которых выбирают арифметические действия, выполнять решение и проверять его, умеют по разному оформлять решение. Это позволяет в большей мере, чем прежде, привлекать детей к самостоятельному решению не только задач знакомой структуры, но и новой, а следовательно, и закреплять это общее умение. С начала учебного года в этих целях можно использовать известную памятку “Как решать задачу”. За предшествующие два года обучения дети, кроме того, научились решать простые задачи различных видов, а также составлять задачи в два или три действия. Для закрепления умения решать эти задачи их надо предлагать в течение года для самостоятельного решения устно или с записью. При этом для развития учащихся весьма полезны упражнения творческого характера: составление задач и их решение, преобразование данных задач и их решений, сравнение задач, сравнение решений задач и т.п. Включая такие упражнения, важно соблюдать дифференцированный подход, учитывая разную степень готовности учащихся к их выполнению.
В 3 классе вводятся новые виды простых и составных задач. В методике работы по решению каждой из них просматриваются, как и ранее, определенные этапы. Сначала идет подготовка к введению задач нового вида, которая сводится к выполнению специальных упражнений, предусмотренных в учебнике или составленные учителем. Далее идет ознакомление с решением задач нового вида: под руководством учителя, с большей или меньшей долей самостоятельности, ученики решают задачу или несколько задач. В дальнейшем ведется работа по совершенствованию умения решать задачи рассмотренного вида. Как правило, на этом этапе ученики решают задачи самостоятельно устно или с записью решения, при этом используют различные формы записи: отдельными действиями с пояснением в утвердительной или вопросительной форме, а также без пояснений, в виде выражения. Здесь также эффективны различные упражнения текстового характера. Очень важно научить детей выполнять проверку решения задач новых видов и чаще побуждать их проверять решения. Сообразуясь с целями работы, следует каждый раз подбирать соответствующую форму организации занятий: продумать, будут ли дети решать задачи индивидуально или объединяться группами (парами, тройками или по- другому).
Рассмотрим особенности методики обучения решению каждой из задач ново математической структуры.
К новым видам простых задач относятся задачи на увеличение (уменьшение) данного числа или значения величины на несколько единиц или в несколько раз, сформулированные в косвенной форме; задачи на вычисление времени; задачи, с помощью которых раскрывается связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием.
Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, сформулированные в косвенной форме, легко преобразовать в задачи, сформулированные в прямой форме, используя знание отношения: если первое число больше (меньше) второго на несколько единиц, то второе число меньше (больше) первого на столько же единиц. Таким образом, до введения задач в косвенной форме надо воспроизвести знание этого отношения. Ученики сами могут сформулировать соответствующий вывод после решения задачи на разностное сравнение с двумя вопросами. Например: “В школьном шахматном турнире участвовало 46 мальчиков и 24 девочки. На сколько больше мальчиков, чем девочек участвовало в турнире? На сколько меньше девочек, чем мальчиков участвовало в турнире?” Решив задачу, ученики объясняют, что девочек было на столько же меньше, чем мальчиков, на столько мальчиков было больше, чем девочек. В результате ряда аналогичных наблюдений ученики могут сформулировать вывод в обобщенном виде.
При ознакомлении с решением задач, сформулированных в косвенной форме, можно сначала решить задачу, сформулированную в прямой форме, а от нее перейти к задаче того же вида, сформулированной в косвенной форме.
Аналогично вводятся задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, сформулированные в косвенной форме. При этом надо предусмотреть их сравнение с соответствующими задачами на увеличение и уменьшения числа на несколько единиц.
Задачи на вычисление времени трех видов (нахождение продолжительности события, его начала и конца) рассматривались и ранее, но их решение выполнялось подсчетом минут, часов, дней (суток) по циферблату часов или календарю. Здесь же при решении таких задач выполняются арифметические действия – сложение или вычитание. Циферблат или календарь также можно использовать как для решения, так и для проверки решения.
С помощью решения простых задач, включающих в величины: скорость, время и расстояние, раскрывается связь между этими величинами при равномерном движении, что служит подготовкой к введению составных задач на движение.
В 3 классе вводятся также составные задачи новой математической структуры: задачи на пропорциональное деление разных видов, задачи на нахождение неизвестных по двум разностям разных видов, задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях, задачи на совместную работу. Раскроем особенности работы по решению этих составных задач.
Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение четвертого пропорционального. Именно поэтому предпочтительней второй из названных вариантов введения задач на пропорциональное деление.
Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких величинах идет речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице, предварительно расчленив вопрос задачи на два вопроса, если в нем есть слово каждый. Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор ведется только с отдельными учениками. Вместо краткой записи можно сделать рисунок. Например, если в задаче говорится о кусках материи, мотках проволоки и т.п., то их можно изобразить отрезками, записав соответствующие числовые значения данных величин. Заметим, что не следует каждый раз выполнять краткую запись или рисунок, если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решить, то пусть решает, а краткой записью или рисунком воспользуются те, кто затрудняется решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путем введения дополнительных данных (например: “В первом куске было 16 м материи, а во втором в 2 раза меньше…”) или постановкой вопроса (например: “На сколько метров материи было больше в первом куске, чем во втором?).
При ознакомлении с решением задачи на непропорциональное деление можно иди другим путем: сначала решить готовые задачи, а позднее выполнить преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения.
Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения творческого характера. Назовем некоторые из них.
До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе большее число и почему, а после решения проверить, соответствую ли этому виду полученные числа, что явится одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа и при каких условиях.
Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их, а также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с величинами: ценой, количеством и стоимостью – предложить составить и решить похожую задачу с теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и расстоянием. Это составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач по их краткой схематической записи (см. приложение 1).
Ученики называют величины, подбирают и называют соответствующие числовые данные, формулируют вопрос и решают составленную задачу. Такую схематическую запись можно выполнить на листе бумаги, причем название величин можно записать на карточках и вставить их в верхнюю графу (цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса и др.). Можно предлагать для составления задач краткую запись с числовыми данными или рисунок. Позднее, после рассмотрения задач на пропорциональное деление второго вида и задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить упражнения на преобразование задачи одного вида в другой, а после их решения выполнить сравнение самих задач и решений этих задач.
Работа по ознакомлению с решением задач на пропорциональное деление второго вида может быть проведена аналогично рассмотренной. При решении задач этого вида ученики должны выполнять работу с большей долей самостоятельности, поскольку эти задачи сходны с задачами ранее рассмотренного вида (их решение отличается последними действиями: если ранее это было умножение, то здесь – деление). Однако сходство задач приводит к ошибкам: некоторые ученики смешивают решения этих задач, выполняя вместо деления умножение. Одним из средств предупреждения таких ошибок служит решение пар задач различного вида и последующее сравнение самих задач, а также их решений. Приведем пару таких задач:
1) В столовую в первую неделю привезли 4 одинаковых мешка крупы, а во вторую – 5 катких же мешков. Всего за эти две недели привезли
540 кг крупы. Сколько килограммов крупы привезли в каждую неделю?
2) В столовую за две недели привезли 9 одинаковых мешков крупы. В первую неделю привезли 240 кг крупы, а во вторую – 300 кг.
Сколько мешков крупы привезли в каждую неделю.
Записав каждую задачу кратко, ученики легко установят, в чем их сходство и в чем различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем – различие (в первой задаче два последних действия – умножение, а во второй – деление). Заметим, что пары таких задач включены в учебник.
До ознакомления с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям важно предусмотреть специальные подготовительные упражнения, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи.
После подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Здесь, как и при ознакомлении с задачами на пропорциональное деление, можно использовать различные пути: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав знакомую задачу на нахождение четвертого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и в другом случае надо записать кратко в таблице или выполнить рисунок и после того коллективного составления плана записать решение (лучше отдельными действиями с пояснениями).
На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать упражнения аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида.
По аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решении. Полезны также упражнения по сравнению задач на пропорциональное деление и задач соответствующего вида на нахождение неизвестных по двум разностям.
После того как в процессе решения простых задач ученики усвоят связи между величинами: скоростью, временем и расстоянием, включаются составные задачи с этими величинами различной математической структуры, причем задачи этих видов были введены ранее, но они включали другие величины (задачи на нахождение суммы или разности двух произведений или двух частных, задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление и др.). Среди составных задач особое внимание должно быть уделено задачам на встречное движение и в противоположных направлениях. Содержание этих задач включает новый элемент: здесь представлено совместное движение двух тел, что требует специального рассмотрения.
До введения задач на встречное движение важно провести соответствующую подготовительную работу. Надо познакомить с движением двух тел навстречу друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе вызванные ученики. Например, два ученика-пешехода начинают двигаться одновременно от двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече останавливаются. Ученики наблюдают, что расстояние между пешеходами все время уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до стены и что каждый затратил на движение до встречи одинаковое время. Под руководством учителя выполняется чертеж. Можно провести наблюдение на улице за движением автомашин, пешеходов, велосипедистов и т. п. Расширить представления учащихся о встречном движении можно попутно с решением задач из учебника. С помощью упражнений надо выяснить, что значит «вышли одновременно» пешеходы, автомашины и т. п. и что при этом они были в пути до встречи одинаковое время. Необходимо также, чтобы ученики твердо усвоили связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении, т. е. умели решать соответствующие простые задачи.
