О теоретических положениях динамики и устойчивости
бурильной колонны и способах их реализации на практике
Илья Барский, к.ф.-м.н., НПО «БУРОВАЯ ТЕХНИКА»
В
силу чрезвычайной сложности физических процессов, имеющих место при
строительстве и эксплуатации скважин, в бурении, прежде всего, ценится
практический опыт. Именно ему отдается предпочтение при принятии окончательных
технологических решений. В данной работе сделана попытка показать, что
теоретические исследования специфических особенностей процесса бурения,
приводящие к новым результатам, также могут быть весьма плодотворными.
Классическим
примером фундаментальной теоретической проблемы бурения является управление
динамикой бурильной колонны. Первым ученым, который рассмотрел статику и
динамику стержней, находящихся под действием собственного веса, был знаменитый
Леонард Эйлер. Анализируя динамическое уравнение Эйлера, академик Л.С.
Лейбензон высказал уверенность в том, что создание гидравлических двигателей,
расположенных у долота, ослабит подверженность колонны неуправляемым поперечным
колебаниям [1]. Изобретатель редукторного турбобура М.А. Капелюшников,
анализируя неуправляемое искривление скважин, подтвердил высказанное
Лейбензоном мнение [2]. К сожалению, эти ожидания не оправдались. В данной
статье мы, в частности, укажем причины, в силу которых это произошло.
Расчеты
американских специалистов [3], начавшиеся в 50-е годы XX века, основанные
исключительно на плоских статических моделях, оказали сильное влияние на
теоретические представления о поведении колонн и искривлении скважин. До сих
пор большинство расчетов бурильной колонны базируется на этих представлениях,
хотя нами были проанализированы ошибки А. Лубинского, его коллег и
последователей [4-6]. Там же впервые установлено, что статический подход может
давать удовлетворительные результаты только в отдельных частных случаях.
Специфическая зависимость устойчивого поведения колонны от таких важнейших
факторов, как измеренная глубина скважины и распределенная нагрузка
собственного веса, также была установлена в [4-6].
Данная
работа посвящена некоторым вопросам управления динамикой бурильной колонны и
начинается она с исследования влияния такого важного фактора, как крутящий
момент. Показано, что его воздействие на поведение колонны определяется не его
величиной, а возможным изменением характера выхода колонны из состояния
статического равновесия. Дело в том, что, как показано ниже, скручиваемая
колонна теряет устойчивость не путем статического изгиба, а по типу флаттера,
т.е. подводимая к колонне энергия преобразуется в энергию поперечных колебаний
с растущей по времени амплитудой. Стенки скважины ограничивают амплитуду колебаний
колонны, и в силу этого она вовлекается в прецессионное движение, бьется о
стенки скважины, а долото формирует многоугольный забой, что является причиной
целого ряда осложнений.
В
задачах бурения наиболее часто взаимодействие долота с забоем интерпретируется
как граничное условие опирания в шаровом шарнире. Вместе с тем в [7] можно
найти замечание о неконсервативности задачи о сжато-скрученном невесомом
стержне, подчиненном граничным условиям типа шарового шарнира, т.е. о том, что
названная задача формально принадлежит к классу задач о стержнях, теряющих свою
устойчивость путем развития неуправляемых поперечных колебаний. Далее мы будем
пользоваться не физическим понятием консервативности [7], а понятием
«самосопряженности», соответствующим математической краевой задаче [8].
Напомним, что самосопряженность означает, что краевая задача для
дифференциального уравнения допускает только действительные собственные числа
(критические нагрузки), и, следовательно, потеря устойчивости в такой системе
по неконсервативной схеме (по схеме возникновения флаттера) [7] невозможна,
т.е. «перекачивание» подводимой к системе энергии в ее колебания с растущей по
времени амплитудой невозможно.
Для
иллюстрации основных теоретических положений, используемых для технологических
предложений по обеспечению устойчивости бурильной колонны, необходимо привести
и проанализировать нижеследующие дифференциальные и трансцендентные уравнения.
Первоначально
необходимо проверить на самосопряженность как дифференциальное выражение,
образующее уравнение, так и граничные условия [8].
Система
дифференциальных уравнений, описывающая процесс потери статической устойчивости
скручиваемой одноступенчатой колонны, имеет вид:
EJv(4) + Mw(3) + [(F — qx)v(1)](1) =
0;
EJw(4) — Mv(3) + [(F — qx)w(1)](1) =
0 (1)
и
оказывается формально самосопряженной [8].
Граничные
условия типа заделки:
v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(1)
(0) = w(1) (0) = v(1) (L) = w(1) (L) = 0 (2)
и
граничные условия полукасания (естественные вариационные) [7]:
v(0)
= w(0) = v(L) = w(L) = 0;
EJv(2)
(0) — M/2∙w(1) (0) = EJw(2) (0) + M/2∙v(1) (0) = 0;
EJv(2)
(L) — M/2∙w(1) (L) = EJw(2) (L) + M/2∙v(1) (L) = 0 (3)
также
оказываются самосопряженными.
