Метод расчета скейлинговых констант Фейгенбаума для
одномерных дискретных отображений по точкам сверхустойчивых циклов
Антон Никифоров
Напомню для начала некоторые факты из теории
универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение
отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе
стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон
возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только
унимодальные отображения вида
(1)
Если последовательность {} при данном r
состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что =f( ), =f( ), …, =f( ) или . Заметим, что
производная порядка n функции (n раз
вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной
функции равна .
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
(2)
называются неподвижными.
Величина (так
называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято
называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым,
если TD width=10% style='width:10.0%'
P style='margin-top:6.0pt'FONT style='font-size:14.0PT'FONT style='font-size:12.0pt'(3) /FONT/FONT/P
/TD
/TR
/TABLE
P style='margin-top:6.0pt'Данное соотношение встречается также и в следующей
записи: /P
TABLE border=0 style='width:100.0%'
TR
TD width=90% style='width:90.0%'
P style='margin-top:6.0pt'FONT style='font-size:14.0PT'FONT style='font-size:12.0pt'IMG width=145 height=25 src="http://images.km.ru/education/referats/img/43636~016.gif",n>>1
([1], стр. 49),
(3.1)
Рис.1
Или в таком виде:
,(см. [2],
p.3),
Расстояния от точки , где - точка
экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней
точки на - цикле подчиняются следующему соотношению:
,
n>>1
(4)
Константы Фейгенбаума имеют значения , и являются
ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как или e.
Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и
вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное,
слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж
400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие
Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время
он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные
компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы
унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е.
"волшебные" числа и ) будет тем же
самым.
Алгоритм
Интересно, что точки также можно
использовать для расчета , этим факт мы
и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор
всегда равен
нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:
(a)
Например, для цикла периода два:
, где
, таким
образом
(5.1)
(б)
Цикл периода четыре:
, где
, таким
образом
(5.2)
Для произвольных же -циклов
справедливо выражение:
(6)
Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра , например, с
помощью метода последовательных итераций Ньютона:
(6.1)
Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс
вычисления, скажем, константы сводится к
нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма
пересекает линию . Для этого
необходимо решить уравнение (6), проитерировав его раз.
НА ВХОД ПОДАЕМ:
Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения:
Итерируем производную функции начиная с
Начальные приближения двух значений параметра R: ,
Разумное начальное приближение для постоянной :
НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:
А весь процесс может быть описан следующими
выражениями:
, n=2,3,4,…
, i=0,1,2,…
Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные
вычислительные формулы.
ПРИМЕР 1:
При данном значении функция f будет зависеть только от
константы r, обозначим эту функцию как . Тогда
предыдущее уравнение можно будет переписать:
ПРИМЕР 2:
ПРИМЕР 3:
Программу расчета константы вы можете
найти здесь. Её легко модицифировать для расчета постоянной , что
предоставляется проделать читателю. Результат расчета в зависимости
от шага i приводится ниже.
i
1
6.9032539091...
2
4.7443094689...
3
4.6744478277...
4
4.6707911502...
5
4.6694616483...
6
4.6692658098...
...
...
11
4.66920173800930...
Список литературы
[1] Г.Шустер,
"Детерминированный хаос. Введение", М:Мир, 1988
[2] K.Briggs
"Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems", PhD thesis, 1997
[3] Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин,
"Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм", УМН,
т.39, вып.3(237), 1984
[4] М.Фейгенбаум, "Универсальность в поведении
нелинейных систем", УФН, т.141, вып.2, октябрь 1983
[5] Н.Н.Калиткин, "Численные методы",
М:Наука, 1978
[6] Метод Ньютона