При ознакомлении с решением задач на встречное движение можно на одном уроке ввести три взаимно обратные задачи. Сначала предложить задачу на нахождение расстояния, которое пройдут до встречи при одновременном выходе пешеходы, велосипедисты, поезда и т. п., если известны скорость каждого и время движения до встречи.
Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их выходе из одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж.
При ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке решить три взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решении.
На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач. Эффективны на этом этапе упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.
В 3 классе ученики знакомятся с новым для них способом на нахождение четвертого пропорционального – способом отношения. Поскольку математическая структура этих задач знакома учащимся, то представляется возможность создать при их решении проблемную ситуацию, а именно: предложить решить задачу уже известным способом. В дальнейшем ученики решают задачи преимущественно самостоятельно, причем при затруднении можно предложить им записать задачу кратко. Разбор и здесь проводится с теми учащимися, которые сами не могут решить задачу.
В программе по математике нет ограничений в отношении подбора задач, поэтому учитель может по своему усмотрению включать задачи и другой математической структуры. Вместе с тем надо учитывать основные требования программы в отношении уровня умений решать текстовые арифметические задачи учащимися, оканчивающими начальную школу: они должны приобрести твердые умения решать простые арифметические задачи на все действия, а также должны уметь решать несложные составные задачи в 2—3 действия.
При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления решения уравнения.
При решении любой задачи алгебраическим способом после анализа содержания задачи выбирается неизвестное, обозначается буквой, вводится в текст задачи, а затем на основе выделенных в содержании задачи зависимостей составляются два выражения, связанные отношением равенства, что позволяет записать соответствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения корни осмысливаются с точки зрения содержания задачи, а корни не соответствующие условию задачи отбрасываются. Если буквой обозначено искомое, оставшиеся корни могут сразу дать ответ на вопрос задачи. Если буквой обозначено неизвестное, не являющееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвязей его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой.
В начальном курсе обучения дети также знакомятся с графическим способом. Опираясь только на чертеж легко дать ответ на вопрос задачи. Иногда решение задачи графическим способом связано не только с построением отрезков, но и с измерением их длин.
При обучении решению текстовых задач необходимо достигнуть двух взаимосвязанных целей — обучить: 1) решению определенных видов задач; 2) приемам поиска решения любой задачи. Первая из них важна потому, что дает необходимый опыт и возможность выделить в решаемой задаче те подзадачи, решение которых известно. Кроме того, при решении каждой новой задачи можно использовать те способы и приемы, которые давали прежде положительные результаты. Но на практике приходится встречаться с задачами, при поиске решения которых никакой прежний опыт не помогает и требуется догадка, «открытие». Можно ли помочь ученику прийти к такой догадке, дать ему некоторое средство, помогающее «открытию?» При реализации идей развивающего обучения такая цель представляется даже более важной, так как помогает развитию таких когнитивных способностей, как умение проанализировать новую ситуацию, на основе проведенного анализа принять правильное решение, выработать план действий и суметь осуществить его.
Для того чтобы решить поставленную задачу, необходимо построить ее математическую модель, а затем применить известные методы для нахождения числового значения искомых величин. При этом основная трудность как раз и состоит в переходе от текста к математической модели. Для построения математической модели необходимо, прежде всего, реконструировать в воображаемом внутреннем плане описываемую в задаче ситуацию, затем выделить в ней существенные признаки и абстрагироваться от всего того, что является несущественным с точки зрения поиска ответа на поставленный вопрос. Например: «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин того и другого сукна купил купец, если синее сукно стоило 5 р. за аршин, а черное — 3 р. за аршин?» Сначала он пытается разделить 540 на 138, затем 540 на 5 и т. п.
Существенным является то, что речь идет о купце, о сукне синего и черного цвета. Поэтому задача не изменится, если ее сформулировать так: куплено два сорта материи по цене 3 р. и 5 р. за метр. Сколько куплено материи каждого сорта, если всего было куплено 138 м, а вся покупка стоила 540 р.?
Несущественным является и то, что речь идет о некоторой коммерческой операции. Задачу можно было бы сформулировать и так: из 540 м материи сшили 138 платьев и блузок. Сколько сшили платьев и сколько блузок, если известно, что на платье расходовали по 5 м ткани, а на блузку — по 3 м?
Что же существенно? То, что в задаче рассматриваются величины, связанные прямой пропорциональной зависимостью: количество купленной материи и ее стоимость (количество сшитых изделий и израсходованная ткань); то, что известна стоимость покупки (количество затраченной ткани), цена каждого вида материи (норма расхода на каждый вид изделия), количество всей купленной материи (вся израсходованная ткань); то, что неизвестно, сколько материи каждого вида куплено (сколько изделий каждого вида сшито).
Для поиска решения необходимо выявить зависимости между указанными величинами. Согласно существующей методике это делается с помощью некоторого рассуждения. Но, как показывает практика, подобное рассуждение трудно воспринимается младшими школьниками. Возникает вопрос, как провести необходимое для поиска решения задачи рассуждение наиболее доступным младшему школьнику образом. Для этого можно представить всю существенно важную информацию в наглядной и легко обозримой форме — в виде картинки, т. е. построить некоторую промежуточную графическую модель.
Почему предпочтение отдается графическим методам? Графическая информация легче для восприятия, более емкая (любой рисунок достаточно долго пришлось бы описывать словами), и, вместе с тем, может быть достаточно условной.
Требования, предъявляемые к графической модели предметной области задачи, можно сформулировать так. Она должна:
— «опредмечивать» абстрактные понятия;
— нести информацию лишь о существенных признаках задачи;
— давать возможность непосредственно усматривать зависимость между величинами, о которых идет речь в задаче;
— допускать ее практические преобразования;
— строиться на основании анализа текста задачи;
— не предъявлять неумеренных требований к графическим навыкам учащихся.
Рисование графической схемы, во-первых, (вставляет ученика внимательно читать текст задачи, во-вторых, позволяет перенести часть умственных действий в действия практические и закрепить результат в виде материального объекта, в-третьих, дает возможность искать решение самостоятельно.
Рассмотрим задачу: «В колхозе 40 автомашин – легковых и грузовых, причем на каждую легковую машину приходится четыре грузовые. Сколько легковых и сколько грузовых машин в колхозе?» Изобразим каждую машину палочкой (40 машин – 40 палочек) известно, что на каждую легковую машину приводится 4 грузовые. Поэтому отложим одну палочку – это легковая машина. Под ней положим 4 палочки – это 4 грузовые машины. Будем поступать так до тех пор, пока все 40 палочек не окажутся разложены. Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно сосчитать, сколько палочек положено в верхнем ряду и сколько палочек положено в нижнем ряду. Такое решение задачи можно назвать практическим. Это еще один из способов решения текстовых задач.
Обучение детей решению задач разными способами важно. Эта работа развивает логическое мышление, интерес к уроку математики. 1.3. Особенности работы над задачами по системе Л.В. Занкова.
Начальная школа все дальше и дальше уходит от традиционной методики математики. Появляются различные типы школ, вводятся альтернативные программы и учебники.
Наиболее распространенной среди альтернативных систем является дидактическая система, разработанная под руководством академика Л. В. Занкова. Эту систему учитель выбирает не только потому, что она привлекает своими принципами: обучение должно вестись на высоком уровне трудности, в быстром темпе; ведущая роль в обучении математике отводится теории, причем теоретические знания тесно связаны с обязательным осознанием учащимися процесса обучения.
Однако наблюдение за работой учителя, анализ результатов самостоятельных и контрольных работ говорит о том, что именно эти принципы в практике обучения реализуются недостаточно полно.
Прежде всего настораживает то, что зачастую наряду с учебниками математики И. Н. Аргинской на партах лежат и учебники М. И. Моро и др.
Конечно, творчески работающий учитель никогда не ограничится одним учебником, а будет стремиться использовать все богатство заданий других пособий, методических приемов, выбирая то, что наиболее подходит именно для его учеников. И с этим нельзя не согласиться.
Однако учитель должен задуматься и над тем, что обучение учащихся по двум учебникам, сильно отличающимся как содержанием, так и методическими подходами, приводит к нарушению целостности научно-обоснованной системы и порождает формализм и поверхностное изучение материала, приводит к перегрузке учащихся. Особенно это заметно при обучении решению текстовых задач, ибо, как показывает практика, именно здесь у учителя и учащихся возникают затруднения.
Это порождает крайне неверное мнение, что по системе Л. В. Занкова могут обучаться лишь избранные дети и работать избранные учителя.
Не будем утверждать или дискутировать о том, усваивают или не усваивают дети материал (известно, что методическая система Л. В. Занкова зарекомендовала себя и доказала высокую эффективность усвоения математических знаний и развития мышления учащихся), как и то, все или не все учителя смогут работать по данной системе.
Хотелось бы обратить внимание на то, что значительному большинству учителей (даже тем, кто прослушал курс переподготовки, где рассматривались и раскрывались принципы обучения, приемы и методы работы) нужна основательная помощь, которая заключалась бы в конкретизации методических приемов и методов работы, ибо отсутствие таковых приводит к противоречию между предлагаемыми принципами и их реализацией в практике.
Попытаемся проанализировать некоторые затруднения, возникающие у учителя и учащихся при решении текстовых задач.
