Интерполяция
функций
Лабораторная
работа по дисциплине «Вычислительные методы линейной алгебры».
Министерство
образования Российской Федерации.
Хабаровский
государственный Технический Университет.
Кафедра
«Прикладная математика и информатика»
Хабаровск 2003
Задание.
1) Построить
интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы
интерполяции. Вычислить значения в точке х=1.25.
xi
1
1.5
2
2.5
3
3.5
yi
0.5
2.2
2
1.8
0.5
2.25
2) Построить
интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы
интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.
xi
0
0.25
1.25
2.125
3.25
yi
5.0
4.6
5.7
5.017
4.333
3) Выполнить
интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы
интерполяции.
xi
7
9
13
yi
2
-2
3
Постановка
задачи интерполяция.
Пусть известные
значения функции образуют следующую таблицу:
x0
x1
x2
...
Xn-1
xn
y0
y1
y2
...
yn-1
yn
При этом
требуется получить значение функции f в точке x, принадлежащей
отрезку [x0..xn] но не совпадающей ни с одним значением xi.Часто при этом не известно аналитическое
выражение функции f(x), или оно не пригодно для вычислений.
В этих случаях
используется прием построения приближающей функции F(x), которая очень близка к f(x) и совпадает с ней в точках x0, x1, x2,... xn. При этом нахождение приближенной функции называется
интерполяцией, а точки x0,x1,x2,...xn - узлами интерполяции. Обычно
интерполирующую ищут в виде полинома n степени:
Pn(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an
Для каждого
набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени не больше n. Однозначно определенный многочлен может
быть представлен в различных видах.
Рассмотрим интерполяционный многочлен Ньютона и Лагранжа.
Интерполяционная
формула Лагранжа.
Формула
Лагранжа является наиболее общей, может применяться к таким узлам интерполяции,
что расстояние между соседними узлами не постоянная величина.
Построим
интерполяционный полином Ln(x) степени не больше n, и для которого выполняются условия Ln(xi)=yi . Запишем его в виде суммы:
Ln(x)=l0(x)+ l1(x)+ l2(x)+...+
ln(x), (1)
где lk(xi)= yi, если i=k, и lk(xi)= 0, если i≠k;
Тогда многочлен
lk(x) имеет следующий вид:
lk(x)=
(2)
Подставим (2) в
(1) и перепишем Ln(x) в
виде:
Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем n+1 раз, то погрешность интерполяции
оценивается следующим образом:
где0