Пределы и
производные
Предел.
Число А наз-ся
пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно
малого, $ N0, такое что при всех n>N0 будет
выполн-ся нер-во |Xn-A|N2
|Xn-и|N0.
|a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 =>
a=b.
2.теорема о
сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)
Док-во: 1. из
того, что $ lim Xn=a (n®¥) =>
n>N2 |Xn-a|a-E
=> lim Zn=a (n®¥)
Функция y=f(x)
наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит
число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти,
будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то
f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.
Бесконечно
малая величина.
Величина Xn
наз-ся бесконечно малой при n®¥, если
lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0, n>N0,
|Xn| " E/2 $N1, n>N1 |Xn|" E/2 $N2,
n>N2 |Yn|N0, |Xn±Yn|£|Xn|+|Yn| lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого
конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение
ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn –
огр. величина => $ K, |Xn| £ K,
Yn – б.м. =>
" E/K $N0 n>N0
|Yn|
"E $N0 n>N0 |Xn-a|
Xn=a+Yn. Справедливо и
обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn –
б.м.), то lim Xn=a (n®¥).
Бесконечно большая
величина
Xn – бесконечно
большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0,
|Xn|>M => MN1
|Xn|>M
из Yn – б.б.
=> "M $ N2, n>N2
|Yn|>M
N0=max(N1,
N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M
Lim XnYn=¥ (n®¥).
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ =>
M=1/E $N0,
n>N0 |Xn|>M =>n>N0.
|Yn|=1/|Xn|Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).
3.Сумма б.б
величины и ограниченной есть б.б. величина.
Основные
теоремы о пределах:
lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
Док-во: lim Xn=a =>
Xn=a+an; lim
Yn=b => Yn=b+bn;
Xn ± Yn =
(a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn)
=> lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).
limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).
lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim
Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Док-во: Xn/Yn – a/b =
(a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).
Пределы ф-ии
непрерывного аргумента.
Число А наз-ся
пределом ф-ии y=f(x) при х®x0, если для любого Е>0
сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет
выпол |x-x0|