Алгебраический метод решения задач вводится с I класса и уже к III классу становится основным методом решения. Как известно, алгебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и, кроме того, обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время. Видимо, эти преимущества и привели к тому, что значительная часть учителей отдает предпочтение при решении задач алгебраическому методу.
Однако существует и другое мнение о том, что арифметический метод решения задач развивает мышление не в меньшей степени, так как ученику необходимо разбить составную задачу на простые и на основе логически строгих рассуждении в определенной последовательности решить их. Арифметический способ решения требует большего умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию. Именно поэтому арифметический метод решения задач должен быть если не ведущим, то хотя бы полноправным методом решения задач в начальных классах.
Следует отметить, что арифметический способ решения доступен не всем учащимся так как мышление младшего школьника ноет наглядно-образный характер. Конкретное мышление младших школьников проявляется е том, что они могут успешно решить ту или иную задачу в том случае, если опираются не действия с реальными предметами. Поэтому для осознанного выбора действия, посредством которого решается задача, необходимо иллюстрировать задачную ситуацию, чтобы учащиеся осознали, почему и зачем выполняется то или иное действие.
Работу по формированию умения решать задачи "на предположение" арифметическим способом целесообразно начинать с первых задач, включенных в учебник математики, так как они содержат небольшие данные и задачную ситуацию можно легко проиллюстрировать.
Особого внимания и творческого подхода требуют задачи, предлагаемые в конце учебника. Именно на данном этапе обучения должно проявляться умение применять различные приемы и методы решения задач, умение анализировать, рассуждать, предлагать и проверять эти предположения, делать соответствующие выводы. Поэтому при решении задач учителю необходимо организовать работу таким образом, чтобы учащиеся находили различные способы решения, сравнивали их и выбирали наиболее легкий и рациональный.
Однако значительная часть учителей, следуя указаниям, предложенным к данной задаче, проводит работу над задачей, которая недостаточно полно реализует как обучающие, так и развивающие функции.
Чтобы усилить развивающий аспект обучения, полезно решить задачу арифметическим способом. Осознать выбор действий, посредством которых решается задача, поможет правильно выбранная наглядная интерпретация задачи.
Метод перебора при решении задач оказывает положительное влияние на развитие мышления учащихся, так как выбор предполагаемого ответа, соотнесение этого данного с условием задачи помогает осмыслению связей и зависимостей между величинами, входящими в задачу, развивает умение предвидеть, вырабатывает интуицию и последовательность рассуждении.
При сравнении способов решения выясняется, что одни учащиеся отдали предпочтение арифметическому способу, другие – по способу подбора. Тем не менее систематическая работа по решению задач разными способами, сравнение решений и их обсуждение, выбор рационального дает возможность лучше осознать связи и зависимости между величинами, формирует умение рассуждать, делать выводы и обосновывать их.
Все сказанное дает основание предполагать, что затруднения возникающие у учителя в процессе работы порождают мнение о том, что по данной системе развивающего обучения могут работать лишь избранные учителя. Однако это не так.
Учителю нужны методическая помощь, методические разработки и рекомендации, которые позволили бы сэкономить время на подготовку к уроку, сохранить уверенность, силу и энергию, необходимую для плодотворной и творческой работы. 1.4. Как составить и решить задачу по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова.
Начнем с очень простого, на первый взгляд, вопроса: "Что такое задача?" Или "Как узнать задачу?" Дети обязательно скажут: "Это там, где слова", ''Задача - это вопрос", "В ней обязательно что-то происходит". Правда, у нас очень умные дети? Тогда предложите им выбрать из предложенных записей задачу:
1. На склад привезли 3 т картофеля.
2. Сколько цветов в букете?
3. На празднике было 20 красных шаров, 10 зеленых и 15 синих. Сколько всей шаров было на празднике?
4. На сколько ящик массой 15 кг тяжелее ящика массой 8 кг?
5. В вазе 5 яблок и 7 груш. Найди общее количество фруктов.
С пунктами 1 и 2 не возникает проблемы, так как в первом нет вопроса, а во втором нет данных ("ничего неизвестно"). Текст под номером 3 позволяет сформулировав основные элементы задачи - условие и вопрос. А дальше, не давая детям опомниться вычеркнем тексты под номером 4 ("в нем нет условия") и номера 5 ("нет вопроса") и попросите оценить ваши действия. При внимательном рассмотрении окажется, что условие и вопрос задачи могут быть сформулированы в одном вопросительном предложении, а бывает и так, то вопрос "спрятан" в указание совершить какие-либо действия. Итак, казалось бы, простой вопрос о задаче открывает целую серию исследовательских уроков. Они будут продолжены по мере накопления возможных оснований для сравнения и классификации задач. Завершить данный урок можно открытием "маленькой тайны" (чем успокоим того ребенка, которого в задаче пока волнуют только действующие лица): задача имеет сюжет. Это слово может стать вашим "подарком" детям, а так как принято благодарить за презент, попросите ребят придумать разные задачки на какую-либо тему (тему дети могут выбрать сами).
Чтобы избавиться от "текстового страха", поставим перед собой первую задачу: научиться читать так, чтобы видеть за скорлупой слов математическое ядро. В схеме решения задачи появляется первый шаг: "Читаю задачу". Для учителя не является секретом, что текст читается дважды: цель первого прочтения -общее знакомство с задачей, второго - структурирование текста с помощью логических пауз, выделения голосом данных. Наш первый шаг относится к первому чтению задачи. Как же зафиксировать на бумаге результат второго? Если мы сумеем научить этому наших детей, то можно смело утверждать: половина проблем в решении задач снята!
По моему убеждению, каждый ученик должен "понимать", то есть уметь обрабатывать текст задачи.
Итак, выделив математическое ядро, читаем ее второй раз и ставим перед собой очень важную задачу: выделение величин и отношений между ними, которые заключены, как говорят дети, "в главных словах и числах (буквах)". Это второй шаг в решении любой задачи.
Можно с ребятами договориться подчеркивать эти слова карандашом в книге и цветным мелом на доске. Вопрос задачи всегда выделяем особо - это цель наших действий. Вот что получается:
Трусливый охотник перед охотой подкрепился двумя булочками, но струсил и так ослабел, что решил на охоту не идти. Подкрепившись еще тремя булочками, он осмелел, даже зарядил ружье, но снова струсил. Пришлось ему опять восстанавливать свои силы двумя булочками. Сколько всего булочек истратил охотник булочками на поддержку своих сил?
Текст уже не пугает; зрительно делается акцент на выделенные слова, а их стало во много раз меньше. Многие дети вздохнули с облегчением: "Задача- то - проще не бывает". Но "расслабиться" нам не дал ученик, которому математика дается труднее, чем остальным, и этот факт, как это ни парадоксально, помогает всем остальным более осознанно выполнять свои действия (как в поговорке "Не было бы счастья, да несчастье помогло"). Его вопрос: "Ребята, и все-таки, как узнать в тексте главные слова?" - слегка поубавил радость от кажущейся легкости. Этот ученик задал самый главный вопрос урока, заставив отрефлексировать способ действия. И не оказалось такого ученика, его роль должны взять на себя вы и попросить детей обсудить, по какому признаку они выделяют величины.
Первое, что предложили ученики, - это проверить, правильно ли в данной задаче они выделили слова. Ход был гениально простой: стереть с доски все слова, кроме выделенных. Получилось следующее:
...двумя булочками ... тремя булочками ... двумя булочками.
Сколько всего булочек?
Исключение части слов не повлияло на математическую модель задачи, то есть мы совершенно безболезненно можем понять, а следовательно, решить данную задачу. Немного погодя у нас родился второй способ выделения величин: не подчеркивание важных слов, а удаление несущественных (обратите внимание: дети сами нашли для себя более простой метод - метод исключения). Ученики подтолкнули меня к созданию нового вида заданий: каждая группа получает свой текст задачи; надо закрасить маркером все слова, оставив только важные. Соблюдается условие: текст с закрашенными словами передается по кругу другой группе, которая должна будет понять и решить задачу. Критерием правильности выступает возможность восстановления математической модели (не сюжетной!).
В процессе обсуждения выясняем, что выделять следует составные: числа (буквы) и наименование при них; действующие лица там, где есть сравнение; слова, указывающие на действия. Последнее указание надо тоже изучить подробно.
Хочу заметить, что процесс обработки текста важен не только в решении задач. Существует у учеников еще один любимый "штамп": "Я не понял задание". А что это значит? Казалось бы текст написан по-русски, чего же тут не понять? Проблема в том, что его нужно "перевести" с русского на математический язык и наоборот. Ребенок не выделяет для себя понятие, не видит указаний на совершение действий.
Итак, начав с решения простейшей задачи для первого класса, мы с вами столкнулись с более значимой проблемой - проблемой текста в математике. Каждый новый ответ в решении этой проблемы порождает несколько новых вопросов.
Мы прошли нелегкий путь знакомства с математическим текстом, а также важным шагом выделения величин. Познакомимся со следующими шагами:
3. Фиксирую условие схемы.
4. Пишу формулы.
5. Вычисляю, записываю ответ.
6. Возвращаюсь к тексту задачи, делаю проверку.
Причем такие важные моменты, как фиксация условия задачи схемы, запись формулы и вычисление с записью ответа, следует рассматривать в комплексе.
