Реферат по предмету "Математика"


Полуточка: модель скорости

Полуточка: модель скорости

Каратаев Евгений Анатольевич

Настоящая
статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых
иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных
случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном
модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется
либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке
гиперкомплексных чисел.

Для
понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения
модели полуточки и модели миров.

Точка
пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к
другой:










(1)






Считается,
что точка принадлежит
миру с временем :










(2)






В
этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими.
Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной
системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.

Состояния
точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной
и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе
можно попасть, совершив преобразование системы координат:










(3)






Здесь
величина определяет
преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом есть
разность времён этих двух миров:










(4)






Также
будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым
расстоянием во времени:










(5)






Под
скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если
величина зависит
от величины , и
с течением величина
испытывает
изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин и :










(6)






Ещё
одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели
преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь
пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет
два различных преобразования:










(7)






и











(8)






Здесь
в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором -
скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки
зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:










(9)













(10)













(11)







Видно,
что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того,
что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть
представлены как:










(12)













(13)






где
через обозначен
оператор с
вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:










(14)






Таким
образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1)
использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать
скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием
рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того,
что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в
силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.

А
именно:










(15)













(16)






Поэтому
мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.

В
силу того, что величина и её
приращение являются скалярами, имеем:










(17)






И
в случае когда мало,
имеем:










(18)













(19)






Используя
это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для
преобразования точки:






































(20)






Оставив
члены первого порядка малости по :











(21)






Используя
определение полуточки



получим:











(22)






Положив
точку функцией величины и
сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности ,
получим:











(23)






Это
выражение и является определением скорости точки ,
если она движется во времени ,
испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:










(24)






Выражение
(23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:










(25)






То
есть абсолютное приращение точки выполняется
несмотря на произвольность величины так,
что точка остается
сама себе скалярно-векторно сопряжённой.

Отметим
также, что в силу свойства точки верно
равенство:










(26)






Далее...


Придерживаясь
модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины и дуальными
бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной
сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.

Для
понимания дальнейшего вывода представим величины и в
виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:






































(27)






Здесь
индексом обозначены
главные части, а индексом -
дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:















Сгруппировав
главные и дуальные части, получим:











(28)






Используя
это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи
величин , , и
,
оценим характер вклада в скорость точки отдельных
величин и
.
А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.

Случай
1.

Зададим
точку как
дуальный вектор с единичной главной частью:










(29)






а
величину как
дуальный вектор с нулевой главной частью:










(30)






Тогда,
используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:










(31)






В
силу того, что выбрано условие ,
имеем:










(32)






Таким
образом, в приведённых выше условиях величина является линейной скоростью приращения
дуальной части .
В силу того, что в состав величины входит
как полярная, так и дуальная части, то есть:










(33)






то
в силу свойств функций и ,
определённых как










(34)













(35)






И
имеющих свойства сопрягаться:










(36)














(37)






Имеем
равенство для первого случая:










(38)






Или:
величина является
линейной скоростью изменения вектора .

Случай
2. Выберем величины и такими,
что выполняются следующие условия:










(39)






Используя
выражение (29) с этими условиями, получим:










(40)






В
силу выбора и
свойства (38) имеем:










(41)






И,
также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:










(42)






Переведя
величины и
в
векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов,
получим:










(43)






где
с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных
векторов и .


Или:
величина является
угловой скоростью вращения вектора .

Таким
образом, величины и
имеют
всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.

Целью
настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях.
Поэтому полный разбор сочетаний и
здесь
не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой
отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.

К
будущим исследованиям могут быть отнесены: величины и
,
а также отдельное исследование главной части точки .
В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель
преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и
главной частей вектора ,
существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования
покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной
возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в
преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.
Список литературы

Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://karataev.nm.ru/


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.