Однако
наиболее распространенные граничные условия типа шарового шарнира:
v(0) = w(0) = v(L) = w(L) = 0; v(2)
(0) = w(2) (0) = v(2) (L) = w(2) (L) = 0 (4)
оказываются
несамосопряженными. Заметим, что несамосопряженными условия (4) остаются вне
зависимости от наличия распределенной или сосредоточенной нагрузки, но в случае
колонны, нагружаемой собственным весом, факт отсутствия действительных
критических нагрузок можно установить аналитически.
Введем
характерную единицу длины m3 = EJ/q, где Е — модуль Юнга, J — момент инерции
поперечного сечения, q — погонный вес труб. Примем обозначения l = Fm2/EJ, µ =
1/2(M/EJ)m и выполним стандартную комплексификацию системы дифференциальных
уравнений (1). Сдвинем на l независимую переменную, обозначая ее z, а для
безразмерной измеренной глубины L оставим прежние обозначения. Граничные
условия переносятся, соответственно, в точки (-l) и (L-l), а основное
комплексное уравнение принимает вид:
. (5)
Элементарными
выкладками устанавливается явный вид общего решения уравнения (5), в котором
граничное условие u(-l) = 0 выполняется тождественно:
(6)
Для
дальнейших вычислений нам понадобятся выражения элемента a13 специального
определителя, возникающего в результате подстановки (6) в граничные условия:
Здесь
ai(.) и bi(.)— стандартные специальные функции Эйри [9].
Раскрывая
cos[µ(y-x)] по формуле сложения аргументов, пользуясь известной асимптотикой
для ai(x) и bi(x) при больших значениях аргумента, нетрудно установить, что a13
≈ lnL/ при L>>1.
В
случае условий шарового шарнира равенство нулю спектрального определителя
упрощается к виду:
(7)
Поскольку
ai(x) и ее производная не обращаются в ноль одновременно в одной и той же точке
[9], первое слагаемое (7) не обращается в ноль ни при каких l и µ.
В
случае заделки (7) упрощается к виду, в котором отсутствуют ai(1) (— l— µ2) и
bi(1) (— l— µ2) , а множитель i µ заменяется на 1 в выражениях в [ ].
В
случае полукасательных (по Болотину) условий (7) сводится к отсутствию чисто
мнимых слагаемых. Два последних самосопряженных варианта граничных условий
приводят к потере устойчивости путем изгиба. При этом действительные значения
критических нагрузок слабо (на слагаемое µ2) отличаются от соответствующих
значений для плоского случая.
Отсутствие
корней уравнения (7) в случае шарнирного опирания означает возможность потери
устойчивости бурильной колонны путем развития неуправляемых поперечных
колебаний, на которые теряется подводимая к колонне энергия вне зависимости от
способа бурения.
Важнейшим
результатом наших исследований явилось то, что при использовании ГЗД флаттер
колонны может возникнуть из-за реактивного крутящего момента, что не принимали
во внимание ни Лейбензон, ни Капелюшников, ни другие авторы.
Для
исключения самой возможности флаттера предлагается изменить характер
взаимодействия колонны бурильных труб со стенками в соответствии с результатами
теоретического изучения не одиночного опорно-центрирующего устройства, а пары
ОЦУ.
Обычные
ОЦУ обеспечивают непрерывность функции прогиба, ее первой и второй производных
(угол наклона и изгибающий момент) и допускают разрыв третьей производной
(скачок перерезывающей силы, в нашем случае, реакции со стороны стенки на
опору). При рассмотрении нескольких ОЦУ возникает многоточечная разрывная
краевая задача, описываемая дифференциальным уравнением изгиба колонны 4-го
порядка, приводящаяся к алгебраической системе относительно 4(n+1) произвольных
постоянных (n — число ОЦУ). Устойчивые численные методы для решения таких задач
предложены в [10-11].
Аналитическое
исследование названных задач начинается с представления на каждом участке
колонны между ОЦУ общего решения yi дифференциального уравнения, обобщающего
дифференциальное уравнение изгиба стержней в виде: индекс i
соответствует номеру участка колонны между опорами, {uk}, k=1,2,3,4 — полная
система линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения
упругого изгиба стержней (ДУУИС), f(s)-частное решение неоднородного ДУУИС:
y(4) + a1∙y(3) + a2∙y(2)
+ a3∙y(1) + a4∙y = 0, (8)
y(4) + a1∙y(3) + a2∙y(2)
+ a3∙y(1) + a4∙y = (s). (9)
Рассмотрим
для уравнения (9) четырехточечную краевую задачу с двумя внутренними граничными
условиями в точках s1 и s2, соответствующую в обычном понимании КНБК с двумя
полноразмерными центраторами:
y(0)=y(2)(0)=0; y(L)=y(2)(L)=0;
0