Для того чтобы увидеть, действительно ли ребенок умеет соотнести текст и схему, удобно воспользоваться обратной задачей: не по тексту изобразить схему, а по схеме восстановить текст.
На уроках контроля можно предложить проверить, правильно ли составлена схема по задаче. В этом случае можно воспользоваться приемом, предложенным Э.И. Александровой для установления взаимнооднозначного соответствия, - это проведение "дорожек" от слова к его изображению в схеме.
Для формирования действия контроля за результатом отлично подходят задачи, содержащие несколько вопросов или задачи, в которых идет указание на поиск нескольких величин словами "Найдите каждый…". Последний шаг – это оценка правдоподобности результата.
Действие оценки можно выделить в самостоятельные задания, которые могут звучать так: "Прочитав задачу, исключи те варианты ответов, которые противоречат сюжету", "Выбери те варианты, которые могут появиться в результате".
Отдельно следует рассматривать чисто математическую прикидку, которая будет зависеть от модели задачи. Чаще всего она заключается в соотнесении частей и целого, проверке использования различных величин в одном действии, а также в проверке используемых мер или наименований.
2. Практическая часть.
Учитель должен на практике руководствоваться теоретическими основами. Теория и практика неразрывно связана между собой и не могут существовать друг без друга. Рассмотрев и ознакомившись с теоретической основой решения задач, хотела бы полученные знания на практике. То есть рассмотреть, как лучше поставить вопрос к задаче, сделать краткую запись, как проанализировать задачу, каким способом легче решить задачу. А также рассмотреть задачи решаемые в третьем классе: задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, сформированные в косвенной форме; задачи на пропорциональное деление, задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, задачи на встречное движение и в противоположных направлениях и другие.
При анализе задачи от вопроса и от числовых данных можно выделить несколько этапов, достигнуть которые можно путем решения простых задач:
1. В одной стопке были несколько тетрадей и в другой стопке были тетради. Сколько тетрадей в двух стопках?
2. На одной тарелке лежало б яблок и на другой лежало несколько яблок. Сколько яблок лежало на двух тарелках?
3. На одном кусте 4 помидора, а на другом 5. Сколько всего помидоров на двух кустах?
Рассматривается первая задача. Ведется беседа:
— Условимся, что при анализе вопрос задачи будем обозначать прямоугольником со знаком вопроса. Чтобы дать ответ на вопрос задачи, что надо знать? (Сколько было тетрадей в первой стопке и сколько во второй.)
В прямоугольнике ставим знак вопроса — вопрос задачи. От этого прямоугольника проведем два отрезка и начертим два „других прямоугольника. Поскольку этих чисел в задаче не дано, то в прямоугольниках ставим знаки вопроса (рис. 1).
Рассматривается вторая задача. Учитель чертит на доске схему (рис. 2), сопровождая беседой:
[pic][pic] рис. 1 рис. 2
— Чтобы ответить на вопрос задачи, какие числа нам надо знать? (Сколько яблок лежало на каждой тарелке.)
— На первой тарелке лежало 5 яблок, поэтому в одном прямоугольнике пишем число 5. Сколько яблок было на второй тарелке, в задаче не сказано, поэтому во втором прямоугольнике ставим знак вопроса.
Учащиеся убеждаются в том, что и вторую задачу решить нельзя.
Наконец, рассматривается третья задача. Учитель чертит на доске схему (рис. 3) и ведет беседу.
— Чтобы ответить на вопрос третьей задачи, что нам надо знать? (Сколько помидоров было на первом и втором кустах.)
— Можем мы эту задачу решить? (Да, можем.)
— Что мы запишем в прямоугольниках? (В одном запишем число 4, а в другом — число 5.)
После этого учащиеся должны повторить рассуждение в связной форме: чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько помидоров было на первом кусте и сколько помидоров было на втором кусте. Оба эти числа нам известны. Чтобы решить задачу, надо к 4 прибавить 5, получится 9. Ответ 9 помидоров.
Затем решаются задачи в два и в три действия: «Отец и сын окапывали кусты смородины. Отец в час окапывал 5 кустов, а сын 3. Сколько времени они должны работать вместе, чтобы окопать 24 куста?» После уяснения и сокращения записи условия задачи учащиеся под руководством учителя разбирают ее подобно тому, как разбирали простые задачи. Затем ведется фронтальная беседа:
— Вопрос задачи обозначим знаком вопроса, записанным в прямоугольнике (рис. 4). рис. 4
Чтобы ответить на него, какие два числа надо знать? (Сколько кустов надо окопать (24 к.) и сколько кустов окапывали вместе за час отец и сын.)
— От прямоугольника со знаком вопроса на одну клетку ниже чертим два других прямоугольника. Что мы в них запишем? (В одном запишем число 24, а в другом поставим знак вопроса, так как неизвестно, сколько в час окапывали кустов отец и сын вместе.)
— Чтобы узнать, сколько в час окапывают кустов отец и сын вместе, что надо знать? (Сколько отдельно кустов окапывает отец — 5 к. и сын — 3 к.)
— От прямоугольника со знаком вопроса на одну клетку ниже начертим еще два прямоугольника. Что мы в них запишем? (В одном запишем число 5 — количество кустов, окапываемых в час отцом, а в другом число 3 — количество кустов, окапываемых в час сыном.)
После фронтального анализа учащиеся повторяют рассуждение в связной форме: чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько кустов надо окопать (24 к.) и сколько кустов в час окапывают вместе отец и сын. Для этого надо знать, сколько кустов отдельно окапывает в час отец (5 к.) и сколько кустов окапывает в час сын (Зк.) В первом вопросе узнаем, сколько кустов вместе окапывают в час отец и сын, в втором — сколько времени они окапывали.
Если разбор этой задачи ведется с числовых данных, то он сопровождаете беседой:
— Если отец в час окапывает 5 кустов, а сын 3 куста, то что можно узнать? (Сколы кустов в час они окапывают вместе.)
— Зная это и то, что им надо окопа 24 куста, что можно узнать? (Сколь времени, они должны работать вместе)
Далее решаются задачи в 4 и в 5 действий:
«Птицефабрика должна отправить в магазины 6000 яиц. Она уже отправила 10 ящиков по 350 яиц и 4 ящика по 150 яиц. Сколько яиц осталось отправить в магазины?»
Записывая сокращенно условие задачи с использованием числовых выражений, ведем рассуждение: если было 10 ящиков по 350 яиц в каждом, то яиц было 350·10. Отправила также 4 ящика по 150 яиц, это составляет (150·4) яиц.
Отправили: (350·10) яиц
(150· 4) яиц 6000 яиц
Осталось ?
Выполняя неполный анализ от вопроса, учащиеся рассуждают примерно так: «Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько всего яиц надо отправить (6000 яиц) и сколько яиц птицефабрика уже отправила. Чтобы узнать, сколько яиц фабрика отправила, надо знать, сколько она отправила в первый и во второй раз. В первом вопросе узнаем, сколько птицефабрика отправила яиц в 10 ящиках, во втором — сколько она отправила яиц в 4 ящиках, в третьем —сколько всего яиц птицефабрика отправила и в четвертом — сколько яиц осталось отправить. Схемы полного анализа (рис. 5) и неполного (рис. 6) наглядно показывают' преимущество и недостатки каждого из них.
Учащиеся, умеющие составлять план решения задачи, самостоятельно записывают решение по указанию учителя или в форме математического выражения, или по отдельным действиям.
Используя прием сравнения приведем пример решения задачи:
1) Нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, а другой — за 10 дней. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если будут работать вместе?
2) Библиотеке нужно переплести 1 500 книг. Одна мастерская может переплести эти книги за 15 дней, а другая — за 10. За сколько дней закончат работу эти мастерские, работая вместе?
Решение этих задач вызывает трудность у учащихся и поэтому традиционный поиск решения проводится под руководством учителя. Сначала ученики называют величины и записывают задачу кратко в виде таблицы.
|Красили в день |Время работы |Всего покрасили рам | |? |15 дн. |150 | |? |10 дн. |150 |
Затем, опираясь на записи в таблице, проводится разбор задачи, чаще всего от данных к вопросу, так как разбор задачи от вопроса вызывает затруднения у учащихся, а подобная краткая запись не помогает, а скорее тормозит поиск решения задачи. Действительно, знак фигурной скобки направляет на ложный путь выбора первого действия, так как дети прочно усвоили смысл этого знака, как суммы, как объединения множеств. И поэтому на вопрос: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?» — довольно часто можно услышать ответ: «Нужно найти, сколько всего дней они работали».
Первую задачу решаем коллективно с подробным анализом, а вторую предлагаем для самостоятельного решения. Опишем работу над задачей, проводимой на уроке. Учитель просит ответить на вопросы: сколько всего рам должен был покрасить маляр? За сколько дней может это сделать первый маляр? Что можно узнать, исходя из этих данных?
Аналогично ставятся вопросы, выясняется, сколько рам покрасит второй маляр за один день, сколько покрасят рам оба маляра за один день, работая вместе, и затем дается ответ на вопрос задачи. После этого составляется план, записывается решение задачи. Другая задача предлагается для домашнего решения.
Нельзя ли продумать и организовать деятельность учащихся при решении задачи несколько иначе?
Да, возможен другой подход, основанный на сравнении задач и их решений, тем более что содержание, структура задач и данные в их условии являются тем благодатным материалом для использования приема сравнения. Для этого можно предложить детям прочитать задачи, сравнить их условия, вопросы. Выяснить, чем похожи и чем отличаются задачи. Предложить подумать, можно ли, не решая задачи, установить одинаковые или разные числа получатся в ответе. Пусть учащиеся попробуют объяснить свои предположения. Если одинаковы, то почему? Если разные, то в каком отношении будут находиться эти числа, в какой задаче число в ответе будет больше и во сколько раз?
Устанавливая сходства и различия, на основе применения необоснованной аналогии (чем больше объем выполненной работы, тем больше потребуется времени для ее выполнения) большинство учащихся высказывают предположение (которое в данном случае оказывается ошибочным), что в ответе второй задачи число будет больше в 10 раз, чем в первой. В этом случае полезно провести беседу, в процессе которой попытаться убедить детей, что такого быть не может. Вопросы, предлагаемые детям, могут быть примерно такими:
— Сколько дней потребуется первому маляру, чтобы выполнить всю работу? (15 дней.)
— А второму? (10 дней.)
— Если оба маляра будут работать вместе, то больше или меньше потребуется им времени для выполнения всей работы? (Меньше, чем 10 дней.)
Аналогичные вопросы предлагаются и для второй задачи. Выясняется, что для выполнения всей работы двум, мастерским потребуется меньше, чем 10 дней. Таким образом, число в ответе второй задачи не может быть больше числа, которое получается в ответе первой задачи.
В процессе анализа задач учащиеся находят решения и записывают их:
Задача 1
1) 150: 15= 10 — рам красил первый маляр за один день.
2) 150:10=15—рам красил второй маляр за один день.
3) 10+15=25 — рам красили оба маляра за один день.
4) 150: 25 =6 — за 6 дней выполнят всю работу оба маляра, работая вместе. Задача 2
1) 1500:15= 100 — книг переплетает одна мастерская за один день.
2) 1500:10= 150 — книг переплетает другая мастерская за один день.
3) 100+150=250 — книг переплетают обе мастерские за один день, работая вместе.
4) 1500:250= б — за 6 дней закончат работу обе мастерские, работая вместе.
Решение задачи дает возможность убедиться, что предположение детей либо подтвердилось, либо опровергалось.
Для более глубокого понимания сути рассматриваемого вопроса, решения задачи, зависимости между величинами, входящими в задачу, полезно показать детям графическое решение. Для этого учитель заранее выполняет чертеж: |I |II |III|IV |V |VI |VI |V |IV |III|II |I |
Пояснить построение чертежа можно примерно так: «Обозначим число рам длиной данного отрезка. Эту работу маляр может выполнить за 15 дней. Значит, в день он выполняет 1/5 часть (показывает на чертеже). Второй выполняет эту " работу за 10 дней, в день он выполняет 1/10 часть (показать на чертеже). За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, работая вместе? Будем считать: I — пятнадцатую часть, II — десятую (показывается на чертеже), во второй день—пятнадцатую часть первый и десятую — второй и т. д. Дети считают число дней и убеждаются, что и в первой и во второй задаче получится одинаковое число дней, независимо от объема выполненной работы.
Такая деятельность по решению задач будет в большей мере способствовать формированию творческой активности и мышления учащихся, возможности глубже осмысливать взаимосвязи между величинами, входящими в задачу, формированию осознанного поиска решения задач.
Высокую умственную активность проявляют учащиеся, выполняя анализ неверного решения. Обратимся еще раз к рассмотренной выше задаче.
Дело в том, что многие учащиеся, не вдумываясь в условие задачи, решают ее следующим образом:
150: (15+10) =6.
Как поступить учителю в этом случае? Оставить без внимания неверное решение или обсудить его со всеми учащимися? Некоторые идут по первому пути, указывают ученику, что решение его неверно, и в процессе беседы подводят к нужному правильному решению, т. е. показывают образец рассуждений при решении данной задачи. Таким образом, методика обучения решению задач сводится к обучению по образцу.
Думается, что такой подход к обучению решению задач не всегда эффективен. Учитель должен внимательно относиться к каждой из совершаемых проб поиска пути решения задачи и в случае неудачи использовать ее с обучающей целью, с целью активизации мыслительной деятельности учащихся, т. е. каждое неверное решение должно быть проанализировано и установлена причина ошибочного решения. В данном случае можно поступить следующим образом. Записать решение на доске и, используя фронтальную беседу, доказать необоснованность данного решения. Для этого нужно предложить детям проверить, правильно ли выбраны действия. Обратить внимание на первое действие и, соотнеся его с условием задачи, выяснить, что обозначает каждое число.
— Что обозначает число 15? (За 15 дней первый маляр может выполнить всю работу.)
— Что обозначает число 10? (За 10 дней второй маляр может выполнить всю работу.)
— Если оба маляра будут работать вместе, больше или меньше они затратят времени, чтобы покрасить 150 рам? (Меньше; меньше, чем 10 дней.)
— Что же могло обозначать число 25, полученное в данном действии? (Число дней, которое необходимо для покраски 300 рам, при условии, что первый маляр красит 50 рам, затем начинает работать другой маляр, и заканчивают свою работу за 10 дней.)
Полезно рассмотреть и второе действие. Выяснить, что при делении числа рам (150) на число дней (25) в результате случается число рам (6), а в задаче спрашивается о числе дней, за которое могут окрасить оба маляра 150 рам, работая месте.
Такое обсуждение активизирует мыслительную деятельность учащихся, вырабатывает привычку не начинать поиск решения задачи без глубокого, полного анализа задачи, создает условия для эффективного формирования общего умения решать задачи.
Задачи на пропорциональное деление.
Первой лучше включить задачу с величинами: ценой, количеством и стоимостью, поскольку связи между ними усвоены учащимися лучше, чем связи между другими величинами. Учитель предлагает составить задачу по ее краткой записи (запись выполнена на доске):
Ученики составят примерно такую задачу:
«Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, а второй 5 марок. Марки первого мальчика стоили 35 к. Сколько стоили марки второго мальчика?» Ученики устно решают эту задачу и узнают, что марки второго мальчика стоили 25 к. Учитель записывает это число. В таблице вместо вопросительного знака и предлагает найти сумму чисел, обозначающих стоимость марок. Выясняется, что 60 к. уплатили за марки оба мальчика. В краткую запись вносятся изменения:
Ученики составляют задачу по этой краткой записи: «Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, второй — 5 марок. Всего они уплатили 60 к. Сколько стоили марки первого мальчика? Сколько стоили марки второго мальчика?» Учитель предлагает детям попытаться самостоятельно решить задачу, ответив на первый вопрос. С теми, кто затруднится это сделать, проводит разбор, предлагая вопросы:
«Что требуется узнать в задаче? Можно ли сразу узнать, сколько стоили марки первого мальчика? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать, сколько марок купили на 60 к.? Почему можно? Что узнаете первым действием? вторым? третьим? четвертым?» Решение лучше записать отдельными действиями с пояснениями. Для проверки решения можно выполнить сложение чисел, полученных в ответе, если их сумма будет равна числу 60, то решение выполнено верно. Надо пояснить, что два вопроса в таких задачах обычно заменяют одним вопросом со словом каждый, например: «Сколько стоили марки каждого мальчика?» Важно подчеркнуть, что здесь два вопроса и при решении будет два ответа.
Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям.
Пусть надо решить задачу: «В киоске продали по одинаковой цене 12 синих стержней для ручек и 8 черных. За синие стержни получили на 32 к. больше, чем за черные. Сколько стоили синие стержни? Сколько стоили черные стержни?» Выделив величины, данные в задаче, ученики записывают задачу кратко на доске и в тетрадях:
Проводится беседа: «Почему за синие стержни уплатили больше денег, чем за черные? (Синих стержней купили больше.) За сколько синих стержней уплатили столько же, сколько за все черные стержни? (За 8 стержней.) Сколько уплатили за остальные синие стержни? (32 к.) Нельзя ли узнать, сколько стержней купили на 32 к.? (Можно.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, сколько стержней стоили 32 к., выполнив вычитание; затем узнаем, сколько стоил 1 стержень, выполнив деление; далее узнаем, сколько стоили синие стержни и сколько стоили черные стержни действием умножения.)»
Задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях. Например:
«Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 2 ч. Скорость одного из них 11 км/ч, а другого 13 км/ч. Найти расстояние между поселками». После чтения задачи выполняется под руководством учителя чертеж:
Выясняется, что каждый велосипедист был в пути до встречи 2 ч, что первый пройдет до встречи меньшее расстояние, так как он двигался с меньшей скоростью, и что расстояние между поселками складывается из расстояний, пройденных каждым из велосипедистов до встречи. После этого, как правило, ученики сами составляют план решения: узнаем расстояние, пройденное первым велосипедистом до встречи, выполнив умножение; затем узнаем расстояние, пройденное вторым велосипедистом до встречи, выполнив умножение; после чего найдем расстояние между поселками, сложив оба расстояния. Решение лучше записать отдельными действиями с пояснениями.
Для разбора решения этой задачи другим способом можно проиллюстрировать движение, вызвав к чертежу двух учеников. Учитель ведет объяснение: «Вы будете велосипедистами. Покажите указкой, откуда вы начали движение. Вы начали двигаться одновременно и ехали 1 ч. Сколько километров проехал за это время каждый из вас? (11 км и 13 км.) Подпишем 11 км и 13 км на чертеже. На сколько километров вы сблизились за 1 ч? (На 24 км.) прошел еще 1 ч. На сколько километров вы еще сблизились? (На 24 км.) Встретились ли велосипедисты? (Да.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, на сколько километров сближались велосипедисты в час, выполнив сложение; затем найдем расстояние между поселками, выполнив умножение.)» Эти два способа решения надо сравнить и. оценить, какой из них рациональнее.
Задачи, обратные данной, ученики могут составить сами по преобразованным чертежам, которые выполняет учитель. Сначала искомым становится время движения до встречи, а затем скорость одного из велосипедистов. Вот эти измененные чертежи:
План решения той и другой задачи ученики могут составить сами. Решение лучше записать отдельными действиями. Затруднение обычно вызывает один из способов решения последней задачи (48:2=24, 24-13= 11). В этом случае, обращаясь к иллюстрации, надо показать, что в каждый час велосипедисты сближались на одинаковое расстояние, поэтому легко узнать, на сколько километров они сближались в час, выполнив деление (48:2=24), зная это и скорость одного из них, можно найти скорость другого (24—13=11).
Теперь полезно сравнить задачи, выявив сходное (все задачи на встречное движение, в них одинаковые величины) и различное (в первой задаче находили расстояние по известным скорости каждого велосипедиста и времени движения до встречи; во второй задаче находили время движения до встречи по известным расстоянию и скорости каждого велосипедиста; в третьей задаче находили скорость одного из велосипедистов по известным расстоянию, времени движения до встречи и скорости другого велосипедиста). Сравнив решения, ученики должны заметить, что каждую задачу можно решить двумя действиями, причем в этом случае первым действием находили, на сколько километров сближались велосипедисты в час, но при решении первой и второй задачи это находили сложением, а при решении третьей задачи — делением. Далее, как и в других случаях, на последующих уроках ученики решают задачи этих видов сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно. Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставить вопросы вида: «Могли ли велосипедисты (теплоходы и т. п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи продолжат движение, то какой из них приедет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью?»
Рассмотрим задачу, решающуюся несколькими способами:
«В зале 8 рядов стульев, по 12 стульев в каждом ряду. В зал пришли ученики из двух классов, по 42 ученика в каждом. Хватит ли стульев для учеников? Если останутся незанятые, то сколько?»
Используя разбор задачи от данных к вопросу, дети легко получили решение, рассуждая следующим образом: «Зная, что в зале 8 рядов по 12 стульев в каждом ряду, найдем, сколько всего стульев в зале: 12(8=96. Теперь определим, сколько стульев будет занято, т. е. узнаем, сколько учеников в двух классах. Столько же будет занято и стульев: 42(2= 84. Сравним теперь число всех стульев - 96 и число стульев, которые займут ученики двух классов, - 84. 96>84, значит, стульев хватит. 96—84=12. 12 стульев останутся незанятыми».
Чтобы отыскать другие способы решения, я предложила детям представить, как могли ученики двух классов войти в зал и в соответствии с этим дополнить условие задачи. Рассуждая, сопоставляя, дети отыскали три способа решения. И эти три способа записали в тетрадь:
II способ
1) 2.8=96
2) 96-42=54
3) 54—42=12
О т в е т. 12 стульев останутся незанятыми.
Вначале свои места заняли ученики одного класса, а затем другого.
III способ
Всех учащихся рассадили так, чтобы все места в ряду были заняты, т. е. в каждом ряду было по 12 человек:
1) 42(2=84 — места займут ученики двух классов;
2) 84:12= 7 — рядов займут ученики двух классов;
3) 8-7= 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми.
Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.
IV способ
Стулья в зале распределили поровну между классами, т. е. по 48. Поэтому сначала узнаем, сколько незанятых стульев осталось у каждого класса.
1) 12(8== 96 — всего стульев в зале;
2) 96:2=48—стульев для каждого класса;
3) 48-42== 6 — незанятых стульев у каждого класса;
4) 6•2== 12 — всего незанятых стульев. Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.
Дети были удивлены, что задача имеет столько способов решения, и довольны, что нашли их. Но когда я сказала, что эта задача имеет еще столько же и даже больше решений, удивлению не было границ. Ребятам захотелось тут же отыскать их, но поскольку урок подходил к концу, они попросили остаться после уроков, чтобы в тот же день попытаться выявить все способы.
На этом дополнительном занятии опиралась на способных ребят, вовлекала их в самостоятельный поиск, предлагая им представить, как еще можно рассадить учеников: чтобы все ряды заполнялись учениками равномерно и каждый ряд был хотя бы частично занят; чтобы все места в рядах были заняты; чтобы оба класса рассаживались одновременно; рассаживались порознь; чтобы для каждого класса выделялось поровну мест в зале или поровну (по 6) в каждом ряду
Чтобы дети лучше могли представить все ситуации, на доске нарисовали 8 рядов, по 12 кружков в каждом ряду.
Вот какие решения мы нашли, причем некоторые способы отыскали сами дети.
V способ
1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, оставшихся 6 учеников посадили в 4- й ряд;
2) 12-6= 6 —учеников из другого класса тоже посадили в 4-й ряд;
3) 42-6= 36 — учеников остается посадить на другие ряды;
4) 36:12=3 —еще 3 ряда займут ученики другого класса;
5) 4+3= 7—рядов занято;
6) 8-7 = 1 — ряд или 12 стульев не заняты.
Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.
VI способ
1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, 6 учеников не посажено;
2) 42+6== 48—учеников осталось посадить;
3) 48:12== 4—ряда займут оставшиеся ученики;
4) 4+3== 7—рядов занято;
5) 8-7= 1 — ряд или 12 стульев не занято.
VII способ
1) 8:2== 4 — ряда для каждого класса;
2) 12 • 4= 48 — стульев выделили для каждого класса;
3) 48-42== 6—стульев остается незанятыми в каждой части зала, выделенной каждому классу;
4) 6-2== 12—стульев останутся незанятыми.
VIII способ
1) 42(2= 84—ученика нужно посадить;;
2) 84:8== 10 (ост. 4) — 10 учеников в каждом ряду и 4 учеников пока не посадили, если будем сажать поровну на каждый ряд;
3) 12-10== 2 — по 2 стула осталось незанятыми в каждом ряду;
4) 2-8== 16—всего 16 стульев осталось после того, как рассадили по 10 учеников в каждом ряду;
5) 16-4== 12 — стульев остались незанятыми, после того как 4 оставшихся учеников посадили на места из оставшихся 16;
IX способ
1) 12-8== 96—всего стульев в зале;
2) 96:42=2 (ост. 12)—2 класса можно посадить и 12 мест останутся незанятыми.
Х способ
1) 12:2=6 — по 6 стульев в ряду выделили для класса, если будем рассаживать на каждый ряд поровну учеников из одного и другого класса;
2) 42:6== 7 — рядов займет каждый класс;
3) 8—7== 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми
Дети просто были потрясены таким обилием способов. И поскольку ситуация задачи несложна для представления (тем более что на рисунке на доске показывали, как они «рассаживают» учеников), записывали мы только некоторые способы с самой короткой записью. Остальные выполняли устно с показом на рисунке, определяли самый рациональный способ.
Потом оказалось, что эта задача имеет еще по крайней мере, четыре способа решения. Приведем один из них.
XI способ
1) 42-2 ==84—ученика в двух классах и 84 стула нужно для всех;
2) 96:84= 1 (ост. 12) — 1 раз по 84 стула содержится в зале и 12 стульев останутся незанятыми.
Работа по отысканию разных способов решения задач так заинтересовала детей, что если даже на уроке не планировалось решение задач несколькими способами, учащиеся самостоятельно находили их. Всегда были дети, которые стремились решить задачу нетрадиционным способом.
Рассмотрим несколько задач, решаемых по системе Л.В.Занкова арифметическим и алгебраическим способом:
Задача №1
"Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов. На каждую тетрадь первого сорта расходовали по 8 листов, а на каждую тетрадь второго сорта - по 12 листов. Сколько сделали тетрадей каждого сорта?" К задаче даны два указания:
1. Решить задачу алгебраическим способом.
2. Предложить свое задание к задаче.
Следуя указанию учебника, учитель подводит учащихся к составлению уравнения, рассуждая примерно так: "Обозначим буквой х - число тетрадей первого сорта, тогда тетрадей второго сорта будет (60 - х). Известно, что на тетрадь первого сорта расходовали 8 листов, значит, (8х) листов расходовали на тетради первого сорта. На тетрадь второго сорта расходовали 12 листов. Следовательно, на тетради второго сорта израсходовано 12 (60-х) листов. Теперь можно найти, сколько всего листов израсходовано:
(8х + 12 (60-х), а это по условию равно 560. Составим уравнение: 8х + 12 (60 - х) = 560. Используя дистрибутивный закон (правило умножения числа на разность), дети записывают уравнение: 8х + 720 - 12х = 560.
И если составление уравнения не вызывает затруднений у учащихся, то при его решении возникают определенные трудности.
Действительно, действия с отрицательными числами будут изучаться позднее, а решение требует выполнения операций над ними.
Приведем образец решения уравнений.
8х+ 12 (60-х) =560
8х+720-12х=560
8х + 720 - 720 - 12х = 560 - 720 (из обеих частей уравнения вычли по
720)
8х- 12х =-160
(8 - 12)х = - 160 (применили дистрибутивный закон умножения относительно вычитания, вынесли неизвестное число х за скобки)
-4х=-160 х=(-160):(-4) х=40
Итак, чтобы найти неизвестное число, нужно обе части уравнения разделить на (- 4), т.е. необходимо провести операции с отрицательными числами, а понятие об отрицательном числе будет изучаться позднее.
Чтобы избежать этого, учитель может попытаться решить это уравнение следующим образом:
8х+ 12(60-х)=560
8х+720- 12х =560
8х+720+12х-12х=560+12х прибавим 12х
8х+720=560+ 12х
8х - 8х + 720 = 560 + 12х - 8х вычитаем из обеих частей 8х
720 = 560 + (12 - 8)х выносим за скобки х
720 - 560 = 560 - 560 + 4х вычитаем из обеих частей 560
160=4х х= 160:4 х=40
Согласитесь, что подобные рассуждения слишком громоздки и затруднительны. Зная это, учитель подводит учащихся к другому уравнению, решение которого легче и понятнее детям. Рассуждения примерно таковы: "Пусть х - число тетрадей второго сорта. Тогда (60-х) - число тетрадей первого сорта. На тетради второго сорта пошло 12х листов, а на тетради первого -8 (60 - х) листов. На все тетради пошло 12х + 8 (60 - х) листов бумаги. По условию задачи это равно 560 листам". Составляем уравнение:
12х+8 (60-х) =560
12х+480-8х=560
12х-8х =560-480
(12-8)х=80
4х=80 х = 80 : 4 х=20
Ответ: 20 тетрадей второго сорта, 40 тетрадей первого сорта (60 - 20 = 40).
Рассуждения учителя и учащихся могут быть примерно такими: "Предположим, что все тетради были тетрадями первого сорта. Тогда потребовалось бы 8 • 60 = 480 листов бумаги. Но в условии задачи сказано, что пошло 560 листов, т.е. израсходовано больше, чем предположили, на 80 листов (560 - 480 = 80) за счет того, что были тетради другого сорта, на которые шло по 12 листов. На одну тетрадь второго сорта расходовали больше на 4 листа. Итак, на все тетради второго сорта израсходовали на 80 листов больше, а на каждую тетрадь - на 4 листа больше. Это значит, тетрадей второго сорта будет столько, сколько раз укладывается 4 в числе 80: 80:4 = 20 (тетрадей). Чтобы найти число тетрадей первого сорта, нужно из 60 вычесть 20". Затем записывается решение задачи:
1)80-60=480
2) 560 - 480 = 80
3) 12-8=4
4) 80 : 4 = 20
5) 60 - 20 = 40
Второй арифметический способ решения основан на предположении, что все тетради были второго сорта.
Аналогичные рассуждения приводят к решению:
1) 12 • 60 = 720 тетрадей
2) 720 - 560 = 160 тетрадей
3) 12-8 =4 тетради
4) 160 : 4 = 40 тетрадей
5) 60 - 40 = 20 тетрадей
Ответ: 40 тетрадей первого сорта, 20 тетрадей второго сорта.
Возможны и другие способы решения задачи. Например:
1) 12.60=720
2)720-560= 160
3)12-8=4
4) 160:4=40
5) 8 • 40 = 320
6)560 - 320 = 240
7)240: 12=20
Задача №2
«На запасных путях стояло 2 железнодорожных состава. В первом составе было на 12 вагонов больше, чем во втором. Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, в первом оказалось в 4 раза больше вагонов, чем во втором. Сколько вагонов было в каждом составе?»
К данной задаче даны три указания: 1) решить задачу алгебраически; 2) найти среди решенных раньше задач похожую на данную решением; 3) составь свою задачу, которая будет иметь такое же решение.
При решении задачи алгебраическим способом учащиеся обозначают буквой х - число вагонов в первом составе, тогда во втором составе число вагонов (х - 12). В задаче сказано, что от каждого состава отцепили по 6 вагонов. Во втором составе оказалось (х - 18) вагонов, а в первом (х - 6) вагонов. В первом составе в 4 раза больше вагонов, чем во втором.
Составим уравнение: х - 6 = 4 (х - 18). При решении уравнения у учащихся появляются затруднения, связанные с тем, что возникает необходимость в выполнении действий с отрицательными числами: х - 6 = 4х- - 72 х - 4х = - 72 + 6
- 3х = - 66 х = (- 66): (- 3) х=22
Чтобы избежать таких недоразумений, учитель предлагает на основе изученных свойств числовых равенств (вернее, равносильности уравнений) неизвестное перенести в правую часть уравнения: х- 6=4 (х- 18) х - 6 = 4х - 72
- 6 = 4х - х - 72
-6 =(4-1) х-72
- 6 = Зх - 72
- 6 + 72 = Зх
72 - 6 = Зх
66=3х х=22
Как видим, решение уравнения вызывает затруднения у учащихся, и, предвидя это, учитель в процессе рассуждения подводит детей к уравнению, решение которого проще:
4 (х- 18)= х-6
4х - 72 = х - 6
4х-х-72=х-х-6
(4- 1) х-72 =-6
Зх = 72 - 6 х = 66 : 3 х = 22 (вагона в первом составе)
Ответ: в первом составе - 22 вагона, во втором - 10.
Обозначив буквой х число вагонов второго состава, в процессе рассуждении можно получить уравнение:
4 (х - 6) = х + 6
4х - 24 = х + 6
Зх = 6 + 24
Зх=30 х= 10
Таким образом, можно с уверенностью сказать, что при решении задач алгебраическим способом учителю необходимо продумать, какое неизвестное обозначить буквой, и подвести учащихся к уравнению, решение которого будет проще и понятнее для них.
Выполнение второго задания, предложенное автором, для данной задачи сводится к отысканию (узнаванию) среди решенных похожей задачи, что отнимает много времени и недостаточно эффективно с точки зрения развития умственных способностей.
Третье задание (составить задачу, похожую на данную) преследует такую же цель, как и второе.
Думается, в данном случае целесообразно решить задачу арифметическим способом. Для осознанного поиска решения задачи необходимо проиллюстрировать задачную ситуацию с помощью чертежа. Например, изобразить число вагонов второго состава отрезком АВ. От состава отцепили 6 вагонов (показываем на чертеже). Оставшееся число вагонов будет соответствовать отрезку СВ.
В задаче сказано, что вагонов осталось в первом составе в 4 раза больше, чем во втором. Значит, числу оставшихся вагонов первого состава будет соответствовать отрезок в 4 раза больше, чем отрезок СВ (показываем на чертеже отрезок ММ). Первоначально в первом составе было на 6 вагонов больше (показываем на чертеже). DN -отрезок, соответствующий 6 вагонам, тогда ОМ соответствует числу вагонов первого состава).
Рассматривая чертеж, необходимо обратить внимание детей на то, что отрезку КМ соответствует 12 вагонов. В задаче сказано "на 12 вагонов больше", и эти 12 вагонов приходятся на три равные части, каждая из которых равна отрезку СВ (числу вагонов, оставшихся во втором составе).
После такой наглядной интерпретации задачи дети самостоятельно записывают решение и поясняют каждое выполняемое действие:
1)4-1=3 (на 3 части больше осталось вагонов в первом составе)
2) 12 : 3 = 4 (вагона осталось во втором составе)
3) 4 + 6 = 10 (вагонов было во втором составе)
4) 10 + 12 = 22 (вагона было в первом составе)
При сравнении способов решения учащиеся приходят к выводу, что арифметический способ легче и понятнее, чем алгебраический.
Интересным для учащихся будет и решение данной задачи методом перебора.
Прежде всего определим, с какого числа можно (да и нужно) начинать подбор чисел. В задаче сказано, что от каждого состава отцепили по 6 вагонов и при этом вагоны еще остались. Значит, вагонов в составе было больше шести. В задаче также сказано, что в первом составе осталось вагонов в 4 раза больше, чем во втором. Значит, осталось четное число вагонов (любое число, умноженное на четное, есть число четное). Если отцепили 6 вагонов (а 6 -число четное), значит, вначале было тоже четное число вагонов (сумма двух четных чисел есть число четное). Во втором составе на 12 вагонов меньше, а это значит, что и во втором составе четное число вагонов. Итак, для пробы будем брать следующие числа: 8, 10, 12 и т.д.
Пусть во втором составе было 8 вагонов, тогда в первом их было 20 (8 + 12 = 20). Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, в первом оказалось 14(20-6=14), а во втором-2 (8 - 6 = 2). Проверяем, во сколько раз 14 больше, чем 2(14:2=7)-в7 раз. Это не соответствует условию задачи, так как число оставшихся вагонов первого состава должно быть в 4 раза больше, чем число вагонов второго состава. Пусть 10 число вагонов второго состава. Тогда число вагонов первого состава 22 (10 + 12 = 22).
От каждого отцепили по 6 вагонов: во втором осталось 4, в первом - 16 (10 - 6 = 4, 22 - 6 = 16). Проверяем, во сколько раз больше осталось вагонов в первом составе, чем во втором, и получаем 4(16:4=4), что соответствует условию задачи.
Ответ: в первом составе было 22 вагона, во втором — 10.
Заключение.
Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствуют развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности; для развития умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.
Решение задач разными способами, получение из нее новых, более сложных задач и их решение в сравнении с решением исходной задачи создает предпосылки для формирования у ученика умения находить свой «оригинальный» способ решения задачи, воспитывает стремление вести «самостоятельно поиск решения новой задачи», той, которая раньше ему не встречалась.
Задачи с многоспособовыми решениями весьма полезны так же для внеклассных занятий, так как при этом открываются возможности по настоящему дифференцировать результаты каждого участника.
Такие задачи могут с успехом использоваться в качестве дополнительных индивидуальных знаний для тех учеников, которые легко и быстро справляются с задачей на уроке, или для желающих в качестве дополнительных домашний заданий.
Список используемой литературы.
1. Бантова М.А. Решение текстовых арифметических задач. Журнал
«Начальная школа» №10-11 1989г. МОСКВА. “Просвещение”.
2. Баринова О.В. Дифференцированное обучение решению математических задач. Журнал «Начальная школа» №2 1999г. МОСКВА. “Просвещение”.
3. Вялова С. Как составить и решить задачу. Газета «Начальная школа»
№16, №19 1998г. МОСКВА.
4. Гребенникова Н.А. Ознакомление первоклассников с задачей. . Журнал
«Начальная школа» №10 1990г. МОСКВА. “Просвещение”.
5. Гребенникова Н.Л. Решение задач на зависимость величин разными способами. Журнал «Начальная школа» №2 1999г. МОСКВА. “Просвещение”.
6. Захарова Н.М. Простые задачи в системе УДЕ. Журнал «Начальная школа»
№3 1997г. МОСКВА. “Просвещение”.
7. Клименченко Д. Задачи с многовариантными решениями. Журнал
«Начальная школа» №6 1991г. МОСКВА. “Просвещение”.
8. Мельник Н.В. Развитие логического мышления при изучении математики.
Журнал «Начальная школа» №5 1997г. МОСКВА. “Просвещение”.
9. Мельникова Т.С. Таблицы по математике. Журнал «Начальная школа» №1
1990г. МОСКВА. “Просвещение”.
10. Моро М.И. Методические указания к демонстрационному материалу по математике. МОСКВА. “Просвещение”. №2 1999г.
11. Семья Ф. Совершенствование работы над составными задачами. Журнал
«Начальная школа» №5 1991г. МОСКВА. “Просвещение”.
12. Солнышко Г.М. Как научить ребенка самостоятельно решать задачи.
Газета «Начальная школа» №21 1998г. МОСКВА.
13. Стойлова Л.П. Основы начального курса математики. №2 1999г. МОСКВА.
“Просвещение”.
14. Целищева И.И. Моделирование в процессе решения текстовых задач.
Журнал «Начальная школа» №3 1996г. МОСКВА. “Просвещение”.
15. Шадрина И.В. Использование графических схем при работе над текстовой задачей. Журнал «Начальная школа» №3 1995г. МОСКВА. “Просвещение”.
16. Шикова Р.Н. Работа над текстовыми задачами. Журнал «Начальная школа»
№5 1991г. МОСКВА. “Просвещение”.
17. Шикова Р.Н. Особенности работы над задачами по системе развивающего обучения Л.В. Занкова. Журнал «Начальная школа» №4 1999г. МОСКВА.
“Просвещение”.
18. Шульга Р.П. Решение текстовых задач разными способами – средство повышения интереса к математике. Журнал «Начальная школа» №12 1990г.
МОСКВА. “Просвещение”.
Приложение 1.
Памятка
В задаче дано (говорится, что…)…
Спрашивается…
Рассуждаю (ребенок может выбрать способ рассуждения сам): а) от данных к искомой величине (перфокарта 1); б) от искомого к данным (перфокарта 2);
Решаю.
Проверяю.
Приложение 2.
Перфокарта №1
1. Зная, что красных шаров 7, а синих – на 3 больше.
2. Я могу узнать: синие шары – 7+3.
3. А чтобы узнать количество синих и красных шаров вместе, надо к красным шарам (7 штук) прибавить синие (10 штук). 7+10=17
4. Проверяю: 17-7=10, 10-7=3
Перфокарта №2
1. Для ответа на вопрос надо знать: а) количество красных шаров. б) количество синих шаров.
2. В задаче известно: красных шаров – 7 штук.
Неизвестно: количество красных шаров.
Но сказано, что их на 3 штуки больше (7+3).
3. Значит, сначала узнаю количество синих шаров:
7+3=10 шт.
Затем узнаю количество красных и синих шаров вместе: 7+10=17 шт.
4. Проверяю: 17-7=10, 10-7=3
Приложение 3.
Схемы-формулы, используемые при решении задач по системе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова.
Больше на … больше в … раз х=А+В у=АхВ
меньше на … меньше в … раз х=М-К у=М:К
Приложение 4.
Виды кратких записей задач.
Карточка №1. Задачи на нахождение суммы.
Карточка №2. Задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц.
Карточка №3. Задачи на нахождение остатка.
Приложение 5.
При решении задач на цену, количество и стоимость можно использовать данную схему:
При решении задач на движение можно использовать следующую схему (запомним, что латинской буквой “S” обозначается расстояние, буквой “t” – время, буквой “v” – скорость):
Приложение 6.
1. На каждой из двух полок было по 3 книги. Когда несколько книг добавили на вторую полку, то на ней стало 9 книг. Сколько книг добавили на вторую полку?
2. На первой полке было 3 книги, на второй – 9 книг. Во сколько раз уменьшили число книг на второй полке, если их стало столько же, сколько и на первой?
3. На двух полках книг было поровну. Когда число книг на второй полке увеличили в 3 раза, то их на второй полке стало 9, сколько книг сначала было на каждой полке?
4. На двух полках книг было поровну. Когда на вторую полку поставили еще 6 книг, то на второй полке стало 9 книг. Сколько книг было сначала на каждой полке?
5. На первой полке было 3 книги, на второй полке – 9 книг. Когда взяли несколько книг со второй полки, то их стало столько же, сколько на первой. Сколько книг взяли на второй полке?
Ниже приведены рисунки к задачам. Сопоставьте каждой задаче соответствующий рисунок.
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
Во сколько раз уменьшили…?
Приложение 7.
Порядок работы с задачей.
УСЛОВИЕ ЗАДАЧА РЕШЕНИЕ ПРОВЕРКА ОТВЕТ
ВОПРОС
Приложение 8.
Задача №1:
Рабочему поручено изготовить 30 деталей за 10 ч. Но рабочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин. Сколько деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени? (При решении 10 ч заменить минутами.)
Дополнительные задания:
1. Найдите два способа решения задачи.
2. Объясните, как рассуждал ученик, который решил эту задачу таким способом:
I способ
10 ч = 600 мин
1) 600:15=40 – деталей
2) 40-30=10 – деталей
II способ
1) 600:30=20 – минут
2) 20-15=5 – минут
3) 5·30=150 – минут
4) 150:15=10 – деталей
3. Решите эту задачу другими способами, отвечая на поставленные вопросы:
III способ
1) Сколько деталей стал делать рабочий за 1 ч?
2) Сколько деталей сделал рабочий за 10 ч?
3) Сколько деталей сделал рабочий сверх задания?
IV способ
1) Сколько минут должен был тратить рабочий на изготовление одной детали?
2) Сколько деталей сделал рабочий за 1 ч сначала?
3) Сколько деталей он стал делать потом?
4) На сколько больше деталей стал делать рабочий за 1 ч?
5) Сколько деталей сделал рабочий сверх задания?
4. Так как эта задача допускает еще и другой способ решения:
1) 15·30=450 – минут затратил рабочий на изготовление 30 деталей, расходуя на каждую по 15 мин.
2) 600-450=150 – минут осталось у рабочего на изготовление дополнительных деталей.
3) 150:15=10 – деталей сделал рабочий сверх задания, то можно предложить детям найти этот способ решения задачи.
Задачи, воспитывающие гибкость мышления, когда по одному действию требуется восстановить весь дальнейший ход рассуждения.
Задача №2:
Нужно привезти 540 т угля на трех машинах. За сколько дней это можно сделать, если на каждую грузить по 3 т и делать по 5 поездок в день?
Дополнительные задания:
1. Эту задачу можно решить разными способами. Закончите решение задачи другими способами:
I способ
1) 3·5=15 – тонн перевезет одна машина в день.
2) …
3) …
II способ
1) 3·3=9 – перевезут три машины за одну перевозку.
2) …
III способ
1) 540:3=180 – тонн нужно перевезти каждой машине.
2) …
3) …
2. Найдите еще другие способы решения этой задачи (их не менее 12). -----------------------
А
А
у
А
А
В
А
х
х
В раз
К раз
М
М
М
М
у
К
грибов.
5
У Саши
гриба.
2
У Маши
Сколько …… ?
пера.
4
У Нины
больше.
пера
У Миши
?
2
Сколько …… ?
василька
4
Было
2
Отдали
василька
?
Стало
Ст.
:
:
К
Ц
.
S
.
v
t
:
:
?
?
6
9
?
9
?
?
9
?
9
3
9
?
5
4
?
6 день
5 день
4 день
3 день
2 день
1 день
[pic]